Scanclimber Oy Mastolavojen matematiikkaa
|
|
|
- Anja Lehtonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Koostanut Essi Rasimus Opettajalle Scanclimber Oy Mastolavojen matematiikkaa Kohderyhmä: luokka Esitiedot: Ympyrän tasogeometria, kulman suuruus, nopeuden yhtälö Taustalla oleva matematiikka: Ympyrän sektori ja jänne, sanallisen yhtälön muodostaminen ja ratkaisu, nopeuden yhtälö Ajankäyttö: 4 h projektityöskentelyyn, 1h esittelyyn ja keskusteluun Opetustilat: Oma luokka Tavoitteet: Projektin tavoitteena on tutustuttaa oppilaat mastolavojen matematiikkaan. Suunnittelu- ja myyntityössä tarvitaan paljon myös fysiikan perustaitoja. Kuvaus projektista: Projektissa on tarkoitus tehdä suunnitelma mastolavojen käytöstä vesitornin kunnostusprojektissa. Projektin lopussa ryhmät esittävät omat ratkaisunsa vesitornin kunnostukseksi. Opettaja jakaa luokan 3 hengen ryhmiin. Ryhmille jaetaan käytettäväksi 3, 4, 5 tai 6 mastolavaa. Ryhmät tekevät projektin aikana posteria, jonka avulla projekti esitellään lopuksi. Kuva 1: Mastolavoja vesitornin ympärillä [1] Tärkeintä ei ole oikeat vastaukset vaan oppilaiden kiinnostus ja yritys. Laskuissa tapahtuneita virheitä voidaan arvioida ja pohtia lopussa yhdessä, kun jokainen on pitänyt oman
2 myyntipuheensa. Opettaja voi kuitenkin ohjata ryhmiä oikeaan ratkaisuun vinkkien avulla. Oikeat vastaukset jokaiselle mastolavamäärälle on esitetty liitteessä 1. Vastauksien ohesta löytyy myös vinkki jänteen pituuden laskemiseen, joka voidaan käydä yhdessä koko luokan kanssa läpi. Mastolavojen asettelu Oppilaat suunnittelevat ja piirtävät, miten asettelevat mastolavat vesitornin ympärille. Lavoilta tulee olla pääsy jokaiseen kohtaan vesitornin ympärillä. Mallikuva on esitetty kuvassa Oppilaat piirtävät vesitornin ylhäältä päin katsottuna. Vesitorni on ylhäältä katsottuna ympyrä. Ympyrä jaetaan niin moneen saman kokoiseen sektoriin kuin mastolavoja on käytettävissä. Kuinka monta astetta yksi sektori on? 2. Lavan pituus on sama kuin sektorin jänteen pituus. Oppilaat laskevat tarvittavan lavan pituuden, kun vesitornin halkaisija on 19,5 metriä. Kuva 2: Mallikuva mastolavan sijoittelusta. 3. Lava koostuu peruslavasta, joka on mastossa kiinni, sekä peruslavan molemmille puolille lisättävistä lavajaksoista. Peruslavan pituus on 4,1 metriä ja yhden lavajakson 1,6 metriä. Oppilaat ratkaisevat, kuinka monta lavajaksoa tarvitaan, jotta lava olisi riittävän pitkä. Esimerkki kuvassa peruslava on esitetty sinisellä, jonka keskelle on merkitty masto, ja lavajaksot ruskealla.
