2. Saastuminen: Saastetyypit, saastehaitat ja päästöjen puhdistus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2. Saastuminen: Saastetyypit, saastehaitat ja päästöjen puhdistus"

Transkriptio

1 12 2. Saastuminen: Saastetyypit, saastehaitat ja päästöjen puhdistus Tässä luvussa tuotetaan käsitteet varsinaisen ympäristöpolitiikan analyysiin Jaksossa 2.1 luonnehditaan saastumista ja päästöjä, tavoitteena on hahmottaa ytt:n näkökulmasta saastumisen & päästöjen yleiset perusominaisuudet Jakson 2.2 tavoitteena on tuottaa puhdistukseen liittyvät kustannusja hyötykäsitteet. H-S-W:n luku 11 Controlling Water Pollution sisältää pääosan jaksoissa käsiteltävistä asioista 2.1 Saastuminen ulkoisvaikutuksena a) Saastetyyppien ja kuormittajien luonnehdintaa - Käsitteitä: - Saastuminen/ympäristön pilaantuminen (pollution/ degradation): päästön/saastuttavan jätteen vaikutus vastaanottavassa elementissä (vesi, maa, ilma) esim. vesistöjen rehevöityminen; maan happamoituminen; kasvihuoneilmiö - Päästö (emission) on tuotannosta tai kulutuksesta tuleva virta jätettä, joka aiheuttaa saastumista (esim. vesiin tulevat fosfori- ja typpipäästöt, jotka aiheuttavat rehevöitymistä tai ilmaan tulevat rikki- ja typpioksidipäästöt, jotka aiheuttavat maan happamoitumista) - Kuormitus (load) viittaa yleensä vastaanottavaan elementtiin kertyviin päästöihin ja erityisen usein vesistöihin tuleviin päästöihin ja termissä on mukana ajallinen aspekti, päästöjen kertyminen Kun ryhdytään miettimään saastumisen rajoittamista, on tarpeen että osaamme erotella juuri taloudellisen tarkastelun näkökulmasta, millaisia eri saasteet ovat ja millaisia erilaiset saastuttajat ovat

2 13 Eräs hyödyllinen tapa jakaa eri saastetyypit on katsoa niitä kahden prisman lävitse: - pystyykö luonto hajottamaan niitä vai ei - kuinka saasteet leviävät ympäristöön A. Jako luonnon hajottamiskyvyn mukaan Kumuloituvat saasteet (stock, persistent pollutants): luonto ei kykene hajottamaan näitä laisinkaan, vaan ne kasaantuvat luontoon ja rikastuvat ravintoketjuihin - esim. raskasmetallit, elohopea, DDT, PCB Hajoavat saasteet (flow pollutants): luonto kykenee hajottamaan näitä, kunhan saasteiden määrä ei ylitä vastaanottavan aineen puhdistuskykyä - esim. typpi- ja fosfori B. Jako päästöjen leviämisen mukaan Paikalliset saasteet: päästöt jäävät päästölähteen välittömään ympäristöön ovat siis ainutkertaisia tapauksia ohjauksen näkökulmasta Alueelliset/epätasaisesti leviävät saasteet (regional, nonuniformly mixed pollutants): päästöt kulkeutuvat lähialuelle, joskus jopa varsin kauaskin - laskeuma (ilmasta) tai pitoisuus (vedessä) vähenee loitottaessa päästölähteestä - hapan laskeuma tai veden laatu Itämeressä Globaalit/tasaisesti leviävät saasteet (global, uniformly mixed pollutants): päästöt leviävät tasaisesi yli koko maapallon olipa päästölähde missä tahansa (ovat ilmansaasteita - esim. hiilidioksidi, CFC-kaasut Kysymys: osaatko eritellä, mitä implikaatioita näillä jaoilla voisi olla saasteiden rajoittamispolitiikalle? - hajoamisaspekti - leviämisaspekti

3 14 Kuormittajien suhteen seuraava perusjako on hyödyllinen: a) pistemäiset kuormittajat (point source polluter) - tehdas, jätteenkäsittelylaitos tms., jossa päästöt tulevat piipusta tai putkesta - päästöjen mittaus ja monitorointi on helppoa b) hajakuormittajat (non-point source polluter) - päästöt tulevat luontoon ei-mitattavasta pisteestä - yksittäisen kuormittajan päästömäärä erittäin vaikea mitata - suurin hajakuormittaja on maatalous, josta ravinteet huuhtoutuvat pelloilta sulamisvesien ja sateiden mukana c) liikkuvat kuormittajat (mobile polluters) - autot, lentokoneet, laivat b) Saastuminen ulkoisvaikutuksena Marshall & Pigou: ulkoisvaikutus (externality) Tarkka määritelmä: Ulkoisvaikutuksesta on kyse aina silloin, kun jonkin taloudenpitäjän tuotanto- ja kulutuspäätökset vaikuttavat jonkin toisen taloudenpitäjän hyötyyn tai tuotannon ehtoihin ilman, että tästä vaikutuksesta on suoritettu maksua. Huomautuksia määritelmään: - termi ulkoisvaikutus kuvaa siis sitä, että esiintyy aidosti taloudellinen vaikutus, joka ei kuitenkaan ilmene hintajärjestelmässä, vaan on sille ulkoinen - positiivinen ulkoisvaikutus: nostaa toisen taloudenpitäjän hyötyä tai parantaa tuotannon ehtoja - negatiivinen ulkoisvaikutus: laskee hyötyä tai heikentää tuotannon ehtoja - saastuminen on luonteeltaan negatiivinen ulkoisvaikutus Kysymys: mikä on taloudellinen syy saastumiselle ulkoisvaikutuksena?

4 15 Vastaus: omistusoikeuksien määrittelemättömyys: kukaan ei omista, eikä voikaan omistaa, puhdasta vettä tai ilmaa - puhdas ilma, valtameret, pohjavedet yms. ovat ns. yhteisomistusresursseja (common property resources), joille on tyypillistä se, että kenelläkään ei ole taloudellinen määräysvaltaa koko resurssin käyttöön; tästä johtuen ne ilmaishyödykkeitä - koska ne ovat ilmaishyödykkeitä päästöjen säilyttämisen suhteen, kuormittajan kannattaa laskea päästöjä niin paljon, että rajahyöty on nolla. Täten on selvää, että saastehaitat nousevat suuriksi, jos niihin ei puututa - kansallisvaltio voi yrittää lainsäädännön kautta tulkita, kenellä oikeus puhtaaseen ympäristöön; usein implisiittinen oikeus on saastuttajalla Ulkoisvaikutusten esiintyminen taloudessa synnyttää monenlaisia kysymyksiä: - kuinka suureen hyvinvointitappioon ulkoisvaikutus johtaa? - tuleeko ulkoisvaikutus yrittää sisäistää julkisen vallan toimin, vai luotetaanko markkinoiden kykyyn selvitä ongelmasta? - jos ulkoisvaikutus sisäistetään, niin millaisin keinoin, eli millaisilla kannustinjärjestelmillä taloudenpitäjät saadaan toimimaan niin, että optimi saavutetaan? Kaksi kilpailevaa lähestymistapaa saasteongelmien ratkaisemiseen ns. pigoulainen vs. ns. coaselainen lähestymistapa: pigoulainen lähestymistapa: - ulkoisvaikutukset yleensä ja siis saastuminen erityisesti tulee sisäistää julkisen vallan interventiolla markkinoille - sisäistäminen: asetetaan erilaisia ohjauskeinoja, esim. veroja, joille tuotetaan hinta saastumiselle, jotta sen määrä saadaan laskemaan halutulle tasolle coaselainen lähestymistapa: - julkisen vallan interventio markkinoille ei ole suotavaa - oikeampi tapa on edistää omistusoikeuksien täsmällistä määrittelyä - näin edistetään markkinoiden tehokuutta & samalla vältetään valtiointervention tehokkuustappioita

