3 Lajittelualgoritmeista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 Lajittelualgoritmeista"

Transkriptio

1 3 Lajittelualgoritmeista Tässä osassa käsitellään edistyneempiä lajittelualgoritmeja, erityisesti keko- ja pikalajitteluja. Lisäksi perehdytään hieman lajittelualgoritmien suorituskyvyn rajoihin. Materiaali perustuu pääasiassa kirjan [Cor] lukuihin 6-8. Kappaleet ja sisältävät varsin matemaattisluontoista asiaa. Ne voi huoletta sivuuttaa, jos asiaa on vaikea seurata. 3.1 Pikalajittelu Pikalajittelu: Johdanto Pikalajittelu (Quicksort) on yleinen lajittelualgoritmi, joka on keskimäärin tehokas ja siten hyvä valinta monessa käytännän tapauksessa. Keskimäärin pikalajittelun suoritusaika on Θ(n lg n) Huonoimmillaan suoritusaika on Θ(n 2 ) Eli vaikka pahimmassa tapauksessa suoritusaika on pitkä, niin keskimääräinen suoritusaika on nopea. Pikalajittelun lisäetu on, että se voidaan toteuttaa siten, että se käsittelee datan paikallaan (in place) Suoritusta varten ei siis tarvitse varata ylimääräistä tilaa muistista. Seuraavissa alaluvuissa käydään läpi pikalajittelun suoritusperiaate Pikalajittelun kuvaus Pikalajittelu perustuu hajota ja hallitse -menetelmään. Lajittelun lähtäkohtana on sarana-alkio (engl. pivot). Muita alkioita verrataan sarana-alkioon. Saranaalkion avulla syäte lajitellaan kahteen osaan: 1. Saranaa suurempiin alkioihin ja 2. Saranaa pienempiin alkioihin Lajittelun jälkeen taulukko sisältää ensin sarana-alkiota pienemmät alkiot sitten sarana-alkion ja lopuksi sarana-alkiota suuremmat alkiot Mutta pienemmät alkiot eivät ole vielä oikeassa järjestyksessa keskenään - eivätkä suuremmatkaan. Nämä järjestetään kutsumalla algoritmia rekursiivisesti. Saranaalkioon ei tarvitse enää koskea, se on lopullisella paikallaan taulukossa. Lajiteltavat osajonot lyhenevät siis koko ajan - ja sarana-alkiot tulevat oikeille paikoille. Kun kahden alkion osajonot on lajiteltu, koko lajittelu on valmis. Kun osajonoa lajitellaan sarana-alkion perusteella, muodostuu neljä lokeroa kuten kuvassa 3.1. Kun lajittelu alkaa, on vain lokerot käsittelemätän ja pivot (siis sarana-alkio). Käsittelemätäntä lokeroa käydään läpi vasemmalta oikealle, muuttujaa j kasvattamalla. Muuttuja j kertoo 1. käsittelemättämän alkion sijainnin. Se siis määrittää >pivot ja käsittelemätän -lokerojen välisen rajan. Tästä seuraa, että

2 Kuva 3.1: Pikalajittelu: osajonon lajittelussa syntyvät lokerot. kun läytyy sarana-alkiota suurempi arvo, sen siirtämiseksi oikeaan lokeroon tarvitsee vain kasvattaa j:n arvoa yhdellä Muuttuja i kertoo lokeron <=pivot viimeisen alkion sijainnin. Kun läytyy sarana-alkiota pienempi alkio, niin lokeroon <=pivot tehdään tilaa muuttujjaa i kasvattamalla. tila otetaan lokerolta >pivot, joten tämän lokeron alkio pitää siirtää talteen Tämä käy helposti: läytynyt sarana-alkiota pienempi alkio sijaitsee juuri >pivot -lokeron oikealla puolella, joten alkiot saadaan oikeisiin lokeroihin vaihtamalla ne keskenään ja kasvattamalla j:n arvoa yhdellä Muuttujan j arvo siis kasvaa yhdellä joka kierroksella, mutta muuttujan i arvo vain silloin, kun läydetään sarana-alkiota pienempi arvo. Lopuksi alkio pivot ja lokeron >pivot 1. alkio vaihdetaan keskenään. Jäljellä on kolme lokeroa, <=pivot, pivot ja >pivot- tässä järjestyksessä Alkiot ovat siis osittain oikeassa järjestyksessä sarana-alkio oikealla paikallaan kaikki sitä pienemmät alkiot sitä ennen kaikki sitä suuremmat alkiot sen jälkeen Seuraavassa vaiheessa suoritetaan sama lajittelu kaksi kertaa: sarana-alkiota pienemmille alkioille ja suuremmille alkioille, jolloin saadaan neljä osajonoa oikeassa järjestyksessä. Näin jatketaan kunnes osajonojen pituus on kaksi alkiota ja nämäkin on lajiteltu.

3 Allaolevassa listauksessa on esitelty pikalajittelu pseudokoodina 1 q u i c k S o r t (A, f i r s t, l a s t ) 2 i f f i r s t < l a s t 3 middle = p a r t i t i o n (A, f i r s t, l a s t ) 4 q u i c k S o r t (A, f i r s t, middle 1) 5 q u i c k S o r t (A, middle +1, l a s t ) 6 return A 7 8 p a r t i t i o n (A, f i r s t, l a s t ) 9 p i v o t = A[ l a s t ] 10 i = f i r s t 1 11 for j = f i r s t to l a s t 1 12 i f A[ j ] <= p i v o t 13 i = i exchange A[ i ] with A[ j ] exchange A[ i +1] with A[ l a s t ] return i Pikalajittelun silmukkainvariantti Ennen silmukkainvariantin tutkimista se on tunnistettava algoritmin toiminnasta. Pikalajittelun tapauksessa partition-funktiossa valitaan sarana-alkio, jonka eri puolille alitaulukon A[first : last-1] alkiot jaetaan. Partition-funktion ajon aikana taulukko jaetaan neljään eri osioon, joista osa voi olla myäs tyhjiä. Osiot täyttävät tietyt ehdot jokaisen iteraation alussa nämä ehdot ovat pikalajittelun silmukkainvariantti (silmukan kierroksen aikana muuttumaton ominaisuus): 1. Jos first <= k <= i, niin A[k] <= pivot 2. Jos i + 1 <= k <= j 1, niin A[k] > pivot 3. Jos k = last, niin A[k] == pivot Taulukon loppupää, eli osio j:stä last-1:een ei ole missään järjestyksessä, eli sitä ei ole käsitelty Pikalajittelun silmukkainvariantin analyysi Tutkitaan, täyttyvätkä silmukkainvariantin kolmen osan oikeellisuusvaatimukset: Alustus For-silmukan alussa i = first 1 ja j = first Alkioiden f irst ja i välissä ei ole alkioita, kuten ei myäskään alkioiden i + 1 ja j 1. Tämän vuoksi silmukkainvariantin kaksi ensimmäistä ehtoa täyttyvät triviaalisti (k ei voi olla first:n ja i:n välissä) Sijoitus pivot = A[last] täyttää ehdon 3

4 Ylläpito Jos ehto A[j] <= pivot on epätosi, j:tä kasvatetaan, eikä muuta tapahdu Tälläin ehto 2 toteutuu A[j 1]:lle, ja muut ehdot täyttyvät edelleen Jos ehto A[j] <= pivot on tosi, i:tä kasvatetaan, A[i]:n ja A[j]:n paikat vaihdetaan, ja j:tä kasvatetaan Lopetus Huomaa, että i:tä kasvatetaan ennen paikkojen vaihtoa 1. ehto täyttyy, koska paikkojen vaihdon seurauksena A[i] <= pivot 2. ehto täyttyy, koska alkio A[j 1] (huomaa, j:tä on kasvatettu) on juuri paikkaa vaihtanut alkio, joka on aiemmin testattu suuremmaksi kuin sarana-alkio 3. ehto täyttyy, edelleen triviaalisti Nyt j = last, niin ehtojen 1 ja 2 kuvaamat osiot ja sarana-alkio kattavat koko taulukon; kaikki alkiot on siis jaettu invariantin kuvaamiin kolmeen osioon Pikalajittelun silmukkainvariantista on todistettu kaikki sen osa-alueet, joten voidaan todeta että lajittelu toimii oikein Pikalajitteluesimerkki Lajiteltava taulukko A on: [7, 2, 6, 1, 4, 5]. Taulukon Indeksointi aloitetaan ykkäsestä. Valitsemme sarana-alkioksi viimeisen alkion 5 Merkitään sarana-alkio _5_ Merkitään käsiteltävä alkio kaarisulkuihin () Tilanne: [ 7, 2, 6, 1, 4 _5_] i = 0, j = 1: [ (7), 2, 6, 1, 4 _5_] 7 > 5, joten ei vaihdeta i = 0, j = 2: [ 7 (2), 6, 1, 4 _5_] 2 <= 5, joten vaihdetaan A[i+1] ja A[j] i = 1, j = 3: [2 7 (6), 1, 4 _5_] 6 > 5, joten ei vaihdeta i = 1, j = 4: [2 7, 6 (1), 4 _5_] 1 <= 5, joten vaihdetaan A[i+1] ja A[j] i = 2, j = 5: [2, 1 6, 7 (4) _5_] 4 <= 5, joten vaihdetaan A[i+1] ja A[j] Tilanne [2, 1, 4 7, 6 _5_], i=3

5 Vaihdetaan lopuksi A[i+1] ja A[last] Tilanne [2, 1, 4, 5, 6, 7], middle=4 Kuten esimerkistä käy ilmi, pikalajittelu ei pyri suoraan sijoittamaan alkioita oikeille paikoille. Sarana-alkion avulla luodaan suurempien ja pienempien arvojen luokat Luokkien rekursiivinen jakaminen aliluokkiin johtaa täydelliseen suuruusjärjestykseen Pikalajittelun suorituskyky Pikalajittelun suorituskyky riippuu siitä, miten sarana-alkio (pivot) valitaan; tuottaako valinta tasapainoisen (balanced) alkiojoukon vaiko epäsuhtaisen (unbalanced) alkiojoukon Sarana-alkion valinta vaikuttaa suoraan luokkien kokoon, joka puolestaan vaikuttaa pikalajittelun suoritusaikaan. Mitä tasaisemmin luokkajako toteutetaan, sitä parempi on pikalajittelun suorituskyky. Paras tapaus Luokat > pivot ja <= pivot ovat samansuuruisia Suoritusaika verrattavissa lomituslajitteluun Huonoin tapaus Toinen luokista on koko ajan tyhjä Suoritusaika verrattavissa lisäyslajitteluun Pikalajittelun huonoimman tapauksen jako Pahimmassa tapauksessa on kyse siitä, että sarana-alkio on valittu huonosti, eli sarana-alkio on valittu joko liian pieneksi tai liian suureksi. Luokkien koot eivät ole samansuuruiset, jolloin pikalajittelun teho heikkenee Pahimmassa tapauksessa joko > pivot- tai <= pivot-luokka on tyhjä jokaisella rekursion tasolla partition-funktion suoritusaika on Θ(n) tyhjän puolen suoritusaika on T (0) = Θ(1) Suoritusaikaa kuvaava toistuvuus saa muodon Intuitio kertoo, että T (n) = T (n 1) + T (0) + Θ(n) = T (n 1) + Θ(n) T (n) = T (n 1) + T (n 2) +... Muodostuu siis aritmeettinen sarja ja voimme arvata toiston ratkaisuksi Θ(n 2 ) ja käyttää sijoitusmenetelmää todistamiseen.

6 3.1.8 Pikalajittelun parhaan tapauksen jako Parhaan tapauksen luokkajaossa valitaan sarana-alkioksi keskimmäinen, eli mediaani alkio. Koska valitaan mediaani, niin luokat > pivot ja <= pivot ovat samansuuruisia, jolloin saavutetaan paras suoritusaika. Parhaassa tapauksessa on kyse siis tasapainotetusta alkiojoukosta. partition-funktio tuottaa aina kaksi samansuuruita alkiojoukkoa Toistuvuus on tässä tapauksessa muotoa: T (n) 2T (n/2) + Θ(n), missä Θ(n) sisältää partition-funktion käyttämän ajan. Pääteoreeman avulla parhaan tapauksen suoritusajaksi saadaan Θ(n lg n). Tämä on asymptoottisesti parempi kuin huonoimman tapauksen aika Tasainen luokkajako Pikalajittelun keskimääräinen asymptoottinen suoritusaika on paljon lähempänä parasta tapausta Θ(n lg n) kuin huonointa tapausta Θ(n 2 ). Jakamista ei välttämättä tarvitse suorittaa tasan, jotta saadaan Θ(n lg n) asymptoottiseksi suoritusajaksi. Sama asymptoottinen suoritusaika saadaan, vaikka jako toteutettaisiin suhteessa 1:99! Tämän käytäksen syyn ymmärtäminen on avain pikalajittelun ymmärtämiseen. Seuraavassa tutkimme, miten luokkajaon tasaisuus näkyy toistuvuudessa. Oletetaan, että partition-funktio tuottaa aina 9:1 -luokkajaon, joka vaikuttaa aika huonolta. Tämä voidaan kuvata toistuvuudella T (n) T (9n/10) + T (n/10) + cn. Tässä c on otettu esiin, vrt. yllä, missä se on Θ(n):ssä piilossa. Piirtämällä tämä rekursiopuu (vrt. luento 4 ja kirjan sivu 71, 2nd ed.), voidaan todeta, että toistuvuus päättyy syvyydellä log 10/9 (n). Vastaavasti 1:99- jaon tapauksessa syvyys olisi log 100/99 (n). Esimerkiksi, kun n = 100, olisivat puiden syvyydet siis log 10/9 (100) = 43 ja log 100/99 (100) = 458. Kun taas parhaassa tapauksessa log 2 (100) 7 Jokaisen puun tason suoritusaika on cn (partition-funktio). Tämän lisäksi muistamme, että logaritmin kantaluvun vaihtaminen muuttaa sen suuruutta vakiokertoimella. Vaikka suhde siis olisi kuinka epätasainen, niin epäsuhta vaikuttaa suoritusaikaan vakiokertoimella. Vakiokerroin ei vaikuta asymptoottiseen käyttäytymiseen. Voimme todeta, että mikä tahansa kaikilla tasoilla vakio jakosuhde tuottaa saman Θ(n log n) asymptoottisen käyttäytymisen Satunnaistettu pikalajittelu Jotta pikalajittelu toimisi keskimäärin hyvin, voidaan se satunnaistaa. Eräässä menetelmässä partition-funktio valitsee sarana-alkion saamastaan aineistosta satunnaisesti ja muuten lajittelu toimii kuten aiemmin on esitetty.

7 Pikalajittelun matemaattinen analyysi Suoritusaika huonoimmassa tilanteessa: Olemme aiemmin olettaneet, että pikalajittelun luokkajaon valitseminen jokaisessa vaiheessa s.e. toinen luokista on tyhjä on huonoin mahdollinen jako. Pahimmassa tapauksessa pikalajittelun suoritusaika vaikuttaisi olevan O(n 2 ). Perustellaan näitä hieman. Pikalajittelun suoritusaika voidaan kirjoittaa T (n) = T (q) + T (n q 1) + Θ(n) (3.1) Tässä q vaihtelee 0:n ja n 1:n välillä, koska partition-funktio tuottaa kaksi aliongelmaa joiden yhteinen koko on n 1 (siis ilman sarana-alkiota). Arvaamme nyt, että T (n) cn 2 jollakin vakiolla c. Jos sijoitamme tämän yhtälään (3.1), saamme T (n) cq 2 + c(n q 1) 2 + Θ(n) = c[q 2 + (n q 1) 2 ] + Θ(n). (3.2) Koska olemme nyt etsimässä huonointa suoritusaikaa, tarkastellaan tämän funktion maksimia q:n suhteen (eli aliongelmien koon suhteen): Yhtälässä (3.3) Lauseke max T (n) max 0 q n 1 0 q n 1 [cq2 + c(n q 1) 2 + Θ(n)] (3.3) q 2 + (n q 1) 2 on yläspäin aukeava paraabeli q:lle. Se saavuttaa siis suurimman arvonsa alueen 0 q n 1 päätepisteessä. Kokeilemalla huomataan että lauseke saa saman arvon sekä sijoituksella q = 0 että q = n 1. Saadaan siis max 0 q n 1 (q2 + (n q 1) 2 ) = (n 1) 2 = n 2 2n + 1 Sijoitetaan tämä välitulos takaisin epäyhtälään (3.3), jolloin saadaan max T (n) 0 q n 1 cn2 c(2n 1) + Θ(n) cn 2 (3.4) Viimeinen epäyhtälä (3.4) voidaan osoittaa tarkasti induktiolla. Huomaa, että voimme valita riittävän suuren c:n, jotta c(2n 1) on paljon suurempi kuin Θ(n). Näin saamme max 0 q n 1 T (n) O(n2 ), mikä oletettiin aiemmin. Vastaavalla käsittelyllä voidaan etsiä pikalajittelun huonoimman tapauksen alaraja Pikalajittelun keskimääräinen suoritusaika Oletamme nyt että meillä on käytässä satunnaistettu pikalajittelu (randomized quicksort). Olemme aiemmin arvioineet, että keskimääräinen suoritusaika on O(n lg n). Tutkimalla tarkemmin pikalajittelun toimintaa näemme, että rekursion syvyys on Θ(lg n) ja jokaisen tason suoritus kestää O(n) luokkaa. Sama asymptoottinen suoritusaika saavutetaan, vaikka osa tasoista (jaoista) olisi täysin epätasapainoisia.

8 Voimme täsmällisemmin analysoida satunnaisen pikalajittelun, kun ymmärrämme paremmin kuinka algoritmi jakaa aineistoa osiin. Toiveenamme on johtaa keskimääräiselle suoritusajalle asymptoottinen yläraja O(n lg n). Tiedämme parhaan tapauksen perusteella että alaraja on Ω(n lg n) ja tälläin olemme osoittaneet keskimääräisen tapauksen suoritusajalle T (n) Θ(n lg n). Pikalajittelun suoritusajasta leijonaosa menee aineiston jakamisessa osiin (partition-funktio). Joka kerta kun aineisto jaetaan, valitaan sarana-alkio, jota ei koskaan käytetä myähemmissä rekursioissa. Koko pikalajittelun aikana suoritetaan korkeintaan n kappaletta partition-funktion kutsua Yksi aineiston jakaminen kestää O(1) ja ajan joka menee (for j = first to last-1)-lohkon suorittamiseen. Jokainen iteraatio suorittaa ainakin vertailuoperaation, jossa se vertaa alkiota sarana-elementtiin. Jos voimme laskea kuinka monta kertaa yhteensä tämä vertailu suoritetaan, voimme myäs antaa rajoituksen sille kuinka kauan aikaa vietetään for-silmukassa pikalajittelun suoritusajasta. Teemme ensin kaksi oletusta: Lemma 7.1: Olkoon X aineiston jakamisessa suoritettava vertailujen määrä n:n alkion kokoisessa pikalajittelussa. Tässä tapauksessa pikalajittelun suoritusaika on O(n + X) Todistus: Kuten ylhäällä tekstissä on todettu, aineiston lajittelussa partitionfunktiota kutsutaan n kertaa, joista jokainen kutsu tekee saman määrän muita tehtäviä ja suorittaa sitten jonkin kertamäärän for = first to last-lohkoa. Jokainen iteraatio suorittaa vertailuoperaation. Meidän täytyy siis laskea X, eli vertailujen kokonaismäärä. Emme yritä analysoida kuinka monta vertailua tehdään kussakin alikutsussa (kun aineistoa jaetaan osiin), vaan yritämme saada kokonaismäärän kaikista vertailuoperaatioista. Tämän saavuttamiseksi täytyy ymmärtää milloin algoritmi vertailee kahta arvoa ja milloin ei. Analyysin helpottamiseksi nimeämme taulun arvot z 1, z 2,..., z n Määrittelemme myäs että Z ij = {z i, z i+1,..., z j } ovat elementtien arvot välillä z i ja z j Voimmeko siis tietää missä tapauksissa algoritmi vertailee arvoja z i ja z j? Vastauksen läytämiseksi voimme todeta, että kutakin paria arvoja vertaillaan vain kerran. Tämä siksi, että arvoja vertaillaan vain sarana-alkioon, eikä samaa sarana-alkiota enää käytetä muissa partition-kutsuissa Määrittelemme: X ij = I{z i verrataan z j }. X ij saa arvon 1 kun vertailu tehdään ja arvon 0 kun vertailua ei tehdä Arvioimmme nyt vertailuja missä tahansa vaiheessa suoritusta, ei pelkästään kun aineistoa jaetaan osiin. Koska jokainen pari vertaillaan korkeintaan kerran, voimme luonnehtia vertailuoperaatioiden kokonaismäärää pikalajittelussa: X = n 1 n i=1 j=i+1 X ij

9 Tämä lauseke saadaan partition-funktion ja sen for-silmukan suoritusmääristä. Ottamalla tästä odotusarvot molemmilta puolilta, pääsemme seuraavaan muotoon. n 1 E[X] = E[ = = n 1 n i=1 j=i+1 n i=1 j=i+1 n 1 n i=1 j=i+1 X ij ] E[X ij ] P r{z i verrataan z j } (3.5) Nyt jää jäljelle termin P r{z i verrataan z j } laskeminen. Analyysimme olettaa, että sarana-alkio on valittu satunnaisesti ja riippumattomasti. On hyädyllistä miettiä mitä kahta termiä ei vertailla keskenään. Ajatellaan, että pikalajittelija lajittelee numerot 1-10 välillä (missä tahansa järjestyksessä) ja oletetaan että ensimmäinen sarana-alkio on numero 7. Tässä tapauksessa ensimmäinen aineiston jakaminen jakaa numerot kahteen eri joukkoon: {1,2,3,4,5,6} ja {8,9,10}. Nyt ensimmäistä jakajaa on verrattu kaikkiin muihin alkioihin, mutta mitään numeroa ensimmäisestä joukosta (kuten numeroa 2) ei koskaan verrata mihinkään numeroon toisesta joukosta (kuten numero 9). Yleisesti ottaen, kun jakaja x on valittu siten että z i < x < z j, tiedämme että z i ja z j alkioita ei vertailla enää jatkossa. Jos toisaalta z i valitaan saranaalkioksi ennen mitään muuta joukosta Z ij, niin z i :tä verrataan kaikkiin alkioihin Z ij :ssä (paitsi itseensä). Edellä kuvatussa esimerkissä arvoja 7 ja 9 verrataan toisiinsa koska 7 on ensimmäinen sarana-alkio Z 7,9 :stä. Numeroita 2 ja 9 ei koskaan vertailla keskenään koska ensimmäinen sarana-alkio Z 2,9 :stä on 7. Tästä voimme päätellä, että arvoja z i ja z j vertaillaan vain jos ensimmäiseksi jakajaksi Z ij :sta valitaan joko z i tai z j. Voimme nyt laskea todennäkäisyyden sille kuinka usein tämä tapahtuu. Ennen hetkeä jolloin alkio Z ij :stä on valittu jakajaksi, koko Z ij ovat samassa osiossa (partitiossa). Tässä tapauksessa mikä tahansa alkio Z ij :stä on yhtä todennäkäinen ensimmäiseksi sarana-alkioksi. Koska joukossa Z ij on j i+1 alkiota, todennäkäisyys sille että joku alkio valitaan ensimmäiseksi sarana-alkioksi on 1 per j i + 1. Joten, P r{z i verrataan z j } = P r{z i tai z j on ensimmainen valittu sarana-alkioz ij :stä} = P r{z i on ensimmäinen valittu sarana-alkio Z ij :stä} = = +P r{z j on ensimmäinen valittu sarana-alkio Z ij :stä} 1 j i j i (3.6) j i + 1 Yhdistämällä tämän aiemmin johtamaamme odotusarvon lausekkeeseen (3.5), saamme n 1 n 2 E[X] = j i + 1 i=1 j=i+1

10 Nyt hieman manipulointia: käytämme ensin sijoitusta k = j i: E[X] = < n 1 n i=1 j=i+1 n 1 n i=1 k=1 2 k n 1 2 j = n i i=1 k=1 2 k + 1 ja sitten harmonisen sarjan yhtälää jolloin pääsemme muotoon H n = n k=1 1 = ln n + O(1), k n 1 E[X] = O(lg n) = O(n lg n). i=1 Lemman 7.1 perusteella pikalajittelun suoritusajan ylärajaksi saadaan siis O(n + X) = O(n + n lg n) = O(n lg n). (3.7)

11 3.2 Kekolajittelu (Heapsort) Johdanto Tässä luvussa esitellään kekolajittelu. Lajittelu perustuu keko (heap) -nimisten tietorakenteiden muokkaukseen ja ylläpitoon. Tietorakenteella on siis keskeinen rooli algoritmin suorituksessa. Kekolajittelulle pätee: Suoritusaika T (n) O(n lg n), kuten lomituslajittelussa. In-place lajittelu eli vakiomääräinen muistinkäyttä, kuten lisäyslajittelussa. Kekolajittelulla on siis molempien aiemmin esiteltyjen algorimien hyvät ominaisuudet. Jotta ymmärrämme kekolajittelun toiminnan, tutustumme ensin binääripuuhun ja määrittelemme keon sen avulla. Näytämme, miten keko voidaan toteuttaa taulukolla ja esittelemme keon käsittelyyn ja ylläpitoon tarvittavat algoritmit. Tämän jälkeen meillä on kaikki tarvittava kekolajittelun toteuttamiseen ja analysoimiseen. Myähemmin kurssilla tutustumme myäs toiseen kekojen sovellutukseen, prioriteettijonoihin Binääripuu ja keon määritelmä Binääripuu määritellään seuraavasti: Yksi juurisolmu (root node). Jokaisen solmun lapsisolmujen (child node) määrä on korkeintaan kaksi. Tämä solmu on näiden lapsisolmujen vanhempi (parent). Sivu eli väli (engl. edge) yhdistää vanhemman sen lapsisolmuun. Lapsisolmuista käytetään nimityksiä vasen lapsi(solmu) (left child), sekä oikea lapsi(solmu) (right child). Lehtisolmu (leaf node) on (binääri)puun solmu, jolla ei ole lapsisolmuja. Täydellinen binääripuu sisältää joka tasolla aina joko nolla tai kaksi lapsisolmua, ja puu on kokonaisuudessaan täytetty lehtisolmujen tasolla. Binäärinen maksimikeko seuraavilla rajoituksilla: voidaan määritellä lähes täydellisenä binääripuuna Vanhempi on aina suurempi kuin sen lapset. Lehtisolmuja saa puuttua, kunhan ne puuttuvat puun oikeasta reunasta Vastaavasti minimikeossa vanhempi on aina pienempi kuin sen lapset. Käytämme tässä luvussa kekoa ja binääristä maksimikekoa synonyymeina ja mainitsemme erikseen kun on kyse minimikeosta. Kuvassa 3.2 vasemmalla on esitetty kokonaislukuja sisältävä keko binääripuuna.

12 Kuva 3.2: Vasemmalla keon puuesitys ja oikealla puuta vastaava taulukko Keon toteuttaminen taulukolla Koska keko on lähes täydellinen binääripuu, se voidaan toteuttaa kompaktisti ja tehokkaasti taulukolla, kuten kuvassa 3.2 oikealla. Taulukossa indeksillä i sijaitsevan solmun lapset ovat indekseillä 2i ja 2i + 1. Huom! Tässä oletetaan että taulukon ensimmäinen indeksi on 1! Listauksessa alla on esitetty keon alustamiseen ja keossa navigoitiin tarvittavat rutiinit. 1 i n i t ( aheap, array=none ) : 2 i f array == None : 3 array = [ ] 4 aheap. data = array 5 aheap. s i z e = array. l e n g t h 6 7 getparent ( i ) : 8 return i / g e t L e f t C h i l d ( i ) : 11 return 2 i getrightchild ( i ) : 14 return ( 2 i + 1) Kekomuuttuja aheap alustetaan rutiinissa aheap. Taulukon kopioimisen lisäksi alustetaan muuttuja aheap.size, joka on kekoon kuuluvien alkioiden määrän taulukossa aheap.data. Todellisuudessa tässä vaiheessa aheap ei vielä ole keko, sillä se ei toteuta aiemmin kerrottua keon määritelmää. Seuraavaksi täytyy määritellä algoritmi, jolla taulukosta saadaan luotua keko. Lisäksi haluamme että keosta voi poistaa ja siihen voi lisätä alkioita, niin että määritelmän mukaiset ominaisuudet säilyvät. Maksimikeon tulee toteuttaa siis aheap.data[getparent(i)] >= aheap.data[i] kaikilla i, 1 < i <= aheap.size. Vastaavasti minimikeolle pätee aheap.data[getparent(i)] <= aheap.data[i]. Kun jompi kumpi ehto ylläolevista on voimassa, sanotaan että taulukko toteuttaa keko-ominaisuuden.

13 3.2.4 Binääripuun korkeus Binääripuun korkeus (height) määritellään seuraavasti: Puun pisimmän lehtisolmusta juurisolmuun johtavan reitin sivujen lukumäärä. Lehtisolmujen korkeus on 0. Muille solmuille korkeus voidaan laskea kuten koko puulle: solmusta lehtisolmuun johtavan reitin sivujen lukumäärä laskemalla. n alkiota sisältävän keon korkeudelle pätee aina: height = Θ(log 2 n) = O(lg n) Tämä nähdään suoraan täydellisen binääripuun kuvasta: tasoilla on solmuja 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Luennon myähemmissä osissa nähdään, että keoille tehtävien perusoperaatioiden suoritusaika on aina suhteessa keon korkeuteen : Asymptoottisesti rajoitettuja koon suhteen. O(lg n) Keko-ominaisuuden ylläpito Annetun n-mittaisen taulukon A muokkaaminen maksimikeoksi perustuu kahteen havaintoon: Alkiot A[( n/2 +1)...n] ovat lehtisolmuja. Jokainen lehtisolmu on triviaali maksimikeko. Osa taulukosta toteuttaa siis aina maksimikeko-ominaisuuden! Määritellään nyt algoritmi maxheapify(aheap, i), jonka avulla voimme ylläpitää keko-ominaisuutta. Algoritmi olettaa, että alipuut, joiden juurisolmuina ovat aheap.data[getleftchild(i)] ja aheap.data[getrightchild(i)], ovat jo valmiiksi maksimikekoja. Tarkasteltavana olevan puun juuri on alkio i - tämä alkio saattaa rikkoa keko-ominaisuuden. Tarkoituksena on pudottaa alkio i oikealle paikalleen alipuussa - jonka juurena se aluksi on. Pudottaminen tapahtuu vaihtamalla alkio i suuremman lapsensa kanssa ja toistamalla tätä rekursiivisesti, kunnes alkion lapset ovat pienempiä kuin alkio itse. 1 maxheapify ( aheap, i ) : 2 l e f t = g e t L e f t C h i l d ( i ) 3 r i g h t = getrightchild ( i ) 4 5 i f l e f t <= aheap. s i z e and aheap. data [ l e f t ] > aheap. data [ i ] : 6 l a r g e s t = l e f t 7 else : 8 l a r g e s t = i 9 10 i f r i g h t <= aheap. s i z e and aheap. data [ r i g h t ] > aheap. data [ l a r g e s t ] : 11 l a r g e s t = r i g h t i f l a r g e s t!= i : 14 aheap. data [ i ], aheap. data [ l a r g e s t ] = aheap. data [ l a r g e s t ], aheap. data [ i ] 15 maxheapify ( aheap, l a r g e s t )

