Matemaattisia malleja kuolevuusriskin hallintaan

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matemaattisia malleja kuolevuusriskin hallintaan"

Transkriptio

1 Helena Aro* Teemu Pennanen *Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopisto Department of Mathematics, King s College London, UK Suomen Aktuaariyhdistyksen kuolevuusseminaari, MandatumLife

2 Johdantoa Kuolevuusriski: toteutuneen kuolevuuden poikkeamat odotetusta kuolevuudesta Yksilön eliniän satunnaisuudesta aiheutuva kuolevuusriski (ei-systemaattinen riski) Populaation yleisen kuolevuuden poikkeaminen odotetusta kuolevuudesta (systemaattinen riski) Yllättävien tapahtumien aiheuttamat tilapäiset poikkeamat kuolevuudessa (katastrofiriski) Pitkäikäisyysriski: kuolevuus laskee odotettua nopeammin Kuolevuusriski vaikuttaa niin julkiseen sektoriin kuin yksityisiin eläkevakuuttajiinkin Lääketieteen kehityksen, ympäristötekijöiden ja elintapavalintojen vaikutuksia tulevaan kuolevuuteen ei tiedetä Tarve kuolevuusriskin hallinnan kvantitatiivisille menetelmille Talouskriisin ja Solvency II:n vaikutukset

3 Johdantoa Kuolevuusriskin hallintaan on ehdotettu kuolevuusinstrumentteja, joiden kassavirrat on sidottu tietyn populaation kuolevuuden kehitykseen Kuolevuusjohdannaisille olisi kysyntää, mutta tarjonta on edelleen vähäistä Tarjonta saattaisi kasvaa, jos kuolevuudesta riippuvia kassavirtoja olisi mahdollista suojata käymällä kauppaa likvideillä sijoituskohteilla (vrt. optiomarkkinat ja Black Scholes Merton)

4 Johdantoa Kuolevuusinstrumenttien kassavirroilla ei kuitenkaan ole samanlaista yhteyttä olemassaoleville finanssimarkkinoille kuin yksinkertaisilla osakeoptioilla, joten niiden täydellinen suojaus ei ole mahdollista Kuolevuusjohdannaisten markkinat ovat epätäydelliset, ja myyjä ottaa väistämättä jonkinasteisen riskin Yhteyden löytäminen kuolevuuden ja finanssimarkkinoiden välille voisi auttaa kuolevuusjohdannaisen myyjää suojautumaan kuolevuusriskiltä Tutkimuksen tavoitteena on kehittää kvantitatiivisia menetelmiä kuolevuudesta riippuvien kassavirtojen suojaukseen

5 Tutkimuksen julkaisut H. Aro and T. Pennanen, A user-friendly approach to stochastic mortality modelling. European Actuarial Journal, H. Aro and T. Pennanen, Stochastic modelling of mortality and financial markets. Scandinavian Actuarial Journal, to appear. H. Aro and T. Pennanen, Systematic and non-systematic mortality risk in pension portfolios. North American Actuarial Journal, to appear. H. Aro and T. Pennanen, Liability-driven investment in longevity risk management. Submitted.

6 Tiivistelmä 1. Kuolevuuden ja sijoitustuottojen stokastinen mallinnus, missä erityistä huomiota on kiinnitetty Kuolevuuden kehitykseen pitkällä aikavälillä eri ikäryhmissä Kuolevuuden ja sijoitustuottojen yhteyksiin 2. Näiden yhteyksien hyödyntäminen kuolevuusinstrumenteille sopivien suojausstrategioiden suunnittelussa, numeeristen menetelmien avulla

7 Stokastinen kuolevuusmalli Olkoon E x,t niiden populaation jäsenten määrä (kohortti), jotka ovat iältään [x, x + 1) vuoden t alussa Tavoitteena mallintaa E x,t :n arvoja vuosina t = 0, 1, 2,... annetuille ikäryhmille X N Oletetaan, että ehdollinen odotusarvo E x+1,t+1 annetulla E x,t noudattaa binomijakaumaa: E x+1,t+1 Bin(E x,t, p x,t ), missä p x,t kuvaa todennäkösyyttä, että yksilö, joka on iältään x ja elossa vuoden t alussa, on edelleen hengissä vuoden lopussa

