YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä tason pisteestä. Kiinteää pistettä kutsutaan ympyrän keskipisteeksi ja etäisyyttä keskipisteestä ympyrän säteeksi. Ympyräksi kutsutaan usein myös koko tasoaluetta eli kiekkoa, jonka reunakäyrä rajaa. Reunakäyrää sanotaan tällöin ympyrän kehäksi. 2. (pii tai Arkhimedeen vakio) on ympyrän kehän (p) suhde ympyrän halkaisijaan(d), eli
TERMEJÄ 3. Keskuskulma on kulma, joka muodostuu kahden säteen väliin. Keskuskulman kärki on ympyrän keskellä. Esim. 4. Kaari on ympyrän kehän osa. 5. Jänne on kahden ympyrän kehällä olevan pisteen välillä. Esim. jana BC ja AC 6. Kehäkulma on kulma, joka muodostuu kahden samasta pisteestä piirretyn jänteen väliin. Kehäkulman kärki ympyrän kehällä. Esim.
TERMEJÄ 7. Sekantti (ei kirjassa) on suora, joka leikkaa ympyrää kahdessa pisteessä. 8. Jänne ja sekantti jakavat ympyrän osiin, joita kutsutaan segmenteiksi.
MAOL S. 26
YMPYRÄN PINTA-ALA: YMPYRÄN KEHÄN PITUUS: MIKÄ ON KULMAA MIKÄ ON KULMAA VASTAAVAN KAAREN C PITUUS? VASTAAVAN SEKTORIN PINTA-ALA?
YMPYRÄN PINTA-ALA: YMPYRÄN KEHÄN PITUUS: MIKÄ ON KULMAA VASTAAVAN KAAREN C PITUUS? Koska kulma on neljäsosa koko ympyrän asteluvusta, myös kaaren C osuus koko ympyrän kaaresta on Sama matematiikaksi:
YMPYRÄN PINTA-ALA: YMPYRÄN KEHÄN PITUUS: MIKÄ ON KULMAA VASTAAVAN SEKTORIN PINTA-ALA? Koska kulma on neljäsosa koko ympyrän asteluvusta, myös kulmaa vastaavan sektorin pinta-alan (A) osuus koko ympyrän pinta-alasta on
Mikä on kulmaa vastaavan kaaren e pituus? MIKÄ on kulmaa vastaavan sektorin pinta-ala?
PINTA-ALA: KEHÄN PITUUS: Kulmaa vastaavan kaaren e pituus on MIKÄ on kulmaa vastaavan sektorin pinta-ala?
PINTA-ALA: KEHÄN PITUUS: Mikä on kulmaa MIKÄ on kulmaa vastaavan kaaren e pituus? vastaavan sektorin pinta-ala?
YMPYRÄ JA GEOGEBRA Osoitteessa www.otava.fi/juuridigi löytyy video, jossa esitellään, miten geogebraa voidaan käyttää apuna ympyrätehtävissä. Videon otsikko on Video: Kirjan s. 109.
Esim. Laskulistatehtävän 306 kohdat a ja c (b tehtävä itse!) A) Ympyrän kehän pituus on Laske ympyrän pinta-ala. Ympyrän kehän pituus. Tästä saadaan yhtälön avulla selville säde C) Ympyrän halkaisija on 10 ja kaaren pituus on. Mikä on kaarta vastaavan keskuskulman suuruus? Ympyrän halkaisijasta saadaan selville r: Nyt ympyrän kehän pituus on Kaarta vastaavan kulman osuus 360 asteesta on yhtä suuri, kuin kaaren pituuden ( ) osuus kehän pituudesta ( ), eli: Ympyrän pinta-ala on 2, joten 2 V: pinta-ala on V:
ESIM. LASKULISTAN TEHTÄVÄ 317 Ympyrän halkaisija on 26 cm. Ympyrään on piirretty segmentti, jota vastaava kaari on 18 cm pituinen. Laske segmentin pinta-ala. Koska halkaisija, säde Lasketaan ensin sektorin pinta-ala. Kehän pituus ( ) Ympyrän pinta-ala Segmentin pinta-ala saadaan, kun vähennetään sektorin pinta-alasta keskuskolmion pinta-ala. Keskuskolmion pinta-alan laskemista varten kolmio jaetaan kahteen samanmuotoiseen suorakulmaiseen kolmioon, joiden kanta ja korkeus selvitetään. Kannan ja korkeuden selvittämiseen tarvitaan keskuskulman suuruus.
ESIM. LASKULISTAN TEHTÄVÄ 317 Ympyrän halkaisija on 26 cm. Ympyrään on piirretty segmentti, jota vastaava kaari on 18 cm pituinen. Laske segmentin pinta-ala. Selvitetään keskuskulman ( ) suuruus. Koska halkaisija, säde (cm) Ympyrän pinta-ala (cm)
ESIM. LASKULISTAN TEHTÄVÄ 317 ( ) Ympyrän halkaisija on 26 cm. Ympyrään on piirretty segmentti, jota vastaava kaari on 18 cm pituinen. Laske segmentin pinta-ala. (cm) Koska halkaisija, säde (cm) Keskuskolmion pinta-ala on näin ollen: Ympyrän pinta-ala
ESIMERKKI Uolevin ja Kaalepin isoisä oli matemaattinen nero ja sotaevakko. Kun hän kuuli joutuvansa kymmenvuotiaana evakkoon, hän piilotti itselleen tärkeitä esineitä laatikossa vanhan sukutilan pihamaalle, koska vain tärkein omaisuus pystyttiin ottamaan mukaan. Jälkipolvilleen hän jätti ohjeet, joiden avulla laatikko voitaisiin löytää pihamaalta, mutta toistaiseksi kukaan ei ole osannut paikantaa laatikkoa. Uolevi päätti selvittää sijainnin. Mökin terassilta kuljetaan kymmenen metriä suoraan itään päin, jolloin tullaan ympyrän keskipisteeseen. Ympyrän kehä kulkee terassin ulkopäädyn keskipisteen kautta. Toisen ympyrän keskipiste on ensimmäisen ympyrän kehällä. Tiedetään, että toinen ympyrä peittää puolet ensimmäisen ympyrän pinta-alasta. Ensimmäisen ympyrän pohjoisimmasta kehäpisteestä kuljetaan toisen ympyrän säteen verran pohjoiseen, jolloin tullaan pisteeseen, jonne laatikko on haudattu. Kuinka kaukana terassin loppupisteestä laatikko on.
ESIMERKKI Mökin terassin ulkopäädyn keskipisteestä kuljetaan kymmenen metriä suoraan itään, jolloin tullaan ympyrän keskipisteeseen. Ympyrän kehä kulkee terassin ulkopäädyn keskipisteen kautta. Toisen ympyrän keskipiste on ensimmäisen ympyrän kehällä. Tiedetään, että toinen ympyrä peittää puolet ensimmäisen ympyrän pinta-alasta. Ensimmäisen ympyrän pohjoisimmasta kehäpisteestä kuljetaan toisen ympyrän säteen verran pohjoiseen, jolloin tullaan pisteeseen, jonne laatikko on haudattu. Kuinka kaukana terassin loppupisteestä laatikko on.