Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla

Transkriptio

1 Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla 1. Tehtävänanto Pohdi kuinka opettaisit yläasteen oppilaille murtolukujen peruslaskutoimitukset { +, -, *, / } Cuisenairen lukusauvoja apuna käyttäen. 2. Tavoitteet Tarkoituksena on, että oppilaat saavat itse keksiä ja oivaltaa niin suuren osan opetettavasta asiasta kuin mahdollista. Oppilaat pääsevät itse tekemään, kokeilemaan ja keskustelemaan ja oppivat opettajan esityksen lisäksi oman aktiivisen tekemisen myötä. Tavoitteena on opettaa murtolukujen peruslaskutoimitukset saman- ja erinimisillä murtoluvuilla. 3. Opittavat käsitteet esimerkkien kautta määriteltyinä murtoluku: symbolinen esitys osasta jotain kokonaisuutta; esim. jos kakku jaetaan neljään yhtä suureen osaan, tällöin 3/4 on murtoluku ja kuvaa kolmea kakun neljästä osasta. osoittaja: murto- tai epämurtoluvun symbolisen esityksen yläosa nimittäjä: kuten edellä, mutta alaosa epämurtoluku: mikäli useampi kakku jaetaan neljään osaan ja otetaan osia enemmän kuin yhden kokonaisen kakun verran saadaan symbolisesta esityksestä epämurtoluku; esim. jos kolme kakkua jaetaan neljään osaan, saadaan yhteensä 3*4=12 palaa. Jos näistä otetaan vaikkapa 9, niin epämurtolukuna asia esitetään 9/4. Epämurtoluvussa otetaan siis aina enemmän kuin yksi kokonainen. Näin ollen epämurtoluvun tunnistaa siitä, että osoittaja on suurempi kuin nimittäjä. sekaluku: edellä esitetty epämurtoluku 9/4 voidaan esittää sekalukuna 2 ¼, sillä yhdeksän neljäsosaa vastaa kahta kokonaista kakkua ja lisäksi yhtä neljäsosaa. yksikkömurtoluku: tässä tapauksessa kun kakku on jaettu neljään osaan on yksikkömurtoluku ¼. Yksikkömurtoluku on siis murtoluku, jonka osoittaja on aina 1 ja nimittäjä kertoo kuinka moneen yhtä suureen osaan joku tietty kokonaisuus, tässä tapauksessa kakku, on jaettu. samannimiset (epä-) murtoluvut: mikäli nimittäjät ovat yhtä suuret, sanotaan että (epä-) murtoluvut ovat samannimiset. erinimiset (epä-) murtoluvut: mikäli vastaavasti nimittäjät ovat erisuuret, sanotaan että (epä-) murtoluvut ovat erinimiset. 4. Havainnolistamisvälineet: Cuisenairen lukusauvat Cuisenairen lukusauvat (engl. Cuisenaire Rods) ovat kokoelma eri kokoisia ja värisiä suorakaiteen muotoisia sauvoja/tankoja. Lukusauvoja on 10 eri mittaista: 1cm, 2cm,..., 10cm. Saman mittaiset lukusauvat ovat aina saman värisiä. Lukusauvojen avulla voidaan havainnollistaa mm. murtolukuja eli osia kokonaisuudesta, murtolukujen keskinäisiä suhteita ja murtolukujen laskutoimituksia. Lukusauvat näyttävät tältä (lukusauvat eivät ole mittakaavassa): valkoinen = 1 cm punainen = 2 cm vaaleanvihreä = 3 cm violetti = 4 cm 1

2 keltainen = 5 cm tummanvihreä = 6 cm musta = 7 cm ruskea = 8 cm sininen = 9 cm (Silha, 1997) oranssi = 10 cm 5. Opetuksen sisältö 5.1. Murtolukujen esittäminen lukusauvoilla Tehtäviä 1. Esitä lukusauvoilla seuraavat murtoluvut kun violetti (4 cm) sauva vastaa yhtä kokonaista: a) ¼ b) 2/4 c) 1/2 d) ¾ 2. Esitä lukusauvoilla seuraavat murtoluvut kun ruskea (8 cm) sauva vastaa yhtä kokonaista: a) 1/8 b) 3/8 c) 4/8 d) 2/4 e) 1/2 f) 5/8 g) 6/8 h) ¾ 3. Esitä lukusauvoilla seuraavat murtoluvut kun oranssin ja punaisen yhdistelmä (olk. se punoranssi, 12 cm) vastaa yhtä kokonaista: a) 1/12 b) 3/12 c) ¼ d) 4/12 e) 2/6 f) 1/3 g) 7/12 h) 10/12 i) 5/ Lukusauvaesityksen kirjoittaminen murto- tai epämurtolukuna Tehtäviä Seuraavissa tehtävissä yläpuolen sauva vastaa osoittajaa ( murtoluvun yläkertaa ) ja alapuolen sauva vastaavasti nimittäjää. Muista muistisääntö: otsa osoittaja, nenä nimittäjä. Esitä seuraavien kuvien sisältö murto- tai epämurtolukuina: a) = b) = c) = d) = 5.3. Pienimmän yhteisen nimittäjän löytäminen Kahden murto- tai epämurtoluvun pienimmän yhteisen jaettavan löytäminen on tärkeää mm. haluttaessa laskea yhteen ja vähentää toisistaan erinimisiä murtolukuja. Jos haluaisimme esimerkiksi laskea 1/3+1/6 emme voisi laskea laskua suoraan vaan meidän täytyy ensin löytää 1/3:n ja 1/6:n pienin yhteinen nimittäjä eli nimittäjän arvo, jonka avulla voimme kirjoittaa molemmat summattavat murtoluvut. Katso tehtävän kohtia e ja f. Mitä huomaat? 1/3+1/6 = 2/6+1/6 = 3/6. Entä jos meidän pitäisi löytää murtolukujen ½ ja 1/3 pienin yhteinen nimittäjä, kuinka tämä onnistuisi? Punainen sauva on 2cm ja vaaleanvihreä 3cm pitkä, kuvatkoon nämä sauvat murtolukujemme nimittäjiä. Nyt meidän täytyy muodostaa punaisista ja vaaleanvihreistä sauvoista yhtä pitkät junat (eli liittää samanvärisiä sauvoja peräkkäin) ja selvittää kuinka pitkiä nämä yhtä pitkät junat ovat. Junien pituus 2

3 kertoo meille murtolukujen ½ ja 1/3 pienimmän yhteisen nimittäjän arvon Tehtäviä Etsi pienin yhteinen nimittäjä käyttämällä lukusauvoja apuna: a) ½ ja ¼ b) 1/3 ja 1/6 c) 4/5 ja ½ d) 3/6 ja 7/12 e) 2/3 ja 2/9 f) 2/3 ja 3/ Yhteenlasku Laskettaessa yhteen murto- tai epämurtolukuja varmistetaan ensin, että yhteenlaskettavilla on sama nimittäjä eli että ne on jaettu samankokoisiin osiin. Tämän jälkeen lasketaan osoittajat yhteen. Tehdäänpä esimerkki lukusauvoilla: ¼ + 2/4 = + = = 3/4 Miksi nimittäjää eli murtoluvun alaosaa vastaavia violetteja sauvoja ei sitten lasketa yhteen? Voit ajatella kakkupaloja. Ajattele, että olet leiponut kakun, jonka leikkaat neljään yhtä suureen osaan. Syöt kakusta ensin vain yhden neljänneksen eli yhden palan, mutta koska kakku on niin hyvää syöt vielä kaksi neljännestä eli kaksi palaa lisää. Kuinka monta neljännestä olet lopulta syönyt? Olet syönyt yhden neljänneksen plus kaksi neljännestä eli yhteensä kolme neljännestä, ¼ + 2/4 = ¾. Entä jos haluamme laskea yhteen kaksi erinimistä murto- tai epämurtolukua, kuinka tällöin toimimme? Haluamme laskea ½ + 1/3 lukusauvojen avulla. Mitä meidän täytyy tehdä ensin? Täytyy löytää murtolukujen pienin yhteinen nimittäjä. Tämän teimmekin jo kohdassa 5.3 ja saimme selville, että pienin yhteinen nimittäjä näille murtoluvuille on 6. Katsotaanpa uudestaan kyseisessä kohdassa esitettyä kuvaa uudestaan: Kuinka siis voisimme kirjoittaa murtoluvut ½ ja 1/3? Käytämme tätä kuvaa apuna:. Kuusi jaettuna kahdella on kolme. Kun jaamme kahdella, saamme kaksi yhtä suurta osaa, siis kaksi puolikasta. Siis puolet kuudesta on kolme. Jos nyt ajattelemme, että vihreä 6cm pitkä pala on yksi kokonainen, joka on jaettu kuuteen osaan niin puolet näistä kuudesta osasta on kolme kuudesosaa. Siis ½ = 3/6. Samoin kuusi jaettuna kolmella on kaksi. Päättelemällä samaan tyyliin kuin yllä saamme: 1/3 = 2/6. Nyt voimme laskea alkuperäisen yhteenlaskumme: ½+1/3 = 3/6+2/6 = 5/6. 3

4 Tehtäviä Käytä lukusauvoja havainnollistamaan tehtävien ratkaisuja: a) ¼ + 2/4 = b) ½ + ¼ = c) ¼ + 2/3 = d) ½ + 3/8 = e) ½ + 2/3 = f) ¾ + 2/3 = Mieti e- ja f-kohtien vastauksia. Mitä vastaukset mielestäsi tarkoittavat? Piirrä erilaisia kuvia laskuista ja niiden ratkaisuista, esim. kakkuja/pizzoja. Koeta keksiä itse muutama samanlainen laskutehtävä kuin tässä ja ratkaise laatimasi tehtävät lukusauvojen avulla. Voit myös antaa omat tehtäväsi parillesi ratkaistavaksi ja ratkaista itse hänen laatimansa tehtävät Sanallisia tehtäviä a) Matti on jalkapalloilija ja pitää harjoituspäiväkirjaa sekä seuran harjoitusten sisällöstä että omaehtoisesti tekemistään harjoituksista. Matin tavoitteena on pomputella pallolla joka päivä ainakin 500 pompautusta tietysti mahdollisimman vähillä yrityksillä. Selaillessaan harjoituspäiväkirjaansa hän huomaa, että hän oli ensimmäisellä yrityksellään pomputellut 8/25 tavoitteestaan ja toisella yrityksellä puolet tavoitteestaan eli 500:sta. Minkä osan päivän tavoitteestaan hän oli tähän mennessä saavuttanut? b) Pekka ja Kati ostavat yhden normaalikokoisen Americana-pizzan Puistokadun Kotipizzasta. Myyjä leikkaa pizzan kahdeksaan yhtä suureen osaan ja ojentaa sitten hyvältä tuoksuvan pizzalaatikon Pekalle ja Katille. Koska on hyvä ilma he päättävät kävellä Kompassin luo Elosen portaille pizzaa syömään. Pekka syö pizzasta puolet ja Kati yhden viipaleen. Kuinka paljon he söivät yhteensä? Jääkö pizzaa jäljelle? Jos kyllä, kuinka paljon (murtolukuna)? 5.5. Vähennyslasku Kuinka voisimme laskea ½ - 1/4 lukusauvojen avulla? Ensin meidän täytyy löytää yhteinen nimittäjä. Tehdään junat nimittäjien arvoista eli 2cm ja 4cm lukusauvoista ja katsotaan milloin ne ovat yhtä pitkät: Huomaamme, että pienin yhteinen nimittäjä on 4. Kuten jo tehtävästä b) ehkä huomasit, joskus on erittäin hyödyllistä käyttää murtolukujen vähennyslaskua. Tehtävässä Pekalla ja Katilla oli yksi kokonainen pizza, josta he söivät osan mutteivät koko pizzaa. Jos tällöin halutaan tietää kuinka paljon pizzaa jäi jäljelle, tarvitsemme murtolukujen vähennyslaskua. Tehtävässä: 1 pizza = 8 viipaletta => Pekka syö puolet kahdeksasta viipaleesta eli neljä viipaletta ja Kati syö yhden viipaleen. Siis yhteensä he syövät viisi viipaletta, eli viisi kahdeksasosaa. ½ + 1/8 = 4/8 + 1/8 = 5/8. Pizzaa jää jäljelle 1 5/8 = 8/8 5/8 = 3/8, siis kolme kahdeksasosaa jää jäljelle. Esitetään sama asia lukusauvoilla: Ensin löydämme yhteisen nimittäjän: Ja tämän jälkeen laskemme erotuksen: => Ja vielä sama asia itse pizzalla: 4

5 Tehtäviä Laske lukusauvoja tai pizzakuvia apuna käyttäen. Kohdat f ja g ovat hiukan vaikeampia: a) 4/8-1/8 = b) ½ 1/8 = c) 2/3 ½ = d) 1/3 1/6 = e) ¾ - 3/8 = f) ½ + 2/3 - ¼ = g) 2/3-1/6 + ¾ = 5.6. Kertolasku Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla ja murtoluvun kertominen murtoluvulla ovat erittäin usein eteen tulevia, arkipäivän elämässä tarvittavia taitoja. Esimerkiksi alennusmyynneissä pyöriessä näistä taidoista on hyötyä Esimerkki Lasketaan ½ * 3/5 käyttämällä lukusauvoja apuna. Mikä lukusauva meidän tulisi valita vastaamaan yhtä kokonaista, jotta puolet tämän lukusauvan pituudesta olisi 5cm pitkä? Oranssi, eli 10cm sauva. Eli ensin otetaan oranssista sauvasta puolet, eli keltainen sauva ja sitten keltaisesta sauvasta 3/5. Paljonko tämä on suhteessa oranssiin sauvaan? Vastaus on 3/10. (½ * 3/5 = 1 * ½ * 3/5 = 10/10 * ½ * 3/5 = 3/10) Esimerkki Lasketaan 2 * ¼ lukusauvoilla. Mikä sauva meidän kannattaisi valita vastaamaan yhtä kokonaista? (Punainen 2cm sauva.) Miksi? (Koska 2 * 2 = 4 = 4 * 1) Siis kun kahdesta kokonaisesta otetaan yksi neljäsosa, jää jäljelle ½ Esimerkki Jyväskylän Kesport-Intersportissa on syysale, jossa kaikki lenkkarit myydään ¾ normaalista hinnasta (eli 75%:lla alkuperäisestä hinnasta, siis 25% alennuksella). Näet mainoksessa hienot lenkkarit, joiden normaali hinta on 80 ja aiot mennä ostamaan yhden parin. Paljonko sinun tulee vähintään varata rahaa mukaasi liikkeeseen mennessäsi? Kuinka lasku voidaan esittää lukusauvoilla? Ajatellaan, että 8cm lukusauva vastaa 80, siis jokainen senttimetri vastaa 10. Jaetaan 8cm lukusauva neljään yhtä suureen osaan, siis tehdään neljästä vaunusta koostuva punainen juna. Valitaan näistä kolme vaunua. 5

6 Koska sovimme, että jokainen senttimetri vastaa tässä tilanteessa 10, niin jokainen punainen sauva vastaa siis 20, sillä punaiset sauvat ovat 2cm pitkiä. Ilmeisestikin meidän on siis varattava mukaamme 3 * 20 = Tehtäviä a) ½ * 1/3 = b) 2 * 1/3 = c) ¾ * 2/3 = d) 2/3 * 5/8 = Sanallisia tehtäviä a) Pekka ja Ville pelaavat jääkiekkoa samassa joukkueessa. Kauden loppuun mennessä Pekka oli tehnyt kolme maalia jokaista Villen neljää maaliin johtanutta syöttöä kohti. Yhteensä Ville antoi kauden aikana 16 maaliin johtanutta syöttöä. Kuinka monta maalia Pekka teki? 5.7. Jakolasku Laskettaessa esimerkiksi jakolaskua 4 2 voimme muotoilla tehtävä kysymällä: Kuinka monta kertaa luku 2 mahtuu lukuun neljä? Käytämme tätä lähestymistapaa murtolukujen jakolaskua tarkastellessamme Esimerkki Lasketaan ½ 1/6 lukusauvoilla. Kysymys voidaan siis muotoilla sanallisesti seuraavasti: Kuinka monta kertaa 1/6 mahtuu lukuun ½? Voimme päätellä, että ainakin kerran, sillä jos jaamme esim. kakun kahteen yhtä suureen osaan tai kuuteen yhtä suureen osaan niin selvästi yksi kuudesosa on pienempi pala kuin yksi kahdesosa eli puolikas. Ensin meidän täytyy selvittää kohdan 5.3 tavalla lukujen ½ ja 1/6 pienin yhteinen nimittäjä eli löytää juna punaisia (2cm) lukusauvoja ja juna tummanvihreitä (6cm) lukusauvoja siten, että junat ovat yhtä pitkät: 3 punaista = 3 kertaa 2 = 6 1 tummanvihreä = 1 kertaa 6 = 6 Siis lukujen ½ ja 1/6 pienin yhteinen nimittäjä on 6. Nyt voimme jatkaa alkuperäisen tehtävä ratkaisemista eli selvittää kuinka monta kertaa 1/6 mahtuu lukuun ½. Käytämme tummanvihreää sauvaa, jonka äsken huomasimme olevan lukujen pienin yhteinen nimittäjä. Yksi kuudesosa kuudesta on yksi. Puolet kuudesta on kolme. Siis: Näemme siis, että 1/6 mahtuu puolikkaaseen (1/2) kolme kertaa. Siis ½ 1/6 = Tehtäviä a) ½ ¼ = b) ¾ ¼ = c) 5/6 5/12 = d) 2/3 1/6 = Vaikeampia tehtäviä a) 4/5 ½ = b) 2/3 ¾ = c) 1/3 ½ = 6

7 6. Lähteet Silha, Molly Learn Fractions with Cuisenaire Rods. Introduction. Banneker, B. & Manson, G. M. Introduction to Fractions Using Cuisenaire Rods. Annenberg/CPB Fractions With Cuisenaire Rods. 7