8 Stokastinen kuolevuusmalli Stokastinen kuolevuusmalli saadaan mallintamalla eloonjäämistodennäköisyyksien logit-muunnoksia seuraavasti: ( px,t ) logit p x,t := ln = 1 p x,t n vt i φ i (x), Edellä φ i (x) ovat käyttäjän määrittelemät kantafunktiot kohorttien yli, ja v i t stokastisia riskitekijöitä, joiden arvot muuttuvat ajan funktiona Logit-muunnoksen käyttö takaa sen, että p x,t (0, 1), kun riskitekijät v i t mallinnetaan R n -arvoisena stokastisena prosessina, E x+1,t+1 saadaan arpomalla binomijakaumasta Bin(E(x, t), p(x, t)), suuria populaatioita kuvaa riittävän tarkasti approksimaatio E x+1,t+1 = E(x, t)p(x, t) (systemaattinen vs. ei-systemaattinen kuolevuusriski) i=1

9 Stokastinen kuolevuusmalli Kantafunktioiden valinta määrää riskitekijöiden tulkinnan Konkreettiset tulkinnat helpottavat riskitekijöiden mallinnusta, mistä on apua etsittäessä yhteyksiä kuolevuuden ja muiden tekijöiden välillä Kun kantafunktiot on valittu, riskitekijät mallinnetaan usean muuttujan stokastisena prosessina, jonka muoto ja parametrit voidaan perustaa historiadataan, käyttäjän näkemykseen tulevaisuuden kehityksestä tai molempiin Riskiteköijöiden menneet arvot saadaan historiadatasta suurimman uskottavuuden (maximum likelihood) menetelmän avulla Likelihood-funktio on konkaavi hyvin yleisin oletuksin kantafunktioista

10 Stokastinen kuolevuusmalli Aikuisiän ( v) kuolevuutta mallinnetaan seuraavasti: logit p x,t = v 1 t φ 1 (x) + v 2 t φ 2 (x) + v 3 t φ 3 (x), Kantafunktiot ovat paloittain lineaarisia: { 1 x 18, x 50 φ 1(x) 32 = φ 2(x) = 0, x > 50, φ 3(x) = { 0, x 50 x 50 1, x > { 1 (x 18), x x, x > 50, Φ 1 x Φ 2 x Φ 3 x iv iφ i x Tulkinta: v i t :den arvot pisteitä sovitetulla käyrällä logit p x,t

11 Tilastollista analyysiä Kuolevuus- ja talousdataa vuosille kuudesta korkean eliniänodotteen OECD-maasta: Australia, Kanada, Ranska, Japani, UK, USA Data käsittää aikuisten kohorttien koot E x,t sekä kunkin kohortin kuolleiden määrät D x,t (Lähde: Human mortality database) Lisäksi vuotuinen GDP per capita Korkodataa USA:sta: eri maturiteettien (5v ja 1v) valtion bondit sekä eri luottoluokitusten yrityslainoja

12 Tilastollista analyysiä: v 1 v 1 AU v 1 CAN v 1 FR v 1 JP v 1 UK v 1 US Figure: Riskitekijän v 1 historia-arvoja, naiset. Huomaa eri skaalat.

13 Tilastollista analyysiä: v 1 Riskitekijä v 1 vastaa nuorten kuolevuutta (eloonjäämistodennäköisyyksiä) Kuinka pitkään kuolevuuden lasku jatkuu? Usein kuolevuuden riskifaktoreita mallinnetaan siten, että kuolevuuden lasku on pysyvä ilmiö Osa asiantuntijoista ennustaa laskun jatkuvan toistaiseksi, osan mukaan yleinen länsimainen eliniänodote voi jopa alkaa laskea (mm. elämäntapojen vaikutukset) Eräissä tarkasteltavissa maissa vt 1 :n historiallisissa arvoissa havaittavissa stabiloitumista

14 Tilastollista analyysiä: v 2 v 2 AU v 2 CAN v 2 FR v 2 JP v 2 UK v 2 US Figure: Riskitekijän v 2 historia-arvoja, naiset. Huomaa eri skaalat.

15 Tilastollista analyysiä: v 2 Riskitekijä v 2 vastaa keski-ikäisten kuolevuutta Sydän- ja verisuonitautien nopea lasku näkyy v 2 :n nopeassa kasvussa viimeisten 30 vuoden aikana Kompensoiko lääketieteen ja hoitomuotojen kehitys sekä mahdollinen tupakoinnin väheneminen ylipainon ja muiden elintasosairauksien negatiiviset vaikutukset kuolevuuteen? Voisiko v 2 tulevaisuudessa stabiloitua v 1 :n tapaan?

16 Tilastollista analyysiä: v 3 ja BKT v 3 AU v 3 CAN v 3 FR v 3 JP v 3 UK v 3 US Figure: Riskitekijän v 3 historia-arvoja, naiset. Huomaa eri skaalat.

17 Tilastollista analyysiä: v 3 ja BKT log gdp AU log gdp CAN log gdp FR log gdp JP log gdp UK log gdp US Figure: Per capita GDP:n logaritmisia historia-arvoja. Huomaa eri skaalat.

18 Tilastollista analyysiä: v 3 ja BKT Riskitekijä v 3 kuvaa vanhojen kuolevuutta, mikä usein määrää kuolevuudesta riippuvien instrumenttien kassavirrat Kuolevuuden ja GDP:n välillä on aiemmissakin tutkimuksissa havaittu pitkän aikavälin yhteyksiä Riskitekijän v 3 ja log-gdp:n samanmalliset kuvaajat tukevat hypoteesia siitä, että niiden pitkän aikavälin kehitykset saattaisivat olla toisistaan riippuvia

19 Tilastollista analyysiä: BKT ja finanssimarkkinat 6 Term spread log gdp Credit spread Figure: USA:n korkospread (term -), log-gdp:n erotus sekä luottospread (credit -).

20 Riskitekijöiden mallinnusta Tilastollisen analyysin pohjalta kehitettiin malli, jossa on mm. seuraavat ominaisuudet: Nuorten kuolevuuden stabiloituminen pitkällä aikavälillä Vanhojen kuolevuuden yhteys BKT:hen Lyhyen aikavälin yhteys kuolevuuden ja BKT:n välillä BKT:n yhteys korkoihin Malli on muotoa x t = Ax t 1 + b + ε t, missä A R 6 6, b R 6 ja x = [v 1 t, v 2 t, v 3 t, g t, s T t, s C t ] sisältäen kuolevuuden riskitekijät, log-per capita BKT:n g t, korkospreadin s T t sekä luottospreadin s C t. Stokastinen vektori ε t R 6 kuvaa riskitekijöiden satunnaista vaihtelua

21 Riskitekijöiden mallinnusta 8.4 v 1 v v GDP (log) Term Spread (of log rates) Credit Spread (of log rates) Figure: Simulaatioesimerkki. Mediaanit ja 95% luottamusvälit riskitekijöille. (N=10000), USA naiset

22 Riskitekijöiden mallinnusta v f,3 T g T Figure: Simulaatioesimerkki. Riskitekijän v ja g 2056:n yhdistetyn tiheysfunktion ydinestimaatti (kernel density plot).

23 Suojaustehtävä Tarkastellaan tilannetta, jossa alkupääoma on w 0, ja maksettavana on annuiteetit c t hetkillä t = 1, 2,..., T Kun c t on maksettu hetkellä t, jäljelläoleva varallisuus sijoitetaan rahamarkkinoille Joukko J likvidejä sijoituskohteita, joilla voidaan käydä kauppaa hetkillä t = 0,..., T Sijoituskohteen j tuotto periodilta (t 1, t] olkoon R t,j, ja siihen sijoitettu rahamäärä h t,j Tavoite: etsi sellaisia sijoitusstrategioita, joiden tuotot vastaavat vaateen kassavirtoja mahdollisimman hyvin, annetun riskimitan ρ mielessä loppuhetken T varallisuuden suhteen