3 Kuva 3: Lava ylhäältä päin kuvattuna. Peruslava esitetty sinisenä ja lavajaksot ruskealla. 4. Lavajaksojen tulee olla tasapainossa peruslavan molemmilla puolilla. Jos lavajaksoja tarvitaan pariton määrä, täytyy vajaaksi jäävän puolen lavalle laittaa lisäpaino, joka on yhtä painava kuin vastakkaisella puolella oleva lavajakso. Vajaalle puolelle piirretään lisäpaino. 5. Mastolavan ja vesitornin väliin jäävään alueeseen asetetaan ulokkeet, jotta koko lavan matkalta voidaan työskennellä vesitornissa kiinni. Ulokkeet piirretään kuvaan näkyviin. Mallikuvassa 2 ulokkeet on esitetty vihreällä katkoviivalla. 6. Oppilaat ratkaisevat, kuinka monta mastojaksoa tarvitaan yhteen mastolavaan. Lava liikkuu pystysuunnassa lavan keskellä olevan maston avulla. Masto alkaa 1 metrin korkeudelta maan pinnasta. Maston tulee olla 2,5 metriä korkeampi kuin vesitorni, jotta lavakorkeus olisi vesitornin huipun kohdalla. Masto koostuu pienemmistä mastojaksoista, joiden korkeus on 1,25 metriä. Vesitorni on 38 metriä korkea. (Vastaus: 32 mastojaksoa yhteen mastolavaan) Lavan kantavuus Oppilaat piirtävät lavan ylhäältä päin katsottuna. Lava on leveydeltään 1,6 metriä ja lavan pituus määräytyy lavajaksojen määrän mukaisesti. Peruslava on 4,1 metriä pitkä. Keskelle peruslavaa tulee masto, jolloin maston molemmille puolille jää 1,6 metriä lastaustilaa. Lasketaan, kuinka paljon yhden lavan kantavuus on. 1. Oppilaat laskevat peruslavan ympärille lisättyjen lavajaksojen massat yhteen, kun yhden lavajakson massa on 158 kilogrammaa. Laske tähän summaan myös mahdollinen lisäpaino, jonka massa on yhtä suuri kuin yhden lavajakson. 2. Lavan ja vesitornin väliin jäävän ulokkeen massa riippuu siitä, kuinka pitkä lava yhdessä mastolavassa on. Mitä useampi mastolava on käytössä, sitä pienemmät ulokkeet tarvitaan. Oppilaat tutkivat taulukosta 1 tarvittavan ulokkeen massan.
4 Taulukko 1: Lavan ja vesitornin väliin jäävien ulokkeiden massat Mastolavojen määrä vesitornin ympärillä Lavan ja vesitornin väliin jäävän ulokkeen massa (kg) Peruslavan kantavuus on 2700 kg. Oppilaat ratkaisevat, kuinka paljon mastolavan kantavuus on, kun peruslavan kantavuudesta vähennetään lavajaksojen ja ulokkeiden massat sekä lavaa käyttävien henkilöiden massa. Mastolavan kantavuuden henkilövähennykseksi lasketaan aina 320 kilogrammaa (3 henkilöä). Kuljetuksen kesto Tässä osassa lasketaan, kuinka kauan mastolavoja tarvitaan kunnostusprojektia varten. Tavaraa siirrettäessä materiaali on lastattava maanpinnalla lavalle, nostettava vesitornin huipulle ja asennettava ylhäällä. Tavaran lastaukseen maanpinnalta lavalle kuluu 45 minuuttia ja tavaran asentamisessa lavalta vesitorniin tarvitaan 1 tunti ja 20 minuuttia. Lava liikkuu nopeudella 7 m/min. Lava liikkuu samalla nopeudella lastattuna ylös ja tyhjänä alas. 1. Kuinka monta minuuttia mastolavalla kestää liikkua maanpinnalta ylös? Vesitornin korkeus oli 38 metriä. 2. Kuinka monta minuuttia kuluu yhteen nostoon eli lastauksesta siihen asti, kun lava on taas maanpinnalla? (Oikea vastaus: noin 136 minuuttia) 3. Koko vesitornin remonttia varten tarvittavaa materiaalia on kg. Aiemmin tutkitun kantavuuden avulla selvitetään, kuinka monta nostoa tämän materiaalin kuljetus vaatii. 4. Kuinka kauan tämän määrän nostaminen vesitorniin kestää minuuteissa? Ottakaa huomioon, kuinka monta mastolavaa teillä on samaan aikaan käytössä. 5. Päivässä töitä tehdään 7 tuntia ja 15 minuuttia. Kuinka monta päivää tavaroiden nostamiseen kuluu? (työpäivässä on 435 minuuttia)
5 Laitteiden hinta Suunnitteluvaiheessa täytyy tutkia myös laitteiden kustannuksia. Jokainen ryhmä laskee, kuinka paljon heidän suunnittelemansa ratkaisu maksaa. Taulukossa 2 on laitteiden osien hintoja. Jokaiseen mastolavaan tarvitaan yksi alusta. Taulukko 2: Mastolavan osien hintoja Osa Hinta (k ) Alusta 25 Peruslava (sis. laite) 57 Lavajakso 3 Mastojakso 1 Vertailu Jokainen ryhmä esittelee luokalle suunnittelemansa ratkaisun. Jos useampi ryhmä on tehnyt suunnitelman samalla määrällä mastolavoja, esiteltävät osuudet jaetaan ryhmien kesken. Esittelyssä on esitettävä ainakin ratkaisu, miten lavat jaetaan vesitornin ympärille, miltä yhden maston lava näyttää, kuinka paljon on yhden lavan kantavuus, kuinka monta työpäivää remonttiin kuluu tällä ratkaisulla ja kuinka paljon suunnitelma tulee maksamaan. Esittelyiden jälkeen luokassa keskustellaan opettajan johdolla parhaasta ratkaisusta. Yritysvierailu Yritysvierailu voidaan sopia osaksi projektin suorittamista varten. Yritysvierailulle voidaan ottaa mukaan valmistuneet posterit ja esitellä ne yrityksen esittelijälle. Sopiaksesi yritysvierailun ota yhteyttä yritykseen sähköpostilla (marketing@scanclimber.com). Lähteet: [1] J. Salminen, Oulunsalon vesitorni, , Scanclimber Oy.
6 Liite 1: Projektin oikeat vastaukset Mastolavojen määrä Sektorit ( ) Lavan pituus (m) 16,9 13,8 11,5 9,75 Lavajaksoja yhdessä mastolavassa (kpl) Pariton, lisäpaino! Mastojaksoja kaikissa mastolavoissa yhteensä (kpl) Kantavuus (kg) Kokonaisuudessaan tarvittavien nostojen määrä (kpl) Nostojen kesto yhteensä (min) (Tässä on huomioitu mastolavojen määrä) Työpäiviä remonttiin (kpl) Hinta (k ) Jänteen pituuden laskeminen Kuvassa jännettä on merkitty kirjaimella j, vesitornin sädettä kirjaimella r ja sektorin puolikasta α. Jänne voidaan ratkaista käyttämällä trigonometrisia funktioita seuraavasti Tästä ratkaistuna jänteen pituus on sin(α) = j/2 r. j = 2r sin(α).
7 Scanclimber Oy Mastolavojen matematiikkaa Projektin tarkoituksena on myydä asiakasyritykselle mastolavoja vesitornin kunnostusprojektiin. Luokka jakautuu 3-4 hengen ryhmiin. Projektista arvioidaan ryhmätyöskentely, projektin aikana tehtävä posteri ja sen esittely. Opettaja jakaa ryhmille käytettäväksi 3, 4, 5 tai 6 mastolavaa. Valmistakaa projektin edetessä posteria, jonka avulla esittelette myyntiehdotuksenne asiakkaalle projektin lopussa. Posterin tulee sisältää ainakin: - Kuva mastolavojen asettelusta vesitornin ympärille. - Kuva yhdestä lavasta ylhäältä päin katsottuna. - Kuinka monta työpäivää remonttiin kuluu tällä ratkaisulla. - Kuinka paljon suunnitelman toteutus maksaa. PERUSTIETOJA Vesitornin halkaisija = 19,5 m Vesitornin korkeus = 38 m Peruslavan pituus = 4,8 m Lavajakson pituus = 1,6 m Lavajakson massa = 158 kg Mastojakson korkeus = 1,25 m Lavan nopeus = 7 m/min Kuva 1: Mastolavoja vesitornin ympärillä A. Mastolavojen asettelu 1
8 Piirtäkää vesitorni ylhäältä päin katsottuna ympyränä. Mastolavat piirretään vesitornin ympärille ohjeiden mukaan niin, että lavoilta on pääsy jokaiseen kohtaan vesitornin ulkopuolella. 1. Jakakaa ympyrä yhtä moneen sektoriin kuin lavoja on käytettävissä. Kuinka monta astetta yksi sektori on? 2. Lavan pituus on sama kuin sektorin jänteen pituus. Laskekaa sektorin jänteen pituus. Katso kuva 2. (Vinkki: jakakaa sektorin kulman ja jänteen rajaama kolmio kahdeksi yhtä suureksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Ratkaiskaa suorakulmaisen kolmion avulla puolikkaan jänteen pituus.) Kuva 2: Vesitorni ja lava ylhäältä päin kuvattuna. 3. Lava koostuu: - peruslavasta, joka on mastossa kiinni (kuvassa 3 sinisellä). - peruslavan molemmille puolille lisättävistä lavajaksoista (kuvassa 3 ruskealla). Peruslavan pituus on 4,1 metriä ja yhden lavajakson 1,6 metriä. Kuinka monta lavajaksoa tarvitset yhteensä, jotta lava olisi riittävän pitkä? Piirrä. Kuva 3: Lava ylhäältä päin kuvattuna. Peruslava sinisellä ja lavajaksot ruskealla. Masto merkitty rastilla. 4. Jos lavajaksoja tarvitaan pariton määrä, täytyy vajaaksi jäävän puolen lavalle laittaa lisäpaino, joka on yhtä painava kuin vastakkaisella puolella oleva lavajakso. Vajaalle puolelle piirretään lisäpaino. 2
9 5. Mastolavan ja vesitornin väliin jäävälle alueelle asetetaan ulokkeet, jotta koko lavan matkalta voidaan työskennellä vesitornissa kiinni. Piirrä ulokkeet kuvaan näkyviin (mallikuvassa 2 esitetty vihreällä viivalla). 6. Lava liikkuu pystysuunnassa lavan keskellä olevan maston avulla. - Masto alkaa 1 metrin korkeudelta maan pinnasta. - Maston tulee olla 2,5 metriä korkeampi kuin vesitorni, jotta lavalta voidaan työskennellä vesitornin huipun kohdalla. - Masto koostuu pienemmistä mastojaksoista, joiden korkeus on 1,25 metriä. - Vesitorni on 38 metriä korkea. Kuinka monta mastojaksoa tarvitaan yhteen mastolavaan? (Vinkki: Piirrä masto ja vesitorni, merkitse kuvaan tarvittavat mitat.) B. Mastolavan kantavuus Kohdassa A on piirretty yksi lava ylhäältä päin. Ratkaistaan ohjeiden mukaan, kuinka paljon yhden lavan kantavuus on. 1. Laske peruslavan ympärille lisättyjen lavajaksojen massat yhteen, kun yhden lavajakson massa on 158 kilogrammaa. Laske tähän summaan myös mahdollinen lisäpaino, jonka massa on yhtä suuri kuin yhden lavajakson. 2. Lavan ja vesitornin väliin jäävän ulokkeen massa riippuu siitä, kuinka monta mastolavaa on käytössä. Mitä useampi mastolava on käytössä, sitä pienemmät ulokkeet tarvitaan. Lue taulukosta 1 tarvittavan ulokkeen massa. Taulukko 1: Lavan ja vesitornin väliin jäävien ulokkeiden massat Mastolavojen määrä vesitornin ympärillä Lavan ja vesitornin väliin jäävän ulokkeen massa (kg) Laske, kuinka paljon mastolavan kantavuus on, kun peruslavan kantavuudesta vähennetään lavajaksojen ja ulokkeiden massat sekä lavaa käyttävien henkilöiden massa. - Peruslavan kantavuus on 2700 kg. - Mastolavan kantavuuden henkilövähennys on 320 kg (3 henkilöä). 3
10 C. Kuljetuksen kesto Tässä osassa selvitetään, kuinka kauan mastolavoja tarvitaan kunnostusprojektia varten. Tavaraa siirtäessä materiaali on lastattava maanpinnalla lavalle, nostettava vesitornin huipulle ja asennettava ylhäällä. - Tavaran lastaukseen maanpinnalta lavalle kuluu 45 minuuttia. - Asennus lavalta vesitorniin kestää 1 tunti ja 20 minuuttia. - Lava liikkuu nopeudella 7 m/min. (samalla nopeudella lastattuna ylös ja tyhjänä alas) 1. Kuinka monta minuuttia mastolavalla kestää liikkua maanpinnalta ylös? 2. Kuinka monta minuuttia kuluu yhteen nostoon eli lastauksesta siihen asti, kun lava on taas maanpinnalla? 3. Koko vesitornin remonttia varten tarvittavaa materiaalia on kg. Kuinka monta nostoa tämän materiaalin kuljetus vaatii? (Vinkki: kohdassa B ratkaistu kantavuus.) 4. Kuinka kauan tämän määrän nostaminen vesitorniin kestää minuuteissa? Ottakaa huomioon, kuinka monta mastolavaa teillä on samaan aikaan käytössä. 5. Päivässä töitä tehdään 7 tuntia ja 15 minuuttia. Kuinka monta päivää tavaroiden nostamiseen kuluu? D. Laitteiden hinta Asiakkaalle ratkaiseva tekijä on myös laitteiden kustannukset. Laskekaa taulukon 2 hintojen avulla koko suunnitelmanne hinta. Jokaiseen mastolavaan tarvitaan yksi alusta. (Vinkki: Laskekaa ensin yhden laitteen kustannukset ja sen jälkeen koko projektin kustannus.) Taulukko 2: Mastolavan osien hintoja Osa Hinta (k ) Alusta 25 Peruslava (sis. laite) 57 Lavajakso 3 Mastojakso 1 E. Vertailu Opettajan johdolla jokainen ryhmä esittelee luokalle suunnittelemansa ratkaisun. Esittelyssä tulee olla ainakin: - Kuva mastolavojen asettelusta vesitornin ympärille. - Kuva yhdestä lavasta ylhäältä päin katsottuna. - Kuinka monta työpäivää remonttiin kuluu tällä ratkaisulla. - Kuinka paljon suunnitelman toteutus maksaa. Esityksen jälkeen palauttakaa opettajalle suunnittelemanne posteri. 4
Scanclimber Oy Mastolavojen matematiikkaa
Koostanut Essi Rasimus Opettajalle Scanclimber Oy Mastolavojen matematiikkaa Kohderyhmä: 8. - 9. -luokka Esitiedot: Ympyrän tasogeometria, kulman suuruus, nopeuden yhtälö Taustalla oleva matematiikka:
Trestima Oy Puuston mittauksia
Koostanut Essi Rasimus ja Elina Viro Opettajalle Trestima Oy Puuston mittauksia Kohderyhmä: 9-luokka Esitiedot: ympyrä, ympyrän piiri, halkaisija ja pinta-ala, lieriön tilavuus, yhdenmuotoisuus, yksikkömuunnokset
Juoksun ja pituushypyn matemaattinen mallintaminen
Koostanut: Juho Salminen, Elina Viro, Essi Rasimus Opettajalle Juoksun ja pituushypyn matemaattinen mallintaminen Kohderyhmä: Luokat 8-9 Esitiedot: Vertailuprosentti Taustalla oleva matematiikka: Suoran
YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka
1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja
Kuuluisat matemaatikot tutuiksi
Koostanut: Elina Viro Opettajalle Kuuluisat matemaatikot tutuiksi Kohderyhmä: Projekti voidaan toteuttaa 7., 8., 9. luokalla, mutta 9. luokalla taustalla oleva matematiikka on tutuinta. Esitiedot: - Taustalla
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Mopoilua. Tavoitteet: TEEMA 1:
Koostanut: Elina Viro Opettajalle Mopoilua Kohderyhmä: 9. luokka Esitiedot: Prosenttilaskenta, ensimmäisen asteen yhtälö, koordinaatisto Taustalla oleva matematiikka: Funktiot, funktion kuvaaja, prosenttilaskenta,
15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Tasapainotehta via vaakamallin avulla
Tasapainotehta via vaakamallin avulla Aihepiiri Luokka-aste Kesto Tarvittavat materiaalit / välineet Asiasanat Lausekkeet ja yhtälöt 7.-8. luokka 20 30 minuuttia Piirtoheitin, 2 kalvoa, erimuotoisia paloja
Trestima Oy Puuston mittauksia
Trestima Oy Puuston mittauksia Projektissa tutustutaan puuston mittaukseen sekä yritykseen Trestima Oy. Opettaja jakaa luokan 3 hengen ryhmiin. Projektista arvioidaan ryhmätyöskentely, projektiin osallistuminen
Pientä pintaremonttia
Koostanut Anne Kivistö ja Elina Viro Pientä pintaremonttia Opettajalle Kohderyhmä: 7.-9.luokka Esitiedot: Peruslaskutaidot, käsitys piirin ja pinta-alan laskemisesta Taustalla oleva matematiikka: Piiri,
Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
Metso Minerals. Lyhyt kuvaus projektista: Oppilaat työskentelevät neljän henkilön ryhmissä, joissa jokaisessa on
Koostanut: Elina Viro, Kaisa Poikela, Metso Minerals Opettajalle Metso Minerals Kohderyhmä: 9. luokka Esitiedot: Prosenttilaskenta, taulukon tulkinta, koordinaatisto, trigonometria, ensimmäisen asteen
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
Peruskoulun matematiikkakilpailu
Peruskoulun matematiikkakilpailu 6.11.2013 Työskentelyaika 50 minuuttia. Laskinta ei saa käyttää. Muista perustelut! Perustele tehtävät 3-8 laskulausekkeella, piirroksella tai selityksellä. Tehtävät 1-3
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
Sovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Loppukilpailu perjantaina OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20. Peruskoulun matematiikkakilpailu
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 31.1.2014 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015
MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 Tehtäviin sisältyy Merikiikarin avulla suoritettavia mittauksia ja trigonometrian avulla suoritettavia laskutehtäviä. Tarvikkeet: Merikiikarit,
Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
TEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
2 SC5000 Pos 1 K Ä Y T T Ö O H J E K I R J A 01_
1. YLEISTÄ 1. YLEISTÄ... 3 1.1. NOSTOLAVAN KUVAUS... 3 1.2. PERUSLAITEKOKONAISUUS SC5000 PYÖRÄ- ALUSTAISENA 16.9 M PITKÄLLÄ TYÖLAVALLA... 8 1.3. TAKUUEHDOT... 11 1 2 SC5000 Pos 1 K Ä Y T T Ö O H J E K
Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Voiman momentti M. Liikemäärä, momentti, painopiste. Momentin määritelmä. Laajennettu tasapainon käsite. Osa 4
Osa 4 Liikemäärä, momentti, painopiste Voiman momentti M Voiman vääntövaikutusta mittaava suure on momentti. Esim. automerkkien esitteissä on mainittu moottorin momentti ("vääntö"). Moottorin antama voima
Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
1. YLEISTÄ SC4000 1 SC4000 K Ä Y T T Ö O H J E K I R J A
1. YLEISTÄ 1. YLEISTÄ... 3 1.1. NOSTOLAVAN KUVAUS... 3 1.2. PERUSLAITEKOKONAISUUS PYÖRÄ- ALUSTAISENA 12.5 M PITKÄLLÄ TYÖLAVALLA... 8 1.3. TAKUUEHDOT... 11 1 2 1. YLEISTÄ 1.1. NOSTOLAVAN KUVAUS Scaninterin
Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5
Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =
3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Graafiteoria matematiikkaako?
Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
Koostanut: Anne Ranta-Nilkku, Elina Viro. Funktiot arjessani
Koostanut: Anne Ranta-Nilkku, Elina Viro Opettajalle Funktiot arjessani Kohderyhmä: 9. luokka Esitiedot: Koordinaatisto Taustalla oleva matematiikka: Riippuvuus, riippuvuuden esittäminen muuttujien avulla,
0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
Tarjousten prosenttilaskentaa
Koostanut: Elina Viro Opettajalle Tarjousten prosenttilaskentaa Kohderyhmä: 8. luokka tai 9. luokka (prosenttilaskennan kertauksena) Esitiedot: Prosenttilaskentaa Taustalla oleva matematiikka: Prosenttiluvun
massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
Kenguru 2015 Cadet Ratkaisut
sivu 1 / 16 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA
PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
1 Laske ympyrän kehän pituus, kun
Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin
MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
Tuen tarpeen tunnistaminen
Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi toinen luokka kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
1.1 Funktion määritelmä
1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen
Integrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.
AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka
Algebran ja Geometrian laskukokoelma
Algebran ja Geometrian laskukokoelma A. Potenssien laskusäännöt Sievennä 1. (r 3 ) 4 2. (2a 3 ) 3 3. x 3 x 5 4. k11 k 5 5. 2a2 a 7 5a 3 6. (-3x 2 y 3 ) 3 7. ( 1 4 ) 3 8. (2 a2 Lisätehtäviä b 3)3 9. (a
1 Kertausta geometriasta
1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat
* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli
Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat
MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet
MAA. Koe Jussi Tyni 0.9.0 Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet A-OSIO Vastaa tehtävistä A A kahteen ja palauta vastaukset. Tähän osioon on käytettävissä
Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry. Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 2014
Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 04 Koepakettiin kuuluu: I. Tehtäväpaketti, joka sisältää A. päässälasku- ja monivalintatehtävät B.
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka
2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (