H = H(12) = {id, (12)},

7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen oikea sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on Hg = {hg : h H}. Jos kommutatiivisen ryhmän G laskutoimitusta merkitään additiivisesti, niin aliryhmän H G sivuluokkia merkitään x + H tai H + x. Esimerkki 7.1. Aliryhmän qz < (Z, +) vasemmat ja oikeat sivuluokat toteuttavat n + qz{n + kq : k Z} =[n] ={kq + n : k Z} = qz + n. Edellä tehty havainto yleistyy kaikille kommutatiivisille ryhmille: Lemma 7.2. Olkoon G kommutatiivinen ryhmä. Tällöin jokaiselle x G ja jokaiselle H G pätee xh = Hx. Yleisessä tapauksessa alkion x vasen ja oikea sivuluokka eroavat toisistaan. Esimerkki 7.3. Olkoon H = (12) <S 3.AliryhmänH vasemmat sivuluokat ovat Sen oikeat sivuluokat ovat H =(12)H = {id, (12)}, (123)H =(13)H = {(123), (13)} (132)H =(23)H = {(132), (23)} H = H(12) = {id, (12)}, H(123) = H(23) = {(123), (23)} H(132) = H(13) = {(132), (13)}. Osoittautuu siis, että vasen sivuluokka (123)H ei esiinny lainkaan oikeiden sivuluokkien kokoelmassa. Siis vasemmat ja oikeat sivuluokat määräävät kaksi erilaista ryhmän G ositusta. Usein, jos ryhmä G ei ole kommutatiivinen, sillä on aliryhmiä, joiden vasemmat ja oikeat sivuluokat eroavat toisistaan. Harjoitustehtävissä 84 86 tarkastellaan esimerkkiä ryhmästä, joka ei ole kommutatiivinen, vaikka sen kaikkien aliryhmien vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samoja joukkoja. Propositio 7.4. Olkoon G ryhmä, ja olkoon H sen aito aliryhmä. Tällöin (1) xh = yh, josjavainjosy 1 x H. ErityisestixH = H, josjavainjosx H. (2) Hx = Hy,josjavainjosxy 1 H. ErityisestiHx = H, josjavainjosx H. (3) Vasemmat sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen. (4) Oikeat sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen. (5) Joukot H, gh ja Hg ovat yhtä mahtavia. Todistus. (1) ja (2) Harjoitustehtävä 81. (3) Vasempien sivuluokkien yhdiste on koko G sillä x xh kaikille x G. Osoitetaan, että vasemmat sivuluokat leikkaavat vain, jos ne ovat sama sivuluokka. Jos xh yh, onh, h H, joillexh = yh.muttatällöin,josg xh, niin 42 ja ja

g = xh = yh h 1 h yh. Vastaavapäättelyantaainkluusiontoiseensuuntaan. Kohdan (4) todistus on samanlainen. (5) Vasemman sivuluokan määritelmän nojalla kuvaus l x : H xh, l x h = xh, on surjektio. Supistussäännöstä (Propositio 4.4) seuraa, että l x on injektio. Vastaavasti kuvaus r x : H Hx, r x h = hx, antaabijektionjoukkojenh ja Hx välille. Vasempien sivuluokkien kokoelmalle käytetään merkintää G/H ja oikeiden sivuluokkien kokoelmalle käytetään merkintää H\G. Jälkimmäistä merkintää ei pidä sekottaa joukkojen erotukseen. Aliryhmän qz < (Z, +) sivuluokkien joukko on kongruenssiluokkien joukko (modulo q). Tämä on selitys sille, miksi kongruenssiluokkien joukolle käytetään merkintää Z/qZ. Propositio 7.5. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. JoukotG/H ja H\G ovat yhtä mahtavia. Todistus. Harjoitustehtävä 82 Proposition 7.5 nojalla ryhmän ja sen aliryhmän suhdetta kuvaava indeksi voidaan määritellä kumman tahansa aliryhmään H liittyvän sivuluokkien joukon avulla. Määritelmä 7.6. Aliryhmän H<Gindeksi on Esimerkki 7.7. (a) [Z : qz] =q. [G : H] =#(G/H) =#(H\G). (b) Aliryhmän C 2 {e} indeksi ryhmässä C 2 C 2 on [C 2 C 2 : C 2 {e}] =2. (c) [R 2 : R {0}] =, silläsivuluokatovatr {a}, a R Lause 7.8 (Lagrangen lause). Olkoon G äärellinen ryhmä, ja olkoon H<G.Tällöin [G : H] = #G #H. Todistus. Proposition 7.4 nojalla kaikki sivuluokat ovat yhtä mahtavia ja sivuluokat osittavat ryhmän G. Propositio 7.9. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin g #G = e jokaiselle g G. Todistus. Olkoon H = g. Tällöin#H =ordg. KoskaLagrangenlauseenmukaan #G = k#h jollain k N, päteepotenssisääntöjenjalemman5.21nojalla g #G = g k ord g =(g ord g ) k = e k = e. Lagrangen lauseen mukaan äärellisen ryhmän G aliryhmien mahdolliset indeksit ja kertaluvut ovat ryhmän alkioiden lukumäärän tekijöitä. Esimerkki 7.10. Ryhmän S 3 kertaluku on 6, jotensenaliryhmienmahdolliset kertaluvut (ja indeksit) ovat 1, 2, 3 ja 6. Kolmenalkionpermutaatioidenryhmän 43

aliryhmärakenne on yksinkertainen ja sitä voi havainnollistaa aliryhmäkaaviolla: S 3 (123) (12) (13) (23) I Aliryhmäkaaviossa tarkasteltavan ryhmän aliryhmät asetellaan päällekäisille tasoille kertaluvun mukaan siten, että kertaluvultaan suuremmat ryhmät ovat ylemmillä tasoilla. Aliryhmä H yhdistetään janalla ylemmällä tasolla olevan aliryhmän K kanssa, jos H<Keikä ole aliryhmää L, jollepäteeh<l<k.ylläolevassakaaviossa I = {id}. Esimerkissä 7.10 permutaatioryhmällä S 3 on jokaista Lagrangen lauseen sallimaa kokoa olevia aliryhmiä. Aina ei kuitenkaan ole näin, Esimerkissä 7.27 osoitetaan, että ryhmällä A 4 ei ole kuuden alkion aliryhmää vaikka #A 4 =12=2 6. Määritelmä 7.11. Ryhmän G aliryhmä H on normaali, josgh = Hg kaikille g G. JosH on ryhmän G normaali aliryhmä, merkitään H G, aitoanormaalia aliryhmää merkitään H G. Propositioiden 7.4 ja 3.6 mukaan vasemmat sivuluokat määräävät ekvivalenssirelaation, jonka ekvivalenssiluokat ovat vasemmat sivuluokat ja vastaavasti oikeat sivuluokat määräävät ekvivalenssirelaation, jonka ekvivalenssiluokat ovat oikeat sivuluokat. Koska ryhmän G normaalin aliryhmän H vasemmat ja oikeat sivuluokat määräävät saman osituksen ryhmälle G, ne määräävät saman ekvivalenssirelaation. Tämä on oleellisen tärkeää tarkasteltaessa ryhmän G laskutoimituksen yhteensopivuutta sivuluokkien määräämän ekvivalenssirelaation kanssa Lauseessa 7.20. Esimerkki 7.12. (a) Ryhmä itse ja neutraalialkion muodostama aliryhmä ovat normaaleja. (b) Lemman 7.2 mukaan qz (Z, +) ja R {0} (R 2, +), muttaesimerkin7.3 aliryhmä (12) <S 3 ei ole normaali. Joissain tilanteissa normaalius on helppo tarkastaa: Propositio 7.13. Jos aliryhmän H<Gindeksi on kaksi, se on normaali. Todistus. Vasemmat sivuluokat ovat H ja G H, samoin oikeat sivuluokat. Lemma 7.14. Olkoon K G ja K<H<G.TällöinK H. Esimerkki 7.15. Olkoon n 3. Olkoonτ S n alkeispermutaatio. Vasen siirto l τ on bijektio joukkojen A n ja S n A n välillä. Siis #S n = n! =2#A n.lagrangen lauseen nojalla [S n : A n ]=2,jotenProposition7.13nojallaA n S n kaikilla n 3. Erityisesti C 3 = (123) = A3 S 3. Usein on kätevä käyttää seuraavaa normaalin aliryhmän karakterisointia: Propositio 7.16. Ryhmän G aliryhmä H on normaali, jos ja vain jos ghg 1 H kaikilla h H ja kaikilla g G 44

Todistus. Jos H on normaali, niin gh = Hg kaikille g G. Siisjokaiselleg G ja h H pätee gh = h g jollain h H, jotenghg 1 = h H. Jos taas kaikille g G ja h H pätee ghg 1 H, niinjokaiselleg G ja h H on h H, jolleghg 1 = h.siisgh = h g Hg,jotengH Hg kaikille g G. Samoin saadaan hg 1 g 1 H,jotenHg 1 g 1 H kaikille g G. Koskajokainen ryhmän G alkio on jonkin alkion käänteisalkio, väite on todistettu. Sovellamme Propositiota 7.16, kun osoitamme, että normaalit aliryhmät sopivat hyvin yhteen homomorfismien kanssa. Propositio 7.17. Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. (1) Olkoon H G. Tällöinφ(H) φ(g) =Imφ. (2) Olkoon H G.Tällöinφ 1 (H ) G. Todistus. (1) Proposition 5.8 nojalla φ(h) φ(g). Olkoota φ(h) ja g φ(g). Tällöin on a H ja g G, joillea = φ(a) ja g = φ(g). Nyt g a (g ) 1 = φ(g)φ(a)φ(g) 1 = φ(gag 1 ) φ(h), koska gag 1 H. VäiteseuraaProposition7.16nojalla. (2) Harjoitustehtävä 89. Propositiosta 7.17 saadaan tärkeänä erikoistapauksena Seuraus 7.18. Ryhmähomomorfismin ydin on normaali aliryhmä. Esimerkki 7.19. (a)a n =kerɛ S n. (b) SL n (R) =kerdet GL n (R). Proposition 7.17 kohdassa (1) on syytä pitää mielessä, että φ(h) ei välttämättä ole ryhmän G normaali aliryhmä: Jos H<Gon aliryhmä, joka ei ole normaali ja jos φ: G G on inkluusiokuvaus, ei tietenkään φ(h) =H ole ryhmän G normaali aliryhmä. Lause 7.20. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G aliryhmä. Tällöin vasempien tai oikeiden sivuluokkien määräämä ekvivalenssirelaatio on yhteensopiva ryhmän G laskutoimituksen kanssa, jos ja vain jos H on ryhmän G normaali aliryhmä. Todistus. (1) Oletetaan, että H on normaali. Olkoot x xh ja y yh. Tällöinon h 1,h 2,h 3 H, joillex = xh 1, y = yh 2 ja normaaliusoletuksen nojalla h 1 y = yh 3, joten x y = xh 1 yh 2 = xyh 3 h 2 xyh. Siis x y H = xyh Proposition 7.4 nojalla ja laskutoimitus on yhteensopiva sivuluokkien määräämän ekvivalenssirelaation kanssa. (2) Jos laskutoimitus on yhteensopiva vasempien sivuluokkien määräämän relaation kanssa, niin G/H varustettuna tekijälaskutoimituksella on ryhmä: Tekijälaskutoimituksen assosiatiivisuus osoitettiin Propositiossa 3.9. Koska luonnollinen homomorfismi on surjektiivinen, niin Proposition 1.16 nojalla se kuvaa ryhmän G neutraalialkion tekijälaskutoimituksen neutraalialkioksi, joka siisonh.tekijälaskutoimituksen määritelmän mukaan kaikille gh G/H pätee (gh)(g 1 H)=H, jotenlaskutoimituksella varustetun joukon G/H jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Luonnollinen homomorfismi on siis ryhmähomomorfismi G G/H ja sen ydin on H. Proposition7.17nojallaH on normaali. Lauseen 7.20 todistuksesta saadaan myös seuraava tulos: 45

Seuraus 7.21. Jos H G, niintekijäjoukkog/h varustettuna tekijälaskutoimituksella on ryhmä. Tekijäryhmän G/H neutraalialkio on H. Ryhmää G/H kutsutaan normaalin aliryhmän H määräämäksi ryhmän G tekijäryhmäksi. EsimerkiksiryhmäZ/qZ, jotatarkasteltiinesimerkin4.2kohdassa(a), on kongruenssia a b mod q vastaava kokonaislukujen ryhmän tekijäryhmä. Additiivisen ryhmän alkion x sivuluokalle käytetään merkintää x + H ja tekijäryhmän laskutoimitus on siis tällä merkintätavalla (x + H)+(y + H) =(x + y)+h. Sykliset ryhmät käyttäytyvät hyvin tekijäryhmienkin suhteen Propositio 7.22. Jokainen syklisen ryhmän tekijäryhmä on syklinen. Todistus. Harjoitustehtävä 91. Todistamme seuraavaksi tärkeimmän tekijäryhmiä koskevan tuloksen. Todistus on Lauseen 5.18(1) todistuksen yleistys. Lause 7.23 (Ryhmien (ensimmäinen) isomorfismilause). Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Tällöin Im φ = G/ ker φ. Todistus. Jos x ker φ = y ker φ, niinproposition7.4nojallajollainh ker φ pätee y = xh. Siis φ(y) =φ(xh) =φ(x)φ(h) =φ(x)e = φ(x). Tähän havaintoon perustuen määritellään kuvaus ψ : G/ ker φ Im φ, ψ(x ker φ) = φ(x), joka on homomorfismi: Olkoot x, y G. Tällöin ψ(x ker φ)ψ(y ker φ) = φ(x)φ(y) = φ(xy) = ψ(xy ker φ) = ψ(x ker φy ker φ). Määritelmän mukaan Im ψ Im φ ja jokaiselle x G pätee ψ(x ker φ) =φ(x), joten φ(x) Im ψ ja ψ on siis surjektio. Injektiivisyyden toteamiseksi osoitamme, että kuvauksen ψ ydin koostuu ainoastaan tekijäryhmän G/ ker φ neutraalialkiosta ker φ. Josψ(x ker φ) =e,niinφ(x) =e,jotenx ker φ, mistäproposition7.4(1) nojalla seuraa x ker φ =kerφ. Seuraus 7.24. Surjektiiviselle ryhmähomomorfismillle φ: G G pätee [G :kerφ] =#G. Lause 7.25. Olkoon φ: G G surjektiivinen ryhmähomomorfismi ja olkoon H G.TällöinG/φ 1 (H ) = G /H. Todistus. Proposition 7.17(2) mukaan H = φ 1 (H ) G. Olkoonπ : G G /H luonnollinen homomorfismi. Tällöin ψ = π φ: G G /H on surjektiivinen homomorfismi, jonka ydin on H. Lauseen7.23mukaanG/H = G /H. Esimerkki 7.26. (a) [Z 2 :(2Z) 2 ]=4sillä luonnollinen homomorfismi on surjektio, jonka ydin on (2Z) 2. Z 2 (k 1,k 2 ) (k 1 +2Z,k 2 +2Z) (Z/2Z) 2 (b) GL n (R)/SL n (R) = R koska det GL n (R) R on surjektiivinen homomorfismi. 46

Ryhmien isomorfismilause antaa vastaavuuden surjektiivisten homomorfismien ja normaalien aliryhmien välille: Jos N G, niinluonnollinenhomomorfismionsurjektiivinen homomorfismi G G/N, jonkaydinonh. Toisaaltajokaisenryhmähomomorfismin ydin on määrittelyryhmänsä normaali aliryhmä. Tämä vastaavuus ei kuitenkaan ole bijektiivinen sillä esimerkiksi homomorfismeilla exp: C C ja k exp, missäk on kompleksikonjugointi, on sama ydin ker k exp = ker exp = {k 2πi : k Z}. Esimerkki 7.27. Alternoiva ryhmä A 4 on mielenkiintoinen muun muassa euklidisen geometrian kannalta: Olkoot v 1 =(1, 1, 1), v 2 =(1, 1, 1), v 3 =( 1, 1, 1) ja v 4 =( 1, 1, 1) kolme avaruuden R 3 pistettä. Tetraedri T = {a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 : a 1,a 2,a 2,a 4 [0, 1]} on yksi kolmiulotteisen euklidisen avaruuden säännöllisistä monitahokkaista. Sillä on neljä kärkipistettä, sivua ja tahoa. Kaikki tetraedrin sivut ovat yhtä pitkiä keskenään ja kaikki tahot ovat tasasivuisia kolmioita. Tällä tavalla muodostetun tetraedrin painopiste on 0. Toinen tapa konstruoida tetraedri on muodostaa pyramidi, jonka pohjan muodostavat ykkösen kolmannet juuret kompleksitasossa, joka ajatellaan avaruuden R 3 tasoksi C = {x R 3 : x 3 =0} ja valitsemalla neljänneksi kärjeksi (0, 0, 2). Tällöin minkä tahansa kahden kärjen etäisyys toisistaan on 3.Tällätavallamuodostetun 1 tetraedrin painopiste on (0, 0, 2 ). 2 Euklidisen avaruuden R n ortogonaaliryhmä on O(n) ={A GL n (R) :A t A = I n } ja sen normaali aliryhmä erityinen ortogonaaliryhmä on SO(n) ={A O(n) :deta =1}. Kolmilulotteisen avaruuden erityisen ortogonaaliryhmän SO(3) neutraalialkiosta poikkeavat alkiot vastaavat avaruuden R 3 kiertoja jonkin (origon kautta kulkevan) suoran ympäri. Olkoon T tetraedri, jonka painopiste on origossa. Esimerkin 6.6 tarkastelun yleistys kolmeen ulottuvuuteen osoittaa, että ryhmä A 4 on isomorfinen säännöllisen tetraedrin symmetriaryhmän {A SO(3) : A(T )=T } kanssa. Esimerkiksi jokainen 3-sykli vastaa tetraedrin kiertoa kulman 2π verran sellaisen suoran ympäri, joka kulkee tetraedrin kärjen ja sen vastakkaisen tahon keski- 3 pisteen kautta. Alternoivan ryhmän A 4 kertaluku on #A 4 =4!/2 =12.JosH<A 4 on aliryhmä, jonka kertaluku on 6, niinlagrangenlauseennojalla[a 4 : H] =2.Proposition7.13 nojalla H A 4,jotenensimmäisenisomorfismilauseennojallaA 4 /H = C 2.Siis kaikille g G pätee g 2 H = ghgh = H, jotenproposition7.4(1)nojallag 2 H kaikille g G. Kaikki 3-syklit ovat parillisia permutaatioita, joten ne kuuluvat ryhmään A 4.Jos g A 4 on 3-sykli, niin g = g 4 =(g 2 ) 2 H. Kaikki3-syklit siis sisältyvät aliryhmään H. KuitenkinryhmässäA 4 on 83-sykliä, joiden siis pitäisi sisältyä kuuden alkion aliryhmään. Siis ryhmällä A 4 ei ole kuuden alkion aliryhmää. 47

Ryhmän A 4 aliryhmärakenne on seuraavan kaavion mukainen: A 22222222222222222222 4 2 K (123) (124) (134) (234) (12)(34) (13)(24) (14)(23) I Mitkä tahansa kaksi ryhmän A 4 kertaluvun 2 alkioista (12)(34), (13)(24) ja (14)(23) virittävät kaaviossa esiintyvän Kleinin neliryhmän K. Esimerkki 7.28. (a) Harjoitustehtävässä 47 osoitettiin, että ryhmän G automorfismit muodostavat ryhmän Aut(G). Olkoona G. Kuvausφ a : G G, φ a (g) = aga 1 on ryhmän G automorfismi: Se on homomorfismi: φ a (g)φ a (g )=(aga 1 )(ag a 1 )=(ag)(a 1 a)(g a 1 )=(ag)e(g a 1 ) =(ag)(g a 1 )=a(gg )a 1 = φ(gg ). Se on myös bijektio, koska sillä on käänteiskuvaus φ 1 a : G G: φ 1 a (g) =a 1 ga. Kuvaus φ a on ryhmän G sisäinen automorfismi. Ryhmän G sisäiset automorfismit muodostavat sisäisten automorfismien ryhmän Inn(G) ={φ a : a G} Aut(G). Harjoitustehtävässä 92 osoitetaan, että sisäisten automorfismien ryhmä on automorfismiryhmän normaali aliryhmä. Tekijäryhmä Out(G) =Aut(G)/ Inn(G) on ryhmän G ulkoisten automorfismien ryhmä. (b) Automorfismi φ a on identtinen kuvaus täsmälleen silloin, kun aga 1 = g kaikilla g G. TämänehdontoteuttavatalkiotmuodostavatryhmänG keskuksen Z(G) ={z G : zg = gz kaikilla g G}. Harjoitustehtävässä 93 osoitetaan, että Z(G) on ryhmän G normaali aliryhmä. Jos G on kommutatiivinen, niin Z(G) =G, jotentekijäryhmäg/z(g) tavallaan kuvaa ryhmän G epäkommutatiivisuutta. (c) Kuvaus ρ: G Inn(G), ρ(a) =φ a,onhomomorfismi.tämätarkastetaankuten Proposition 6.8 todistuksessa: Jos a, b G, niinkaikillex G pätee ρ(ab)(x) =φ ab (x) =(ab)x(ab) 1 = a(bxb 1 )a 1 = φ a (φ b (x)) = ρ(a) ρ(b)(x). Sisäisten automorfismien määritelmän nojalla Im(ρ) =ρ(g) =Inn(G). Lisäksi ρ(g) on identtinen automorfismi täsmälleen silloin, kun g Z(G), jotenryhmienisomorfismilauseen nojalla pätee Inn(G) = G/Z(G). 48

( ) 0 1 (d) Matriisi A = määrää ryhmän SL 1 0 2 (Z) sisäisen automorfismin φ A, ( )( )( ) ( ) 0 1 a b 0 1 d c φ A (B) = = = 1 0 c d 1 0 b a t (B 1 ). Harjoitustehtävässä 46 osoitettiin, että kuvaukset B B 1 ja C t C eivät ole ryhmän SL 2 (Z) automorfismeja. Kuitenkin niiden yhdistetty kuvaus on automorfismi! Harjoitustehtäviä. Tehtävä 81. Olkoon G ryhmä ja olkoon H sen aliryhmä. Osoita, että xh = yh, jos ja vain jos y 1 x H Tehtävä 82. Olkoon G ryhmä ja olkoon H < G.Osoita,ettätekijäjoukkojen välinen kuvaus b : G/H H\G, b(ah) =Ha 1 on bijektio. Tehtävä 83. Täydennä diedriryhmän D 4 aliryhmäkaavio D 4 H 1 H 2 H 3 6 6666666 J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 5 5555555 I Kaaviossa esiintyvien aliryhmien indeksit ovat [D 4 : J i ]=4ja [D 4 : H j ]=2kaikilla 1 i 5 ja 1 j 3. Olkoot ja A = B = ( ) i 0 SL 0 i 2 (C) ( ) 0 1 SL 1 0 2 (C). Olkoon H = A, B < SL 2 (C) matriisien A ja B virittämä aliryhmä. Tehtävä 84. Osoita, että ryhmä H ei ole kommutatiivinen ja että #H =8. Tehtävä 85. Osoita, että ryhmällä H on aliryhmien H ja {I} lisäksi neljä aliryhmää, jotka ovat kaikki normaaleja. Tehtävä 86. Piirrä ryhmän H aliryhmäkaavio. 83 Vihje: Kaikki ryhmät H j, 1 j 3 eivät ole isomorfisia. 84 Vihje: Tarkasta ensin, että BA = AB ja käytä tätä tietoa ja Propositiota 5.12 49

Tehtävä 87. Olkoon G äärellinen ryhmä. Olkoot K<H<G.OsoitaLagrangen lauseen avulla, että indekseille pätee: [G : K] =[G : H][H : K]. Tehtävä 88. Olkoon G ryhmä. Olkoot K<H<Gsiten, että [G : H] < ja [H : K] <. Osoita,ettäindekseillepätee: [G : K] =[G : H][H : K]. Tehtävä 89. Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Olkoon H G.Osoita, että φ 1 (H ) G. Tehtävä 90. Olkoon t A neliömatriisin A transpoosi, ja olkoon I n identtinen n n- matriisi. Olkoon O(n) ={A GL n (R) :A t A = I n }. Osoita, että O(n) < GL n (R). OnkoO(n) GL n (R)? Tehtävä 91. Olkoon C syklinen ryhmä. Osoita, että kaikki ryhmän C tekijäryhmät ovat syklisiä. Tehtävä 92. Olkoon G ryhmä. Osoita, että ryhmän G sisäiset automorfismit muodostavat ryhmän Aut(G) normaalin aliryhmän. Tehtävä 93. Osoita, että ryhmän G keskus Z(G) on kommutatiivinen normaali aliryhmä. Tehtävä 94. Määritä ryhmien S 3, D 3 ja C 2 C 2 keskukset. Tehtävä 95. Määritä ryhmien S 3, D 3 ja C 2 C 2 sisäiset automorfismiryhmät. Tehtävä 96. Olkoon { H 3 = 1 a c } 0 1 b : a, b, c R 0 0 1 Heisenbergin ryhmä, jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Osoita, että kuvaus ψ : H 3 (R 2, +), jokamääritelläänasettamalla ψ( 1 a c 0 1 b ) =(a, b), 0 0 1 on homomorfismi ja määritä sen ydin. Osoita, että tekijäryhmä H 3 / ker ψ on isomorfinen ryhmän (R 2, +) kanssa. 88 Vihje: Oletetaan, että G = m i=1 a ih ja H = n j=1 b jk.osoita, että G = m i=1 n j=1 a ib j K. 50