Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia No, koska ratkaisua ei ole, se on keksittävä! Määritellään imaginaariyksikkö i (imaginary unit) seuraavalla tavalla: i 2 = 1 Täten esimerkiksi yhtälöllä ovat +i ja -i, koska x 2 1=0 onkin ei ainoastaan yksi vaan peräti kaksi ratkaisua Ne i 2 1=i 2 1= 1 1=0 Esimerkki 11 Ratkaise yhtälö x 2 x 1=0 x 2 x 1=0 x= 1± 12 4 1 1 2 = 1± 3 = 1± 3i 2 2 Vastaus: x= 1 3i 2 tai x= 1 3i 2 Kun reaalilukujen joukkoa laajennetaan imaginaarilukujen joukolla, saadaan kompleksilukujen joukko Sitä merkitään isolla, vahvennetulla seellä eli C :llä Tämä laajentaminen tapahtuu seuraavalla tavalla: Olkoon x R Silloin x x,0 C Samaistetaan siis luvut x ja (x,0), missä x on reaaliluku Tällöin myös R=C I, jos imaginaarilukujen joukkoa merkitään I:llä Kompleksiluku (complex number) on siis yleisesti muotoa (a,b) = a+bi, missä a,b R ja siis a bi C Jos valitaan b = 0, niin saadaan reaalilukujen joukko Kompleksiluvut käyttäytyvät muuten kuin reaaliluvut Ainoa varsinainen ero on, että kompleksilukuja ei voi asettaa suuruusjärjestykseen Ainoa suuruusjärjestyksen kaltainen asia kompleksiluvuilla on kompleksiluvun itseisarvo, jonka määritelmä on kovasti yhteensopiva reaaliluvun itseisarvon kanssa 1(10)
Määritelmä Kompleksiluvun a + bi itseisarvo on a bi = a,b reaaliluku a 2 b 2, jonka suuruus on nolla tai suurempi: a 2 b 2 =0 a = 0 ja b = 0 Määritelmä Kompleksiluvun a + bi reaaliosa (real part) on Re(a + bi) = a ja imaginaariosa (imaginary part) Im(a + bi) = b Määritelmä Kompleksiluvun a + bi liittokompleksiluvuksi (complex conjugate) sanotaan lukua a bi Huomaa hyödylliset kaavat: a bi a bi =a 2 b 2 = a bi 2 Esimerkki 12 Olkoot a + bi ja c + di Silloin a,b c,d =a bi c di=a c ci di=a c b d i= a c,b d ja x y= a,b c,d =a bi c di= a c,b d = c a,d b = b,a d,c = y x, jos x ja y ovat kompleksilukuja Esimerkki 13 Osoita, että a,b c,d = ac bd, ad cb a,b c,d = a bi c di =ac adi bci bd i 2 =ac bd ad bc i= ac bd,ad bc, siis a,b c,d = ac bd, ad cb Esimerkki 14 Laske 2 3i 3 2i 3 2 i 2 3i = 2 3 i 3 2i 3 2 =2 3 i Vastaus: 2 3 i 2(10)
Huomaa! Monet laskimet osaavat laskea kompleksiluvuilla Sellaisissa laskimissa tavalliset aakkoset on merkitty palkkiaakkosin, mutta imaginaariyksikkö pienellä, kursivoidulla i:llä Huomaa! Harjoitustehtäväsarjan 3 tehtävän 4 lukujen itseisarvot ovat 1 Jos nyt ajattelet kompleksiluvun reaaliosaa tavallisena x -koordinaattina ja imaginaariosaa y -koordinaattina ja piirrät nuo ykkösenjuuret koordinaatistoon, niin miltä näyttää? Löydätkö piirroksesi avulla myös 4 ja 5 ja niin edelleen ykkösenjuuret? Jakokulman käyttämisestä polynomien kanssa eli jakoalgoritmista Jakokulmaa käytetään polynomien välisessä jakolaskussa aivan vastaavalla tavalla kuin tiedät sitä käytettävän lukujen välisessä jakolaskussa Ideana on siis kokeilla järjestelmällisesti, kuinka monta kertaa jakaja voidaan vähentää jaettavasta Resepti eli suoritusohje, jota tässä käytetään on nimeltään jakoalgoritmi Esimerkki 15 Jaa polynomi x 3 6x 2 11x 6 polynomilla x 3 Suoritetaan jako jakokulmassa Se on seuraavan näköinen joten osamäärä jakaja jaettava, osamäärä x 3 x 3 6x 2 11x 6 Aloitin jaettavan plus merkillä, koska seuraavalle riville tulee merkki joka tapauksessa Tällä tavalla saan kaikki termit merkkeineen kohdakkain, ja merkeistä on nyt pidettävä tiukka vaari Rakennetaan osamäärä nyt pala palalta soveltamalla jakoalgoritmia Kiinnitetään aluksi huomio vain ja ainoastaan jaettavan ja jakajan ensimmäisiin termeihin Millä jakajan ensimmäinen termi pitää kertoa, että saadaan jaettavan ensimmäinen termi? No, x on kerrottava x 2 :lla että saadaan x 3 Tässä vaiheessa voimme kirjoittaa 3(10)
x 2 x 3 x 3 6x 2 11x 6 Kerrotaan koko jakaja tällä x 2 :lla ja kirjoitetaan tulos jaettavan alle siten, että samaa astetta olevat termit tulevat allekkain Sitten kertolaskun tuloksen jokaisen termin merkit vaihdetaan ja lasketaan yhteen jaettavan kanssa Huomaa, että kertolasku todellakin suoritetaan ensin oikeilla merkeillä ja sitten kaikki merkit vaihdetaan kerralla minkä jälkeen suoritetaan yhteenlasku Tällä tavalla merkkivirheen tekeminen ei ole yhtä todennäköinen kuin jos menetellään muulla tavalla Näin saadaan uusi jaettava Suosittelen lämpimästi, että sinä käyt seuraavan laskun läpi kynällä ja paperilla: älä tyydy pelkästään lukemaan oheista suoritusta Tilanne on nyt tämä: x 2 x 3 x 3 6x 2 11x 6 x 3 3x 2 3x 2 11x 6 Laskua jatketaan nyt toistamalla äskeinen menettely x 2 3x 2 x 3 x 3 6x 2 11x 6 x 3 3x 2 3x 2 11x 6 3x 2 9x 2x 6 2x 6 0 Huomaa äskeisessä laskussa suoritettu merkinvaihto, jota en erikseen merkinnyt näkyviin Viimeisellä rivillä on 0, koska lasku meni tasan Kuten tiedät, jako ei mene aina tasan Seuraavana sellainen esimerkki Käytä taas kynää ja paperia Esimerkki 16 Suorita jakolasku x 4 3x 3 5x 2 6x 2 x 2 x 1 4(10)
x 2 4x 2 x 2 x 1 x 4 3x 3 5x 2 6x 2 x 4 x 3 x 2 4x 3 6x 2 6x 2 4x 3 4x 2 4x 2x 2 2x 2 2x 2 2x 2 4 Koska jäljelle jäi vielä nelonen, joka on alempaa astetta kuin jakaja, ei laskua voi jatkaa Vastaus: Jako ei mene tasan: vaillinainen osamäärä on x 2 4x 2 ja jakojäännös on 4 Jos sattuu käymään niin, että jakojäännökseksi näyttää jäävän yhtä korkeaa tai peräti korkeampaa astetta oleva termi kuin jakaja, niin laskuissa on virhe Esimerkki 17 Suorita jakolasku x 3 2x 5 4x 3 x 2 x 1 Jaettava täytyy kirjoittaa jakokulmaan x:n alenevan potenssin mukaiseen järjestykseen Lisäksi jakokulmassa kannattaa jättää tilaa puuttuville termeille, koska muuten sarakkeet eivät täsmää 2x 3 2x 2 x 3 x 2 x 1 2x 5 x 3 4x 3 2x 5 2x 4 2x 3 2x 4 3x 3 4x 3 2x 4 2x 3 2x 2 x 3 2x 2 4x 3 x 3 x 2 x 3x 2 5x 3 3x 2 3x 3 2x Jako ei siis mene tasan, vaan jakojäännökseksi tulee 2x Vastaus: Vaillinainen osamäärä on 2x 3 2x 2 x 3 ja jakojäännös on 2x 5(10)
Yleisesti voidaan kirjoittaa P x S x =R x Q x Q x P x =Q x R x S x Tätä sanotaan polynomin jakoyhtälöksi Jako menee tasan, jos jakojäännös S(x) on nolla Tästä tiedosta on hyötyä joissakin teoreettisissa tehtävissä Polynomin nollakohdista Seuraavaa lausetta sanotaan algebran peruslauseeksi Algebran peruslause Jokaisella polynomiyhtälöllä on vähintään yksi juuri Tämä juuri on kompleksiluku eli se voi olla reaalinen tai imaginaarinen Kun vielä otetaan huomioon, että polynomi on tasan jaollinen muuttujansa ja juuren erotuksella, saadaan, että polynomilla P(x) = a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0, missä kaikki a i:t ovat kompleksilukuja ja a n 0, on n kappaletta nollakohtia Tällöin juuri x i lasketaan mukaan niin monta kertaa kuin P(x) on jaollinen binomilla x x i Siis Jos P x i =0, niin polynomi P x i on jaollinen binomilla x x i P x =a n x x n x x n 1 x x n 2 x x 1, kun P x i =0 aina, kun i=1n Tämä on polynomin P(x) tekijöihin hajotelma eli polynomin P(x) esitys tekijöittensä avulla Se on tekijöitten järjestystä vaille yksikäsitteinen Esimerkki 18 Esitä polynomi T x =3x 3 6x 2 15x 18 tekijöidensä tulona Heti huomataan, että polynomin eräs tekijä on 3 eli edellä olevaa merkintää käyttäen a n =3, jolloin siis T x =3 x 3 2x 2 5x 6 Jatketaan tarkastelemalla polynomia x 3 2x 2 5x 6 Jotta se voitaisiin jakaa tekijöihin, pitäisi löytää yksi sen nollakohdista Graafisesta laskimesta tai 6(10)
funktioitten graafisia esityksiä piirtävästä tietokoneohjelmasta on nyt apua Sellaisen avulla nähdään, että x = 1 voisi olla nollakohta Kokeillaan sitä ja todellakin: T 1 =0 Nyt voidaan suorittaa jakolasku: x 2 x 6 x 1 x 3 2x 2 5x 6 x 3 x 2 x 2 x 2 5x 6 x 6x 6 6x 6 0 Täten polynomilla on myös tekijä x 2 x 6, joten tähän mennessä on saatu tulos T x =3 x 1 x 2 x 6 Termi x 2 x 6 on vielä jaettava tekijöihin eli on ratkaistava toisen asteen yhtälö x 2 x 6=0 Sen ratkaisut ovat x = 2 tai x = 3 Polynomin T(x) esitys tekijöittensä tulona on siis T x =3 x 1 x 2 x 3 Vastaus: T x =3 x 1 x 2 x 3 Jos polynomiyhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja, ne on kohtalaisen helppo arvata laskimen avulla, ainakin jos ne eivät ole valtavan suuria Rationaalijuuret ovat hankalampi juttu graafisen laskimenkin avulla Onneksi on olemassa rationaalijuurilause Se kuuluu seuraavasti Rationaalijuurilause Jos kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 =0, a n 0 on rationaalilukuratkaisu x= p q, niin p on vakiotermin eli a 0:n tekijä ja q on korkeimman asteen termin eli a n:n tekijä Tässä x= p q on supistettu niin pitkälle kuin mahdollista Tämä lause on mahdollista todistaa niin, että sijoittaa juuren x= p q yllä olevaan polynomiyhtälöön edelleen yllä olevin oletuksin ja todeta, että se johtaa suoraviivaisella laskulla 7(10)
tilanteeseen, mistä väite näkyy En suorita tätä todistusta Jos haluat, voit etsiä käsiisi alan oppikirjan Vielä parempi idea varmasti on suorittaa nuo laskut itse Esimerkki 19 Esitä polynomi P x =12x 3 4x 2 3x 1 tekijöidensä tulona Oheisessa kuvassa on annetun polynomin P(x) kuvaaja nollakohtiensa lähistöllä Näyttää siltä, että mikään niistä ei ole kokonaisluku Tämä on siis rationaalijuurilauseen paikka! Koska 12=3 2 2, merkkejä vaille ja ykkösen tekijät ovat +1 ja 1, niin kokeiltavaksemme tulevat luvut ± 1 12, ± 1 4, ± 1 3, ± 1 2 Kokeilun tulos on, että juuria ovat 1 2, 1 2 ja 1 3 Koska juuria on toisaalta korkeintaan kolme, niin ne ovat tarkalleen nuo löydetyt kolme Lasketaan: x 1 2 x 1 2 x 1 3 =x3 x2 3 x 4 1 12 8(10)
Ei ihan etsitty, vaan 1 12 osa etsitystä Saamme tuloksen P x =12 x 1 2 x 1 2 x 1 3 = 2x 1 2x 1 3x 1 Vastaus: P x = 2x 1 2x 1 3x 1 Esimerkki 20 Ratkaise bikvadraattinen yhtälö 2x 4 3x 2 1=0 Merkitään y=x 2, jolloin yhtälö saadaan muotoon 2y 2 3y 1=0 Tämä on toisen asteen polynomiyhtälö y:n suhteen, joka ratkeaa toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla muotoon y 1 = 1 2 y 2 = 1 x 1 2 = 1 2 x 2 2 = 1 x 1 2 = 1 2 x 2 2 = 1 x 1 =± 1 2 i x 2 =±i Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat 2 2 i, i, i ja i 2 2 Esimerkki 21 Etsi yhtälön 2x 4 11x 3 18x 2 4x 8=0 kaikki juuret Hmmmm Kokeillaan rationaalijuurilauseen tehoa Tässä a n =a 4 =2 ja a 0 = 8, joten yhtälön rationaalijuuriehdokkaita ovat ±2, ±1, ± 1 2, ± 1 4, ± 1 8 Kokeilemalla nähdään, että 1 näistä vain 2 ja toteuttavat annetun yhtälön Mitä? Yhtälömme on 4 asteen polynomiyhtälö, 2 joten juuria piti olla 4! Onkohan näitten lisäksi imaginaarisia juuria? Tutkitaan asiaa jakamalla ensin pois löydettyjä juuria vastaavat tekijät x + 2 ja x 1 2 Jakolaskun jälkeen suorita sinä se! jäljelle jää polynomi 2x 2 8x 8=2 x 2 4x 4 =2 x 2 2 Täten termi x + 2 esiintyy alkuperäisen polynomin tekijöitten tulossa kolmeen kertaan Tämä merkitsee sitä, että juuri 2 on kyseisen polynomiyhtälön kolminkertainen juuri 9(10)
Yleisesti: Polynomiyhtälön P x =a n x x n x x n 1 x x n 2 x x 1 juuri x j on k kertainen juuri, jos sitä vastaava tekijäesityksen binomi x x i esiintyy tekijäesityksessä k kertaa eli polynomi x x j k on alkuperäisen polynomin P x tekijä Esimerkin 21 tapauksessa 2x 4 11x 3 18x 2 4x 8=2 x 1 2 x 2 4 eli tällä kertaa k = 4 10(10)