5 16 kansallisvaltiot noudattavat poikkeuksetta pigoulaista politiikkaa, mutta coaselaisen lähestymistavan mukainen omistusoikeuksien korostaminen on useissa yhteyksissä osoittautunut hedelmälliseksi sekä teoreettisessa työssä että käytännön ympäristöpolitiikassa (Coaseen palaamme vielä myöhemmin) 2.2 Saastumiseen liittyvät ympäristöhaitat ja kustannukset Jotta voimme analysoida ympäristöpolitiikkaa, meidän on tiedettävä, kuinka paljon haittaa päästöistä aiheutuu ja kuinka kallista päästöjen vähentäminen on Tavoitteena on pyrkiä ilmaisemaan haitat ja kustannukset rahassa: - empiirisesti se on usein vaikeaa, joskaan ei kaikin osin mahdotonta - teoreettisessa tutkimuksessa mittausongelmiin ei tarvitse kiinnittää erityistä huomiota. Kirjallisuudessa on kaksi perustapaa määrittää saastumiseen liittyvät puhdistuskustannukset ja haitat: (i) TAPA: kustannukset ilmoitetaan puhdistustoimien avulla ja puhdistuksesta koituva hyöty tulee koetusta haitan laskusta (ii) TAPA: hyöty päästöistä = vältetyt puhdistuskustannukset (kuormittajan hyöty) ja haita = koettu haitta päästöistä - Me katsomme tässä molemmat tavat. YE 3-kurssi hyödyntää pääosin tapaa (i) ja H-S-W taas tapaa (ii) - Esitystavat vastaavat toisiaan ja ovat siten ihan yhtä hyviä, mutta puhdistusmäärän avulla kirjoitettua puhdistuskustannusfunktiota käytetään ehkä useammin (i) Tapa: kustannukset ja hyödyt puhdistustoimien avulla A. Puhdistuskustannusfunktio - Tarkastellaan sellaista päästöä, joka on välttämätön tuotannossa ja jota ei voida kokonaan eliminoida, eli ympäristöpolitiikan ongelma on reaalinen

6 17 - päästöjen puhdistuskustannusten määrittely vaatii runsaasti insinööritietoa - On luontevaa ajatella, että yksi puhdistusyksikkö poistaa yhden yksikön saastetta - Päästöjä voidaan puhdistaa monin keinoin, esim. - korvataan tuotannossa se panos, josta päästöjä tulee toisella, vähemmän saastuttavalla panoksella - tehostetaan tuotantoprosessia tehokkaammaksi raaka-aineiden käytössä - tehdään jätteistä sivutuotteita - neutraloidaan/puhdistetaan loput, jne. - insinööritieteellinen puhdistuskustannusfunktio saadaan järjestämällä kaikki mahdolliset puhdistustoimet niiden päästöjen vähentämiskyvyn ja koituvien kustannusten suhteen halvimmasta kalleimpaan: - Piirretään alle sama kuvio, mutta nyt jatkuvana funktiona ja merkitään jatkoa varten, tätä kokonaispuhdistuskustannus- funktiota symbolilla CC (control costs) Huom.: CC-funktion muoto on sama saasteista toiseen, eli

7 18 - päästöjen puhdistus on aluksi halpaa, mutta jossain vaiheessa kustannukset alkavat nousta jyrkästikin - jossain vaiheessa, kun teknisiä keinoja puhdistukseen ei enää ole, CCkäyrä muuttuu pystysuoraksi, eli uusien saasteyksiköiden puhdistamisen kustannus on ääretön - Jatkossa (YE3) tulemme käyttämään usein CC-funktiota, joka on seuraavaa muotoa (eli, jos koulusta muistatte, paraabeli): 1 CC ( q) q, missä q on puhdistettu määrä 2 - Määrittelemme yo. puhdistuskustannusfunktion vain positiivisille q:n arvoille - Kokonaispuhdistuskustannusfunktiosta saamme rajapuhdistuskustannusfunktion (MCC). Teknisesti MCC on CC:n derivaatta - MCC kertoo kuinka paljon yhden lisäpäästöyksikön puhdistus maksaa - Yllä olevasta CC:sta saatava MCC-käyrä on suora MCC q, missä määrittää pystyakselin leikkauspisteen ja on suoran kulmakerroin, joka osoittaa, kuinka voimakkaasti kustannukset nousevat puhdistetun määrän kasvaessa. Graafisen esityksen ominaisuuksia: päästöt & puhdistus Päästöjen puhdistaminen merkitsee päästömäärän laskua - voimme luontevasti kuvata samassa graafisessa esityksessä puhdistusta ja päästömäärää - yksi yksikkö puhdistusta = poistettu saasteyksikkö, joten q z - Otetaan tarkastelua varten seuraavat merkinnät q = puhdistuksen taso, jolla saastemäärä on nolla, z = 0 z = päästöjen määrä alkutilanteessa, jolloin q = 0 - Tällöin voimme merkitä ne kuvioon seuraavasti:

8 19 Esimerkki: - Yrityksen päästöjen määrä alussa on 20, eli z 20. Tällöin kaikki päästöt on puhdistettu, kun q 20 - Valtio jakaa tälle yritykselle päästöoikeuksia määrän 8; merkitse se kuvioon MCC:n ominaisuuksia - kertoo CC:n kulmakertoimen sen kussakin pisteessä - jos laskemme MCC:n alapuolisen pinta-alan, se kertoo puhdistuksen kokonaiskustannukset - MCC sisältää siis saman informaation kuin CC Numeerinen esimerkki: Rajapuhdistuskustannukset Olkoon rajapuhdistuskustannus MCC q. Kuinka suuri on rajakustannus, kun puhdistus on 50? Kuinka suuri tällöin on kokonaispuhdistuskustannus?

9 20 B. Saastehaitat/puhdistuksesta koituva hyöty luontevaa ajatella, että koettu saastehaitta kasvaa, kun saasteen määrä kasvaa - esim.: vauriot rakennuksille, metsän kasvulle, terveydelle yms. - tällaisten asioiden arvioiminen rahassa on vaikeaa, joidenkin mielestä mahdotontakin, mutta teoreettiseen tarkasteluun meille riittää järkevä oletus sen muodosta: haitta kasvaa saastemäärän myötä Haittafunktion kuvaaja voisi näyttää tällaiselta Kun käytetään puhdistuslähestymistapaa, puhdistuksen tuoma haitan lasku on puhdistuksesta koituva hyöty. Hyöty puhdistuksesta kasvaa puhdistetun määrän myötä, koska koettu saastehaitta laskee Merkitään kokonaishyötyä puhdistetun määrän funktiona symbolilla BB(q) (benefit function). Millainen on puhdistuksesta koituvan hyötyfunktio muoto? Se voisi näyttää tällaiselta Jatkossa tulemme käyttämään seuraavan kaltaista puhdistuksen hyötyfunktion kuvaajaa: 1 BB ( q) ( a bq) q, 2

10 21 se kertoo mikä on puhdistuksen tuoma kokonaishyöty eri puhdistuksen tasoilla ja sitä kautta kääntäen, kuinka haitat laskevat. Kokonaishyötyfunktiosta saamme rajahyötyfunktion MBB(q): se kertoo kuinka hyöty laskee, kun päästöjä puhdistetaan yksi lisäyksikkö, eli MBB saadaan BB:n derivaattana MBB ( q) a bq - kertoo kuinka suuri on hyöty yhden lisäyksikön puhdistamisesta MBB:n ominaisuuksia - myös MBB sisältää saman informaation kuin BB, - MBB:n alapuolinen alue kuvaa pinta-alana puhdistuksesta koituvaa kokonaishyötyä - MBB kertoo BB:n kulmakertoimen kussakin pisteessä - graafisesti; Numeerinen esimerkki: Puhdistuksen hyödyt 1 Hyöty puhdistuksesta: BB ( q) (1000 4q) q 2 - Hyöty puhdistuksesta kun q = 0, on 0. Kun q = 2 hyöty on BB = = Kysymys: paljonko kokonaishyöty kasvaa, jos puhdistettu määrä nousee 5:stä 10:een? - Vastaus:

11 22 Rajahyötyfunktio: - Sanoimme edellä, että rajahyötyfunktio saadaan derivoimalla BB:tä ja merkitsimme MBB ( q) a bq - Derivoimalla BB(q)-funktion, saamme MBB = q - MBB:n kuvaaja: - - Analogisesti aiemman kanssa voimme kysyä esim., - jos päästöjä puhdistetaan 25 yksikköä, paljonko on rajahyöty - jos puhdistus nousee 25 yksiköstä 50 yksikköön, niin paljonko rajahyöty laskee (ii) Tapa: kustannukset ja haitat saastemäärän avulla Vaihtoehtoisesti voimme kuvata saastehaittoja ja puhdistuskustannuksia saastemäärän eikä puhdistuksen funktiona. Kumpikin tapa tuottaa analyysissa saman tuloksen. A. Saastehyödyt: kuormittajan vältetyt puhdistuskustannukset - - Idea: jos yritys saa saastuttaa vapaasti, niin se säästää rahaa vältettyjen puhdistuskustannusten muodossa. Vältetyt puhdistuskustannukset ovat yrityksen hyöty saastuttamisesta

12 23 - Graafisesti hyöty vältetyistä puhdistuskustannuksista näyttää seuraavalta: - Merkitään saastemäärää z:lla, kuvion mukainen yrityksen kokonaishyöty saastuttamisesta voidaan esittää meidän tarkoituksiimme soveltaen: B z) ( 1 z) z ( 2 Täten (derivoimalla) saadaan yrityksen rajahyöty saastuttamisesta MB z missä = pystyakselin leikkauspiste ja = suoran kulmakerroin - graafisesti HUOM: Kun yritys joutuu vähentämään päästöjään alkuperäisestä määrästä z, niin luettaessa MB(z)-käyrää vasemmalle se osoittaa yrityksen kustannukset. Siksi MB(z)-käyrää kutsutaan usein MACkäyräksi, eli -MB(z)= MAC. B. Haitat saastumisesta - Saastehaittojen idea on yksinkertainen: mitä enemmän saastetta luontoon, sitä suuremmat haitat (DF = damage function)

13 24 - Graafisesti saastehaita voisivat näyttää seuraavilta: - Jos jälleen merkitsemme saastemäärää z:lla, niin analyyttisesti voimme ilmasta: DF a 1 bz) z ( 2 Rajahaitta saadaan yllä olevasta yhtälöstä derivoimalla: MDF a bz missä a = pystyakselin leikkauspiste b = suoran MDF-suoran kulmakerroin MBB & MCC (MAC & MDF) funktiot ovat nyt analyyttinen työkalumme ympäristöpolitiikan tarkasteluun.

H-S-W:n luku 11 Controlling Water Pollution sisältää pääosan jaksoissa käsiteltävistä asioista ja luku 7.4 kattaa jakson 2.5.

H-S-W:n luku 11 Controlling Water Pollution sisältää pääosan jaksoissa käsiteltävistä asioista ja luku 7.4 kattaa jakson 2.5. 12 2. Kansallisen saastekontrollin teoriaa Aloitamme tämän osan valmistelevilla jaksoilla 2.1 ja 2.2. - Jakson 2.1:n tavoitteena on hahmottaa ytt:n näkökulmasta saastumisen & päästöjen yleiset perusominaisuudet

Lisätiedot

Luku 34 Ulkoisvaikutukset

Luku 34 Ulkoisvaikutukset Luku 34 Ulkoisvaikutukset Markkinoiden kilpailutasapaino ei ole Pareto-tehokas, jos taloudessa esiintyy ulkoisvaikutuksia. Kertaus: Pareto-tehokas tasapaino on tasapaino, jossa yhden toimijan asemaa markkinoilla

Lisätiedot

Luku 34 Ulkoisvaikutukset

Luku 34 Ulkoisvaikutukset Luku 34 Ulkoisvaikutukset Markkinoiden kilpailutasapaino ei ole Pareto-tehokas, jos taloudessa esiintyy ulkoisvaikutuksia. Kertaus: Pareto-tehokas tasapaino on tasapaino, jossa yhden toimijan asemaa markkinoilla

Lisätiedot

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla

Lisätiedot

3.1 Optimaalinen puhdistus ja ympäristön laatu. Optimaalisen saastekontrollin teorian perusidea on seuraava:

3.1 Optimaalinen puhdistus ja ympäristön laatu. Optimaalisen saastekontrollin teorian perusidea on seuraava: 25 3. Optimaalisen saastekontrollin teoria Asetutaan hetkeksi vaikkapa juuri valitun ympäristöministerin asemaan, ja kysytään mitä päätöksiä hänen tulee tehdä saastumisen suhteen. Eräs vastaus voisi olla,

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia

Lisätiedot

ill 'l' L r- i-ir il_i_ lr-+ 1r l

ill 'l' L r- i-ir il_i_ lr-+ 1r l ir a I - --+,.---+-,- i-ir il_i_ lr-+ 1r l rl ill 'l' L r- T- 'l rl *r- I s. ;l -' --S"[nJ+&L rlr D Ur-r^^;lA_e^ 3. Piirrä indi erenssikäyrät korille ( ; x 2 ); kun on tavallinen hyödyke, ja x 2 on tavallinen

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 5. www-harjoitusten mallivastaukset Tehtävä 1 Ratkaistaan tasapainopiste yhtälöparista: P = 25-2Q P = 10 + Q Ratkaisu on: Q = 5, P = 15 Kuluttajan ylijäämä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Viime kerralta Luento 9 Myyjän tulo ja kysynnän hintajousto

Viime kerralta Luento 9 Myyjän tulo ja kysynnän hintajousto Viime kerralta Luento 9 Markkinatasapaino Markkinakysyntä kysyntöjen aggregointi Horisontaalinen summaaminen Eri kuluttajien kysynnät eri hintatasoilla Huom! Kysyntöjen summaaminen käänteiskysyntänä Jousto

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Taloustieteen oppikirja, luku 4) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

1. Notaatio. Ja mitä se tarkoittaa

1. Notaatio. Ja mitä se tarkoittaa YLE4 2017 Sisältö 1. Notaatio 2 2. Julkishyödykkeet ja ulkoisvaikutukset 4 3. Yrityksen tavoitteet ja valintamuuttujat 9 4. Ohjauskeinojen asettaminen globaalille saasteelle 10 4.1. Kustannukset ja haitat

Lisätiedot

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy www-harjoitusten mallivastaukset

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy www-harjoitusten mallivastaukset TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2017 5. www-harjoitusten mallivastaukset Tehtävä 1: Tuotteen X kysyntäkäyrä on P = 25-2Q ja tarjontakäyrä vastaavasti P = Q + 10. Mikä on markkinatasapinopiste

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten

Lisätiedot

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n. Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) 8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero Y56 Kevät 2010 1 Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti 30.3. klo 12-14 (luennolla!) Opiskelijan nimi Opiskelijanumero Harjoitus 1. Tuotantoteknologia Tavoitteena on oppia hahmottamaan yrityksen tuotantoa

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Funktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.

Funktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. n ja muuttujan arvon laskeminen on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. ESIMERKKI Tarkastele funktiota f() = + 7. a) Laske funktion arvo, kun =. b) Millä muuttujan

Lisätiedot

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi 1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Miten politiikkaohjauksella voidaan vaikuttaa maatalousympäristöön?

Miten politiikkaohjauksella voidaan vaikuttaa maatalousympäristöön? Miten politiikkaohjauksella voidaan vaikuttaa maatalousympäristöön? Jyrki Aakkula MMT, ympäristötutkimuksen johtaja MTT (Maa- ja elintarviketalouden tutkimuskeskus) Kartano, 31600 Jokioinen email: jyrki.aakkula@mtt.fi

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

7. Maatalouden hajakuormitus, ympäristöpolitiikka ja epäsymmetrinen informaatio

7. Maatalouden hajakuormitus, ympäristöpolitiikka ja epäsymmetrinen informaatio 122 7. Maatalouden hajakuormitus, ympäristöpolitiikka ja epäsymmetrinen informaatio Tähän saakka olemme tarkastelleet yksinomaan pistemäisiä kuormittajia, joiden päästöt tulevat selkeästi jostain piipusta

Lisätiedot

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Lyhyt, kevät 2016 Osa A Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,

Lisätiedot

Kuluttajan valinta ja kysyntä. Viime kerralta. Onko helppoa ja selvää? Mitä tänään opitaan?

Kuluttajan valinta ja kysyntä. Viime kerralta. Onko helppoa ja selvää? Mitä tänään opitaan? 6..00 Viime kerralta Kuluttajan valinta ja kysyntä Y56 Luento 3 5..00 Preferenssit valintojen arvostus, järjestäminen Indifferenssikäyrät Rajakorvattavuussuhde Hyöty Hyötyfunktiot Rajahyöty Onko heloa

Lisätiedot

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P Osa 5. Joustoista Kysynnän hintajousto (price elasticity of demand) mittaa, miten kysynnän määrä reagoi hinnan muutokseen = kysytyn määrän suhteellinen muutos jaettuna hinnan suhteellisella muutoksella

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi 1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat

Lisätiedot

Luku 14 Kuluttajan ylijäämä

Luku 14 Kuluttajan ylijäämä Luku 4 Kuluttajan ylijäämä Tähän asti johdettu kysyntä hyötyfunktioista ja preferensseistä, nyt päinvastainen ongelma: eli kuinka estimoida hyöty havaitusta kysynnästä. Mitattavat ja estimoitavat kysyntäkäyrät

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p) Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI 1a. Täydellisen kilpailun vallitessa yrityksen A tuotteen markkinahinta on 18 ja kokonaiskustannukset

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 2016

Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 2016 tudent: ate: Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 016 Assignment: 016 www 1. Millä seuraavista tuotteista on itseisarvoltaan pienin kysynnän hintajousto? A. Viini B. Elokuvat

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13)

7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13) 7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13) Tavaroiden ja palvelujen tuotanto tapahtuu yrityksissä Yritykset tuntevat niiden valmistukseen tarvittavan teknologian teknologia on

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Johdanto Itämeren ja valumaalueen. taloustieteellinen näkökulma. Kari Hyytiäinen

Johdanto Itämeren ja valumaalueen. taloustieteellinen näkökulma. Kari Hyytiäinen Johdanto Itämeren ja valumaalueen tutkimukseen: taloustieteellinen näkökulma Kari Hyytiäinen www.helsinki.fi/yliopisto 15.5.2014 1 Kuvamateriaali: Janne Artell, Ærtebjerg et al. 2003, HELCOM, YLE, MTV3,

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Talouskriisin vaikutukset Itämeren tilaan

Talouskriisin vaikutukset Itämeren tilaan Tieteen päivät 9.1. 2013 TALOUS KRIISIN VAIKUTUS YMPÄRISTÖÖN Päärakennus, sali 13 Talouskriisin vaikutukset Itämeren tilaan Markku Ollikainen Ympäristöekonomian professori Taloustieteen laitos, Helsingin

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13)

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13) 8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13) Tavaroiden ja palvelujen tuotanto tapahtuu yrityksissä Yritykset tuntevat niiden valmistukseen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman

Lisätiedot

Johtamisen haasteet ympäristöpolitiikan toteuttamisessa

Johtamisen haasteet ympäristöpolitiikan toteuttamisessa Johtamisen haasteet ympäristöpolitiikan toteuttamisessa Ulla Koivusaari 29.11.2007 Studia Generalia - luentotilaisuus Työelämäosaamisen edistäminen Pirkanmaalla 1 Sisältö Kestävä kehitys ja sen uhkatekijät

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Tukijärjestelmät ilmastopolitiikan ohjauskeinoina

Tukijärjestelmät ilmastopolitiikan ohjauskeinoina Tukijärjestelmät ilmastopolitiikan ohjauskeinoina Marita Laukkanen Valtion taloudellinen tutkimuskeskus (VATT) 26.1.2016 Marita Laukkanen (VATT) Tukijärjestelmät ja ilmastopolitiikka 26.1.2016 1 / 13 Miksi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo

KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo 1 KA 1 2009, tentti 14.10. 2009 (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo ÄLÄ IRROTA PAPEREITA TOISISTAAN! Ohjeet: Tenttikysymyksiä on kuusi (+ jokeri ohjeineen viimeisellä sivulla). Valitse tenttikysymyksistä

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

Luku 21 Kustannuskäyrät

Luku 21 Kustannuskäyrät Luku 2 Kustannuskärät Edellisessä luvussa johdimme ritksen kustannusfunktion minimoimalla ritksen tuotannon kokonaiskustannuksia. Kustannusfunktiota ja sen ominaisuuksia voidaan tarkastella graafisesti

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Y56 laskuharjoitukset 6

Y56 laskuharjoitukset 6 Y56 Kevät 00 Y56 laskuharjoitukset 6 Palautus joko luennolle/mappiin tai Katjan lokerolle (Koetilantie 5, 3. krs) to.4. klo 6 mennessä (purku luennolla ti 7.4.) Ole hyvä ja vastaa suoraan tähän paperiin.

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Rajatuotto ja -kustannus, L7

Rajatuotto ja -kustannus, L7 ja -kustannus, L7 1 Kun yritys valmistaa tuotetta jaksossa määrän q (kpl/jakso), niin kassaan kertyvä tuotto on R(q) = p q = p(q) q. Esimerkki. Jos kysyntäfunktio on p = 20 0.1q, niin tuotto funktio on

Lisätiedot

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta

Lisätiedot

Miksi vesiensuojelua maatalouteen? Markku Ollikainen Helsingin yliopisto

Miksi vesiensuojelua maatalouteen? Markku Ollikainen Helsingin yliopisto Miksi vesiensuojelua maatalouteen? Markku Ollikainen Helsingin yliopisto 3.4.2019 Taustaa Suomen sitoumukset Itämereen tulevan ravinnekuorman vähentämiseksi Typpi 2 430 + 600 *) tonnia Fosfori 330 + 26

Lisätiedot

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. .. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla

Lisätiedot