Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
|
|
|
- Kirsi Keskinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) c) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 1+x+ =? (1 p.) d) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 4x 16 =? (1 p.) e) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön x >? (1 p.) f) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön x + 1 <? (1 p.) Ratkaisu: a) Yhtälö x = toteutuu jos ja vain jos x on tai x on -. Vastaus: Reaaliluvut ja -. Sarja B: x =, Vastaus: ja -. Sarja C: x =, Vastaus: ja -. Sarja D: x = 7, Vastaus: 7 ja -7. b) Yhtälö x = toteutuu jos ja vain jos x on tai x on. Vastaus: Reaaliluvut ja. Sarja B: x =, Vastaus: ja. Sarja C: x =, Vastaus: ja. Sarja D: x = 7, Vastaus: 7 ja 7. c) Huomataan, että Vastaus: Reaaliluku. Sarja B: 1+x+ =, Vastaus:. Sarja C: 1+x+9 =, Vastaus:. Sarja D: 1+x+1 = 7, Vastaus: x + = 1 + x + = 1 + x + = 6 x + 4 = 6 x = 6 4 x =. 1
2 d) Huomataan, että Paraabelin y = x 4x 18 nollakohdat ovat x 4x 16 = x 4x 18 = 0. x = ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 18) 1 = 4 ± = 4 ± 4 (4 + 18) = 4 ± = ±. Vastaus: Reaaliluvut + ja. Sarja B: x 4x 1 =, Vastaus: + ja. Sarja C: x 4x 1 =, Vastaus: + ja. Sarja D: x 4x 11 = 7, Vastaus: + ja. e) Epäyhtälö x > toteutuu jos ja vain jos x > tai x <. Vastaus: Lukua aidosti suuremmat ja lukua aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja B: x >, Vastaus: Lukua aidosti suuremmat ja lukua aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja C: x >, Vastaus: Lukua aidosti suuremmat ja lukua aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja D: x > 7, Vastaus: Lukua 7 aidosti suuremmat ja lukua 7 aidosti pienemmät reaaliluvut. f) Huomataan, että x + 1 < x < 1 x < 1. Vastaus: Lukua 1 aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja B: x + 1 <, Vastaus: Lukua aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja C: x + 1 <, Vastaus: Lukua 4 aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja D: x + 1 < 7, Vastaus: Lukua 6 aidosti pienemmät reaaliluvut.. Neliön muotoisesta levystä leikataan jokaisesta kulmasta pois kolmio niin, että syntyy säännöllinen kahdeksankulmio. a) Piirrä kuva neliön sisään syntyvästä kahdeksankulmiosta. (1 p.) b) Olkoon neliön sivun pituus 7 metriä. Mikä on kahdeksankulmion sivun pituus? Anna vastauksen tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. ( p.)
3 Ratkaisu: a) Kuva: b) Olkoon kahdeksankulmion sivun pituus b ja olkoon poisleikatun kolmion sivujen pituudet b, c ja c.
4 Pythagoraan lauseen nojalla tiedetään, että b = c + c. Huomataan, että b = c + c b = c b = c c = b. Toisaalta, neliön sivun pituus 7 m = c + b + c. Kun tähän sijoitetaan c = b, saadaan Näin ollen b = 7 m + 1 = 7 m + 1 = 7 m = b + b + b = b ( ) + b = + 1 b. ( 1) 7 m ( 1) ( + 1) = ( 1) 7 m ( = 7 m 7 m,90 m. ) 1 Vastaus: Kahdeksankulmion sivun pituus on 7 7 metriä. Kaksidesimaalinen likiarvo on,90 metriä. Sarja B: Neliön sivun pituus on 11 metriä. Vastaus: Kahdeksankulmion sivun pituus on metriä. Kaksidesimaalinen likiarvo on 4,6 metriä. Sarja C: Neliön sivun pituus on metriä. Vastaus: Kahdeksankulmion sivun pituus on metriä. Kaksidesimaalinen likiarvo on,07 metriä. Sarja D: Neliön sivun pituus on metriä. Vastaus: Kahdeksankulmion sivun pituus on metriä. Kaksidesimaalinen likiarvo on 1,4 metriä.. Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu D-tulostimen tulostusprosessissa on 1 6. Tulostettaessa useita kappaleita vioittumistodennäköisyydet ovat toisistaan riippumattomia. a) Mikä on todennäköisyys sille, että kolmesta tulostettavasta kappaleesta kaikki ovat ehjiä? Anna vastauksen tarkka arvo. ( p.) b) Mikä on todennäköisyys sille, että kolmesta tulostettavasta kappaleesta ainakin yksi on ehjä? Anna vastauksen tarkka arvo. ( p.) c) Tulostusprosessin jälkeen kappale (viallinen tai ehjä) menee jälkikäsittelyyn, missä todennäköisyys kappaleen vioittumiselle on 1 riippumatta siitä, onko kappale vioittunut jo tulostusprosessissa. Mikä on todennäköisyys sille, että valmiista kappaleesta tulee ehjä? Anna vastauksen tarkka arvo. ( p.) Ratkaisu: a) Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu tulostusprosessissa on 1 6. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kappale ei vioitu tulostusprosessissa on = = 6. 4
5 Tulostettaessa useita kappaleita vioittumistodennäköisyydet ovat toisistaan riippumattomia. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta kaikki ovat ehjiä on = = Vastaus: Todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta kaikki ovat ehjiä on Sarja B: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on Vastaus:. 7 4 Sarja C: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1. Vastaus: Sarja D: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1 7. Vastaus: b) Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu tulostusprosessissa on 1 6. Tulostettaessa useita kappaleita vioittumistodennäköisyydet ovat toisistaan riippumattomia. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta kaikki vioittuvat on = = Näin ollen todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta ainakin yksi on ehjä on = = = Vastaus: Todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta ainakin yksi on ehjä on Sarja B: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1 4. Vastaus:. 7 4 Sarja C: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on Vastaus:. 1 Sarja D: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1 6. Vastaus: c) Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu tulostusprosessissa on 1 6. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kappale ei vioitu tulostusprosessissa on = = 6. Todennäköisyys kappaleen vioittumiselle jälkikäsittelyssä on 1 riippumatta siitä, onko kappale vioittunut jo tulostusprosessissa. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kappale ei vioitu jälkikäsittelyssä on 1 1 = 1 = 1 = 4 riippumatta siitä, onko kappale vioittunut jo tulostusprosessissa. Näin ollen todennäköisyys sille, että kappale ei vioitu tulostusprosessissa eikä jälkikäsittelyssä (toisin sanoen, todennäköisyys sille, että valmiista kappaleesta tulee ehjä) on 6 4 = 4 6 = 4 6 =. Vastaus: Todennäköisyys sille, että valmiista kappaleesta tulee ehjä on.
6 Sarja B: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1, vioittumistodennäköisyys jälkikäsittelyssä on 1. Vastaus: Sarja C: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1, vioittumistodennäköisyys jälkikäsittelyssä on 1. Vastaus:. 4 Sarja D: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1, vioittumistodennäköisyys jälkikäsittelyssä on 1. Vastaus: Arkkitehti K. Kansalainen omistaa hienon omakotitalon. Omakotitalon lämmittäminen suoralla sähkölämmityksellä maksaa 000 euroa vuodessa. Arkkitehti K. Kansalainen harkitsee ilmalämpöpumppua, jonka asentaminen maksaisi 000 euroa. Vaihtoehtona ilmalämpöpumpulle K. Kansalainen harkitsee maalämpöä, jonka asentaminen maksaisi euroa. Ilmalämpöpumppu tuottaisi % säästön vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämpö puolestaan tuottaisi % säästön vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Oletetaan, että yleinen kustannustaso pysyy muuttumattomana. a) Laske jokaisen kolmen lämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannus 10 vuoden aikana. ( p.) b) Arkkitehti K. Kansalainen päätyy ilmalämpöpumppuun. Kuinka pitkän ajan kuluttua tämän lämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen? Entäpä, jos K. Kansalainen päätyykin maalämpöön? Kuinka pitkän ajan kuluttua tämän lämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen? (4 p.) Ratkaisu: a) Suora sähkölämmitys: Yhden vuoden aikana suora sähkölämmitys maksaa 000 euroa, joten kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on euroa = 0000 euroa. Ilmalämpöpumppu: Ilmalämpöpumpun asennus maksaa 000 euroa. Toisaalta ilmalämpöpumppu tuo vuotuisiin lämmityskustannuksiin % säästön. Näin ollen vuotuiset kustannukset ovat 000 euroa 0, 000 euroa = 000 euroa 70 euroa = 0 euroa. Näin ollen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa euroa = 700 euroa. Maalämpö: Maalämmön asennus maksaa 0000 euroa. Toisaalta ilmalämpöpumppu tuo vuotuisiin lämmityskustannuksiin % säästön. Näin ollen vuotuiset kustannukset ovat 000 euroa 0, 000 euroa = 000 euroa 160 euroa = 10 euroa. 6
7 Näin ollen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 0000 euroa euroa = 00 euroa. Vastaus: Suoran sähkölämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on euroa, Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 7 00 euroa ja maalämmöllä kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 00 euroa. Sarja B: Suora sähkölämmitys maksaa 00 euroa vuodessa. Ilmalämpöpumpun asennus maksaa euroa ja tuo % säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämmön asennus maksaa euroa ja tuo % säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Vastaus: Suoran sähkölämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa, ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 70 euroa ja maalämmöllä kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 9 0 euroa. Sarja C: Suora sähkölämmitys maksaa 00 euroa vuodessa. Ilmalämpöpumpun asennus maksaa euroa ja tuo % säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämmön asennus maksaa euroa ja tuo 60% säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Vastaus: Suoran sähkölämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa, ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 0 euroa ja maalämmöllä kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa. Sarja D: Suora sähkölämmitys maksaa 000 euroa vuodessa. Ilmalämpöpumpun asennus maksaa euroa ja tuo 0% säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämmön asennus maksaa euroa ja tuo 60% säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Vastaus: Suoran sähkölämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on euroa, ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on euroa ja maalämmöllä kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa. b) Ilmalämpöpumppu: Suora sähkölämmitys maksaa 000 euroa vuodessa. Ilmalämpöpumpun asennus maksaa 000 euroa ja vuotuiset kustannukset ovat 000 euroa 0, 000 euroa = 000 euroa 70 euroa = 0 euroa. Olkoon x vuosien lukumäärä. Kokonaiskustannukset ovat samat, kun 000 euroa x = 000 euroa+ 0 euroa x. Koska 000x = x 70x = 000 x = , 000 = 0 = 6 + ja koska = 8, niin kokonaiskustannukset ovat samat kun aikaa kuluu vuotta ja 8 kuukautta. Maalämpö: Suora sähkölämmitys maksaa 000 euroa vuodessa. Maalämmön asennus maksaa 0000 euroa ja vuotuiset kustannukset ovat 000 euroa 0, 000 euroa = 000 euroa 160 euroa = 10 euroa. 7
8 Olkoon x vuosien lukumäärä. Kokonaiskustannukset ovat samat, kun 000 euroa x = 0000 euroa+ 10 euroa x. Koska 000x = x 160x = 0000 x = , 0000 = 400 = ja koska = 1 4, niin kokonaiskustannukset ovat samat kun aikaa kuluu noin 1 vuotta ja 1,4 kuukautta. = (1 4)/ 1, Vastaus: Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 6 vuotta ja 8 kuukautta. Maalämmöllä lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 1 vuotta ja yksi kuukausi. Sarja B: Vastaus: Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 11 vuotta ja kuukautta. Maalämmöllä lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 1 vuotta ja yksi kuukausi. Sarja C: Vastaus: Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 8 vuotta. Maalämmöllä lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 8 vuotta ja 7 kuukautta. Sarja D: Vastaus: Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 7 vuotta ja 9 kuukautta. Maalämmöllä lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 11 vuotta ja yksi kuukausi.. Omakotitalossa ollaan vaihtamassa lämmitysjärjestelmää. Omistaja haluaa asentaa uuden järjestelmän vasta, kun öljysäiliössä oleva öljy on käytetty loppuun. Maan alle vaakasuoraan asennetun suoran ympyrälieriön muotoisen säiliön tilavuus on 000 litraa ja pääty-ympyröiden halkaisija on 100 cm. Öljypinnan korkeus on, säiliön alimmasta kohdasta mitattuna, 0 cm. Kuinka moneksi viikoksi öljy riittää, kun öljyä kuluu 70 litraa viikossa? (6 p.) Ratkaisu: Lasketaan jäljellä olevan öljyn määrä. 8
9 Jäljellä olevan öljyn osuus säiliön kokonaistilavuudesta on sama kuin poikkileikkausympyrän segmentin AB pinta-alan osuus koko ympyrän pinta-alasta. Segmentin AB pinta-ala = sektorin OAB pinta-ala - kolmion OAB pinta-ala. Sektorin pinta-ala: Koska ympyrän halkaisija on 100 cm ja öljypinnan korkeus on 0 cm, niin pituudet OD = OA = 0 cm, OC = (0 0) cm = 0 cm ja CD = 0 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta OAC saadaan ratkaistua cos α = OC OA = 0 0 = ja tästä edelleen ( α = arccos =,1 ). Sektorin OAB keskuskulma on α, joten sektorin pinta-ala Kolmion pinta-ala: A sektori = α 60 π (0 cm) = 18,6 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta OAC saadaan Pythagoraan lauseen perusteella ratkaistua Nyt kolmion OAB pinta-ala AC = 0 0 cm = 40 cm. A kolmio = 1 AB OC = 1 AC OC = 40 0 cm = 100 cm. Segmentin pinta-ala: Segmentin ala A segmentti = A sektori A kolmio. 9
10 Öljyn määrä = Segmentin ala Säiliön kokonaistilavuus Poikkileikkausympyrän ala = A sektori A kolmio 000 l = 18,6 cm 100 cm 000 l = 47,18 l π OD π (0 cm) Öljyä kuluu viikossa 70 litraa, joten öljyä riittää 47, ,10 viikoksi. Vastaus: Öljyä riittää kuudeksi viikoksi. Sarja B: Viikossa kuluu 60 litraa öljyä. Vastaus: Öljyä riittää seitsemäksi viikoksi. Sarja C: Viikossa kuluu 80 litraa öljyä. Vastaus: Öljyä riittää viideksi viikoksi. Sarja D: Viikossa kuluu 0 litraa öljyä. Vastaus: Öljyä riittää kahdeksaksi viikoksi. 6. Pallon P säde on 6, cm. Pallon P sisään asetetaan suora ympyräkartio K (pohjaympyrän säde r, korkeus h) siten, että kartion K kärki ja pohjaympyrän kehä ovat pallon P sisäpinnalla. Piirrä kuva. Mikä on suoran ympyräkartion K suurin mahdollinen tilavuus? Anna vastauksen tarkka arvo. (6 p.) Ratkaisu: Kuva (1 p.): Tilavuus ( p.): Olkoon suoran ympyräkartion K pohjaympyrän säde r sekä korkeus h. 10
11 Leikkauskuviosta saadaan Pythagoraan lauseella joten (6, cm) = (h 6, cm) + r, r = (6, cm) (h 6, cm) = (6, cm) h + 6, cm h (6, cm) = 1, cm h h. Suoran ympyräkartion tilavuudelle pätee 1 πr h = π (1, cm h h ) h = π (1, cm h h ) = V (h). Tilavuus on suurin joko suljetun välin päätepisteissä h = 0 cm, h = 1, cm tai derivaatan nollakohdassa. Koska V (0 cm) = V (1, cm) = 0 cm, suurin arvo saavutetaan derivaatan nollakohdassa. Tilavuuden derivaatta on Tarkastellaan derivaatan nollakohtia: V (h) = π ( cm h h ). π ( cm h h ) = 0 cm ( cm h h ) = 0 cm h( cm h) = 0 cm h = 0 cm tai cm h = 0 h = 0 cm tai h = cm. Näin ollen suoran ympyräkartion K tilavuuden suurin mahdollinen arvo on ( V )= cm π ( ( ) ( ) ) 1, cm cm cm = 16π cm. 16 Vastaus: Ympyräkartion K suurin mahdollinen tilavuus on 16π 16 cm. Sarjat B, C ja D: Sama kuin sarja A. c 017 Aalto-yliopisto, Lappeenrannan teknillinen yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen teknillinen yliopisto, Turun yliopisto, Vaasan yliopisto, Åbo Akademi 11
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi
5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Kartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
![Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.](/thumbs/61/46046056.jpg "Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.")
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.018 6 AVARUUSGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 8A. a) Kappale II on likimain särmiö. Vastaus: II b) Kappaleet II ja III ovat likimain
4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
MAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
1 Kertausta geometriasta
1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.
5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Ympyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5
Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA
PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
a b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei
2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
Avaruusgeometrian perusteita
Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on
YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Öljysäiliö maan alla
Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö
Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän
4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.
MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät
MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)