Matemaattisia malleja kuolevuusriskin hallintaan

Transkriptio

1 Helena Aro* Teemu Pennanen *Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopisto Department of Mathematics, King s College London, UK Suomen Aktuaariyhdistyksen kuolevuusseminaari, MandatumLife

2 Johdantoa Kuolevuusriski: toteutuneen kuolevuuden poikkeamat odotetusta kuolevuudesta Yksilön eliniän satunnaisuudesta aiheutuva kuolevuusriski (ei-systemaattinen riski) Populaation yleisen kuolevuuden poikkeaminen odotetusta kuolevuudesta (systemaattinen riski) Yllättävien tapahtumien aiheuttamat tilapäiset poikkeamat kuolevuudessa (katastrofiriski) Pitkäikäisyysriski: kuolevuus laskee odotettua nopeammin Kuolevuusriski vaikuttaa niin julkiseen sektoriin kuin yksityisiin eläkevakuuttajiinkin Lääketieteen kehityksen, ympäristötekijöiden ja elintapavalintojen vaikutuksia tulevaan kuolevuuteen ei tiedetä Tarve kuolevuusriskin hallinnan kvantitatiivisille menetelmille Talouskriisin ja Solvency II:n vaikutukset

3 Johdantoa Kuolevuusriskin hallintaan on ehdotettu kuolevuusinstrumentteja, joiden kassavirrat on sidottu tietyn populaation kuolevuuden kehitykseen Kuolevuusjohdannaisille olisi kysyntää, mutta tarjonta on edelleen vähäistä Tarjonta saattaisi kasvaa, jos kuolevuudesta riippuvia kassavirtoja olisi mahdollista suojata käymällä kauppaa likvideillä sijoituskohteilla (vrt. optiomarkkinat ja Black Scholes Merton)

4 Johdantoa Kuolevuusinstrumenttien kassavirroilla ei kuitenkaan ole samanlaista yhteyttä olemassaoleville finanssimarkkinoille kuin yksinkertaisilla osakeoptioilla, joten niiden täydellinen suojaus ei ole mahdollista Kuolevuusjohdannaisten markkinat ovat epätäydelliset, ja myyjä ottaa väistämättä jonkinasteisen riskin Yhteyden löytäminen kuolevuuden ja finanssimarkkinoiden välille voisi auttaa kuolevuusjohdannaisen myyjää suojautumaan kuolevuusriskiltä Tutkimuksen tavoitteena on kehittää kvantitatiivisia menetelmiä kuolevuudesta riippuvien kassavirtojen suojaukseen

5 Tutkimuksen julkaisut H. Aro and T. Pennanen, A user-friendly approach to stochastic mortality modelling. European Actuarial Journal, H. Aro and T. Pennanen, Stochastic modelling of mortality and financial markets. Scandinavian Actuarial Journal, to appear. H. Aro and T. Pennanen, Systematic and non-systematic mortality risk in pension portfolios. North American Actuarial Journal, to appear. H. Aro and T. Pennanen, Liability-driven investment in longevity risk management. Submitted.

6 Tiivistelmä 1. Kuolevuuden ja sijoitustuottojen stokastinen mallinnus, missä erityistä huomiota on kiinnitetty Kuolevuuden kehitykseen pitkällä aikavälillä eri ikäryhmissä Kuolevuuden ja sijoitustuottojen yhteyksiin 2. Näiden yhteyksien hyödyntäminen kuolevuusinstrumenteille sopivien suojausstrategioiden suunnittelussa, numeeristen menetelmien avulla

7 Stokastinen kuolevuusmalli Olkoon E x,t niiden populaation jäsenten määrä (kohortti), jotka ovat iältään [x, x + 1) vuoden t alussa Tavoitteena mallintaa E x,t :n arvoja vuosina t = 0, 1, 2,... annetuille ikäryhmille X N Oletetaan, että ehdollinen odotusarvo E x+1,t+1 annetulla E x,t noudattaa binomijakaumaa: E x+1,t+1 Bin(E x,t, p x,t ), missä p x,t kuvaa todennäkösyyttä, että yksilö, joka on iältään x ja elossa vuoden t alussa, on edelleen hengissä vuoden lopussa

8 Stokastinen kuolevuusmalli Stokastinen kuolevuusmalli saadaan mallintamalla eloonjäämistodennäköisyyksien logit-muunnoksia seuraavasti: ( px,t ) logit p x,t := ln = 1 p x,t n vt i φ i (x), Edellä φ i (x) ovat käyttäjän määrittelemät kantafunktiot kohorttien yli, ja v i t stokastisia riskitekijöitä, joiden arvot muuttuvat ajan funktiona Logit-muunnoksen käyttö takaa sen, että p x,t (0, 1), kun riskitekijät v i t mallinnetaan R n -arvoisena stokastisena prosessina, E x+1,t+1 saadaan arpomalla binomijakaumasta Bin(E(x, t), p(x, t)), suuria populaatioita kuvaa riittävän tarkasti approksimaatio E x+1,t+1 = E(x, t)p(x, t) (systemaattinen vs. ei-systemaattinen kuolevuusriski) i=1

9 Stokastinen kuolevuusmalli Kantafunktioiden valinta määrää riskitekijöiden tulkinnan Konkreettiset tulkinnat helpottavat riskitekijöiden mallinnusta, mistä on apua etsittäessä yhteyksiä kuolevuuden ja muiden tekijöiden välillä Kun kantafunktiot on valittu, riskitekijät mallinnetaan usean muuttujan stokastisena prosessina, jonka muoto ja parametrit voidaan perustaa historiadataan, käyttäjän näkemykseen tulevaisuuden kehityksestä tai molempiin Riskiteköijöiden menneet arvot saadaan historiadatasta suurimman uskottavuuden (maximum likelihood) menetelmän avulla Likelihood-funktio on konkaavi hyvin yleisin oletuksin kantafunktioista

10 Stokastinen kuolevuusmalli Aikuisiän ( v) kuolevuutta mallinnetaan seuraavasti: logit p x,t = v 1 t φ 1 (x) + v 2 t φ 2 (x) + v 3 t φ 3 (x), Kantafunktiot ovat paloittain lineaarisia: { 1 x 18, x 50 φ 1(x) 32 = φ 2(x) = 0, x > 50, φ 3(x) = { 0, x 50 x 50 1, x > { 1 (x 18), x x, x > 50, Φ 1 x Φ 2 x Φ 3 x iv iφ i x Tulkinta: v i t :den arvot pisteitä sovitetulla käyrällä logit p x,t

11 Tilastollista analyysiä Kuolevuus- ja talousdataa vuosille kuudesta korkean eliniänodotteen OECD-maasta: Australia, Kanada, Ranska, Japani, UK, USA Data käsittää aikuisten kohorttien koot E x,t sekä kunkin kohortin kuolleiden määrät D x,t (Lähde: Human mortality database) Lisäksi vuotuinen GDP per capita Korkodataa USA:sta: eri maturiteettien (5v ja 1v) valtion bondit sekä eri luottoluokitusten yrityslainoja

12 Tilastollista analyysiä: v 1 v 1 AU v 1 CAN v 1 FR v 1 JP v 1 UK v 1 US Figure: Riskitekijän v 1 historia-arvoja, naiset. Huomaa eri skaalat.

13 Tilastollista analyysiä: v 1 Riskitekijä v 1 vastaa nuorten kuolevuutta (eloonjäämistodennäköisyyksiä) Kuinka pitkään kuolevuuden lasku jatkuu? Usein kuolevuuden riskifaktoreita mallinnetaan siten, että kuolevuuden lasku on pysyvä ilmiö Osa asiantuntijoista ennustaa laskun jatkuvan toistaiseksi, osan mukaan yleinen länsimainen eliniänodote voi jopa alkaa laskea (mm. elämäntapojen vaikutukset) Eräissä tarkasteltavissa maissa vt 1 :n historiallisissa arvoissa havaittavissa stabiloitumista

14 Tilastollista analyysiä: v 2 v 2 AU v 2 CAN v 2 FR v 2 JP v 2 UK v 2 US Figure: Riskitekijän v 2 historia-arvoja, naiset. Huomaa eri skaalat.

15 Tilastollista analyysiä: v 2 Riskitekijä v 2 vastaa keski-ikäisten kuolevuutta Sydän- ja verisuonitautien nopea lasku näkyy v 2 :n nopeassa kasvussa viimeisten 30 vuoden aikana Kompensoiko lääketieteen ja hoitomuotojen kehitys sekä mahdollinen tupakoinnin väheneminen ylipainon ja muiden elintasosairauksien negatiiviset vaikutukset kuolevuuteen? Voisiko v 2 tulevaisuudessa stabiloitua v 1 :n tapaan?

16 Tilastollista analyysiä: v 3 ja BKT v 3 AU v 3 CAN v 3 FR v 3 JP v 3 UK v 3 US Figure: Riskitekijän v 3 historia-arvoja, naiset. Huomaa eri skaalat.

17 Tilastollista analyysiä: v 3 ja BKT log gdp AU log gdp CAN log gdp FR log gdp JP log gdp UK log gdp US Figure: Per capita GDP:n logaritmisia historia-arvoja. Huomaa eri skaalat.

18 Tilastollista analyysiä: v 3 ja BKT Riskitekijä v 3 kuvaa vanhojen kuolevuutta, mikä usein määrää kuolevuudesta riippuvien instrumenttien kassavirrat Kuolevuuden ja GDP:n välillä on aiemmissakin tutkimuksissa havaittu pitkän aikavälin yhteyksiä Riskitekijän v 3 ja log-gdp:n samanmalliset kuvaajat tukevat hypoteesia siitä, että niiden pitkän aikavälin kehitykset saattaisivat olla toisistaan riippuvia

19 Tilastollista analyysiä: BKT ja finanssimarkkinat 6 Term spread log gdp Credit spread Figure: USA:n korkospread (term -), log-gdp:n erotus sekä luottospread (credit -).

20 Riskitekijöiden mallinnusta Tilastollisen analyysin pohjalta kehitettiin malli, jossa on mm. seuraavat ominaisuudet: Nuorten kuolevuuden stabiloituminen pitkällä aikavälillä Vanhojen kuolevuuden yhteys BKT:hen Lyhyen aikavälin yhteys kuolevuuden ja BKT:n välillä BKT:n yhteys korkoihin Malli on muotoa x t = Ax t 1 + b + ε t, missä A R 6 6, b R 6 ja x = [v 1 t, v 2 t, v 3 t, g t, s T t, s C t ] sisältäen kuolevuuden riskitekijät, log-per capita BKT:n g t, korkospreadin s T t sekä luottospreadin s C t. Stokastinen vektori ε t R 6 kuvaa riskitekijöiden satunnaista vaihtelua

21 Riskitekijöiden mallinnusta 8.4 v 1 v v GDP (log) Term Spread (of log rates) Credit Spread (of log rates) Figure: Simulaatioesimerkki. Mediaanit ja 95% luottamusvälit riskitekijöille. (N=10000), USA naiset

22 Riskitekijöiden mallinnusta v f,3 T g T Figure: Simulaatioesimerkki. Riskitekijän v ja g 2056:n yhdistetyn tiheysfunktion ydinestimaatti (kernel density plot).

23 Suojaustehtävä Tarkastellaan tilannetta, jossa alkupääoma on w 0, ja maksettavana on annuiteetit c t hetkillä t = 1, 2,..., T Kun c t on maksettu hetkellä t, jäljelläoleva varallisuus sijoitetaan rahamarkkinoille Joukko J likvidejä sijoituskohteita, joilla voidaan käydä kauppaa hetkillä t = 0,..., T Sijoituskohteen j tuotto periodilta (t 1, t] olkoon R t,j, ja siihen sijoitettu rahamäärä h t,j Tavoite: etsi sellaisia sijoitusstrategioita, joiden tuotot vastaavat vaateen kassavirtoja mahdollisimman hyvin, annetun riskimitan ρ mielessä loppuhetken T varallisuuden suhteen

24 Suojaustehtävä Tällöin suojaustehtävä voidaan kirjoittaa min ρ( j J h T,j ) over h N s.e. h 0,j w 0 j J h t,j R t,j h t 1,j c t j J j J h t D t, t = 1,..., T t = 1,..., T (ALM) N kuvaa ns. adaptoituneita sijoitusstrategioita (hetkellä t valittu portfolio riippuu ajanhetkeen t mennessä saadusta informaatiosta) D t R J on mahdollisten strategioiden joukko hetkellä t ρ on riskiä/menetystä kuvaava entropinen riskimitta ρ(x ) = 1 γ log E[e γx ]

25 Suojaustehtävä Yleisesti suojaustehtävä ei ole ratkaistavissa analyyttisesti Seuraavassa esimerkissä sovelletaan laskennallista menetelmää, joka hakee optimaalista hajautusta yksinkertaisten kantastrategioiden yli Riskitekijöiden todennäköisyysjakaumaa approksimoidaan skenaario-otoksella

26 Suojaustehtävä Seuraavissa laskelmissa sovellettavat kantastrategiat voidaan jakaa kahteen ryhmään: vastuista riippuviin (liability-driven) ja vastuista riippumattomiin Vastuista riippuvissa kantastrategioissa eri sijoituskohteisiin sijoitettavat osuudet varallisuudesta ovat sidoksissa kuolevuudesta riippuviin vastuisiin Ei-vastuista riippuvat strategiat: Buy and Hold, Fixed Proportions, ja Target Date Fund Vastuista riippuvat strategiat: Constant Proportion Portfolio Insurance, sekä korko- ja luottospreadeista, survival indexistä ja varallisuudesta riippuvia strategioita Osa vastuista riippuvista strategioista hyödyntävää edellä todettuja yhteyksiä sijoitustuottojen ja kuolevuuden välillä

27 Suojaustehtävä Tavoitteena on näyttää, kuinka vastuiden huomioiminen sijoituspäätöksissä parantaa kuolevuudesta riippuvan kassavirran suojausta Kaksi kantastrategiajoukkoa: Ei-vastuista riippuvat strategiat Vastuista riippuvat ja ei-vastuista riippuvat strategiat Kummallekin joukolle laskettiin optimaalinen sijoitusstrategia, ja vastaava kohdefunktion ρ (riskimitta) arvo, ja vertailtiin kohdefunktioiden arvoja Vertailun vuoksi tarkasteltiin porfolio-optimointitehtävää ilman vastuita, jotta havaittaisiin, mikä osa mahdollisesta riskin vähenemisestä todella johtuu vastuiden huomioimisesta (vs. suurempi kantastrategioiden joukko)

28 Suojaustehtävä Seuraavassa numeerisessa esimerkissä T = 30, ja annuiteetit c t riippuvat aloitushetkellä t = 0 65-vuotiaiden USA:laisten naisten kuolevuudesta Optimiallokaatio laskettiin eri riskiaversioparametrin arvoille γ Mitä suurempi riskiaversio, sitä merkittävämmin vastuista riippuvien strategioiden lisääminen pienentää suojaustehtävän riskiä Portfolio-optimointitehtävän riskiin kuolevuudesta riippuvien strategioiden lisäämisen vaikutus oli lähes olematon γ = 0.05 γ = 0.1 γ = 0.3 γ = 0.5 c t = S t c t = 0 c t = S t c t = 0 c t = S t c t = 0 c t = S t c t = 0 Kantastrategiat Ei-VR Kaikki Vähennys (%)

29 Yhteenveto Työssä esiteltiin yksinkertainen stokastinen malli kuolevuuden ja finanssimarkkinoiden pitkän aikavälin kehitykselle ja yhteyksille Mallia ja numeerisia menetelmiä hyödyntäen kuolevuudesta riippuvalle kassavirralle konstruoitiin suojausstrategioita Osoitettiin, että kuolevuudesta riippuvien vaateiden huomioiminen sijoitusstrategioiden valinnassa auttaa pienentämään suojaustehtävään liittyvää riskiä

30 Lähteet H. Aro and T. Pennanen, A user-friendly approach to stochastic mortality modelling. European Actuarial Journal, H. Aro and T. Pennanen, Stochastic modelling of mortality and financial markets. Scandinavian Actuarial Journal, to appear. H. Aro and T. Pennanen, Liability-driven investment in longevity risk management. Submitted. D. Duffie and K. Singleton, Credit Risk: Pricing, Measurement and Management. Princeton University Press, Princeton, N.J., P. Hilli, M. Koivu and T. Pennanen, Cash-flow based valuation of pension liabilities. European Actuarial Journal, P. Hilli, M. Koivu and T. Pennanen, Optimal construction of a fund of funds. European Actuarial Journal, S. H. Preston, The changing relation between mortality and level of economic development. Population Studies, 29(2), D. Wheelock and M. Wohar, Can the term spread predict output growth and recessions? Federal Reserve Bank of St. Louis Review: , 2009