2 Laskentahilan laatiminen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Laskentahilan laatiminen"

Transkriptio

1 35 2 Laskentahilan laatiminen 2.1 Tarve Kaikessa numeerisessa simuloinnissa lähtökohtana on pukea tehtävä tietokoneen ymmärtämään muotoon. Tietokone ymmärtää vain lukuja ja ratkottaessa Navier- Stokes -yhtälöiden kaltaisia kenttäyhtälöitä, joudutaan ratkaistava alue jakamaan tavalla tai toisella diskreetteihin pisteisiin. Virtausyhtälöt ratkaistaan teknisissä sovelluksissa yleensä kontrollitilavuus- ja joskus elementtimenetelmällä. Tällöin yhtälöiden sisältämät derivaatat approksimoidaan käyttäen luotua diskreettien pisteiden joukkoa, laskentahilaa eli -verkkoa. (Englannin kielessä käytetään sekä termejä computational mesh että - grid. Yleensä käytetään jompaa kumpaa, mutta FLUEN- Tin manuaalissa mesh ja grid ovat synonyymejä). Spektraalimenetelmässä approksimointi perustuu sarjakehitelmiin, mutta näissäkin menetelmissä käytetään ns. apuhilaa. Viime aikoina on kehitetty myös ilman varsinaista laskentahilaa olevia menetelmiä (mesh-free methods), joissa laskenta-avaruuteen lisätään sopivasti valittu pisteikkö. Voidaan siis todeta virtauslaskennassa aina käytännössä olevan vaatimuksena jakaa tarkasteltava avaruus diskreetiksi pisteiköksi. Tästä toimenpiteestä käytetään joskus termiä laskenta-alueen diskretointi ja sitä ei pidä sotkea itse yhtälöiden diskretointiin, siis derivaattojen lausumiseen hilapisteikössä lausuttujen ratkaistavien suureiden avulla. Laskentahilan laadinta on monessa suhteessa tärkein osa simulointitehtävässä. Ensinnäkin hilan laatimiseen kuluu vieläkin suurin osa tehtävään kuluvasta työajasta. Hilan generointi on oma tieteenlajinsa, joka voidaan jakaa rakenteellisten ja rakenteettomien hilojen generointiin. Vaihe on osa esikäsittelyä, johon kuuluu myös geometrian mallinnus. Vaikka tälle alueelle on satsattu suuria kehityspanoksia viime vuosina, on syytä tiedostaa, että monimutkaisille geometrioille laadukkaan laskentahilan luominen on kehitysponnisteluista huolimatta vieläkin erittäin työlästä ja vaatii onnistuakseen ammattitaitoa: sekä tietoa erilaisten virtaustapausten aset-

2 2.1. TARVE 36 tamista vaatimuksista että ohjelman käyttökokemusta. Tämä johtuu siitä, että hilan laatu ratkaisee myös ratkaisun hyvyyden. Virtauslaskennassa pyritään kohti ratkaisun adaptiivisuutta, jolloin käyttäjän ei periaatteessa tarvitsisi tietää mitään tarkkuuden aiheuttamista vaatimuksista, mutta tästä tavoitteesta ollaan vielä kaukana ja on mahdollista, ettei sitä koskaan saavuteta. Virtauslaskennan eri vaiheita tarkastellaan uudelleen luvussa 9. Tässä yhteydessä voidaan todeta, että esikäsittelyn tärkeimmät vaiheet ovat rakenteen mallinnus ja laskentahilan luominen. FLUENTin perinteinen esikäsittelijä on ollut GAMBIT, jonka pääpaino on rakenteen mallinnuksessa. Ohjelmaan voidaan lukea sisään vaihtoehtoisesti myös joko koko laskentahila tai vain pinnat ja jatkaa mallinnusta GAM- BITilla (kts. kuva 1.1). Riippuu siis laskentahilan laadusta, miten hyvälaatuinen ratkaisu saadaan. Termi hyvälaatuinen tarkoittaa tässä yhteydessä, että yhtälöihin liittyvä numeerinen virhe, ns. katkaisuvirhe (kts. sivu 97), on mahdollisimman pieni. Kuten jo aiemmin korostettiin, ohjelma ratkaisee annetut yhtälöt tarkasti vasta sitten, kun tulos ei enää muutu hilaa tihennettäessä. Käytännössä tähän päästään harvoin, joten joudumme soveltamaan periaatetta ei muutu enää oleellisesti ratkaistavien ilmiöiden kannalta. Katkaisuvirheeseen vaikuttaa generoidun hilan laatu ratkaisevalla tavalla. Tässä luvussa asiaa tarkastellaan kvalitatiivisesti ja asiaan palataan vielä myöhemmin ratkaisumenetelmien yhteydessä. U Harvan hilan pisteet Tiheän hilan pisteet Tarkka ratkaisu x Kuva 2.1: Hilatiheyden vaikutuksen demonstrointi approksimoitaessa käyrää. Tarkkuuden merkitystä voidaan havainnollistaa kuvan 2.1 avulla, jossa analyyttistä käyrää on approksimoitu kahdella eri tiheydellä olevalla diskretoinnilla. Kohdassa x = 1 voidaan havaita nopeudessa u parin kymmenen prosentin virhe harvalla hilalla. Samoin nopeuden derivaatassa virhe kohdassa x = 0, joka voisi olla kiin-

3 2.2. HILATYYPIT 37 teä pinta, on kymmeniä prosentteja. Nopeuden derivaatta du/dx on mukana leikkausjännityksen ja sitä kautta kitkan laskennassa, joihin esimerkissämme tulisi siis kymmenien prosenttien virhe. Laskennassa katkaisuvirhe vaikuttaa sikäli toisin, ettei edes joka toinen piste osu kohdalleen, kuten kuvassa 2.1, vaan käyrä saisi riittämättömällä hilatiheydellä aivan toisen muodon. Kuva 2.1 ei niinkään selvitä numeerista virhettä, vaan hilan erotuskykyä eli resoluutiota erilaisten ilmiöiden kannalta. Käytännön laskentatuloksessa ovat aina mukana molemmat ilmiöt, erotuskyky ja katkaisuvirhe. Hilan valinta vaikuttaa tulokseen myös fysikaalisten mallien kautta. Esimerkiksi erilaiset turbulenssimallit vaativat kiinteiden pintojen lähellä erilaisen hilajaon. Kolmantena laskentaan vaikuttavana tekijänä on konvergenssi. Ratkaisumenetelmät ovat sellaisia, että käytetyn verkon tiheys ja muoto sekä erityisesti vääristyneet laskentatilavuudet vaikuttavat laskennan konvergenssinopeuteen. Yhteenvetona voidaan todeta laskentahilan laadinnan olevan simuloinnin aikaa vievin osa ja sen laadun vaikuttavan suuresti lopputulokseen. Laskentahila voi osoittautua sopimattomaksi lopulta vasta sen jälkeen, kun simulointi on suoritettu, mikä saattaa olla liian myöhäistä. Monimutkaisen geometrian yhteydessä esikäsittelyvaihe kokonaisuudessaan voi viedä useita kuukausia. Esimerkkinä monimutkaisesta geometriasta, jolle on laadittu tarkka laskentamalli on kuvassa Hilatyypit Yleistä Laskentahiloja on kahta perustyyppiä, joita molempia voidaan käyttää FLUENTissa, rakenteellisia (structured) ja rakenteettomia (unstructured). Virtausten laskentamenetelmät kehitettiin aluksi rakenteellisille hiloille ja jo sitä ennen karteesisille. Rakenteellinen hila on kuvassa 2.3. Koordinaatistomuunnoksella rakenteellinen hila voidaan aina saattaa tiiliskiven muotoiseksi karteesiseksi hilaksi. Tällöin voidaan käyttää samantyyppisiä ratkaisumenetelmiä kuin karteesisella. Periaatteessa myös differenssimenetelmän käyttö onnistuu kyseisen koordinaatistomuunnoksen avulla, mutta muunnos on tehtävä sellaisella tavalla, että diskretointi pysyy säilymismuotoisena. Tällainen menetelmä on sama kuin kontrollitilavuusmenetelmä. Perinteinen CFD-ratkaisija hyödyntää hilatopologian yksinkertaisuutta myös muistin hallinnassa: hila voidaan indeksoida yksikäsitteisesti kolmea indeksiä ijk käyttäen, mikä

4 2.2. HILATYYPIT 38 Kuva 2.2: Hornet-hävittäjän pintahila. K J I Hilan IJK indeksit z K J I Hilan IJK indeksit x Globaali xyz koordinaatisto y Kuva 2.3: Rakenteellinen käyräviivainen laskentahila on topologialtaan karteesisen hilan kaltainen.