24 Suojaustehtävä Tällöin suojaustehtävä voidaan kirjoittaa min ρ( j J h T,j ) over h N s.e. h 0,j w 0 j J h t,j R t,j h t 1,j c t j J j J h t D t, t = 1,..., T t = 1,..., T (ALM) N kuvaa ns. adaptoituneita sijoitusstrategioita (hetkellä t valittu portfolio riippuu ajanhetkeen t mennessä saadusta informaatiosta) D t R J on mahdollisten strategioiden joukko hetkellä t ρ on riskiä/menetystä kuvaava entropinen riskimitta ρ(x ) = 1 γ log E[e γx ]

25 Suojaustehtävä Yleisesti suojaustehtävä ei ole ratkaistavissa analyyttisesti Seuraavassa esimerkissä sovelletaan laskennallista menetelmää, joka hakee optimaalista hajautusta yksinkertaisten kantastrategioiden yli Riskitekijöiden todennäköisyysjakaumaa approksimoidaan skenaario-otoksella

26 Suojaustehtävä Seuraavissa laskelmissa sovellettavat kantastrategiat voidaan jakaa kahteen ryhmään: vastuista riippuviin (liability-driven) ja vastuista riippumattomiin Vastuista riippuvissa kantastrategioissa eri sijoituskohteisiin sijoitettavat osuudet varallisuudesta ovat sidoksissa kuolevuudesta riippuviin vastuisiin Ei-vastuista riippuvat strategiat: Buy and Hold, Fixed Proportions, ja Target Date Fund Vastuista riippuvat strategiat: Constant Proportion Portfolio Insurance, sekä korko- ja luottospreadeista, survival indexistä ja varallisuudesta riippuvia strategioita Osa vastuista riippuvista strategioista hyödyntävää edellä todettuja yhteyksiä sijoitustuottojen ja kuolevuuden välillä

27 Suojaustehtävä Tavoitteena on näyttää, kuinka vastuiden huomioiminen sijoituspäätöksissä parantaa kuolevuudesta riippuvan kassavirran suojausta Kaksi kantastrategiajoukkoa: Ei-vastuista riippuvat strategiat Vastuista riippuvat ja ei-vastuista riippuvat strategiat Kummallekin joukolle laskettiin optimaalinen sijoitusstrategia, ja vastaava kohdefunktion ρ (riskimitta) arvo, ja vertailtiin kohdefunktioiden arvoja Vertailun vuoksi tarkasteltiin porfolio-optimointitehtävää ilman vastuita, jotta havaittaisiin, mikä osa mahdollisesta riskin vähenemisestä todella johtuu vastuiden huomioimisesta (vs. suurempi kantastrategioiden joukko)

28 Suojaustehtävä Seuraavassa numeerisessa esimerkissä T = 30, ja annuiteetit c t riippuvat aloitushetkellä t = 0 65-vuotiaiden USA:laisten naisten kuolevuudesta Optimiallokaatio laskettiin eri riskiaversioparametrin arvoille γ Mitä suurempi riskiaversio, sitä merkittävämmin vastuista riippuvien strategioiden lisääminen pienentää suojaustehtävän riskiä Portfolio-optimointitehtävän riskiin kuolevuudesta riippuvien strategioiden lisäämisen vaikutus oli lähes olematon γ = 0.05 γ = 0.1 γ = 0.3 γ = 0.5 c t = S t c t = 0 c t = S t c t = 0 c t = S t c t = 0 c t = S t c t = 0 Kantastrategiat Ei-VR Kaikki Vähennys (%)

29 Yhteenveto Työssä esiteltiin yksinkertainen stokastinen malli kuolevuuden ja finanssimarkkinoiden pitkän aikavälin kehitykselle ja yhteyksille Mallia ja numeerisia menetelmiä hyödyntäen kuolevuudesta riippuvalle kassavirralle konstruoitiin suojausstrategioita Osoitettiin, että kuolevuudesta riippuvien vaateiden huomioiminen sijoitusstrategioiden valinnassa auttaa pienentämään suojaustehtävään liittyvää riskiä

30 Lähteet H. Aro and T. Pennanen, A user-friendly approach to stochastic mortality modelling. European Actuarial Journal, H. Aro and T. Pennanen, Stochastic modelling of mortality and financial markets. Scandinavian Actuarial Journal, to appear. H. Aro and T. Pennanen, Liability-driven investment in longevity risk management. Submitted. D. Duffie and K. Singleton, Credit Risk: Pricing, Measurement and Management. Princeton University Press, Princeton, N.J., P. Hilli, M. Koivu and T. Pennanen, Cash-flow based valuation of pension liabilities. European Actuarial Journal, P. Hilli, M. Koivu and T. Pennanen, Optimal construction of a fund of funds. European Actuarial Journal, S. H. Preston, The changing relation between mortality and level of economic development. Population Studies, 29(2), D. Wheelock and M. Wohar, Can the term spread predict output growth and recessions? Federal Reserve Bank of St. Louis Review: , 2009

Finanssisitoumusten suojaamisesta

Finanssisitoumusten suojaamisesta Finanssisitoumusten suojaamisesta Harri Nyrhinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Vakuutusmatematiikan seminaari 4.5.2017 Esitelmän sisältö Teoreettisluonteisia poimintoja kirjallisuudesta

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Kuolevuusseminaari 9.4.2013

Kuolevuusseminaari 9.4.2013 Kuolevuusseminaari 9.4.2013 Jari Niittuinperä Kuolevuuseminaari 19.3. Vakuutusalan viimeaikaiset kuolevuustutkimukset Prosessi ja siihen liittyvät haasteet (data, mallintaminen, laskenta, tulosten verifiointi)

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Bayesiläisiä menetelmiä vakuutusyhtiöiden riskienhallinnassa

Bayesiläisiä menetelmiä vakuutusyhtiöiden riskienhallinnassa Bayesiläisiä menetelmiä vakuutusyhtiöiden riskienhallinnassa Kuolevuusseminaari 9.4.2013 Anne Puustelli 2 Väitöskirja-artikkelit I. Puustelli, A., Koskinen, L., Luoma, A., 2008. Bayesian modelling of financial

Lisätiedot

Eläkkeiden rahoituksen uudistamistarpeet

Eläkkeiden rahoituksen uudistamistarpeet Eläkkeiden rahoituksen uudistamistarpeet Petri Hilli CEO, QSA Teemu Pennanen Rahoitusmatematiikan professori King s College London Eläkkeiden rahoituksen uudistamistarpeet p. 1 Eläkkeiden rahastoinnin

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Korkojen aikarakenne

Korkojen aikarakenne Korkojen aikarakenne opetusnäyte: osa kuvitteellista Raha- ja pankkiteorian aineopintojen kurssia Antti Ripatti Taloustiede 4.11.2011 Antti Ripatti (Taloustiede) Korkojen aikarakenne 4.11.2011 1 / 30 2003),

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Allokaatiomuutos 3.2.2014. Alexandria

Allokaatiomuutos 3.2.2014. Alexandria Allokaatiomuutos 3.2.2014 Alexandria Alexandria Cautious Manager Fund Alexandria Cautious 31.1.2014 OSAKKEET Salkunhoitaja 20,00 Suomi 5,60 Finlandia 4,01 Finland Small Cap 1,59 Eurooppa 7,49 BGF European

Lisätiedot

Kuolevuusseminaari

Kuolevuusseminaari Kuolevuusseminaari 19.03.2013 K2012: Henkivakuutuksen kuolevuustutkimus Henkivakuutettujen pitkän ajan kuolevuusennuste 1 Aihealueet Taustaa Kuolevuusennuste: menetelmän valinta Kuolevuusennuste: lähtöaineiston

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

9. Tila-avaruusmallit

9. Tila-avaruusmallit 9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Työeläkkeiden rahoituksesta ja sen riskien hallinnasta p.1/20

Työeläkkeiden rahoituksesta ja sen riskien hallinnasta p.1/20 Työeläkkeiden rahoituksesta ja sen riskien hallinnasta Teemu Pennanen Liikkeenjohdon systeemit, HKKK ja Matematiikka, TKK Työeläkkeiden rahoituksesta ja sen riskien hallinnasta p.1/20 Sisältö 1. Vanhuuseläkeongelma

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Allokaatiomuutos 11.8.2014. Alexandria

Allokaatiomuutos 11.8.2014. Alexandria Allokaatiomuutos 11.8.2014 Alexandria Alexandria Cautious Manager Fund Alexandria Cautious 8.8.2014 OSAKKEET Salkunhoitaja 20,00 Suomi 5,03 SEB Finlandia SEB 4,17 SEB Finland Small Cap SEB 0,86 Eurooppa

Lisätiedot

30C00660 Tilastotieteen jatkokurssi Sessio 1 : Panu Erästö

30C00660 Tilastotieteen jatkokurssi Sessio 1 : Panu Erästö 30C00660 Sessio 1 : Panu Erästö Aloitustehtävä: pohdintaan ryhmissä Mitä todennäköisyysjakauma matemaattisesti tarkoittaa? Mitä (kaikkea) puhekielen (todennäköisyys)jakauma voi tarkoittaa? Mitä eroa on

Lisätiedot

Allokaatiomuutos 29.9.2014. Alexandria

Allokaatiomuutos 29.9.2014. Alexandria Allokaatiomuutos 29.9.2014 Alexandria Alexandria Cautious Manager Fund Alexandria Cautious 26.9.2014 OSAKKEET Salkunhoitaja 20,00 Suomi 4,83 SEB Finlandia SEB 4,00 SEB Finland Small Cap SEB 0,83 Eurooppa

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Allokaatiomuutos 22.10.2014. Alexandria

Allokaatiomuutos 22.10.2014. Alexandria Allokaatiomuutos 22.10.2014 Alexandria Alexandria Cautious Manager Fund Alexandria Cautious 20.10.2014 OSAKKEET Salkunhoitaja 20,00 Suomi 4,90 SEB Finlandia SEB 4,90 Eurooppa 5,48 BGF European Fund Blackrock

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Osakkeiden tuottojakaumia koskevien markkinaja asiantuntijanäkemysten yhdistely copulafunktioilla

Osakkeiden tuottojakaumia koskevien markkinaja asiantuntijanäkemysten yhdistely copulafunktioilla Osakkeiden tuottojakaumia koskevien markkinaja asiantuntijanäkemysten yhdistely copulafunktioilla (valmiin työn esittely) Henri Tuovila 13.01.2014 Ohjaaja: VTM Ville Hemmilä Valvoja: Prof. Ahti Salo Sisältö

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion

Lisätiedot

Peto- ja saaliskanta

Peto- ja saaliskanta Peto- ja saaliskanta Peto- ja saaliskantojen keskinäistä vuorovaikutusta voiaan mallintaa toisistaan riippuvien ifferentiaaliyhtälöien avulla. Tässä tarkastellaan yksinkertaista mallia, joka perustuu ns.

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Allokaatiomuutos Alexandria

Allokaatiomuutos Alexandria Allokaatiomuutos 3.6.2014 Alexandria Alexandria Cautious Manager Fund Alexandria Cautious 28.5.2014 OSAKKEET Salkunhoitaja 24,12 Suomi 5,87 SEB Finlandia SEB 4,39 SEB Finland Small Cap SEB 1,48 Eurooppa

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Allokaatiomuutos 10.3.2014. Alexandria

Allokaatiomuutos 10.3.2014. Alexandria Allokaatiomuutos 10.3.2014 Alexandria Alexandria Cautious Manager Fund Osakemarkkinat ylipainossa Alexandria Cautious 10.3.2014 OSAKKEET Salkunhoitaja 24,11 Suomi 7,01 Finlandia 5,40 Finland Small Cap

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Allokaatiomuutos 16.6.2014. Alexandria

Allokaatiomuutos 16.6.2014. Alexandria Allokaatiomuutos 16.6.2014 Alexandria Alexandria Cautious Manager Fund Alexandria Cautious 12.6.2014 OSAKKEET Salkunhoitaja 23,02 Suomi 6,08 SEB Finlandia SEB 4,62 SEB Finland Small Cap SEB 1,46 Eurooppa