14 Taulukon alkiot ovat siis puun solmuja, taulukon indeksi ilmaisee solmun sijainnin puussa aheap on viittaus muokattavaan puuhun, joka mahdollisesti ei ole keko, ts. tällä puulla ei välttämättä ole keko-ominaisuutta. i on taulukon sisälle viittaava indeksi, jolle pätee i <= aheap.size. Solmun i alipuilla on keko-ominaisuus ennen jokaista maxheapify:n kutsua. Mutta miten koko puusta saadaan maksimikeko, algoritmihan laittaa vain yhden solmun paikalleen? Vastaus: Käymällä koko puu tällä algoritmilla läpi lehdistä juureen päin, kukin solmu vuorollaan algoritmille välitettävänä solmuna i Puuta järjestetään lehdistä juureen päin, koska algoritmin toiminta perustuu siihen, että käsiteltävän solmun alipuut ovat kekoja maxheapify:n toiminta Kuva 3.3 havainnollistaa maxheapify -algoritmin toimintaa aiemmin esitellylle esimerkkikeolle aheap.size = 10, jossa nyt indeksillä 2 oleva alkio rikkoo maksimikeko-ominaisuuden. Algoritmia kutsutaan maxheapify(aheap, 2) Indeksistä 1 ei voi aloittaa, koska algoritmi olettaa, että vasen ja oikea lapsisolmu toteuttavat jo valmiiksi maksimikeko-ominaisuuden. Riveillä 5-11 haetaan muuttujan largest arvoksi vanhemman ja kahden lapsen joukosta suurimman alkion indeksi Riveillä pudotetaan alkio i alaspäin yhden tason verran (lapsien tasolle), jos se ei ollut suurin. Rivillä 15 kutsutaan algortimia rekursiivisesti, alkion pudottamiseksi vielä alaspäin (jos tarpeen)

15 Kuva 3.3: Kutsusta maxheapify(aheap, 2) seuraava toiminta vaiheittain: (a) Alkuperäinen keko, jossa alkio indeksillä 2 rikkoo maksimikekoominaisuuden. (b) Maksimikeko-ominaisuus on palautettu indeksille 2, mutta indeksillä 4 oleva alikeko on vielä järjestettävä, tämä voidaan tehdä kutsumalla algoritmia rekursiivisesti. (c) Maksimikeko-ominaisuus on nyt palautettu indeksille 4, ja seuraava rekursiivinen kutsu algoritmiin ei enää tuota muutoksia, koska aheap.size -rajoitus rikkoutuu maxheapify:n suoritusaika maxheapify -algoritmin suoritusaika kokoa n olevalle keolle (juurisolmu indeksillä i) koostuu kahdesta osasta: 1. Vakiosuoritus Θ(1) joka kuluu alkioiden aheap[i], aheap[aheap.getleftchild(i)] sekä aheap[aheap.getrightchild(i)] keskinäiseen järjestelyyn (huomaa ettei rekursion sisällä ole silmukoita). 2. Rekursiivinen kutsu alikeolle, jonka juurisolmu on jompikumpi indeksin i lapsista. Tälläin uuden alikeon suurin mahdollinen koko suhteessa edelliseen kekoon on 2n/3. Suoritukselle saadaan: T (n) T (2n/3) + Θ(1), joka kuuluu pääteoreeman (master theorem) toiseen luokkaan, jolloin asymptoottiseksi tehokuudeksi saadaan T (n) O(lg n). Vaihtoehtoisesti alkiolle jo-

16 ka sijaitsee korkeudella h, saadaan maxheapify -suoritusaika T (h) O(h), joka viittaa aiemmin esitettyyn keon korkeuden ja operaatioiden suoritusaikojen vastaavuuteen Kekojen rakentaminen Seuraavaksi tutkitaan, miten keosta aheap saadaan yleisessä tapauksessa rakennettua maksimikeko, eli binääripuu joka toteuttaa maksimikeko-ominaisuuden. Voidaan osoittaa: n alkiota sisältävän keon mallintavassa taulukossa alkiot aheap.data[floor(n/2)+1 : n+1] ovat kyseisen keon lehtisolmuja. Esimerkkitapauksessa keon koko on 10, jolloin ensimmäisen lehtisolmun indeksiksi saadaan 10/2 + 1 = 6. Jokainen näistä lehtisolmuista on omassa kontekstissaan atominen maksimikeko! Rakentaminen voidaan aloittaa indeksistä n/2 ja kutsua edellä esitettyä maxheapifyalgoritmia kaikille taulukon lehtisolmuja edeltäville alkioille. Näin saadaan määriteltyä uusi algoritmi, buildmaxheap(aheap), joka on esitelty alla: 1 buildmaxheap ( aheap ) : 2 for i = aheap. s i z e / 2 downto 1 3 maxheapify ( aheap, i ) Tämä algoritmi siis aloittaa taulukon viimeisestä lehtisolmuja edeltävästä solmusta ja peruuttaa kohti taulukon alkua. Toisin sanoen, algoritmi kiipeää alhaalta kohti puun juurisolmua buildmaxheap:in oikeellisuus buildmaxheap -algoritmin oikeellisuus voidaan tarkistaa sen silmukkainvariantin avulla, joka tässä tapauksessa on: For-silmukan jokaisen kierroksen alussa jokainen indeksien (i + 1) ja n välillä oleva taulukon aheap.data alkio on erään maksimikeon juurisolmu. Alustus: Ennen ensimmäistä for-silmukkaa indeksien n/2 + 1 ja n välillä olevat taulukon aheap.data alkiot ovat pelkkiä lehtisolmuja, joten ne ovat kaikki omassa kontekstissaan ns. atomisia maksimikekoja. Ylläpito: Ennen jokaista for-silmukan toistoa: Kaikki indeksin i oikealla puolella taulukossa olevat alkiot ovat omien maksimikekojensa juurisolmuja (kuten silmukkainvariantissa on todettu). Myäs indeksin i alkion vasen ja oikea lapsisolmu ovat omien maksimikekojensa juurisolmut (ne sijaitsevat taulukossa indeksin i oikealla puolella). Tämä on perusvaatimus maxheapify -algoritmin suoritukselle! For-silmukan toiston jälkeen myäs indeksillä i oleva alkio on maksimikeon juurisolmu. Indeksin i pienentäminen ennen seuraava silmukkaa alustaa silmukainvariantin.

17 Lopetus: for-silmukka lopettaa suorituksensa sen jälkeen, kun maxheapify(aheap, 1) on suoritettu taulukon 1. alkiolle. Tämä varmistaa, että taulukon aheap ensimmäinen alkio on sijoitettu omalle paikalleen keossa, jonka jälkeen koko taulukko on käyty läpi, ja taulukon kaikki alkiot toteuttavat maksimikeko-ominaisuuden buildmaxheap:in suoritusaika buildmaxheap -algoritmille voidaan suoraviivaisesti määrittää suoritusajan yläraja: Jokainen maxheapify -kutsu suorittuu ajassa O(lg n) Näitä suorituksia on O(n) kappaletta (vakiokerroin, tässä tapauksessa 1/2, voidaan jättää asymptoottisessa tarkastelussa pois). Näin ollen suoritusajalle saadaan: T (n) O(n lg n). Vaikka tämä tulos on eräs yläraja buildmaxheap-algoritmille, niin se ei ole asymptoottisesti tarkka! Koska tiedetään että maxheapify -algoritmin suoritusaika on aina riippuvainen järjestettävän alikeon korkeudesta, nyt voidaan todeta että suurin osa näistä alikeoista on korkeudeltaan suhteellisen matalia. Voidaan osoittaa että n alkiota sisältävän keon korkeus on aina lg n, ja että korkeudella h keossa on enintään n 2 h+1 alkiota. Nyt asymptoottisesti tarkaksi ylärajaksi saadaan: ( ) lg n n lg n h T (n) 2 h+1 O(h) = O n h 2 h = O n 2 h = O(n), h=0 h=0 jossa on huomattu että äärettämän sarjan summa on suurempi kuin äärellisen ja tämän jälkeen käytetty tulosta h=0 h 1/2 = 2 h (1 1/2), joka voidaan johtaa 2 (kokeile!) geometrisen sarjan derivaatan avulla. Tämän alaluvun tärkein viesti on siis: h=0 Maksimikeko voidaan rakentaa taulukosta lineaarisessa ajassa! Kekolajittelun algoritmi Ensimmäisenä kekojen sovellutuksena tässä kurssissa esitellään kekolajittelu. Kekolajittelu (heapsort(aheap)) -algoritmi rakentuu buildmaxheap(aheap) - algoritmin toiminnalle. Algoritmin järjestää annetun taulukon alkiot pienimmästä suurimpaan seuraavalla tavalla: 1. Järjestetään taulukko maksimikeoksi (init(aheap, array) ja buildmaxheap(aheap)).

18 2. Huomataan, että koska taulukon suurin alkio on nyt keon juurisolmu aheap.data[1], se voidaan asettaa oikealle paikalleen lajitellussa taulukossa vaihtamalla sen ja keon viimeisen alkion aheap.data[n] paikat keskenään. 3. Pienennetään keon kokoa yhdellä 4. Asetetaan uusi juurisolmu oikealle paikalleen keossa ( maxheapify(aheap, 1)). 5. Jos keon koko on suurempi kuin yksi, palataan kohtaan 2. Kekolajittelun pseudokoodi on esitetty alla: 1 heapsort ( aheap ) : 2 buildmaxheap ( aheap ) 3 for i = aheap. s i z e downto 2 4 aheap. data [ 1 ], aheap. data [ i ] = aheap. data [ i ], aheap. data [ 1 ] 5 aheap. s i z e = aheap. s i z e 1 6 maxheapify ( aheap, 1) Kekolajittelun oikeellisuus heapsort(aheap) -algoritmin silmukkainvariantti määräytyy nyt seuraavasti: For-silmukan jokaisen suorituskerran alussa alitaulukko aheap.data[1 : i] on maksimikeko, joka sisältää taulukon i pienintä elementtiä. Alitaulukko aheap.data[(i + 1) : n] puolestaan sisältää taulukon (n - i) suurinta elementtiä lajitellussa järjestyksessä. Alustus: Ennen ensimmäistä for-silmukkaa: Alitaulukko aheap.data[1 : i] sisältää kaikki taulukon alkiot maksimikeossa. Toinen alitaulukko puolestaan sisältää (n - i) = 0 alkiota, eli se on tyhjä. Ylläpito: Koodin suorituksesta huomataan: Koska jokaisen for -silmukan aluksi alitaulukon päissä olevat alkiot vaihdetaan keskenään, jäljellä oleva keko ei välttämättä toteuta maksimikekoominaisuutta, jolloin sille ei voi ajaa maxheapify -algoritmia. for -silmukan sisällä keon kokoa aheap.size pienennetään, jolloin taulukon päähän vaihdettu alkio suljetaan pois keon rakenteesta. Uuden juurisolmun molemmat lapset toteuttavat maksimikeko-ominaisuuden, ja poistettu alkio siirtyy alitaulukkoon aheap.data[(i + 1) : n] joka on lajitellussa järjestyksessä, koska sitä täydennetään oikealta vasemmalle maksimikekojen juurisolmujen alkioilla. Pienennetylle keolle suoritettu maxheapify -algoritmi alustaa silmukan seuraavalle kierrokselle.

19 Lopetus: for -silmukka suoritetaan viimeisen kerran, kun i = 2. Tämän jälkeen alitaulukko aheap.data[2 : n] sisältää yhtä vaille kaikki alkuperäisen taulukon alkiot lajitellussa järjestyksessä. Puuttuva alkio on aheap.data[1], joka on alkuperäisen taulukon pienin alkio. Koko taulukko on nyt lajitellussa järjestyksessä Kekolajittelun suoritusaika heapsort-algoritmin asymptoottinen suoritusaika voidaan suoraviivaisesti päätellä: Yksi buildmaxheap-algoritmin kutsu suorittuu O(n) ajassa, jonka lisäksi maxheapifyalgoritmin rekursiivinen suorittaminen kestää (n 1)O(lg n). Koska O-notaatioiden summasta asymptoottiseksi ylärajaksi voidaan erottaa korkein termi, heapsort -algoritmille saadaan: T (n) O(n lg n) Kuten luennon alussa mainittiin, heapsort-algoritmin toiminta perustuu tietorakenteen (tässä tapauksessa keon) rakentamiseen ja hallintaan. Kuten seuraavissa luennoissa tullaan huomaamaan, tietorakenteen ja algoritmin yhteistoiminta on yksi tehokkaiden algoritmien perusominaisuuksista, ja algoritmin toimintaa voidaan usein tehostaa käyttämällä mahdollisimman hyvin suoritukseen soveltuvaa tietorakennetta (tai suunnittelemalla sellainen).

20 3.3. Lajittelualgoritmien suorituskyvyn rajoista Kun on n alkiota lajiteltavana, ne voivat alussa olla n! erilaisessa järjestyksessä. Vertailuun perustuvaa lajittelualgoritmia voidaan tarkastella binääripuuna, jossa solmut vastaavat vertailuja. Tällöin polku juuresta lehteen kuvaa lajittelussa tehtyjä vertailuja, jolloin lehti kertoo mihin järjestykseen juuri näillä vertailuilla ja niiden tuloksilla syöte päätyy. Seuraava kuva hahmottaa tilannetta: 1? 2 > 2? 3 1? 3 > > <1,2,3> 1? 3 <2,1,3> 2? 3 > > <1,3,2> <3,1,2> <2,3,1> <3,2,1> Kuva 2.1. Päätöspuu eräälle kolmen alkion (a1,a2,a3) lajitteluun tarkoitetulle algoritmille. Yllä merkintä i? j tarkoittaa vertailua alkioiden ai ja aj välillä. Puu haarautuu vertailun tuloksen mukaan. Puun lehti ilmaisee alkioiden järjestyksen, esimerkiksi <3,1,2> tarkoittaa, että alkioiden suuruusjärjestys on a3 a1 a2. Koska kolme alkiota voi olla 6 (= 3!) eri järjestyksessä, puussa on oltava vähintään kuusi lehteä. Olkoon taulukossa n alkiota ja olkoon A jokin vertailuun perustuva lajittelualgoritmi. Tällöin lajittelualgoritmia A vastaavassa puussa on oltava vähintään n! lehteä. Oletetaan, että puun syvyys on s: tällöin on olemassa sellainen taulukon alkujärjestys, että joudutaan tekemään s vertailua ennen kuin taulukko on järjestyksessä. Siten algoritmin kompleksisuus on s huonoimmassa tapauksessa s. Koska kyseessä on binääripuu, siinä on korkeintaan 2 lehteä. Siis, jotta jokaista alkujärjestystä vastaisi puun lehti, on oltava s n! 2 lg( n! ) s Koska luvun n kertomassa n! on vähintään n/2 lukua suuruudeltaan ainakin n/2, on selvää että n! ( n/ 2) ( n / 2) lg( n!) ( n/ 2)lg( n/ 2) (1/ 2) nlg n ( n/ 2) joten s ( 1/ 2) nlg n ( n/ 2) ( n lg n).

21 Näin ollen vertailuun perustuvan lajittelualgoritmin kompleksisuus on vähintään luokkaa nlg n. Siten lomituslajittelu ja pikalajittelu ovat kompleksisuudeltaan optimaalisia. On olemassa lajittelualgoritmeja, jotka toimivat nopeammin, esimerkiksi lineaarisessa ajassa. Edellä olevan tarkastelun mukaan ne perustuvat johonkin muuhun kuin pelkkään alkioiden vertailuun. Tällainen algoritmi on esimerkiksi laskentalajittelu, joka vaatii esitietona alkioiden ala- ja ylärajan (ks. [Cor], kappale 8.2). Tällöin voidaan laskemalla pitää tietoa siitä kuinka moni alkio on annettua alkiota pienempi ja saadaan taulukko järjestettyä lineaarisessa ajassa. Oletetaan, että luvut ovat väliltä [0,k], missä k on jokin positiivinen vakio. Seuraavassa laskentalajittelualgoritmi: Syöte: Taulukko A[1,..,n], n >= 1, luku k >= max(a) Tulostus: Taulukko B[1,..,n], jossa A:n alkiot suuruusjärjestyksessä LASKENTAAJITTELU(A,k) 1. varaa taulukko B[1,..,n] 2. varaa taulukko C[0,..k] // Väliaikainen työtaulukko 3. for i=0 to k 4. C[i] = 0 5. for j=1 to length(a) 6. C[A[j]] = C[A[j]]+1 // Taulukossa C[i] on niiden A:n alkioiden lukumäärä, jotka // yhtäsuuria kuin i 7. for i=1 to k 8. C[i] = C[i]+C[i-1] // Nyt taulukossa C[i] on niiden A:n alkioiden lukumäärä, jotka ovat // pienempiä tai yhtäsuuria kuin i // Seuraavaksi sijoitetaan A:n alkiot kerralla oikeaan kohtaan // taulukossa B 9. for j = length(a) downto B[C[A[j]]] = A[j] 11. C[A[j]] = C[A[j]] return B Esimerkki. Olkoon lajiteltava taulukko A: Silloin aputaulukon C indeksit ovat 0 4 ja rivin 8 suorituksen jälkeen taulukon C paikalla i on arvon i esiintymien lukumäärä taulukossa A. Siis C: Tämän jälkeen lasketaan taulukossa C peräkkäiset arvot yhteen vasemmalta alkaen, minkä jälkeen taulukossa C indeksi i kertoo taulukossa A arvoa i pienempien tai yhtäsuurien arvojen lukumäärän:

22 C: Täten taulukkoon B voidaan sijoittaa A:n alkiot heti oikealle paikalle, kun käydään taulukko A läpi. Riviltä 12 alkavan silmukan ensimmäisen kierroksen jälkeen (A[6] = 2, C[2] = 2) B: C: Nyt luku 2 on oikealla paikalla taulukossa B. Seuraavalla kierroksella (A[5] = 4, C[4] = 6) B: C: Näin jatkamalla saadaan kaikki taulukon A alkiot taulukkoon B oikealla paikalle. Lopussa B: C: Koska algoritmi käy taulukon A kahdesti läpi samoin kuin taulukon C, algoritmin kompleksisuus on luokkaa ( n k), missä n on taulukon A koko ja k taulukon A suurin alkio (kun oletetaan että A ei sisällä negatiivisia lukuja). Lähteet: [Cor] Cormen, T.H., Leiserson, C.E., Rivest, R.L., Stein, C. Introduction to Algorithms, 2 nd edition, The MIT Press 2001.

811312A Tietorakenteet ja algoritmit III Lajittelualgoritmeista

811312A Tietorakenteet ja algoritmit III Lajittelualgoritmeista 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 III Lajittelualgoritmeista Sisältö 1. Johdanto 2. Pikalajittelu 3. Kekolajittelu 4. Lajittelualgoritmien suorituskyvyn rajoista 811312A TRA, Lajittelualgoritmeista

Lisätiedot

3 Lajittelualgoritmeista

3 Lajittelualgoritmeista 3 Lajittelualgoritmeista Tässä osassa käsitellään edistyneempiä lajittelualgoritmeja, erityisesti keko- ja pikalajitteluja. Lisäksi perehdytään hieman lajittelualgoritmien suorituskyvyn rajoihin. Materiaali

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta kurssin alkuosasta II Algoritmien analyysi: oikeellisuus Algoritmin täydellinen oikeellisuus = Algoritmi päättyy ja tuottaa määritellyn tuloksen

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 12 Ke 15.2.2017 Timo Männikkö Luento 12 Pikalajittelu Pikalajittelun vaativuus Osittamisen tasapainoisuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu

Lisätiedot

1 Puu, Keko ja Prioriteettijono

1 Puu, Keko ja Prioriteettijono TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Puu, Keko ja Prioriteettijono Tässä luvussa käsitellään algoritmien suunnitteluperiaatetta muunna ja hallitse (transform and conquer) Lisäksi esitellään binääripuun

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 3 Ti 21.3.2017 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 3 Ti 21.3.2017

Lisätiedot

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella

Lisätiedot

ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012

ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 1.1. (a) Jaettava m, jakaja n. Vähennetään luku n luvusta m niin kauan kuin m pysyy ei-negatiivisena. Jos jäljelle jää nolla, jaettava oli tasan jaollinen. int m,

Lisätiedot

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä

Lisätiedot

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n)) Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia

Lisätiedot

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Lisäysjärjestämisessä järjestetään ensin taulukon kaksi ensimmäistä lukua, sitten kolme ensimmäistä lukua, sitten neljä ensimmäistä

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu 832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa

Lisätiedot

Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin

Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin jaetaan muut alkiot kahteen ryhmään: L: alkiot, jotka eivät suurempia kuin pivot G : alkiot, jotka suurempia kuin pivot 6 1 4 3 7 2

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PUURAKENTEET, BINÄÄRIPUU, TASAPAINOTETUT PUUT MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Esim. Viereinen kuva esittää erästä puuta. Tietojenkäsittelytieteessä puut kasvavat alaspäin.

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 11 Ti 14.2.2017 Timo Männikkö Luento 11 Algoritminen ongelmanratkaisu Osittaminen Lomituslajittelu Lomituslajittelun vaativuus Rekursioyhtälöt Pikalajittelu Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

8. Lajittelu, joukot ja valinta

8. Lajittelu, joukot ja valinta 8. Lajittelu, joukot ja valinta Yksi tietojenkäsittelyn klassisista tehtävistä on lajittelu (järjestäminen) (sorting) jo mekaanisten tietojenkäsittelylaitteiden ajalta. Lajiteltua tietoa tarvitaan lukemattomissa

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät

Lisätiedot

Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö

Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö Algoritmit 1 Demot 1 25.-26.1.2017 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka laskee kahden kokonaisluvun välisen jakojäännöksen käyttämättä lainkaan jakolaskuja Jaettava m, jakaja n Vähennetään luku

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 14 Ke 3.5.2017 Timo Männikkö Luento 14 Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke 3.5.2017 2/30 Ositus Tehtävän esiintymä ositetaan

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 3 Ti 17.1.2017 Timo Männikkö Luento 3 Algoritmin analysointi Rekursio Lomituslajittelu Aikavaativuus Tietorakenteet Pino Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 3 Ti 17.1.2017 2/27 Algoritmien

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 4 Ke 22.3.2017 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 4

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja 811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016 VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja Sisältö 1. Hajota ja hallitse-menetelmä 2. Dynaaminen taulukointi 3. Ahneet algoritmit 4. Peruuttavat algoritmit 811312A

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

v 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint.

v 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint. Yleiset hakupuut 4 Monitiehakupuu: Binäärihakupuu 0 1 3 5 6 7 8 v k 1 k k 3 v v 3 v 4 k 1 k 3 k 1 k k k 3 d lapsisolmua d 1 avainta Yleinen hakupuu? Tietorakenteet, syksy 007 1 Esimerkki monitiehakupuusta

Lisätiedot

Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003

Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Matti Nykänen 5. joulukuuta 2003 1 Satelliitit Muunnetaan luennoilla luonnosteltua toteutusta seuraavaksi: Korvataan puusolmun p kentät p. key ja

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

lähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa

lähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa Kekolajittelu Prioriteettijonolla toteutettu keko InsertItem ja RemoveMinElem: O(log(n)) Lajittelu prioriteettijonolla: PriorityQueueSort(lajiteltava sekvenssi S) alusta prioriteettijono P while S.IsEmpty()

Lisätiedot

5. Keko. Tietorakenne keko eli kasa (heap) on tehokas toteutus abstraktille tietotyypille prioriteettijono, jonka operaatiot ovat seuraavat:

5. Keko. Tietorakenne keko eli kasa (heap) on tehokas toteutus abstraktille tietotyypille prioriteettijono, jonka operaatiot ovat seuraavat: 5. Keko Tietorakenne keko eli kasa (heap) on tehokas toteutus abstraktille tietotyypille prioriteettijono, jonka operaatiot ovat seuraavat: Insert(S, x): lisää avaimen x prioriteettijonoon S Maximum(S):

Lisätiedot

Miten käydä läpi puun alkiot (traversal)?

Miten käydä läpi puun alkiot (traversal)? inääripuut ieman lisää aidon binääripuun ominaisuuksia lehtisolmuja on yksi enemmän kuin sisäsolmuja inääripuut tasolla d on korkeintaan 2 d solmua pätee myös epäaidolle binääripuulle taso 0: 2 0 = 1 solmu

Lisätiedot

4. Joukkojen käsittely

4. Joukkojen käsittely 4 Joukkojen käsittely Tämän luvun jälkeen opiskelija osaa soveltaa lomittuvien kasojen operaatioita tuntee lomittuvien kasojen toteutuksen binomi- ja Fibonacci-kasoina sekä näiden totetutusten analyysiperiaatteet

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit

Tietorakenteet ja algoritmit Tietorakenteet ja algoritmit Rekursio Rekursion käyttötapauksia Rekursio määritelmissä Rekursio ongelmanratkaisussa ja ohjelmointitekniikkana Esimerkkejä taulukolla Esimerkkejä linkatulla listalla Hanoin

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tutkimusmenetelmät-kurssi, s-2004

Tutkimusmenetelmät-kurssi, s-2004 Algoritmitutkimuksen menetelmistä Tutkimusmenetelmät-kurssi, s-2004 Pekka Kilpeläinen Kuopion yliopisto Tietojenkäsittelytieteen laitos Algoritmitutkimuksen menetelmistä p.1/20 Sisällys Tänään Tietojenkäsittelytiede

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu

Lisätiedot

1 Erilaisia tapoja järjestää

1 Erilaisia tapoja järjestää TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Erilaisia tapoja järjestää Käsitellään seuraavaksi järjestämisalgoritmeja, jotka perustuvat muihin kuin vertailuun alkioiden oikean järjestyksen saamiseksi. Lisäksi

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten TERMEJÄ Tietorakenne Tietorakenne on tapa tallettaa tietoa niin, että tietoa voidaan lisätä, poistaa, muokata ja hakea. Tietorakenteet siis säilövät tiedon niin,

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 I Johdanto Sisältö 1. Algoritmeista ja tietorakenteista 2. Algoritmien analyysistä 811312A TRA, Johdanto 2 I.1. Algoritmeista ja tietorakenteista I.1.1. Algoritmien

Lisätiedot

On annettu jono lukuja tai muita alkioita, joiden välille on määritelty suuruusjärjestys. Tehtävänä on saattaa alkiot suuruusjärjestykseen.

On annettu jono lukuja tai muita alkioita, joiden välille on määritelty suuruusjärjestys. Tehtävänä on saattaa alkiot suuruusjärjestykseen. 6. Järjestäminen On annettu jono lukuja tai muita alkioita, joiden välille on määritelty suuruusjärjestys. Tehtävänä on saattaa alkiot suuruusjärjestykseen. Tämä on eräs klassisimpia tietojenkäsittelyongelmia,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin.

3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin. 3. Hakupuut Hakupuu on listaa tehokkaampi dynaamisen joukon toteutus. Erityisesti suurilla tietomäärillä hakupuu kannattaa tasapainottaa, jolloin päivitysoperaatioista tulee hankalampia toteuttaa mutta

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 1 Ti 14.3.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin valinta Algoritmin analysointi Algoritmin suoritusaika Peruskertaluokkia Kertaluokkamerkinnät Kertaluokkien ominaisuuksia

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 11.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 11.2.2009 1 / 33 Kertausta: listat Tyhjä uusi lista luodaan kirjoittamalla esimerkiksi lampotilat = [] (jolloin

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

(a) L on listan tunnussolmu, joten se ei voi olla null. Algoritmi lisäämiselle loppuun:

(a) L on listan tunnussolmu, joten se ei voi olla null. Algoritmi lisäämiselle loppuun: Tietorakenteet ja algoritmit, kevät 201 Kurssikoe 1, ratkaisuja 1. Tehtävästä sai yhden pisteen per kohta. (a) Invariantteja voidaan käyttää algoritmin oikeellisuustodistuksissa Jokin väittämä osoitetaan

Lisätiedot

A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE KLO 12:00

A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE KLO 12:00 A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE 9.2.2005 KLO 12:00 PISTETILANNE: www.kyamk.fi/~atesa/tirak/harjoituspisteet-2005.pdf Kynätehtävät palautetaan kirjallisesti

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 11.2.2015 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu 111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 5 Ti 28.3.2017 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti 28.3.2017 2/29 B-puu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 5 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 5 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 5 Ti 24.1.2017 Timo Männikkö Luento 5 Järjestetty lista Järjestetyn listan operaatiot Listan toteutus taulukolla Binäärihaku Binäärihaun vaativuus Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 5 Ti

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja

Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja 58053-7 Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja Malliratkaisut ja pisteytysohje: Jyrki Kivinen Tentin arvostelu: Jouni Siren (tehtävät 1 ja 2) ja Jyrki Kivinen (tehtävät

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 25.4.2017 Timo Männikkö Luento 11 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Pelipuut Pelipuun läpikäynti Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti 25.4.2017 2/29

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 5, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 5, Ratkaisu 1312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2016-2017, Harjoitus 5, Ratkaisu Harjoituksen aihe ovat hash-taulukot ja binääriset etsintäpuut Tehtävä 5.1 Tallenna avaimet 10,22,31,4,15,28,17 ja 59 hash-taulukkoon,

Lisätiedot

Tietorakenteet (syksy 2013)

Tietorakenteet (syksy 2013) Tietorakenteet (syksy 2013) Harjoitus 1 (6.9.2013) Huom. Sinun on osallistuttava perjantain laskuharjoitustilaisuuteen ja tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. Näiden laskuharjoitusten

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO

TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Digitaali- ja Tietokonetekniikan laitos TKT-3200 Tietokonetekniikka ASSEMBLER: QSORT 11.08.2010 Ryhmä 00 nimi1 email1 opnro1 nimi2 email2 opnro2 nimi3 email3 opnro3 1. TEHTÄVÄ

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi

Lisätiedot

1.4 Funktioiden kertaluokat

1.4 Funktioiden kertaluokat 1.4 Funktioiden kertaluokat f on kertaluokkaa O(g), merk. f = O(g), jos joillain c > 0, m N pätee f(n) cg(n) aina kun n m f on samaa kertaluokkaa kuin g, merk. f = Θ(g), jos joillain a, b > 0, m N pätee

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

11. Javan toistorakenteet 11.1

11. Javan toistorakenteet 11.1 11. Javan toistorakenteet 11.1 Sisällys Laskuri- ja lippumuuttujat. Sisäkkäiset silmukat. Tyypillisiä ohjelmointivirheitä: Silmukan rajat asetettu kierroksen verran väärin. Ikuinen silmukka. Silmukoinnin

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Kysymyksiä koko kurssista?

Kysymyksiä koko kurssista? Kysymyksiä koko kurssista? Lisää kysymyksesi osoitteessa slido.com syötä event code: #8777 Voit myös pyytää esimerkkiä jostain tietystä asiasta Vastailen kysymyksiin luennon loppupuolella Tätä luentoa

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit syksy Laskuharjoitus 1

Tietorakenteet ja algoritmit syksy Laskuharjoitus 1 Tietorakenteet ja algoritmit syksy 2012 Laskuharjoitus 1 1. Tietojenkäsittelijä voi ajatella logaritmia usein seuraavasti: a-kantainen logaritmi log a n kertoo, kuinka monta kertaa luku n pitää jakaa a:lla,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot