Kartioleikkaukset. MHK-SciFest 2011: työpajan Koe Matematiikka! osaraportti. Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto Joensuun kampus

Transkriptio

1 Kartioleikkaukset MHK-SciFest 2011: työpajan Koe Matematiikka! osaraportti Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto Joensuun kampus Kurssin vastaava opettaja: Martti Pesonen Opettajat: Tiina Komulainen, Eric Lehman, Eric Reyssat Vertaisohjaaja: Sini Hiltunen Ohjaajat: Ville Hautamäki ja Juha-Matti Huusko Joensuussa Tiivistelmä Raportissa esitellään Kartioleikkaukset työpajan osa-alueita Joensuussa kevään 2011 SciFest tapahtumasta sekä työpajan valmistelusta. Työpaja oli osa keväällä 2011 toteutettua laajempaa Matematiikan havainnollistaminen ja kerhotoiminta kurssia.

2 Sisällys 1 Johdanto Työpisteen pitämiseen valmistautuminen Jotain vanhaa, jotain uutta, jotain lainattua ja jotain sinistä SciFest-työpaja vuonna Osio 1. Laserkartio Osio 2. Narukaksoiskartio Osio 3. Leikatut pinnat Osio 4. Hiekkakartiot Osio 5. Piirtotyökalut Osio 6. Kartioleikkausten ominaisuuksia Osio 7. Kartioleikkaukset arkielämässä ja maailmassa Todistuksia seinillä Kokemukset ja onnistuminen Ongelmat ja suositukset jatkoa varten Lähteet Liitteet Ympyrän pinta-ala.. 20 Ellipsinpiirtolaite 23 Ellipsin pinta-ala. 25 Työpisteosioiden ohjeistus/ suomi.. 26 Työpisteosioiden ohjeistus/ englanti.. 35

3 Kartioleikkaukset Tämä on matematiikan havainnollistaminen ja kerhotoiminta kurssiin liittyvän SciFest 2011 työpajan Koe Matematiikka! työpisteraportti kartioleikkauksista. Tässä esityksessä työpajalla tarkoitetaan työpajakokonaisuutta Koe matematiikka! ja sen viiden eri työryhmän pitämiä osapajoja työpisteiksi. Kullakin työpisteellä voi olla useita osioita, jotka ovat itsenäisiä tai toisiinsa liittyviä pienimpiä toimintakokonaisuuksia.

4 1 Johdanto SciFest on vuosittainen Joensuun Tiedeseura ry:n ja Itä-Suomen yliopiston järjestämä tiede-, ympäristö- ja teknologiafestivaali lapsille, nuorille, koululaisille ja opettajille. Viides SciFest-tapahtuma järjestettiin Joensuussa. SciFest piti sisällään toiminnallisia työpajoja, kilpailuja, luentoja, vuorovaikutteisia näyttelyitä ja paljon muuta tieteeseen, ympäristöön ja teknologiaan liittyvää asiaa. Tapahtuman pääkohderyhmänä olivat vuotiaat koululaiset, lukion opiskelijat ja opettajat. Osa tapahtuman toiminnoista oli suunnattu kouluille, ja ne vaativat ennakkoilmoittautumisen ennen tapahtumaa. SciFest-tapahtumassa on myös täysin avoimia työpajoja ja luentoja, joihin kaikki kiinnostuneet saivat osallistua. [1] Itä-Suomen yliopiston matematiikan laitoksen puolesta tapahtumassa oli yksi suurempi, neljästä pajasta koostunut pajakokonaisuus, joka edellisvuoden tavoin kulki nimellä Koe matematiikka! Kartioleikkausten lisäksi mukana olivat seuraavat pajat: Monitahokkaat, Verkot eli graafit sekä Pelit. Kaikki tänä vuonna mukana olleet pajat olivat mukana myös vuonna SciFest-tapahtuma oli osa laajempaa, keväällä 2011 toteutettua Matematiikan havainnollistaminen ja kerhotoiminta kurssia (MHK), jonka pääkoordinaattorina toimi lehtori Martti Pesonen. Mukana tiiviisti olivat myös Ranskassa sijaitsevan Caenin yliopistosta Eric Lehman ja Eric Reyssant, jotka vastasivat matematiikan havainnollistamisesta sekä Tiina Komulainen Oulun yliopistosta, jonka vastuulla oli kerhotoiminta. Kaikki kolme ovat olleet mukana myös edellisinä vuosina järjestetyillä, erityisesti opettaja-linjalla opiskeleville opiskelijoille suunnatuilla kursseilla, joiden sisällöt vastaavat osittain tämänvuotista MHK-kurssia. Tänä vuonna kurssi tarjosi uutta sekä vanhoille, jo SciFestillä mukana olleille opiskelijoille sekä uusille kurssilaisille, nimittäin kurssilla hyödynnettiin vertaisohjausta. Kussakin pajassa oli mukana yksi, vuonna 2010 tapahtumassa jossain pajassa mukana ollut opiskelija, joka toimi vertaisohjaajana kahdelle uudelle MHK-kurssilaiselle. Näin tieto-taitoa voitiin siirtää ja samalla pajasta oli mahdollisuus hioa edellisvuotta parempi, sillä vertaisohjaajalla oli kokemus siitä, mikä toimi ja mikä ei. Raporttiin sisällytetään lisäksi luennoilla esitettyä matematiikkaa liittyen kartioleikkauksiin.

5 2 Työpisteen pitämiseen valmistautuminen MHK- kurssi sisälsi kaksi yhteistä lähiopetusjaksoa ja , jotka osittain valmensivat työpisteen pitämiseen, mutta lisäksi jaksoilla saatiin opetusta ja meille esiteltiin mielenkiintoisia matematiikan ongelmia, joita todella voi jatkossa käyttää hyväksi opetustyössä. Lähiopetusjaksojen välissä keskityttiin työpisteen suunnitteluun ja sen pitämiseen valmistauduttiin. Työpistetyöskentely alkoi vertaisohjaajien edellisen vuoden työpisteiden esittelyllä ja ryhmiin jaolla. Kartioleikkaustyöpisteen vastuulleen saivat Juha-Matti Huusko ja Ville Hautamäki. Vertaisohjaajana toimi Sini Hiltunen. Esittelyn jälkeen uusia ajatuksia kartioleikkauksiin liittyen haudottiin ja pidettiin muutama pohdinta-palaveri. Tutustuimme työpisteryhmänä edellisen vuoden työpistevälineisiin ja päätimme, mitkä niistä ansaitsevat paikan myös tämän vuoden tapahtumassa ja mitkä hylätään. Osaa välineistä jouduimme parantelemaan ja joitain välineitä tehtiin lisää. Välineitä valmisteltiin osaksi Puuha-Tommina tunnetun Tommi Silvennoisen avulla. Myös Välineiden valmistamiseen käytettiin aikaa kolmena päivänä noin kahdeksan tuntia aikavälillä Ohjeistuksen kirjoittamisesta työpisteille sekä suomeksi että englanniksi (liitteenä lopussa) vastasi Juha-Matti. 2.1 Jotain vanhaa, jotain uutta, jotain lainattua ja jotain sinistä Edellisen vuoden välineistä sellaisenaan mukana olivat hiekkakartiot, puiset kartiot, ellipsinpiirtotyökalu ja ellipsinpiirto nastojen, narulenkin ja kynän avulla. Myös edellisvuotisia GeoGebra-appletteja käytettiin hyväksi tänäkin vuonna. Kokonaan uutena rakennettiin naruista vastakkain olevat kartiot, joihin voitiin sovitella erilaisia GeoGebralla piirrettyjä, leikattuja ja laminoituja kartioleikkauksia. Mukaan otettiin muovailuvahat (myös väriltään sininen!), josta voitiin muovata erilaisia kartioita ja leikellä niistä kartioleikkauksia erisuuntaisin leikkauksin. Uutena saatiin myös laser (tosin laserkynä tässä vempeleessä on vain lainassa), joka peilin avulla saatiin piirtämään erilaisia kartioleikkauksia. Lisäksi kartioleikkauksia laajennettiin koskemaan avaruutta Aurinkokuntaa koskevan diaesityksen avulla. Joensuun normaalikoululta lainattua pajassa oli edellisvuoden tavoin muovinen läpinäkyvä kartio, jossa kartioleikkauspinnat näkyivät erivärisinä pintoina. Lainattua oli myös idea paraabelin ja ellipsin muotoisten peilien käytöstä, tosin välineet rakennettiin itse. Lisäksi teimme erilaisia pahvisia kartioita, joihin oli tarkoitus sovitella erilaisia ellipsejä ja huomata, että kaikenmuotoiset ellipsit sopivat kaikenlaisiin kartioihin (koon sallimissa rajoissa!). Tämä kuitenkin jäi käyttämättä, sillä pahvisista kartioista ei saatu riittävän täsmällisen muotoisia.

6 3 SciFest-työpaja vuonna 2011 Suunnittelimme loogisen, seitsemästä rastista rakentuvan kokonaisuuden, jolla ajattelimme pajan rakentuvan vierailijoille parhaiten. Pyrimme noudattamaan ennalta pohdittua järjestystä, mutta paljon jouduimme myös muuttamaan ja soveltamaan; eräs ryhmä oli 5-luokkalaisia (paja oli suunnattu yläasteikäisistä ylöspäin!), osa ryhmistä taas oli valtavan passiivisia, ja osa lähes liian innokkaita! 3.1 Osio 1. Laserkartio Tommi Itkonen rakensi lasertykin, jossa laserkynä heijasti säteen kynään nähden vinossa olevalle peilille. Peiliä pyöritti pieni moottori, jolloin säde luonnollisesti piirsi ympyrää, sillä lasersäde muodosti ilmaan kartiopinnan (Kuva 1). Kuva 1: Kaaviokuva laserkynästä ja vinosta, pyörivästä peilistä, josta heijastuva säde muodostaa ilmaan kartiopinnan. Kuva 2: Puiset kartiot.

7 Vihreä laser oli erittäin näyttävä (Kuva 3) ja laitteen avulla oli helppo havainnollistaa kartioleikkauksia. Jos systeemillä osoitetaan kohtisuorasti seinää vasten, saadaan seinälle heijastettua ympyrä. Jos taas laseria kallistetaan hieman, muodostuva kuvio on ellipsi. Kallistettaessa laseria siten, että kuvio ei kokonaisuudessaan ole seinällä, saadaan muodostettua puolestaan paraabelin ja hyperbelin kuvaajat. Tämän lisäksi käytössä olleilla muovisilla, läpinäkyvillä kartioilla (Joensuun Normaalikoulu) ja puukartioilla (Kuva 2) havainnollistettiin syntyneen kartion sijainnin ja asennon ilmassa. Seuraavassa on listattu kysymyksiä, joilla osallistujia aktivoitiin osallistumaan pajan kulkuun: 1) Minkälaista reittiä lasersäde kulkee? 2) Minkälaisen pinnan lasersäde pyyhkii? Tiedätkö pinnan nimen? Voitko keksiä itse pinnalle sopivan nimen? 3) Mitä kuviolle tapahtuu, kun varjostin viedään lähemmäs, oikein lähelle/ kauemmas, oikein kauas? Miksi näin tapahtuu? (Tästä lähtökohdasta voisi ehkä kartiota hakea.) 4) Kuvaile varjostimelle syntyviä kuvioita. Oletko kuullut kuvioiden nimiä? Voitko keksiä itse jonkin kuvaavan nimen kullekin kuviolle? 5) Piirrä kuvia erilaisista muodostuvista kuvioista tussitaululle. (Vapaalla kädellä, ei tarvitse olla tarkka.) Tämä rasti oli jo näyttävyytensä vuoksi valittu aloitusrastiksi. Laserkäyrän seuraaminen aktivoi hyvin, ja ryhmät oivalsivat hyvin, kuinka erilaisia käyriä saadaan aikaan. Usein laite annettiin jollekin ryhmäläiselle, joka sai itse kokeilla erilaisten kuvioiden aikaan saamista. Myös piirtäminen onnistui hyvin, ja se innosti etenkin nuorempia vierailijoita. Kuva 1: Lasertykki piirtämässä ympyrää. Vierellä puisen kartio ellipsi (vihreä pinta).

8 3.2 Osio 2. Narukaksoiskartio Tämä langoista tehty Kuva 14 näkyvä tuplakartio on myös tämän vuoden satoa. Naruista tehdyn kartion etuna on se, että kartion sisälle voidaan asetella erilaisia, kartiota varten valmiiksi leikattuja ja laminoituja kartioleikkauspintoja ympyröitä, ellipsejä, paraabeleja ja hyperbelejä. Pajalle osallistuneet ihmiset saivat näin itse sovittaa leikattuja pintoja kartioihin, jolloin he pääsivät kirjaimellisesti itse kokeilemaan ja tutkimaan kartioleikkauksia. Näin pystyttiin myös löytämään hyperbelin toinen haara konkreettisesti. Tällä rastilla ainut aktivoiva kysymys lienee ollut: Miten tuo nyt sopisi tuonne? Kuva 2: Narukaksoiskartio ja hyperbelin sovittaminen.

9 3.3 Osio 3. Leikatut pinnat Tällä rastilla tarkoituksena oli itse keksiä miten kartiota tulisi leikata, jotta tuloksena olisi haluttu kartioleikkaus. Pajalle osallistuneet saivat leikellä muovailuvahasta tehtyjä kartioita. Leikkaustyökaluna toimi kahden kynän välille sidottu siima. Leikkauksia löydettiin hyvin, vaikkakin usein muovailuvahaan tarttuminen oli isohko kynnys monelle. Usein tämä rasti käsiteltiin jo heti laser-rastin jälkeen, sillä se tuntui luontevalle järjestykselle. Kuva 3: Muovi- ja muovailuvahakartiot. Kuva 4: Muovailuvahakartiosta löytyy ellipsi!

10 3.4 Osio 4. Hiekkakartiot Erimuotoisten puulevyjen päälle lastatun hiekan avulla muodostettiin kartioleikkaukset ja mietittiin, minkä takia saatiin aikaan juuri kyseinen leikkaus. Kolmen erilaisen levyn avulla saatiin näkyviin hiekkaharjanteen muodostamana ellipsi, paraabeli ja hyperbeli. Ellipsi saadaan aikaan pyöreällä levyllä, jossa on pienempi pyöreä reikä laidassa. Mikäli pienempi reikä olisi levyn keskellä, hiekkaharjanne muodostaisi ympyrän, joka on ellipsin erikoistapaus. Paraabeli saadaan käyttämällä puoliympyrän muotoista levyä. Levy voitaisiin leikata myös muualta kuin keskipisteen kautta, tällöin saadaan vain erikokoinen paraabelin kaari muodostumaan hiekan harjanteesta. Hyperbeli saadaan sellaisen (suorakaiteen muotoisen) levyn avulla, jossa on kaksi pyöreää reikää lähekkäin toisiaan. Reikien ei tarvitse olla samankokoisia, mutta ne kuitenkin voivat olla samankokoiset. Hyperbelin toinen puoli muodostuu ylöspäin aukeavana kahden kuvitellun kartion leikkauskohtaan. Kuvitellut kartiot muodostuvat siten, että hiekka valuu rei istä, jolloin kartiot jäävät kärjelleen ja hiekka muodostaa niiden seinämät ympäröiden ne. Kuva 5: Levyt, joiden päälle hiekkaa kasaamalla saadaan hiekkaharjanteen muodostama ellipsi, paraabeli ja hyperbeli (vastaavassa järjestyksessä vasemmalta oikealle. Kuva 6: Vertailemalla ymmärretään ellipsin muodostuminen.

11 Kuva 7: Paraabeli ja vieressä oikealla puisesta kartiosta erotettu paraabeliosa, jonka pohja on puoliympyrä. Kuva 8: Hyperbeli muodostuu kahden kärjellään olevan kartion leikkauskohtaan. Vaakasuora viiva on levyn pinta ja levyssä olevat reiät on merkitty katkoviivoin.

12 Kuva 9: Reikien väliin hiekan harjalle muodostuu hyperbeli. Kartioleikkausten havainnollistaminen hiekan avulla jäi harmittavan vähäiseksi. Ehkä tämä johtui siitä, että hiekkalaatikolle levyineen ei oikein löytynyt sopivaa pöytäkorkeudella olevaa paikkaa pajasta. Laatikkoa pidettiin maassa, ja se tuntui olevan lähinnä tiellä. Edellisenä vuotena hiekkakartioiden kasaaminen oli lähes parasta antia pajassa. Tässä osiossa lähteenä on käytetty edellisen vuoden raporttia. [2] 3.5 Osio 5. Piirtotyökalut Pajalla oli esillä kaksi erilaista ellipsinpiirtotyökalua. Ensimmäinen (Kuva 10) perustui siihen, että polttopisteistä ellipsin kaaren pisteeseen mitattujen etäisyyksien summa on koko ajan vakio. Tässä käytettiin hyväksi kahta nastaa ja narulenkkiä sekä korkkitaulua, jolle nastat oli helppo tökätä. Eräs tapa esitellä työkalua vierailijoille oli ongelmalähtöisen kysymyksen esittäminen: Pystyisitkö piirtämään mahdollisimman hyvän ympyrän käyttämällä apuna nastaa, narulenkkiä ja kynää? Joskus naru koetettiin asettaa mahdollisimman hyvin ympyrän muotoon ja piirtää sitten ympyrä narun reunoja pitkin. Pääasiassa ympyrä kuitenkin saatiin piirrettyä mainiosti. Tästä edettiin jatkokysymyksellä: Pystyisitkö piirtämään ellipsin, jos saat yhden nastan lisää? Ellipsin piirtäminen tuotti huomattavasti enemmän ongelmia, mutta sekin onnistui kokonaisuutena ajatellen hyvin. Ellipsin piirron yhteydessä koetettiin löytää ellipsin määritelmä. Jo yläkouluikäiset pystyivät melko helposti määrittelemään ellipsin. Näin päästiin joustavasti ihmettelemään ellipsin ja ympyrän yhteyttä toisiinsa ympyrähän on ellipsin erikoistapaus, jossa polttopisteet ovat samassa pisteessä!

13 Kuva 10: Ellipsin piirtoa kahden nastan, narulenkin ja kynän avulla. Toinen piirtotyökalu (Kuva 11) on tehty pääasiassa puusta jo viime vuoden SciFestiin Japanilaisen sivuston ( Java appletin pohjalta. Eric Reyssant pohti työkalua vuosi sitten ja esitti silloin valtavan pitkän todistuksen siitä, että piirtyvä kuvio todella on ellipsi. Tänä vuonna Reyssant esitti luennoilla Huomattavasti kauniimman ja yksinkertaisemman todistuksen laitteen piirtämälle käyrälle (katso Liite 2). Työkalun tarkoituksena ei ollut määritellä kyseistä kartioleikkausta, vaan pikemminkin herättää ajatuksia siitä, että ellipsi voidaan piirtää muutoinkin kuin edellä esitetyn määritelmän perusteella. Tämän työkalun toiminnan kanssa oli koko SciFestin ajan pientä ongelmaa, ja tulevaisuudessa laitteesta tulisi ehkä tehdä toimivampi versio. Kuva 11: Ellipsinpiirtotyökalu n:o 2.

14 3.6 Osio 6. Kartioleikkausten ominaisuuksia Kuva 12: Lasersäteen heijastuminen paraabelin muotoisen peilin pinnalta. Paraabelin muotoisen peilipinnan tarkoituksena oli havainnollistaa paraabelin polttopistettä. Vierailijoita pyydettiin tarkkailemaan säteen käyttäytymistä, kun säde saapuu heijastuspinnalle vanerilevylle piirrettyjen viivojen suuntaisesti. Polttopisteen löytymistä havainnollistettiin myös asettamalla pieni puukartion kärki polttopisteeseen, tai pyytämällä asettamaan pieni puukartio pöydälle niin, että heijastuva säde osuisi aina kartioon. Kun polttopiste oli selvinnyt, kerrottiin paraabelin (paraboloidin) muotoisen peilin käytöstä esimerkiksi auton valaisimissa. Kuva 13: Lasersäteen heijastuminen ellipsipinnalla.

15 Ellipsin muotoisen peilipinnan tapauksessa työpisteen vierailijoilta kysyttiin, kuinka säde tulisi heijastaa, jotta se kulkisi toisen polttopisteen kautta. Kun kaksi edellistä vaihetta oli tällä rastilla käyty lävitse, yritettiin havainnollistaa ellipsin ja paraabelin määritelmää aiheeseen liittyvin GeoGebra-applettien avulla. Ellipsi: Kuva 14: Ellipsin määritelmä GeoGebran avulla. Paraabeli: Kuva 15: Paraabelin määritelmä GeoGebran avulla.

16 Hyperbeli: Kuva 16: Hyperbelin määritelmä GeoGebran avulla. GeoGebra-määritelmiä käytettiin lähinnä lukiolaisryhmien kanssa, ja niidenkin kanssa pääasiassa paraabelin ja ellipsin määritelmää. Määritelmien hahmottaminen appletien avulla tuntui onnistuvan hyvin. 3.7 Osio 7. Kartioleikkaukset arkielämässä ja maailmassa Viimeiselle rastille oli kasattu tilanteita arkielämästä, jotka liittyivät jollain tapaa kartioleikkauksiin. Olimme tulostaneet ja laminoineet paperille kuvia, joista osallistujat pystyivät löytämään kartioleikkauksia. Lisäksi olimme valmistelleet diaesityksen aurinkokunnasta ja sen kartioleikkauksista. 3.8 Todistuksia seinillä Varsinaisten työpisteosioiden lisäksi laitoimme muutamia, valikoituja todistuksia liittyen kartioleikkauksiin (liitteenä lopussa). Yksi todistuksista käsitteli havainnollistavalla tavalla ympyrän pinta-alaa, toinen oli Eric Reyssantin esittämä todistus ellipsin piirtotyökalulle (Kuva 13) ja kolmas oli Ville Hautamäen kandidaatin tutkielmasta valittu todistus, joka käsitteli niin ikään ellipsiä.

17 4 Kokemukset ja onnistuminen Työpiste oli melko onnistunut, tosin aiheena kartioleikkaukset on haastava; aihe on vieras ja äkkiseltään kuulostaa helposti tylsälle eikä kartioleikkauksista ellipsiä ja hyperbeliä käsitellä missään vaiheessa lukion pakollisilla kursseilla. Yläkouluikäisille taas paraabeli on vielä melko vieras. Tosin positiivista oli innostus siitä, että moni työpisteellä kävijä yllättyi kuullessaan mistä paraabeli ja muut kartioleikkausmuodot tulevatkaan! Työpisteellä työskentely oli välillä raskasta tai turhauttavaa, ei toki fyysisesti vaan lähinnä henkisesti, sillä usein tuntui että työpisteellä käynti oli vain pakkopullaa varatuilla pajoilla ja omaehtoista kiinnostusta ei juuri tuntunut löytyvän. Myös toistoa oli paljon, joka toki on luonnollista. Pajan eli työpisteen parasta antia olivat ehkäpä satunnaiset vierailijat, jotka todella osoittivat aitoa kiinnostusta ja he malttoivat keskittyä aiheeseen ja esittelykin oli näin mukavaa. Satunnaisina vierailijoina kävi paljon muiden muassa opettajia, erityisopiskelijoita ja muita vanhempia opiskelijoita eri aloilta. Työpisteistä moni oli jo ulkoasultaan kiinnostava ja tarjosi sopivan haastavia tehtäviä monen työpisteen tehtävien vaikeustasoa oli helppo muunnella vastaanottajan mukaan. Muilla työpajoilla oli myös paljon juuri tehtäviä, joihin oli helppo tarttua ohikulkumatkalla ja joiden parissa osa vietti pitkiäkin aikoja. Kartioleikkauksissa suurin ongelma on ehkä se, että erityisen mielekkäitä tehtäviä eli juuri ollut tarjolla ja moni tehtävistä oli niin sanottuja pohdiskelutehtäviä. Tänä vuonna lisäsimme aktiviteetteja viime vuoteen verrattuna, mutta silti aktiviteetit olivat jollain tapaa väkinäisiä. Emme onnistuneet saamaan pajasta riittävän mielenkiintoista. Tehtäviä ei saatu rakennettua niin, että niihin olisi voinut tarttua ilman esittelyä. Pajan rakenne oli ehdottomasti liiaksi luennoiva ja vaati kuuntelua ja tarkkaavaisuutta kuulijalta.

18 5 Ongelmat ja suositukset jatkoa varten Jatkossa työpiste tulisi rakentaa jollain tapaa helposti lähestyttävämmäksi. Ulkoasun tulisi olla houkuttelevampi ja sellainen, että ohikulkijakin uskaltaisi tulla katsomaan. Työpisteellä voisi ehkä olla tehtäviä, joissa olisi lyhyt ohje toisaalta tätä mietittiinkin, mutta tulimme siihen tulokseen, että messuilla ei moni jaksa lukea ohjeita ja niistä on hankala saada tarpeeksi täsmällisiä lyhyellä tekstillä. Niistä siis luovuttiin. Tänä vuonna työpisteellä oli runko, joka koostui edellä esitellyistä osioista. Näitä osioita käytiin ryhmien kanssa läpi joko suunnitellussa järjestyksessä tai jakamalla iso ryhmä kahteen osaan ja muuttamalla hieman järjestystä sopivasti. Tämä oli toimiva, toisaalta ei varmasti paras mahdollinen ratkaisu. Varatuilla pajoilla vierailijat saivat näin hieman luentomaisen, kuitenkin toiminnallisen esityksen kartioleikkauksista. Yleisesti SciFest-pajat olivat joko melko tylsiä ja vaikeasti lähestyttäviä tai vastaavasti mielenkiintoisia, älyllisiä haasteita tarjoavia ja kiinnostavia. Matematiikan pajoista etenkin Verkot olivat erityisen onnistunut työpiste siellä oli jatkuvasti väkeä, osa jaksoi viettää aikaa todella kauan ja imi ideoita ja tietoa itseensä. Kartioleikkauspaja ei valitettavasti tällaiseen pystynyt. Kuitenkin työpisteen pitäjät voivat todeta SciFestin olleen mukava ja positiivinen kokemus.

19 6 Lähteet [1] [2] Raportti: SciFest- 2010/ Kartioleikkaukset, Mika Koponen, Sini Hiltunen, Riina Turunen 7 Liitteet 1. Ympyrän pinta-ala. Lähde: 2. Ellipsin piirtotyökaluun liittyvä todistus. 3. Ellipsin pinta-alaa koskeva todistus 4. Työpajaosioiden ohjeet/ suomi 5. Työpajaosioiden ohjeet/ englanti

20 Todistetaan, että ympyrän pinta-ala on. Ympyrän halkaisija on ja ympyrän säde.

21 Järjestetään ympyrän sektorit uudelleen suorakaiteeksi. Mitä kapeampia sektorit ovat, sen parempi!

22 Suorakaiteen pinta-ala: = leveys x korkeus = (ympyrän säde) x (puolet ympyrän kehästä) = x =. Siis ympyrän pinta-ala on. Huom! Ympyrän kehän pituus on, joten puolet ympyrän kehän pituudesta on eli.

23 ELLIPSINPIIRTOLAITE Piste A liikkuu vaaka-akselilla ja piste B pystyakselilla. Piirtoakselissa on kolme reikää; yksi pisteelle A, yksi pisteelle B ja yksi kynälle C.

24 ,0 0, 1,, 1,. Siis 1. Nyt, joten ELLIPSIN YHTÄLÖ Kuvio on siis ellipsi. Miten vaikuttaa syntyvän ellipsin muotoon? 0 tai 1 litteä kuvio kuvio on ympyrä

25

26 Kartioleikkaustyöpaja SciFestille Ville Hautamäki Juha-Matti Huusko vertaistutorina Sini Hiltunen Tarkoituksena on edetä helpommista havainnollistuksista vaikeampiin siten, että koko ajan pyritään pohtimaan, miten kuvioita on nähty ja voidaan nähdä arkielämässä.