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

TyEL-kuolevuusperusteesta

TyEL-kuolevuusperusteesta TyEL-kuolevuusperusteesta 26.5.2015 29.5.2015 Kuolevuusperusteesta Tuomas Hakkarainen 1 Tarve kuolevuusperusteelle TyEL-vakuutuksessa Työnantajan eläkevakuutuksen vanhuuseläkevastuut ovat pitkäikäisiä,

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

Allokaatiomuutos 24.11.2014. Alexandria

Allokaatiomuutos 24.11.2014. Alexandria Allokaatiomuutos 24.11.2014 Alexandria Alexandria Cautious Manager Fund Alexandria Cautious 21.11.2014 OSAKKEET Salkunhoitaja 23,53 Suomi 5,02 SEB Finlandia SEB 5,02 Eurooppa 8,06 BGF European Fund Blackrock

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

RAHAPÄIVÄ 20.9.2011 Megatrendien hyödyntäminen. Matti Alahuhta Toimitusjohtaja, KONE Oyj

RAHAPÄIVÄ 20.9.2011 Megatrendien hyödyntäminen. Matti Alahuhta Toimitusjohtaja, KONE Oyj RAHAPÄIVÄ 20.9.2011 Megatrendien hyödyntäminen Matti Alahuhta Toimitusjohtaja, KONE Oyj Agenda Taloudellinen kehitys Johtaminen megatrendejä hyödyntäen Johtaminen tämän päivän epävarmassa ympäristössä

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

TILASTOLLINEN OPPIMINEN

TILASTOLLINEN OPPIMINEN 301 TILASTOLLINEN OPPIMINEN Salmiakki- ja hedelmämakeisia on pakattu samanlaisiin käärepapereihin suurissa säkeissä, joissa on seuraavat sekoitussuhteet h 1 : 100% salmiakkia h 2 : 75% salmiakkia + 25%

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI

1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI 1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia

Lisätiedot

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki

Lisätiedot

Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla

Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Sari Ropponen 13.5.2009 1 Agenda Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuun arviointi Ennustevirhe Ennustejakauma Bootstrap-/simulointimenetelmä

Lisätiedot

23.5.2012 1 Rakentamisen näkymät EU-alueella ja Suomessa

23.5.2012 1 Rakentamisen näkymät EU-alueella ja Suomessa 23.5.2012 1 Rakentamisen näkymät EU-alueella ja Suomessa Pekka Pajakkala Senior Advisor, VTT President of EUROCONSTRUCT 2012 23.5.2012 2 Rakentamisen näkymät EU, CEE, SUOMI 1. VTT 2. TALOUDEN JA RAKENTAMISEN

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Optimal Harvesting of Forest Stands

Optimal Harvesting of Forest Stands Optimal Harvesting of Forest Stands (Presentation of the topic) 24 January 2010 Instructor: Janne Kettunen Supervisor: Ahti Salo Tausta Ass. Prof. Janne Kettunen käsitteli osana väitöskirjatyötään stokastisen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Korkomarkkinoiden erityispiirteet

Korkomarkkinoiden erityispiirteet Korkomarkkinoiden erityispiirteet - markkinoiden hinnoittelema talouskehitys / trading korkomarkkinoilla www.operandi.fi Rahoitusriskien hallinnan asiantuntijayritys esityksen rakenne I. peruskäsitteitä

Lisätiedot

Vakavaraisuusvaade henkivakuutuksessa (SCR, MCR) Aktuaariyhdistyksen solvenssiseminaari 14.4.2010 Lauri Saraste Henki-Fennia

Vakavaraisuusvaade henkivakuutuksessa (SCR, MCR) Aktuaariyhdistyksen solvenssiseminaari 14.4.2010 Lauri Saraste Henki-Fennia Vakavaraisuusvaade henkivakuutuksessa (SCR, MCR) Aktuaariyhdistyksen solvenssiseminaari 14.4.2010 Lauri Saraste Henki-Fennia Agenda SCR - yleistä Esimerkkilaskelma SCR (life underwriting risk) Mortality

Lisätiedot