5 2.2. HILATYYPIT 39 Noodi Kolmio elementti 3 noodia Suurennus Elementti numero 1 d c Elementti numero 2 a b Kuva 2.4: Perinteellinen rakenteeton laskentahila koostuu kolmioista (2D) tai tetraedreistä (3D), joita joskus nimitetään elementeiksi vaikka ratkaisu tapahtuisi kontrollitilavuusmenetelmällä. helpottaa ohjelmointia. Perinteinen rakenteeton hila koostuu kolmioista tai tetraedreistä (kuva 2.4). Tämäntyyppisiä laskentaverkkoja on pitkään käytetty elementtimenetelmässä, mistä johtuen kolmioita joskus nimitetään elementeiksi. Monet nimitykset virtauslaskennassa eivät ole vieläkään kunnolla vakiintuneet, jotkut nimeävät ratkaisutavankin käytetyn laskentahilan mukaan. FLUENTin ratkaisujärjestelmää nimitetään englannin kielessä myös termillä control volume-finite element, korostamaan rakenteettoman hilan käyttöä. Yleensä laskentahilan solmukohteita nimitetään noodeiksi (node) tai pisteiksi (point) riippumatta hilatyypistä. Koska ratkaisu esimerkiksi FLUEN- Tilla tehdään kontrollitilavuusmenetelmällä (control-volume method tai myös finitevolume method), ratkaisun perusosasia nimitetään laskentatilavuuksiksi (volume tai cell) ja suomeksi joskus myös laskentakopeiksi. Kuten laskennallisen virtausmekaniikan kursseilla on ollut puhetta, laskennan tasetilavuudet voidaan muodostaa luontevimmin hilaviivojen rajaamalle alueelle, jolloin ratkaistava suure periaatteessa määritetään kopin keskipisteessä. Toinen mahdollisuus on muodostaa kontrollitilavuus noodin ympärille, jolloin tilavuuksien pinnat ovat noodien puolivälissä. Viimeksi mainittu tapa on ollut yleisempi rakenteettomilla hiloilla, mutta FLUENTissa ja monissa muissakin koodeissa käytetään keskipisteformalismia.

6 2.2. HILATYYPIT 40 Rakenteeton hila eroaa rakenteellisesta mm. siinä, että hilatopologia ei määrää noodien tai laskentatilavuuksien naapureita yksinkertaisten ijk-indeksien avulla, vaan ohjelmassa on pidettävä kirjaa jokaisen laskentakopin naapureista. Myös yhtälöiden diskretointi ja ratkaiseminen tulevat hankalammiksi. Rakenteettoman hilan käyttö on sen sijaan kätevämpää monimutkaisten geometrioiden yhteydessä ja siihen voidaan yhdistää ratkaisun adaptiivisuus käyttäen automaattisia hilangenerointimenetelmiä FLUENTin hilatyypit Kuva 2.5: Hybridihila, jossa on sekä rakenteellisia että rakenteettomia osia. Rakenteettomien hilojen käyttö on virtausyhtälöiden numeerisessa ratkaisussa tehottomampaa kuin rakenteellisten. Tämä aiheutuu useasta osatekijästä. Virtauksen luonne on sellainen, että katkaisuvirhe on suurempi rakenteettomalla kuin rakenteellisella (tähän palataan jatkossa). Rajakerroksen laskennassa kiinteän seinän lähellä virtaus on lähes seinän suuntainen. Kaksidimensioisessa tapauksessa tarvittaisiin kolmioita kaksinkertainen määrä neliöihin verrattuna ja tetraedrejä vielä enemmän (3D), jotta saataisiin sama resoluutio kuin heksaedreillä. Tällöinkään tarkkuus ei olisi vielä sama kuin heksoilla suuremman katkaisuvirheen vuoksi. Ratkaisuksi tähän on kehitetty ns. hybridihila, jossa kiinteiden pintojen lähellä käytetään rakenteellista hilaa ja pintojen ulkopuolella rakenteetonta. Periaatteessa voimme kutsua mitä hilaa tahansa, jossa on yhdistettynä tetra- ja heksaedrejä, hybridihilaksi, vaikka täsmällisempi nimitys voisi olla vapaa- tai mielivaltainen hila (kuva 2.5). FLUENTissa käytetään tiedonhallintajärjestelmää, jossa voidaan mielivaltai-

7 2.2. HILATYYPIT 41 Taulukko 2.1: FLUENTin laskentatilavuustyypit Tyyppi kuvaus noodeja/koppi seiniä/koppi 0 seka 1 kolmio tetraedri nelikulmio heksaedri pyramidi kiila 6 5 sella käyttäjän spesifioimalla tavalla yhdistää erilaisia laskentatilavuuksia toisiinsa kuten kuvassa 2.5 on tehty. Kuvan tilanne on tietenkin esimerkinomainen, hilan topologiassa ei ole sinänsä mitään järkeä. Käyttäjän on opittava virtaustilanteen mukaan yhdistämään erityyppisiä laskentatilavuuksia. Jatkossa annetaan valinnasta yleisiä ohjeita. 2D Koppityypit Kolmio Nelikulmio 3D Koppityypit Tetraedri Heksaedri Prisma Pyramidi Kuva 2.6: FLUENTissa käytettäviä laskentatilavuustyyppejä. FLUENTin laskentatilavuustyyppejä nähdään kuvassa 2.6 ja niiden ominaisuudet sekä numerointi valikossa taulukossa 2.1. Käyttämällä eri tyyppejä sekaisin saadaan huomattava fleksibiliteetti hilan generoinnissa. Jotta erilaisia koppityyppejä voitaisiin yhdistää mielivaltaisesti ja erityisesti tehdä joustavasti hilan tihentämi-

8 2.2. HILATYYPIT 42 nen, FLUENTissa on mahdollista määritellä ns. kelluva noodi (hanging node, kts. kuva 2.7). Kelluva noodi Kuva 2.7: Laskenta-alue, jossa on ns. kelluva noodi Esimerkkejä laskennassa sovellettavista hiloista FLUENTissa on siis (mikäli asia on oikein ymmärretty manuaalista) mielivaltainen hilatopologia mahdollinen. Virtauslaskennassa on lähinnä rakenteellisten hilojen yhteydessä yleistynyt erilaisten standardihilatopologioiden käyttö. Mikäli rakenteellista hilaa käytetään, monimutkaisten geometrioiden yhteydessä joudutaan lähes aina soveltamaan ns. monilohkoista hilaa (kts. kuva 2.8). Vasemmanpuoleisen kuvan tapauksessa kolme ympyräsylinteriä on kuvattu omissa lohkoissaan, jotka liittyvät tässä tapauksessa jatkuvasti taustalohkoon. Rakenteellista hilaa soveltavassa ratkaisijassa koppien liittyminen toisiinsa eri lohkoista kuvataan tarkoitukseen sopivalla indeksointijärjestelmällä. FLUENTissa ei erillistä indeksointisysteemiä käytetä, koska aina sovelletaan mielivaltaista laskentatilavuuksien liittymistä toisiinsa. FLUENTille kaikki hilatopologiat ovat siinä mielessä rakenteettomia. Kuva 2.8: Esimerkkejä monilohkoisista rakenteellisista hiloista. Rajakerrosten kohdalla on hilassa tehtävä tihennys. Rakenteellinen hila soveltuu kohtalaisen hyvin erilaisten virtaviivaisten kappaleiden kuvaamiseen. Hilaviivat