27 Osio 1. Laserkartio Tommi Itkonen on valmistanut laitteen, jossa on pyörivä peili ja laser, jolla saa tehtyä laserkartiopinnan. Kun laserin eteen laittaa varjostimen, saa näkyviin erilaisia kuvioita (kartioleikkauksia). Tehtäviä: Minkälaista reittiä lasersäde kulkee? Minkälaisen pinnan lasersäde pyyhkii? Tiedätkö pinnan nimen? Voitko keksiä itse pinnalle sopivan nimen? Kuvaile varjostimelle syntyviä kuvioita. Oletko kuullut kuvioiden nimiä? Voitko keksiä itse jonkin kuvaavan nimen kullekin kuviolle? Piirrä kuvia erilaisista muodostuvista kuvioista (vapaalla kädellä, ei tarvitse olla tarkka). Mitä ominaisuuksia kuvioilla on? Ovatko ne symmetrisiä? Miten kuvio muuttuu, jos varjostinta liikuttaa? Onko jotakin kiinnostavia erikoistapauksia?

28 Osio 2. Narukaksoiskartio Sallisen Tommin avustuksella teimme naruista muodostuvan kaksoiskartiopinnan Olemme valmistaneet laminoimalla mm. ellipsinmuotoisia lappuja, joita voi sovittaa tähän kartioon. Tehtäviä: Millainen tämä pinta on? Mitä eroja tällä pinnalla on laserin pyyhkimään pintaan verrattuna? Voitko keksiä itse pinnalle kuvaavan nimen? Miten löydät laserilla tehtyjä kuvioita tältä narujen muodostamalta pinnalta? Onko tämä pinta jostakin aiemmasta yhteydestä tuttu (tiimalasi)? Minkälaisen kuvion saat, jos leikkaat tätä kuviota niin, että leikkaustaso osuu tiimalasin kumpaankin osaan? Sovita valmiita laminoimalla tehtyjä lappuja narukaksoiskartioon. Leikkaa paperista itse kuvioita, joita voit sovittaa narukaksoiskartioon.

29 Osio 3. Leikatut pinnat Tutustutaan valmiiksi leikattuihin kartioihin. Lisäksi mahdollisesti leikataan styroksisia ja pahvisia malleja. Tehtäviä: Minkä suuntaisella tasolla kartiota pitää leikata, että saadaan minkinlainen kuvio? Talouspaperirullan hylsy. Minkä muotoisen pinnan talouspaperirullan hylsy muodostaa? Jos talouspaperirullan hylsyä leikataan, minkä muotoisia kuvioita saadaan? Onko lieriö erikoistapaus kartiosta? Minkälainen suhde kartiolla ja lieriöllä on toisiinsa? Missä arkielämän tilanteissa nähdään lieriöitä?

30 Osio 4. Hiekkakartiot Käyttämällä hiekkaa sekä erilaisia levyjä (joissa on pyöreitä muotoja), voidaan tehdä kartioita. Tehtäviä: Miten hiekkakartioilla voi saada tehtyä erilaisia kartioleikkauksia? Jos käyttää tahmeata pahvia, voiko kuvion saada pahville ottamalla kuvion muodostavat hiekanjyvät pahville painamalla pahvia hiekkaan?

31 Osio 5. Piirtotyökalut Kokeillaan yhdessä tai annetaan rastille osallistuvien kokeilla kartioleikkausten piirtämistä erilaisilla piirtotyökaluilla.

32 Osio 6. Kartioleikkausten ominaisuuksia Tehtäviä: Kuinka lasersäde heijastuu paraabelinmuotoisen peilipellin pinnasta? Polttopiste? Kuinka lasersäde heijastuu ellipsinmuotoisen peilipellin pinnasta? Polttopisteitä? Paraabeli, jossa etäisyys polttopisteestä = etäisyys johtosuorasta.

33 Osio 8. Kartioleikkaukset arkielämässä ja maailmassa Tehtäviä: Arkielämä Näitä kysymyksiä pyritään tuomaan esille jo aiemmilla rasteilla, jotta paja liittyy mahdollisimman sujuvasti jo alkuvaiheessa arkielämään. Missä arkielämän tilanteissa nähdään kartioita/lieriöitä? Milloin näiden avulla voidaan nähdä kartioleikkauksia (juodaan katkaistun kartion muotoisesta pahvimukista kahvia ym.)? Missä arkielämän tilanteissa nähdään kartioleikkauksia? Ovatko kaikki käyrät kartioleikkauksia? Onko vastaesimerkkejä? Jos roikotat narua pidellen sitä sen päistä, onko kuvio kartioleikkaus? Voitko nähdä asian laittamalla narun paraabelipiirustuksen viereen? Kyseessä ei ole mikään kartioleikkauksista vaan ketjukäyrä eli katenoidi. Tällaisten esimerkkien tarkoituksena ei ole hämätä vaan saada ihmiset pohtimaan. Kun asian ottaa esille tässä vaiheessa, samassa yhteydessä, ero tulee selväksi. Ahvenen ja särjen eron näkee parhaiten silloin, kun on ahven vasemmassa kädessä ja särki oikeassa. Vastaavanlainen vertaus sykloidin ja kartioleikkausten välillä: Sykloidin muodostuminen, nimi, muoto ominaisuudet? Onko sykloidi ellipsinpuolikas? Mistä tämän näkee?

34 Planeettaosio Mikä Aurinko on? Mikä Kuu on? Mitä tähdet ovat? Miten Aurinko ja Kuu liikkuvat? Minkälainen avaruus on? Miten kappaleet liikkuvat avaruudessa? Voitko piirtää kuvioita paperille? Mikä asteroidi on ja miten se liikkuu? Mikä ero on planeetalla ja asteroidilla? Miksi Maa kiertää Aurinkoa? Miten kappaleet voivat törmätä koskematta toisiinsa avaruudessa? -Kartioleikkausliikeradat ja jonkinlainen diaesitys niistä. Jos nakkaat pallon kaverille, minkälaista rataa pitkin pallo liikkuu? Voitko piirtää radan paperille? Miten tykinkuula liikkuu? Tästäkään rastista ei ole tarkoitus tehdä mitään fysiikan riemujuhlaa vaan liittää kartioleikkaukset pajaan osallistuvien elämään. Tarkoituksena ei ole tehdä pitkää diaesitystä vaan pohdituttaa asioita rastille osallistuvilla ja pyrkiä jonkinlaiseen käsitykseen siitä, miten kappaleet liikkuvat avaruudessa. Muita esimerkkejä? Onko vielä jokin paikka, jossa olet nähnyt kartioleikkauksen?

35 Conic sections Scifest Ville Hautamäki and Juha-Matti Huusko and tutor-assistant Sini Hiltunen We start with something simple and then think how we can see conic sections in everyday life. Thanks to Tommi Sallinen Tommi Itkonen Martti, Eric & Eric and all our friends

36 Set 1. Laser cone Tommi Itkonen, a physician-astronomer from Joensuu, has made this device: 1) Laser beam goes to mirror 2) Mirror spins 3) Reflected rays form a cone 4) You can have conic sections on a projection screen = plane Tasks: What kind of shapes do you see on the plane. Do you know their names? Can you make up your own names for them? Sketch some images of the shapes. (You don t need to be accurate.) What kind of properties do the shapes have? Are they symmetrical? How do the shapes change if you tilt the plane? If you move the plane further away? Can you make a circle? How can you do that/ why not? Can you make a figure 8? How can you do that/ why not? Can you make a line? How can you do that/ why not? Anything else interesting?

37 Set 2. Cone of threads Tommi Sallinen helped us to make a cone of threads = hourglass. We have made conic sections = tags, which you can put on the hourglass. Tasks: What kind of surface this is? Do you know it already from somewhere? Hourglass? How does this surface differ from the one made by laser? Do you know the name of this surface? Can you make up a name? What shapes can you find from this surface and how? Can you find all the shapes we made with laser? If you cut the hourglass by a plane so that it cuts the both parts, what kind of shape do you get? Put some tags to the hourglass. Cut your own tags to put to the hourglass.

38 Set 3. Some more sections We have wooden cones on which you can see all the sections. We also have modeling clay, which you can cut by a thread. Tasks: Make a cone of your own fashion of the modeling clay. Cut a section of your own. Paper tube. What kind of surface does a tube have? Do you know the name of this surface? Can you make up a name? Have you heard about cylinders? If you cut a cylinder, what kind of sections do you get? Make a cylinder of your own fashion of the modeling clay. Cut a section of your own. What kind of a relationship do a cone and a cylinder have? Is a cylinder an exotic cone with no vertex or with a vertex at infinity? Where have you seen cylinders (in everyday life)?

39 Set 4. Sand cones How can you make cones with sand? How can you get sections with sand? What sections can you get and how?

40 Set 5. Properties of conic sections and drawing apparatuses Tasks: How does a laser beam reflect from the surface of a parabola shaped mirror? Focus? How does a laser beam reflect from the surface of an ellipse shaped mirror? Foci? Drawing an ellipse with foci and a thread. How can you draw different kind of ellipses: longer ellipse, almost circular ellipse? Is a circle a special case of an ellipse?

41 Set 7. Conic sections in everyday life and in universe Tasks: Everyday life Where can you see cones, cylinders, conic sections in everyday life? Are all shapes conic sections? Beware! If you hold a thread or a chain from its ends, what kind of shape do you get? Is it a parabola/hyperbola? Can you find out if it is or not? It is not a conic section. It is a catenoid. This is not to confuse but to make things clear. You won t see the difference if you don t think about these things now. You know the difference of a potato and a tomato, when you have a potato on your left hand and a tomato on your right hand. Similar case: is a cycloid a half of an ellipse? What is a cycloid? Pictures of everyday life, such that you see conic sections

42 Planetary movement What is the Sun? What is the Earth? What is the Moon? How do they move? Can you draw their orbits? Other movements in space? Why does Earth go around Sun? Conic sections as orbits Orbit of a baseball and orbit of a cannonball? Diashow This is not physics special. We just try to see conic sections everywhere they are. Other examples? -Where have you have seen conic sections still?