9 2.2. HILATYYPIT 43 asetetaan tällöin kiertämään kappaletta, jolloin muodostuu eräitä perustopologioita. Puhutaan O-, C- ja H-tyyppisistä hiloista. C-tyyppinen rakenteellinen hila on kuvassa 2.9, kuvassa 2.8 on sylinterin ympärillä O-tyyppiset lohkot ja taustalla H- tyyppinen lohko. C-hila sopii hyvin tarkoituksiin, joissa syntyy vanavesi kappaleen perään. Tämä ja rajakerros saadaan hyvin kuvatuiksi tihentämällä diskretointia pinnan lähellä. Rakenteellisessa virtausratkaisijassa C-tyypin hilassa on leikkaus vanaveden keskellä. Koska FLUENT pohjautuu rakenteettomaan topologiaan, vanavedessä ei ole sen kummallisempaa leikkausta kuin muidenkaan laskentatilavuuksien välissä. Leikkausviiva Kuva 2.9: C-tyyppinen hila siipiprofiilin ympärillä Epäjatkuvat pinnat Vaikka FLUENTissa ei ole varsinaista lohkokäsitettä, kuten rakenteellisissa virtausratkaisijoissa, käytetään siinä kuitenkin ns. vyöhykkeitä (zone). Vyöhykkeiden rajalla saa olla pintoja, jotka voivat olla epäjatkuvia, ts. hilapisteet eri vyöhykkeissä eivät kohtaa toisiaan rajapinnalla (interface). FLUENTissa hilasta, joka sisältää epäjatkuvan pinnan, käytetään nimitystä nonconformal grid. Rakenteellisen hilan koodeissa epäjatkuvan reunaehdon nimityksenä on nonmatching boundary. Epäjatkuva pinta eroaa kelluvasta noodista siten, että pinta approksimoidaan kahdella eri tavalla riippuen vyöhykkeestä. Laskentakoppien pinnat koostuvat aina tasoista, jos koppien pinnat eivät ole kolmioita, ne voidaan kuitenkin jakaa osakolmioiksi. Epäjatkuvaa pintaa sovelletaan usein esimerkiksi virtauskoneiden osalta roottorin ja staattorin välissä sylinterimäisellä pinnalla. Koska koppien pinnat eivät ole kaarevia, approksimoidaan sylinteripintaa kahdella erityyppisellä murtoviivalla, kuten kuvassa 2.10 esitetään. Virtausratkaisussa lasketaan kummallakin puolella rajapintaa ratkaistavien suureiden vuot, joissa käytetään pinta-aloja. Koska pinta-alat kahden puolen rajapintaa eivät ole diskreetissä esityksessä täysin samoja, voi vuoarvoi-

10 2.2. HILATYYPIT 44 hin tulla eroa. Esimerkiksi vyöhykkeen läpi menevä virtaus voi olla hieman epäjatkuva. Tämän estämiseksi täytyy epäjatkuvalla pinnalla aina olla riittävä hilatiheys, jotta geometria olisi tarpeeksi tarkasti kuvattu. Kuva 2.10: Epäjatkuva lohkojen välinen pinta rakenteellisella hilalla. Epäjatkuva pinta voi FLUENTissa olla kahden tyyppinen (kts. kuvat 2.11 ja 2.12). Täydellisesti toisensa peittävissä tapauksissa geometriset pinnat ovat yhtä suuret, mutta diskreetissä maailmassa ne ovat siis täsmällisesti sitä vain jos rajapinta on taso. Toisessa tapauksessa (kuva 2.12) pinnat eivät ole samankokoisia. Tällöin FLUENT olettaa ylitse jäävän pinnan oleva kiinteä seinä. Tilanne tulee vastaan esimerkiksi turbokoneilla, joissa siipisolaa seuraa staattoriosa, jonka poikkipinta-ala on hieman suurempi kuin kuin siipisolan pinta-ala. rajapinta vyöhyke 1 rajapinta vyöhyke rajapinta vyöhyke 2 Kuva 2.11: Epäjatkuva pinta samankokoisten vyöhykkeiden välillä. rajapinta vyöhyke 1 rajapinta vyöhyke rajapinta vyöhyke 2 seinä vyöhyke 1 seinä vyöhyke 2 Kuva 2.12: Epäjatkuva pinta erikokoisten vyöhykkeiden välillä.

11 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 45 koppi vyöhyke 1 II I III A B C rajapinta vyöhyke 1 a b c d e rajapinta vyöhyke 2 D E F IV V VI koppi vyöhyke 2 Kuva 2.13: Kaksidimensioinen epäjatkuva pinta jaetaan vuon laskentaa varten osiin. Epäjatkuvalla pinnalla vuon laskenta tehdään osissa, joka määräytyy kahden puolen pintaa olevien laskentatilavuuksien pinnoista. Esimerkkinä voidaan tarkastella kuvan 2.13 kaksidimensioista tilannetta, jossa kaksi rakenteetonta vyöhykettä liittyy toisiinsa. Vyöhykkeessä 1 kaksi laskentatilavuutta I ja III rajautuvat pintaan. Vyöhykkeessä 2 on myös kaksi tilavuutta IV ja VI. Kokonaisuudessaan yhteinen pinta koostuu kolmesta osasta b-c, c-d ja d-e. Laskettaessa esimerkiksi massavuota koppiin IV, se lasketaan kahden pinnan b-c ja c-d avulla. Koppiin I massavirtaus tulee pinnan b-c läpi ja FLUENTissa tehdyn oletuksen mukaan pinta a-b on seinä (wall). Kuten edellä todettiin, epäjatkuvan pinnan käsittelyssä on ongelmia suureiden säilymisen suhteen. 2.3 Laskentahilan valinta Vaadittava hilan resoluutio Tarkastellaan seuraavaksi laskentahilan laadintaan vaikuttavia tekijöitä. Edellä on jo todettu, että näitä tekijöitä on runsaasti ja vasta kokemuksen karttuessa virtauslaskijalle tulee tuntumaa siihen, mitä laskentaverkolta vaaditaan kussakin tilanteessa. Aiemmin todettiin myös, että hilan laadinta on virtauslaskennan kaikkein aikaa vievin vaihe. Hyvä tulos saadaan vain työläästi, huono vähemmällä työllä. Simulointitehtävissä on siten olemassa jonkinlainen optimi siinä, kuinka paljon vaivaa kannattaa nähdä esikäsittelyssä. Tämä riippuu varatusta työajasta eli rahoituksesta ja vaaditusta tarkkuudesta. Kuvan 2.2 tapauksessa aikaa oli pakko käyttää riittävästi, koska laskentahilan on oltava hyvin korkeatasoinen aerodynaamisissa simuloinneissa. Näin ei välttämättä ole kaupallisen ohjelman manuaalin demotapauksissa,

12 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 46 joista ei pidä hilan resoluution suhteen ottaa mallia! Kuva 2.14: Vino cavity flow esimerkki FLUENTin manuaalista (vasemmmalla) ja tihennetty hila (oikealla). 6.20e-04 Kuva 2.15: FLUENTilla lasketut virtafunktion tasa-arvokäyrät kuvan 2.14 laskentahiloilla. Laskentaverkon tärkein ominaisuus on, että sillä on riittävä resoluutio tarkasteltavan ilmiön kannalta. Vaikka numeerinen menetelmä olisi periaatteessa äärettömän tarkka, sillä ei voi kuvata ilmiöitä, jotka ovat hilatiheyttä pienempiä. Tarkastellaan esimerkkinä kuvan 2.14 tilannetta, joka löytyy FLUENTin manuaalista. Kyseessä on onkalovirtaus, ns. cavity flow, jossa neste laitetaan liikkeeseen liikkuvalla yläpinnalla. Tässä tapauksessa yläpinnan nopeus on u wall = 0,1 m/s ja seinän leveys D = 0,1 m. Tiheys ja viskositeetti vastaavat likimain ilman arvoja ja Reynoldsin luvuksi (laskettava aina!) saadaan Re = 500. Kyseessä on siis laminaari virtaus. Esimerkkimme on hyvin yksinkertainen geometrialtaan ja reunaehdoiltaan, mutta sillä saadaan kuitenkin useita mielenkiintoisia asioita esille. Manuaalissa tälle harjoitustapaukselle generoidaan yksinkertainen rakenteellinen hila, joka on kuvassa 2.14 ja tätä vastaava ratkaisu kuvassa Tässä yksinkertaisessa esimerkissä nähdään sekä hilan resoluution että numeerisen virheen vaikutus. Alkuperäinen hila on niin harva, ettei nurkkien pyörteitä voida mitenkään kuvata kyseisellä hilatiheydellä. (Kuvassa 2.15 on tilan sääs-

13 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 47 tämisen vuoksi piirretty virtafunktion tasa-arvokäyrät, joissa nurkkapyörteet eivät näy tarkemmallakaan hilajaolla). Tämän tyyppiset seikat on siis otettava huomioon hilaa tehtäessä. Toisaalta ratkaisukin on virheellinen numeerisen virheen vuoksi. Harvalla hilalla pikkupyörteet häviävät numeerisen vaimennuksen vuoksi ja pääpyörre ennustetaan aivan liian suureksi. Hilaa on siis tihennettävä kohdissa, joissa tapahtuu tärkeitä virtausilmiöitä. Tihentäminen oli mahdollista tehdä koko alueessa edellisessä yksinkertaisessa esimerkissä, mutta käytännön tehtävissä näin tuhlautuisi aivan liikaa laskentatilavuuksia. Laskennan kannalta tärkeitä ovat alueet, joissa ratkaistavien suureiden gradientit ovat isoja. Näin on asianlaita nopeuden osalta rajakerroksessa ja vanavedessä. Paine muuttuu nopeasti, kun kiinteä pinta on kaareva ja kokoonpuristuvan virtauksen osalta tiivistysaallossa. Vastaavasti hila voi olla harva alueilla, jotka ovat kaukana tarkasteltavasta kohteesta tai alueella, jossa gradientit ovat pieniä. Esimerkkinä tästä on lentokoneen ympärillä oleva laskentahila (kuva 2.16). Kuva 2.16: Lentävän kappaleen ympärillä laskentahila voi olla harva kauempana kappaleesta Rajakerroksen mallintaminen Kiinteiden pintojen lähellä on aina kiinnitettävä huomiota laskentahilan laatuun, jopa kitkattoman virtauksen oletuksella, jos pinta on kaareva. Pinnan läheisyydessä on tehtävä hilan tihennys, joka tietenkin voi olla varsin lievä kitkattomalla virtauksella. Kitkaton laskenta on hyvin tehokasta, koska hila voi olla harva.

14 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 48 Normaalissa kitkallisessa virtaustapauksessa tihentämisen suhteen on oltava tarkempi. Jos virtaus on laminaari, rajakerroksen nopeusprofiili on muodoltaan juohea, joskus paraabeli tai lähellä sitä. Tasolevyllä toteutuu Blasius-ratkaisu, monimutkaisilla geometrioilla ratkaisu on laadullisesti saman kaltainen. Ulkopuolisessa virtauksessa nopeusgradientti muuttuu rajakerroksessa hitaasti ja laskentahilan tulee tällöin olla rajakerroksen osalta lähellä tasavälistä. Laskijan on siten arvioitava laminaarin rajakerroksen paksuus ja sijoitettava sille alueelle riittävä (noin 30) laskentatilavuutta. Koska rajakerros paksunee patopisteen jälkeen, on tarkasteltava kiinnostavaa aluetta. Mikäli patopisteen lähellä halutaan parantaa tarkkuutta, on hila tehtävä tiukemmaksi sen läheisyydessä. Tehty virhe nähdään helposti vertaamalla laskentatulosta Blasius-ratkaisuun. Rajakerroksen ulkoreunan jälkeen sitä voidaan harventaa numeerisen virheen sallimissa rajoissa. Sisäpuolisella virtauksella laminaari ratkaisu on lähellä paraabelia. Rajakerros vaikuttaa koko virtauskanavan alueella. Nopeusjakauma on jyrkempi seinän lähellä kuin kanavan keskiosissa. Sopiva laskentatilavuusmäärä on noin kolmekymmentä kanavan puolikkaalle. Paras tulos saadaan, jos hilaa jonkin verran tihennetään seinien läheisyydessä, jossa nopeusgradientti on jyrkin. Seinämäkäsittely saattaa aiheuttaa ylimääräistä numeerista virhettä epätasavälisellä hilalla, jolloin kannattaa jättää tihennyksessäkin muutama laskentatilavuus saman korkuisiksi seinän vieressä. Edellä kuvatuilla tavoilla saadaan laminaarille virtaukselle varsin tarkka ratkaisu. Turbulentilla virtauksella rajakerroksen nopeusprofiili muuttuu. Ilman painegradienttia rajakerroksen nopeusjakauma voidaan esittää kitkanopeudella u τ = τ wall /ρ dimensiottomaksi tehtynä kuvan 2.17 tavalla jaettuna kolmeen vyöhykkeeseen. Näistä keskimmäistä kuvaa hyvin ns. logaritminen nopeusjakauma. Turbulentti rajakerros esitetään usein suureen y + = ρu τ y/µ, dimensiottoman seinämäetäisyyden ( y-plussan ) avulla logaritmisella skaalalla kuten kuvassa. Todellisuudessa nopeusprofiili on hyvin jyrkkä. Jos rajakerros halutaan mallintaa tarkasti, on hilaa tihennettävä voimakkaasti seinää lähestyttäessä. Tähän kuluu suuri laskentakoppimäärä. Käytännön laskentatehtävissä käytetään yleensä noin kolmeakymmentä tilavuutta, mutta tällä ei saavuteta samaa tarkkuutta kuin laminaarilla virtauksella. Ulkopuolisen rajakerrostyyppisen virtaustehtävän laskentahila saattaa ulottua hyvin kauaksi rajakerroksen ulkopuolelle, mutta resoluutiota on mahdollista harventaa niin paljon, että rajakerrokseen kuluu noin puolet hilan laskentatilavuuksista. Rajakerrosalueen laskentatilavuuksista tulee hyvin pieniä, mikä voi heikentää

15 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 49 Sisäkerros U/Uτ = 2,5 ln(uτ y/υ) + 5,45 U/Uτ = Uτ y/υ U/Uτ ulkokerros ulkoraja riippuu logaritmisen nopeusjakauman Reynoldsin luvusta alakerros välikerros kerros y + = ~ 5 y + = ~ 60 ln Uτ y/υ Kuva 2.17: Turbulentin rajakerroksen muoto. joidenkin ratkaisijoiden osalta menetelmän konvergenssia. Perinteinen keino välttää rajakerroksen mallinnus on käyttää seinämäfunktiota, joka perustuu logaritmiseen nopeusjakaumaan. Tällöin laskentahilan koko voi pienentyä alle puoleen ja rajakerros voidaan mallintaa jopa alle kymmenellä tilavuudella. """""""""""""""" """""""""""""""" logaritminen & """"""""""""""""? kitkallinen """""""""""""""" alakerros """""""""""""""" Seinämä funktion käyttö Laskenta pinnalle asti turbulentti ydin Kitkan dominoivaa aluetta ei ratkaista ja sen vaikutus otetaan huomioon seinämäfunktion avulla. Korkean Reynoldsin luvun turbulenssi malleja voidaan käyttää. Seinämän läheinen alue on mallinnettu aina pinnalle asti. Turbulenssimallin pitää olla voimassa myös pinnan läheisyydessä. Kuva 2.18: Seinämäkäsittely FLUENTissa voidaan tehdä joko ison Reynoldsin luvun tai pienen Reynoldsin luvun mallilla. Seinämäfunktion käyttöön liittyy ongelmia, jotka virtauslaskijan on syytä tiedostaa. Nopeusjakaumaa ei tällöin lasketa pinnan lähellä, sitä ei yksinkertaisesti ole ratkaisussa mukana (?-alue kuvassa 2.18). Turbulenssi mallinnetaan seinämäfunktion yhteydessä ns. suuren Reynoldsin luvun mallilla, joista eniten käytetty on k ǫ-malli. Seinämälaki pätee sinällään, kun painegradientti on nolla. Tämän vuok-

16 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 50 si useimmissa virtaustilanteissa käytetään reunaehtoa, joka ei itse asiassa edes päde ja on oikeastaan ihme, että seinämäfunktion avulla on laskettu hyviä tuloksia melko monimutkaisissakin virtaustilanteissa. Jos virtauksessa tapahtuu irtoamista suurella alueella, ei seinämäfunktiolta voi odottaa simuloinnissa tarkkuutta. Seinämäfunktiota ja ison Reynoldsin luvun mallia käytettäessä on kiinnitettävä huomiota laskentahilan seinää lähinnä olevan kopin kokoon, koska logaritminen nopeuslaki pätee vain tietyssä alueessa, joka annetaan dimensiottoman etäisyyden y + avulla 30 < y + < 300 (2.1) Nykyiset virtausratkaisijat osaavat yleensä käsitellä tilanteen, jossa ensimmäisen kopin korkeus on y + < 30, joten tällöin hukataan lähinnä vain laskentaresursseja. Sen sijaan jos y + > 300 tai ehkä hieman suurempi, seinämäfunktion merkitys reunaehtona katoaa. Useimmiten seinän käsittely on tällöin käytännössä sama kuin kitkattomassa tapauksessa. Seinä ei siis vaikuta virtaukseen muulla tavoin kuin estämällä läpivirtauksen. Jos virtaus pysyy todellisuudessa kiinni, tällä ei välttämättä ole suurta merkitystä kaikissa tilanteissa. Sen sijaan jos virtaus todellisuudessa irtoaa, pitäisi irtoamisen vaikutus saada laskennassa esille. Kun rajakerrosilmiöt halutaan laskea tarkasti, esimerkiksi halutaan kappaleeseen vaikuttavat voimat, on laskenta ulotettava pinnalle asti ja käytettävä ns. pienen Reynoldsin luvun turbulenssimallia. Suuren Reynoldsin luvun mallinnusta käytetään kyllä yleisesti esimerkiksi pumppujen laskennassa, mutta jos ollaan toimintapisteen ulkopuolella virtaus irtoaa ja laskenta on epäluotettavaa. Hilan laatu saadaan tässäkin tapauksessa selville vasta, kun laskenta on tehty eli dimensiottoman etäisyyden avulla. Nyt tulee olla y + 1, jotta ratkaisu olisi tarkka. Kitkakertoimeen tulee noin prosentin virhe, kuny + 2 ja sen jälkeen virhe kasvaa niin nopeasti, että laskentatulos on kelvoton, kuny TKK:ssa tehtyjen tutkimusten mukaan pienen Reynoldsin luvun mallin yhteydessä reunaehtoa voidaan modifioida siten, että virhe on alle prosentin vielä, kun y + 10, mutta näitä piirteitä ei ole kaupallisissa ohjelmissa. Kun laskenta halutaan tarkaksi on aina pyrittävä siihen, että dimensioton etäisyys on suuruusluokkaa 1 tai vähän suurempi. (Sama raja pätee laminaarille virtaukselle). Usein rajaa ei pystytä koko laskenta-alueessa saavuttamaan. Esimerkkinä tilanteesta, jossay + on alle 2 käytännössä koko alueessa on kuvan 2.19 sekoitinsäiliö. Rajakerroksen laskentaan liittyy myös turbulenssin kuvaus muun kuin seinämä-

17 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 51 Kuva 2.19: Dimensioton etäisyys sekoitinsäiliön pinnalla. funktion soveltamisen osalta. Varsinkin pienen Reynoldsin luvun mallit käyttävät seinämäetäisyyttä hyväkseen ja saattavat eräiltä muiltakin osin olla implementoitu siten, että hilan olisi syytä olla ortogonaalinen pintojen lähellä. Tässä yhteydessä ei tarkoiteta varsinaista laskentatarkkuutta, vaan tapaa, jolla mallit on totuttu implementoimaan. Ortogonaalisuusoletus koskee etupäässä rakenteellisen hilan koodeja, mutta varmuuden vuoksi asia kannattaa pitää mielessä myös FLUENTin yhteydessä. Useimmiten hilan generointiohjelmissa on mahdollisuuksia, joilla hilaa voidaan yrittää saada mahdollisimman kohtisuoraksi pintoja vastaan Numeerisen tarkkuuden vaatimukset On tärkeää tiedostaa, että numeerinen tarkkuus on eri asia kuin ilmiöiden erotuskyky, vaikka nämä ratkaisussa esiintyvät yhtä aikaa. Viimeksi mainittua demonstroitiin kuvan 2.1 yhteydessä, jolloin myös todettiin, että numeerinen epätarkkuus, jota

18 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 52 voidaan tarkastella ns. katkaisuvirheen avulla, muuttaa lasketun käyrän muotoa tai tasoa huomattavasti. Jotta numeerinen tarkkuus olisi riittävä, on pienen Reynoldsin luvun turbulenssimallin yhteydessä käytettävä rajakerroksessa laskentatilavuutta. Suuren Reynoldsin luvun mallilla selvitään huomattavasti vähemmällä. Ääriesimerkkinä FLUENTin manuaalissa todetaan, ettei virtauskanavaa kannata yrittää mallintaa alle viidellä tilavuudella. Tällä tarkoitetaan enemmänkin resoluutiota, koska minkäänlaista jakaumaa ei pystytä kuvaamaan vähemmällä. Tarkkuudesta viidellä tilavuudella voidaan todeta, että seinämäkitka ja painehäviö tulisivat täysin väärin lasketuksi. Viiden kopin putkea voidaan ehkä käyttää tilanteissa, joissa itse putki ei ole kiinnostava, mutta se toimii reunaehtona varsinaiseen laskentaalueeseen. Esimerkiksi turbokoneen siiven kärkivälys saattaisi joissain tapauksessa antaa itse kanavan osalta riittävän hyvän vuotovirtauksen, vaikka välyksen osalta lasketussa virtausjakaumassa ei olekaan mitään tarkkuutta. Kun virtausyhtälöt diskretoidaan, aiheutuu numeerista virhettä, joka voidaan jakaa numeeriseen vaimennukseen ja dispersioon (kts. esim. Laskennallisen virtausmekaniikan perusteet). FLUENTin manuaalissa kiinnitetään huomiota ainoastaan vaimennukseen, jota manuaalissa nimitetään numeeriseksi diffuusioksi. Peruskurssilla todettiin, että varsinainen numeerinen diffuusio, joka muodostaa ns. toisen kertaluvun virhetermin, liittyy aina ensimmäisen kertaluvun paikkadiskretointiin. Toisen kertaluvun paikkadiskretoinnilla aiheutuu neljännen kertaluvun vaimennusta, joka on huomattavasti varsinaista numeerista diffuusiota vaimeampaa. FLUENTissa termin numeerinen diffuusio alla on siis koko numeerinen vaimennus ja implisiittisesti oikeastaan diskretoinnista aiheutuva virhe kokonaan, koska mistään muusta diskretointivirheestä ei puhuta. Kerrataan vielä, että virtausyhtälöissä konvektiotermin diskretointi aiheuttaa numeerista vaimennusta ja dispersiota. Diffuusiotermin diskretointi aiheuttaa lähinnä vaimennusta. Käytännössä diskretointivirhe tulee siis esille monin eri tavoin, ei pelkästään numeerisena vaimennuksena. Seuraavaksi tuodaan esille eräitä numeerisesta virheestä aiheutuvia vaatimuksia laskentahilalle. Jälleen on syytä muistaa, että simuloinnissa halutaan päästä eroon numeerisesta virheestä niin, ettei se ole näkyvissä. Tämä on varsin tapauskohtainen ja epämääräinen käsite. Virheen perusolemuksen vuoksi (paikkadiskretoinnista aiheutuva), se pienenee kun hilaa tihennetään. Tämä on numeerisen laskennan eräitä perussääntöjä. Hilan laadun parantamisella pyrimme siihen, että virhe on merkityksetön mahdollisimman pienellä laskentakoppimäärällä. Virtauslaskennassa on käytännössä perusedellytyksenä käyttää toisen kertalu-

19 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 53 vun diskretointia konvektiotermille (diskretointiin ja muihin termeihin palataan jatkossa). FLUENTissa on mahdollista valita myös ensimmäisen kertaluvun diskretointeja, mutta näitä ei pidä missään tapauksessa käyttää lopputuloksessa. Ensimmäisen kertaluvun diskretointia voidaan käyttää, kun laskenta aloitetaan, ja Fluentissa se onkin itse asiassa oletusarvona. Useissa tapauksissa konvergenssi voi olla aluksi hyvin heikkoa ja tietokoneajot suorastaan kaatuvat. Laskemalla ensimmäisen kertaluvun diskretoinnilla jonkinlainen ratkaisu, voidaan laskentaa ehkä hankalassakin tapauksessa jatkaa tarkemmalla menetelmällä. Jatkossa siis edellytämme, että diskretointi on tehty toisen kertaluvun menetelmällä. Numeerisesta vaimennuksesta putoaa tällöin suurin osa, katkaisuvirheen ns. diffuusiotermi, kokonaan pois. Manuaalin kielellä diffuusio pienenee. Jäljellä on kuitenkin numeerista virhettä, joka voi esiintyä oskillointina tai korkeamman kertaluvun vaimennuksena. Virtausyhtälöillä on sellainen tunnettu piirre, että virhe pienenee, kun virtaus on hilaviivojen suuntaista. Näin numeerinen virhe rakenteellisella hilalla on käytännössä aina pienempi kuin rakenteettomalla, jolla virtaus ei voi koskaan tulla täydellisesti hilaviivojen suunnasta, koska hilassa ei mitään järjestäytyneitä suuntia ole olemassa. Tärkein alue, jossa tätä ominaisuutta voidaan käyttää on rajakerros. Rajakerrosta ei saa diskretoida kolmioita tai tetraedrejä käyttäen, vaan on sovellettava rakenteellista hilaa tai prismoja. Tällöin rajakerroksen alueella hila on rakenteellinen pintaa vasten kohtisuorassa suunnassa. Jos rajakerroksen ulkopuolella käytetään rakenteetonta hilaa, luonnollinen ratkaisu rajakerrokselle on yleensä prismat. Rajakerroksessa koppityyppi vaikuttaa paitsi tarkkuuteen, myös laskentatilavuuksien määrään. Koska edes samalla resoluutiolla ei päästä tässä tapauksessa samaan tarkkuuteen kuin rakenteellisella hilalla, voidaan todeta rakenteeton hila tehottomaksi rajakerroksessa. Rajakerroksen ulkopuolella tilanne saattaa olla päinvastainen ja perustavoitteena rakenteettomassa hilassahan on hankalien geometrioiden mallinnus. Numeeriseen virheeseen palataan vielä jatkossa ratkaisumenetelmien yhteydessä, tarkempi käsittely löytyy alan kirjoista tai laskennallisen virtausdynamiikan kursseilta. Yhteenvetona voidaan kuitenkin todeta, että ratkaisun tehokkuuden ja tarkkuuden vuoksi kannattaa aina generoida rakenteellinen hila, jos se onnistuu käytettävissä olevien resurssien puitteissa. FLUENTin kaltaisella ratkaisijalla kannattaa käyttää myös hybridilähestymistapaa, jossa hankaliin kohtiin käytetään tetredrejä ja muualle rakenteellista verkkoa. Edellä oleva tarkastelu koskee lähinnä konvektiotermin diskretointia, mutta numeerista virhettä aiheutuu myös liikemääräyhtälön kitka- ja energiayhtälön läm-

20 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 54 mönjohtavuustermeistä, jotka ovat muodoltaan diffuusion kaltaisia. Aina ei erilaisia virheitä tietenkään voida erottaa ratkaisussa toisistaan. Esimerkkinä mitä todennäköisimmin kitkatermin diskretoinnin aiheuttamasta virheestä on hilantihentymän kohdalla tapahtuva virtaviivojen luonnoton nykäys kuvassa Kuvan esimerkissä tapahtuu peräkkäisten laskentatilavuuksien dimensiossa liian suuri muutos. Tilannetta voidaan ehkä korjata tarkemmalla diskretointitavalla, mutta toistaiseksi siinä ei ole onnistuttu. Rakenteettoman hilan yhteydessä kitkatermin diskretointi tehdään rakenteellisesta hilasta poikkeavalla tavalla. Miten koppikoon äkillinen muutos silloin vaikuttaa, ei ole tätä kirjoitettaessa tiedossa. Kuva 2.20: Virtaviivat saattavat taipua mutkalle hilassa olevan tihentymän kohdalla. Numeeriset seikat vaikuttavat virheeseen monin eri tavoin. Eräs usein esille tuleva ilmiö sylinterimäisillä kappaleilla on keskipisteen singulaarisen viivan vaikutus. Jotkut ohjelmat eivät pysty käsittelemään singulariteettia, mutta siihen ei ole ratkaisumenetelmästä johtuvia periaatteellisia syitä. Hilassa voi laskentatilavuuden seinä olla aivan hyvin degeneroitunut viivaksi, koska kyseisen seinän läpi ei tällöin virtaa mitään eikä ratkaisujärjestelmä välttämättä koe tilannetta singulaarisena. Periaatteessa seinä voisi olla jopa kutistunut pisteeksi, kuten pallolla vastaavan topologian omaavalla hilalla kävisi. Hyvin usein ratkaisussa näkyy kuitenkin putken tai suihkun akselilla ratkaisussa jonkinlaista anomaliaa, esimerkiksi nopeusprofiilissa voi olla epäfysikaalinen kuoppa. Ilmiö on lähinnä konvergenssista aiheutuva. Luultavasti kyseessä on jonkinlainen iteroinnissa tapahtuva lukittumisilmiö. Kuoppa ehkä häviäisi jos laskentaa olisi mahdollista jatkaa lähes loputtomiin. Parempi keino on

21 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 55 mallintaa putkimaiset geometriat siten, että keskelle tulee kuvan 2.21 mukainen nelikulmainen lohko, jonka ulkopuolella kiertää O-tyyppinen lohko. (Optimaalisinta olisi käyttää keskellä ympyrän ja neliön eräänlaista keskiarvoa). Kuva 2.21: Rakenteellisen hilan singulariteetti kannattaa poistaa kuvassa näkyvällä lohkorakenteella Hilan laadun arvioiminen Koska virtaustilanteet ovat hyvin erilaisia, on käytännössä mahdotonta antaa ohjeita hilan laadun arviointiin, ennen kuin ratkaisu on tehty. Hyvin tärkeää on mallintaa rajakerros oikealla tavalla silloinkin, kun rajakerrosilmiöt eivät varsinaisesti ole kiinnostuksen kohteena, koska pinta kuitenkin vaikuttaa virtaukseen. Jos käytetään pienen Reynoldsin luvun mallia, on dimensiottoman etäisyyden oltava ensimmäisen kopin keskipisteessä noin y + = 1. y + -arvojen laskemiseen tarvitaan leikkausjännitys, jota ei tunneta ennen laskentaa. Sen määrittämiseksi riiittää tuntea rajakerroksen nopeusprofiili, joten jos laskettavalle tapaukselle tunnetaan analyyttinen ratkaisu, on ensimmäisen kopin korkeutta helppo arvioida. Mitä useampi tekijä (turbulenssi, painegradientti) vaikuttaa nopeusprofiiliin, sitä monimutkaisempaa kitkakertoimen ja y + :n määrittäminen on. Monimutkaisissa tapauksissa voidaan käyttää hyväksi esimerkiksi tasolevyvirtaukselle määritettyjä kitkakerroinkorrelaatioita. Alla on muutama esimerkki yhteyksistä, joitay:n ja y + :n välille voidaan johtaa (kaavat ). Tarkemmat johdot ja lisätietoa löytyy täältä. Blasius-ratkaisun

22 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 56 mukaista kitkakerrointa käyttämällä voidaan laminaarille tasolevyvirtaukselle johtaa ensimmäisen kopin korkeuden jay + :n välille lauseke y(x,re x,y + ) = 1,7355Re 0,75 x xy + (2.2) Turbulentin rajakerroksen sisäsuureiden avulla voidaan määrittää turbulentille tapaukselle kaava y(x,re x,y + ) = 2,0966 ln(0,06re x) xy + Re x. (2.3) Lisäksi laminaarille kanavavirtaukselle voidaan johtaa analyttisen ratkaisun perusteella seuraava yhteys y(h,ν,u average ) = y + hν ( ) 1 2, (2.4) 3u average missähon puolet kanavan korkeudesta, u average keskimääräinen nopeus kanavassa jaν virtaavan aineen kinemaattinen viskositeetti. Turbulentilla virtauksella on ensimmäinen tehtävä ratkaisun hyvyyttä arvioitaessa tarkistaa ensimmäisen tilavuudeny + -arvot, koska niitä ei tiedetä täsmällisesti etukäteen. Laminaarilla virtauksella ensimmäisen tilavuuden korkeuden arviointi perustuu suoraan rajakerroksen tai virtauskanavan paksuuteen kohdassa selostetulla tavalla. Hilan generoinnin jälkeen voidaan sen laatua tarkastella erilaisten dimensiottomien suhdelukujen avulla. Edellä jo esitettiin esimerkki, jossa virtaviivat tekivät epäfysikaalisen mutkan, jos peräkkäisten koppien koon suhde on liian suuri. Nyrkkisäännön mukaan suhde saisi olla korkeintaan luokkaa 1,1...1,2. Hila ei saisi olla myöskään liian vääristynyt. Kolmiointiin on kehitetty algoritmeja, jotka tuottavat melko tasaisia laskentatilavuuksia, joten vääristymät ovat erityisesti rakenteellisen hilan ongelma. GAMBIT tulostaa sekä rakenteellisen että rakenteettoman hilan tapauksessa hilan laatua kuvaavia suureita, jotka ovat seuraavat: Area Aspect ratio Diagonal ratio Edge ratio EquiAngle Skew

23 2.3. LASKENTAHILAN VALINTA 57 Equivolume Skew MidAngle Skew Stretch Taper Volume Warpage Näiden termien määrittely ja sopivat alueet selviävät GAMBITin manuaalista. Rakenteellisella hilalla on mahdollista, että tilavuus (tai pinta-ala 2D tapauksessa) on negatiivinen. Hilan sanotaan tällöin invertoituneen jostain kohdasta. Kontrollitilavuusmenetelmän ratkaisumenetelmä kaatuu, jos tilavuus on negatiivinen. Negatiivista tilavuutta ei tietenkään muutenkaan voitaisi sallia. Joskus hila saattaa olla invertoitunut vaikka tilavuuden laskentakaava antaa positiivisen arvon. (Laskentakaava on mm. Laskennallisen virtausdynamiikan jatkokurssin monisteessa). Tämän vuoksi on olemassa erilaisia hilan vinouden (skewness) mittareita. FLUENTissa, samoin kuin eräissä muissa virtausratkaisijoissa kannetaan myös huolta sivusuhteen (aspect ratio) vaikutuksesta ja sen maksimiarvoksi suositellaq AR = 5. Arvo saattaa olla sopiva rajakerroksen ulkopuolella. Sen sijaan pienen Reynoldsin luvun mallilla sivusuhteelle rajakerroksessa käytetään hyvin yleisesti arvoja, jotka ovat välillä Muuten hilan koko kasvaisi liikaa ja tilanne on onneksi sellainen, että toisessa (pitkän sivun) suunnassa virtaussuureet muuttuvat huomattavasti hitaammin kuin pintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa, jolloin sivusuhde ei tuota virhettä ratkaisuun. GAMBIT laskee hilan laatua kuvaavia suureita myös kolmioille ja tetraedreille. Kun valmis laskentahila tuodaan itse ratkaisijaan, suoritetaan vielä hilaominaisuuksien tarkastus ( grid check ) ja tulostetaan hilaa koskevaa statistiikkaa. FLUENTissa, kuten useimmissa ratkaisijoissa, laskentaverkko voidaan tuoda ratkaisijaan myös suoraan jostain sopivasta hilangenerointiohjelmasta (esim. Gridgen, Pointwise tai IGG).

24 2.4. HILANGENEROINTIMENETELMÄT Hilangenerointimenetelmät Rakenteelliset hilat GAMBITin manuaalista ei saa selville millä menetelmillä varsinainen avaruushila laaditaan. Menettelytavat ovat erilaisia rakenteellisessa ja rakenteettomassa tapauksessa. GAMBITissa on lisäksi erillinen rajakerroksille tarkoitettu menetelmä. Seuraavassa tarkastellaan lyhyesti rakenteellisen verkon generointia ja pääpiirteet kahdesta rakenteettomalle hilalle soveltuvasta keinosta. Ennen avaruushilan tekoa, riippumatta hilatyypistä, suoritetaan hilajako alueen seinillä, mikä on kaksidimensioinen tehtävä. Rakenteellisessa tapauksessa ennen seinien generointia on annettava pistejako seinien syrjillä. Hilan laadinta tapahtuu siis tavallaan kahdessa vaiheessa, joita voi vielä seurata kolmas, saadun verkon tasoittaminen. Yleensä käytetään aina topologialtaan monilohkoisia hiloja. Onnistuneella lohkojen valinnalla vaikutetaan hilan generoinnin helppouteen ja myös itse laskentaan. Hilan laadinta aloitetaan siis jakamalla laskenta-alue lohkoihin (Fluentissa vyöhykkeisiin). Nopein ja paras tapa rakenteellisen hilan generoinnissa on interpolointi. Tätä tapaa nimitetään myös algebralliseksi. Useimmiten käytetään transfiniittia interpolointia. Tämän menetelmän heikkous on siinä, että jos generoitava lohko on huomattavasti vääristynyt, hilaviivat menevät ristiin. Toinen menetelmätyyppi perustuu differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun. Yleisin on elliptinen menetelmä, mutta joissain erikoistilanteissa käytetään myös parabolista tai hyperbolista menetelmää. Differentiaaliyhtälöihin perustuvissa keinoissa hilaviivat muodostavat yhtälön ratkaisun tasa-arvopintoja. Usein itse virtausratkaisu saattaa muistuttaa hieman hilangeneroinnissa käytetyn yhtälön ratkaisua. Tällöin virtausratkaisun tarkkuus periaatteessa voi parantua numeerisen vaimennuksen ollessa vähäisempää, kun virtaus on hilaviivojen suuntaista. Käytännössä näin ei aina käy, mutta sen sijaan differentiaaliyhtälöihin perustuvat menetelmät voivat olla hyvin laskentaintensiivisiä: hilan generointiin saattaa mennä itse virtausratkaisuakin pitempi laskenta-aika. Elliptisellä menettelyllä saadaan periaatteessa aina positiivisia laskentatilavuuksia, mutta hilasta voi tulla omituisen näköinen, mikä yleensä merkitsee myös heikkoa laatua. Yleensä tehdään niin, että hila laaditaan ensin interpoloimalla, jonka jälkeen sitä tasoitetaan elliptisellä keinolla. Tasoittaminen tarkoittaa sitä, että elliptistä menetelmää ei ratkota loppuun vaan tehdään sopiva määrä, joskus vain muu-

25 2.4. HILANGENEROINTIMENETELMÄT 59 tama, iteraatiokierros. Jos tasoittamista jatketaan, hilan laatu helposti huononee ainakin monimutkaisissa kolmidimensioisissa tapauksissa. Hyvin tyypillistä on, että hila löystyy joistakin kohden, esimerkiksi pintojen läheisyydessä, mikä jää helposti huomaamatta. Tämän vuoksi tasoittamisessa on oltava varovainen. FLUEN- Tissa tasoittamista voidaan ja suositellaan käytettäväksi myös rakenteettoman hilan yhteydessä Rakenteettomat hilat Aikaisemmin on jo tuotu esille rakenteettoman hilan edut: automaattinen, vain positiivisia koppeja tuottava hilangenerointi ja mahdollisuus kytkeä ratkaisuun hilan adaptiivisuus. Hilan generointiin on käytettävissä kaksi päämenetelmää: etenevän rintaman menetelmä ja Delaunayn kolmiointi. Kuva 2.22: Etenevän rintaman menetelmän vaiheet. Etenevän rintaman tekniikassa lähdetään alueen reunan pistejakaumasta ja generoidaan hilaa sisäänpäin kunnes koko alue on kolmioitu. Tekniikka soveltuu sekä kolmio- että tetraedrihilojen generointiin, kuten myös Delaunayn kolmiointi. Aluksi rintamaksi valitaan alueen reunaviiva/pinta. Aina kun uusi kolmio lisätään rintaman

26 2.4. HILANGENEROINTIMENETELMÄT 60 sisäpuolelle muuttuu rintamaviiva vastaavasti. Algoritmia jatketaan kunnes rintama on tyhjä (kts. kuva 2.22). Uusi piste sijoitetaan alueeseen jonkin kriteerin mukaan. Voidaan esim. haluta mahdollisimman tasasivuinen kolmio (tai sopivasti litistynyt). Rintaman generoinnissa on lukuisia teknisiä kysymyksiä, joista on huolehdittava. Tulee esim. tarkistaa, että uusi piste todellakin on virtausalueen sisällä. Uusi piste ei myöskään saa olla minkään jo generoidun kolmion alueella. Tietyissä tapauksissa on ratkaistava generoidaanko uutta pistettä lainkaan vai yhdistetäänkö vain viereiset pisteet jne. Kuva 2.23: Delaunayn kolmiointi. Toinen tapa, Delaunayn kolmiointi, on menetelmä jo olemassa olevien hilapisteiden kolmioimiseksi. Delaunayn kolmioinnin geometrinen duaali Dirichlet n monikulmiointi (käytetään myös nimitystä Voronoin monikulmiointi) saadaan siten, että jokaiseen hilapisteeseen liitetään se alue, joka on lähempänä tätä hilapistettä kuin mitään muista hilapisteistä. Näin muodostuvat alueet ovat muodoltaan konvekseja monikulmioita, jotka eivät leikkaa toisiaan (ns. Voronoin alueet). Delaunayn kolmiot saadaan yhdistämällä suorilla viivoilla toisiinsa ne hilapisteet, joilla on keskenään yhteinen tahko. Delaunayn kolmioinnilla on kahdessa ulottuvuudessa ns. kulmien tasaamis -ominaisuus. Tarkastellaan kolmiopareja, joilla on yhteinen sivu. Delaunayn kolmiointi on se kolmiointi, joka kaikille tällaisille kolmiopareille maksimoi kuuden sisäkulman minimin. Delaynayn kolmioinnilla on myös ns. sivuajaympyräominaisuus, jolloin mielivaltaisen kolmion kulmien kautta piirretyn ympyrän sisään ei jää muita hilapisteitä. Kuvassa 2.23 on vasemmalla Voronoin diagrammi ja Delaunayn kolmiointi sekä yksi sivuajaympyrä. Oikeanpuoleisessa kuvassa Delaunayn kolmiointi maksimoi kolmioparin kuuden sisäkulman minimin. Oikeanpuolisen kuvan nelikulmio on siis kolmioitu siten, että pienin kuudesta sisäkulmasta on suurempi (tai yhtä suuri) kuin pienin niistä kuudesta sisäkulmasta

27 2.4. HILANGENEROINTIMENETELMÄT 61 jotka muodostuisivat, jos nelikulmio kolmioitaisiin toisen lävistäjänsä avulla (katkoviiva). Edellä mainittuun sivuajaympyräominaisuuteen perustuu Bowyerin algoritmi (käytetään myös nimitystä Watsonin algoritmi). Bowyerin algoritmissa lähdetään jo olemassa olevasta Delaunayn kolmioinnista, joka peittää kaikki kolmioitavat pisteet (esim. yksi valtaisa kolmio). Olemassa olevaan kolmiointiin tuodaan hilapisteitä lisää yksi kerrallaan (kts. kuva 2.24). Kohdassa a) meillä on Delaunayn kolmiointi. Tähän tuodaan yksi piste lisää ja merkitään ne kolmiot joiden sivuajaympyrän sisään tämä piste jää (kohta b). Merkityt kolmiot tuhotaan (kohta c). Näiden kolmioiden paikalle syntyy tällöin konveksi monikulmio, johon muodostetaan uusi kolmiointi yhdistämällä uusi piste monikulmion kaikkiin kärkiin (kohta d)). Bowyerin algoritmin laskennallinen vaativuus on kahdessa ulottuvuudessa suurin piirtein lineaarinen hilapisteiden lukumäärän suhteen. a) b) c) d) Kuva 2.24: Bowyerin algoritmi. Delaunayn kolmiointi ei alunperin ollut varsinaisesti hilangenerointimenetelmä. Näin ei olekaan mitään syytä, että menetelmä tuottaisi hilan joka yhtyy alueen reunaan. Reunan hilapisteet ovat kyllä reunalla, mutta ne on kolmioitu siten, että kolmioiden reunat eivät yhdy alueen reunaan. Tämän vuoksi menetelmää onkin modifioitava. Kaksi tunnetuinta menetelmää tähän on vaihtaa kolmiointia lokaalisti reunan lähellä (swap edges). Toinen tapa on lisätä pisteitä (add points) siten, että uutta pistejoukkoa vastaava kolmiointi sovittuu reunaan. Reunan sovitus on tehtävä joka tapauksessa, koska kolmiointihan aloitettiin koko alueen peittävästä teennäisestä

28 2.5. PINTOJEN GENEROINTI 62 aloituskolmiosta, josta tietenkin syntyy alueen ulkopuolisia kolmioita, jotka on tuhottava. Periaatteessa Delaunayn kolmiointi on siis menetelmä jo olemassa olevan pisteistön kolmioimiseksi. Menetelmää on kuitenkin kehitetty siten, että pisteet voidaan generoida hilangeneroinnin yhteydessä. Delaunayn kolmiointi pyrkii aina antamaan mahdollisimman säännöllisiä kolmioita. Joissain tapauksissa kuitenkin ehkä halutaan tiettyyn suuntaan venyneitä koppeja. Tähänkin on kehitetty toimiva menettely. 2.5 Pintojen generointi Edellä on keskitytty itse laskentahilan ominaisuuksiin ja sen laadinnassa esille tuleviin seikkoihin. Ennen kuin tähän päästään, on esikäsittelijälle määriteltävä laskentaalueen geometria. GAMBIT on oikeastaan enemmän geometrian määrittelyssä käytettävä työkalu kuin varsinainen hilan generointiohjelmisto. (Ainakin manuaalin sivumäärän perusteella). Virtauslaskijalle helpoin tapa määritellä geometria on saada se CAD-ohjelmistosta sopivassa, esimerkiksi IGES-formaatissa. IGES (Initial Graphics Exchange Specification) lienee edelleen yleisin geometriansiirtoformaatti, vaikka sen korvaamisesta uudemmalla STEP-standardilla (Standard for Exchange of Product Definition Data) on puhuttu jo pitkään. STEP-standardiin on ollut tarkoitus sisällyttää määrittelyt myös simulointitulosten siirtämiseksi eri ohjelmien välillä. Lähes kaikki hilangenerointiohjelmat lukevat IGES-tiedostoja, mutta tavallisesti ne tunnistavat vain osan IGESin lukuisista elementtityypeistä. Kun pinnat saadaan IGES-formaatissa, mitään geometrian määrittelyvaihetta ei enää varsinaisessa simulointitehtävässä tarvita. Laskenta-alueen rajaaminen ja yksinkertaistus saattavat kuitenkin tämän jälkeen olla vielä varsin työläitä operaatioita. Jos CAD-mallia ei ole olemassa, on turvauduttava GAMBITin määrittelyominaisuuksiin, mikä on työlästä. Geometria kuvataan pisteillä, käyrillä ja pintatilkuilla. Yksinkertaisessa kaksidimensioisessa tilanteessa suora voidaan määritellä yhtälöllä y = ax+b (2.5) missä a on suoran kulmakerroin. Jos tunnetaan kaksi pistettä, joiden kautta suora

Teknillinen Korkeakoulu CFD-ryhma/ Sovelletun termodynamiikan laboratorio MUISTIO No CFD/TERMO-8-96 pvm 15 tammikuuta, 1997 OTSIKKO IFRF polttokammion laskenta k ; turbulenssimallilla, case 11 LAATIJA(T)

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Virtaussimulointi Timo Siikonen

Virtaussimulointi Timo Siikonen Virtaussimulointi Timo Siikonen c 2014 by Aalto University School of Engineering Department of Applied Mechanics Sähkömiehentie 4 FIN-00076 Aalto Finland ESIPUHE Tämän kurssin (Ene-39.4054) kirjallinen

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla

Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla Erkki Heikkola Numerola Oy, Jyväskylä Laskennallisten tieteiden päivä 29.9.2010, Itä-Suomen yliopisto, Kuopio Putkistojen äänenvaimentimien suunnittelu

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

6 Turbulentin virtauksen laskenta

6 Turbulentin virtauksen laskenta 154 6 Turbulentin virtauksen laskenta 6.1 Turbulentti virtaus Ensimmäisessä luvussa kuvailtiin eräitä yksinkertaisia virtaustapauksia, joissa turbulenssin käsite tuli esille. Harva käsite on arkikielessä

Lisätiedot

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Hakemisto. Symbolit ja FLUENTin valikkokäskyt

Hakemisto. Symbolit ja FLUENTin valikkokäskyt 303 Hakemisto Symbolit ja FLUENTin valikkokäskyt L 2 -normi, 133 Adapt, 30 All-Zones, 132 Body Force Weighted, 125 Boundary Conditions, 72, 180 Compute From, 132 Controls, 124 Coupled, 182 Database, 186

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011

T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002 Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus

8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus 212 8 Pyörimisliike ja monifaasivirtaus Virtauslaskentaohjelmissa on virtausta kuvaaviin yhtälöihin linkitetty paljon erilaisia malleja. Nämä voidaan jakaa monellakin tavalla. Eräs epämääräinen jakotapa

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

6. Etäisyydenmittari 14.

6. Etäisyydenmittari 14. 97 ilmeisessä käsirysyssä vihollisen kanssa. Yleensä etäiyyden ollessa 50 m. pienempi voi sen käyttämisestä odottaa varmaa menestystä; paras etäisyys on 25 m. tai sitä pienempi. Sillä missä tilanahtaus

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

WAKE-profiilin kehittelyä

WAKE-profiilin kehittelyä Erkki Haapanen Sivu 1/22 4.2.2011 WAKE-profiilin kehittelyä Alkuprofiilina käytetään Bob Whiten profiilin BW22 koordinaatteja, jotka Tapio Linkosalo on ystävällisesti antanut käyttööni. Profiilin koordinaatteja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT Demo 5, maanantaina 5.0.2009 RATKAISUT. Lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa on usein kaikenlaisia laitteita. Seuraavassa yksi hyvä kandidaatti eli Venturi-mittari, jolla voi määrittää virtauksen

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING OF COOLANT FLOW IN PEBBLE BED REACTOR CORE

KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING OF COOLANT FLOW IN PEBBLE BED REACTOR CORE LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta LUT Energia BH10A0200 Energiatekniikan kandidaatintyö ja seminaari KUULAKEKOREAKTORIN SYDÄMEN JÄÄHDYTEVIR- TAUKSEN CFD-MALLINNUS CFD-MODELLING

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Vapo: Turveauman laskenta 1. Asennusohje

Vapo: Turveauman laskenta 1. Asennusohje Turveauman mittaus 3D-system Oy 3D-Win ohjelman lisätoiminto, jolla lasketaan turveaumasta tilaajan haluamat arvot ja piirretään aumasta kuva. Laskentatoiminto löytyy kohdasta Työkalut/Lisätoiminnot. Valitse

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 1 Ti 6.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 1/28 p. 1/28 Numeriikan termejä Simulointi: Reaalimaailman ilmiöiden jäljitteleminen (yleensä)

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat 1 LIITE 5 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS-EN 1991-1-4

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä Sisällys 1. Algoritmi Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.1 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot