802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä...................... 5 1.3 Pienin yhteinen jaettava..................... 8 1.4 Kongruenssi............................ 10 1.5 Kongruenssiyhtälö........................ 13 1.6 Jäännösluokat ja Eulerin ϕ-funktio............... 17 2 Ryhmät 21 2.1 Ryhmäteorian alkeita....................... 21 2.2 Jäännösluokkaryhmät....................... 24 2.3 Permutaatioryhmistä....................... 26 2.4 Aliryhmä ja sivuluokat...................... 27 2.5 Syklinen ryhmä.......................... 30 2.6 Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä................ 32 2.7 Ryhmähomomorfismi....................... 34 2
1 Lukuteoriaa Merkintöjä lukujoukoille: Luonnolliset luvut (natural numbers): N = {0, 1, 2, 3,...} Kokonaisluvut (integers): Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} Positiiviset kokonaisluvut (positive integers): Z + = {1, 2, 3,...} 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut Lause 1.1.1. Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteisesti määrätyt kokonaisluvut q ja r, että a = qb + r, missä 0 r < b. Huomautus. Yhtälöä a = qb + r, missä 0 r < b, sanotaan jakoyhtälöksi (jakoalgoritmi, division algorithm). Edelleen, ko. yhtälössä a on jaettava, b jakaja, q osamäärä ja r jakojäännös. Määritelmä 1.1.2. Jos a, b Z ja on olemassa sellainen luku k Z, että b = ka, niin a jakaa luvun b. Tästä käytetään merkintää a b. Jos a ei jaa lukua b, niin merkitään a b. Edelleen, jos a b, niin lukua a kutsutaan luvun b tekijäksi. 3
Lause 1.1.3. Olkoon a, b, c Z. Tällöin 1. ±1 a ja ±a a, 2. a 0, 3. jos 0 a, niin a = 0, 4. jos a 1, niin a = ±1, 5. jos a b ja b a, niin a = ±b, 6. jos a b ja b c, niin a c, 7. jos a b ja a c, niin a (b + c) ja a (b c), 8. jos a b ja a (b + c), niin a c, 9. jos a b, niin ma mb kaikilla m Z, 10. jos m Z \ {0} ja ma mb, niin a b. Todistettu kurssilla Johdatus matemaattiseen päättelyyn. Määritelmä 1.1.4. Jos n Z ja luvun n ainoat tekijät ovat ±1 ja ±n, niin n on jaoton luku. Määritelmä 1.1.5. Jos p N, p 2 ja luvulla p ei ole muita tekijöitä kuin ±1 ja ±p, niin lukua p sanotaan alkuluvuksi (prime number). Määritelmä 1.1.6. Jos luku n Z voidaan esittää muodossa n = ab, missä a, b Z ja a, b 2, niin sanotaan, että n on yhdistetty luku (composite number). Lause 1.1.7. Jos a N, a 2, niin a voidaan esittää alkulukujen tulona. Todistettu kurssilla Johdatus matemaattiseen päättelyyn. Lause 1.1.8. Alkulukuja on äärettömän monta. Todistettu kurssilla Johdatus matemaattiseen päättelyyn. 4
1.2 Suurin yhteinen tekijä Suurinta sellaista positiivista kokonaislukua t, joka jakaa sekä kokonaisluvun a että kokonaisluvun b, sanotaan lukujen a ja b suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi Määritelmä 1.2.1. Olkoot a ja b kokonaislukuja ja ainakin toinen nollasta poikkeava. Jos positiivinen kokonaisluku t toteuttaa seuraavat ehdot: 1. t a ja t b; 2. Jos c a ja c b, niin c t, niin sanotaan, että t on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor); merkitään t = syt(a, b) tai t = (a, b). Lause 1.2.2. Jos a, b Z ja luvuista ainakin toinen 0, niin syt(a, b) on olemassa yksikäsitteisenä. Lisäksi on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että ax + by = syt(a, b). Eukleideen algoritmi Jos on annettu kaksi kokonaislukua a ja b, niin syt(a, b) löydetään ns. Eukleideen algoritmin avulla: Olkoot a, b Z, a 0, b 0. Tällöin Lauseen 1.1.1 nojalla a = q 1 b + r 1, missä 0 < r 1 < b, b = q 2 r 1 + r 2, missä 0 < r 2 < r 1, r 1 = q 3 r 2 + r 3, missä 0 < r 3 < r 2,. r n 3 = q n 1 r n 2 + r n 1, missä 0 < r n 1 < r n 2, r n 2 = q n r n 1 + r n, missä 0 < r n < r n 1, r n 1 = q n+1 r n. 5
Menettely todella päättyy ja viimeisen rivin mukainen muoto löytyy, sillä jono r 1, r 2,... on aidosti vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Edelleen havaitaan, että 1. r n r n 1 r n r n 2... r n b r n a, ts. r n jakaa sekä luvun a että luvun b; 2. c a ja c b c r 1 c r 2... c r n. Näin ollen luku r n on Määritelmän 1.2.1 mukaisesti lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä eli r n = syt(a, b). Lause 1.2.3. Olkoon syt(a, b) = d. Tällöin syt( a d, b d ) = 1. Lause 1.2.4. Jos syt(a, b) = 1 ja a bc, niin a c. Lause 1.2.5. Jos p on alkuluku ja p ab, niin p a tai p b. Jos erityisesti a ja b ovat alkulukuja, niin p = a tai p = b. Harjoituksissa. Jokainen kokonaisluku n 2 voi- Lause 1.2.6 (Aritmetiikan peruslause). daan esittää yksikäsitteisesti muodossa n = p a 1 1 p a 2 2 p a k k, missä p 1 < p 2 <... < p k ovat alkulukuja ja eksponentit a 1, a 2,..., a k Z +. Lauseen 1.1.7 nojalla esitys n = p a 1 1 p a 2 2 p a k k esitys yksikäsitteinen? on olemassa. Onko Tehdään vastaoletus: Väite ei ole tosi, eli esitys ei aina ole yksikäsitteinen. Tällöin on olemassa pienin positiivinen kokonaisluku m 2, joka ei toteuta väitettä. 6
Siis luvulla m on esitykset ja m = p a 1 1 p a 2 2 p a k k, m = q b 1 1 q b 2 2 q b l l, missä p 1 < p 2 <... < p k ja q 1 < q 2 <... < q l ovat alkulukuja ja kaikki eksponentit positiivisia kokonaislukuja. Koska p 1 m ja m = q b 1 1 q b l l, niin Lauseen 1.2.5 nojalla p 1 q b i i jollakin i {1,..., l}. Koska p 1 ja q i ovat alkulukuja, niin täytyy olla p 1 = q i. Toisaalta q 1 m, missä m = p a 1 1 p a 2 2 p a k jollakin j {1,..., k}. Koska q 1 ja p j ovat alkulukuja, niin täytyy olla p a j j q 1 = p j. k, joten q 1 jakaa jonkin luvuista Näin ollen joten on oltava p 1 = q 1. p 1 p j = q 1 q i = p 1, Koska m p 1 < m, niin kokonaisluvulla m = p a 1 1 1 p a 2 2 p a k k p = qb 1 1 1 q b 2 2 q b l l 1 on yksikäsitteinen väitteen mukainen esitys. Siis ja k = l, p 2 = q 2,..., p k = q k a 1 1 = b 1 1, a 2 = b 2,..., a k = b k. Mutta tällöin myös a 1 = b 1 ja luvulla m on yksikäsitteinen väitteen mukainen esitys, mikä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa. Siis vastaoletus on väärä ja väite tosi. 7
1.3 Pienin yhteinen jaettava Pienintä sellaista positiivista kokonaislukua t, jonka sekä kokonaisluku a että kokonaisluku b jakavat, sanotaan lukujen a ja b pienimmäksi yhteiseksi jaettavaksi. Määritelmä 1.3.1. Olkoot a ja b kokonaislukuja. Jos positiivinen kokonaisluku t toteuttaa seuraavat ehdot: 1. a t ja b t; 2. Jos a c ja b c, niin t c, niin sanotaan, että t on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (lowest common multiple); merkitään t = pyj(a, b). Lause 1.3.2. Olkoot a, b Z. Tällöin pyj(a, b) = a b syt(a, b). Merkitään d = syt(a, b). Tällöin d a ja d b eli on olemassa sellaiset x, y Z, että a = xd ja b = yd, jolloin a b d xd yd = d = xyd = ay = bx Z. Siispä a a b d ja b a b d eli Määritelmän 1.3.1 ehto 1. toteutuu. 8
Olkoon c Z ja oletetaan, että a c ja b c. Tällöin on olemassa sellaiset k, l Z, että c = ka = lb. Koska d = syt(a, b), niin Lauseen 1.2.2 nojalla on olemassa sellaiset m, n Z, että d = na + mb. Tällöin Siispä a b d cd = cna + cmb cd = lbna + kamb cd = ab(ln + km) c = ab (ln + km). d c, joten Määritelmän 1.3.1 ehto 2. toteutuu. Näin ollen pyj(a, b) = a b d = a b syt(a, b). 9
1.4 Kongruenssi Oletetaan, että m Z + ja a, b Z. Jos m a b, niin sanotaan, että luku a on kongruentti luvun b kanssa modulo m. Merkitään a b (mod m) tai a b (m). Lisäksi määritellään luvun a Z määräämä jäännösluokka modulo m joukkona [a] seuraavasti: [a] = [a] m = {x Z x a (mod m)}. Lause 1.4.1. Olkoon a, b, c Z ja m Z +. Tällöin 1. a a (mod m), 2. jos a b (mod m), niin b a (mod m), 3. jos a b (mod m) ja b c (mod m), niin a c (mod m). Lisäksi [a] = {x Z x a (mod m)} = {x Z x = a + km, k Z} = [a + km]. Lause 1.4.2. Olkoon a, b Z. Tällöin a b (mod m) jos ja vain jos luvuilla a ja b on sama jakojäännös jaettaessa luvulla m. Edellisen lauseen perusteella [a] = [a] m = {x Z x a (mod m)} = {x Z luvulla x sama jakojäännös kuin luvulla a jaettaessa luvulla m}. 10
Lause 1.4.3. Tällöin Olkoon a, b, c, d Z, a b (mod m) ja c d (mod m). 1. a + c b + d (mod m), 2. ac bd (mod m), 3. a n b n (mod m) kaikilla n N. Lause 1.4.4. Olkoon a b (mod m) sekä c Z. Tällöin ac bc (mod m). Lause 1.4.5. Jos ac bc (mod m) ja syt(c, m) = 1, niin a b (mod m). Ts. tässä tapauksessa c voidaan "supistaa". Lause 1.4.6. Olkoon a, b Z ja c Z +. Tällöin a b (mod m) jos ja vain jos ac bc (mod mc). Harjoituksissa. Lause 1.4.7. Olkoon a Z ja m Z +. Tällöin m a jos ja vain jos a 0 (m). 11
Lause 1.4.8. Olkoon a b (mod m). Tällöin m a jos ja vain jos m b. Huomautus. Olkoon a, b, c, d Z. Tällöin a + b c + d (m) a + b d c (m) a c + d b (m). Lause 1.4.9. Olkoon a, b Z ja a b (mod m). Tällöin syt(a, m) = syt(b, m). Olkoon d = syt(a, m) eli d a ja d m. Koska a b (mod m) eli m a b, niin d a b. Koska d a b ja d a, niin d b. Siten d on lukujen m ja b yhteinen tekijä. Olkoon c toinen lukujen m ja b yhteinen tekijä, eli c m ja c b. Koska m a b, niin c a b ja lopulta c a. Siten c a ja c m. Koska d = syt(a, m), niin c d. Näin ollen d = syt(b, m). 12
1.5 Kongruenssiyhtälö Lause 1.5.1. Kongruenssiyhtälö ax b(m) on ratkeava, mikäli syt(a, m) = 1. Jos x 0 on jokin tämän kongruenssiyhtälön ratkaisu, niin kaikki ratkaisut ovat muotoa x x 0 (m). v, että Koska syt(a, m) = 1, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut u ja au + mv = 1. 1) Ratkaisun olemassaolo Nyt x 0 = ub on kongruenssiyhtälön ax b(m) eräs ratkaisu, sillä ax 0 = a(ub) = (au)b = (1 mv)b = b bmv b (m). Näin ollen kongruenssiyhtälöllä ax b(m) on olemassa ratkaisu x 0. 2) Kaikki ratkaisut Olkoon nyt x 0 kongruenssiyhtälön ax b(m) eräs ratkaisu ja x 1 x 0 (m). Onko x 1 myös kongruenssiyhtälön ax b(m) ratkaisu? Nyt siis ax 0 b(m) ja x 1 x 0 (m). Jälkimmäisestä kongruenssista saadaan ax 1 ax 0 (m), jolloin ketjuttamalla saadaan ax 1 b(m), eli myös x 1 on kongruenssiyhtälön ax b(m) ratkaisu. 13
Tarkastellaan lopuksi kongruenssiyhtälön ax b(m) ratkaisujen välistä suhdetta toisiinsa. Olkoot x 0 ja x 1 kongruenssiyhtälön ax b(m) ratkaisuja. Siis ax 0 b(m) ja ax 1 b(m). Jälleen ketjuttamalla saadaan ax 0 ax 1 (m). Koska syt(a, m) = 1, niin voidaan supistaa eli x 0 x 1 (m). Lause 1.5.2. Olkoon syt(a, m) = d > 1. Tällöin kongruenssiyhtälöllä ax b (m) on ratkaisu täsmälleen silloin, kun d b. Jos x 0 on jokin ratkaisu, niin kaikki ratkaisut ovat muotoa x x 0 ( m d ). Olkoon d = syt(a, m). 1) Osoitetaan ensin, että jos d b, niin ratkaisua yhtälölle ei ole. Olkoon d b. Jos kongruenssiyhtälöllä ax b (m) on ratkaisu x 0, niin ax 0 b (m). Tällöin m ax 0 b, jolloin myös d ax 0 b. Koska d a, niin edellisestä seuraa että d b. Tämä on ristiriita alkuoletuksen d b kanssa. 14
Näin ollen kongruenssiyhtälöllä ax b (m) ei ole ratkaisua kun d b. 2) Osoitetaan seuraavaksi, että jos d b, niin ratkaisu yhtälölle on olemassa. Olkoon d b. Tällöin d b, d a ja d m, eli a = a d, b = b d ja m = m d, missä a, b, m Z. Näin ollen kongruenssiyhtälö saadaan yhtäpitävään muotoon ax b a dx b d (m) (m d). Tästä saadaan Lauseen 1.4.6 nojalla yhtäpitävä kongruenssiyhtälö a x b (m ). Nyt Lauseen 1.2.3 nojalla syt(a, m ) = 1. Näin ollen Lauseen 1.5.1 nojalla kongruenssiyhtälö a x b (m ) on ratkeava. Lisäksi, jos eräs ratkaisu on x 0, niin kaikki ratkaisut ovat x x 0 (m ) eli x x 0 ( m d ). Nämä ovat myös alkuperäisen kongruenssiyhtälön ax b (m) ratkaisuja, koska yhtälöt ovat keskenään yhtäpitäviä. 15
Huomautus. Ratkaistaessa Lauseen 1.5.2 oletukset täyttävää kongruenssiyhtälöä, supistetaan Lauseen 1.4.6 mukaisesti syt(a, b) pois, jolloin päästään tarkastelemaan Lauseen 1.5.1 mukaista kongruenssiyhtälöä. Huomautus. Ratkaistaessa Lauseen 1.5.1 oletukset täyttävää kongruenssiyhtälöä etsitään ensin yksi ratkaisu Eukleideen algoritmin avulla ja käytetään sitten kaikkien ratkaisujen muotoilemiseen lauseen jälkimmäistä osaa. 16
1.6 Jäännösluokat ja Eulerin ϕ-funktio Määritelmä 1.6.1. Kokonaislukujen joukossa Z määritellyn kongruenssin x y (mod m) m x y perusteella määritellään jäännösluokat modulo m (residue class). Kokonaisluvun y Z määräämästä jäännösluokasta modulo m käytetään merkintää [y] = [y] m = {x Z x y (m)}. Koska x y (mod m) jos ja vain jos luvuilla x ja y on sama jakojäännös r jaettaessa luvulla m, niin luvun y määräämässä jäännösluokassa modulo m, eli joukossa [y], on kaikki sellaiset kokonaisluvut x, joilla on sama jakojäännös r kuin luvulla y jaettaessa luvulla m. Näin ollen joukossa [y] on myös jakojäännös r. Jakoalgoritmin nojalla jaettaessa luvulla m, jakojäännöksiä voivat olla vain luvut 0, 1, 2,..., m 1. Koska kaikki saman jäännösluokan luvut määrää saman jäännösluokan, niin kaikki jäännösluokat (mod m) ovat {[0], [1], [2],..., [m 1]}. Tästä jäännösluokkien (mod m) joukosta käytetään merkintää Z m. Siis Z m = {[0], [1], [2],..., [m 1]} ja Z m = m. Määritelmä 1.6.2. Jäännösluokkaa [a] (mod m) sanotaan alkuluokaksi (mod m) (prime class), mikäli syt(a, m) = 1. Alkuluokkien joukkoa merkitään Z m. Siis Z m = {[a] Z m syt(a, m) = 1}. Huomautus. Jos p on alkuluku, niin Z p = {[1], [2],..., [p 1]}. 17
Määritelmä 1.6.3. Funktio ϕ : Z + Z +, ϕ(m) = Z m on Eulerin ϕ-funktio. Siis ϕ(m) kertoo alkioiden lukumäärän joukossa {x x N, x < m ja syt(x, m) = 1}. Lause 1.6.4. Jos p on alkuluku, niin ϕ(p) = p 1 eli Z p = p 1. Lause 1.6.5. Jos p on alkuluku ja k Z +, niin ϕ(p k ) = p k 1 (p 1) eli Z p k = p k 1 (p 1). Lause 1.6.6. Olkoon m, n Z +. Jos syt(m, n) = 1, niin ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Nyt syt(mn, a) = 1 syt(m, a) = 1 ja syt(n, a) = 1. Muodostetaan luvuista 0, 1,..., mn 1 seuraava taulukko (taulukossa on n pystyriviä ja m vaakariviä): 0 1 2... n 1 n n + 1 n + 2... 2n 1 2n 2n + 1 2n + 2... 3n 1.. (m 1)n (m 1)n + 1 (m 1)n + 2... mn 1 0 (n) 1 (n) 2 (n) n 1 (n) [0] n [1] n [2] n... [n 1] n Nyt kullakin pystyrivillä on tarkalleen yhden jäännösluokan alkioita mod n. Pystyriveistä ϕ(n) kappaletta sisältyy alkuluokkiin mod n, toisin sanoen näiden pystyrivien alkioiden suurin yhteinen tekijä luvun n kanssa on 1. 18
Tarkastellaan sitten yhtä alkuluokkaan mod n liittyvää pystyriviä mod m suhteen. Olkoon tämä pystyrivi k n + k 2n + k. (m 1)n + k Jos [dn + k] = [tn + k] (mod m), missä 0 d, t < m, niin dn + k tn + k (m) eli dn tn (m) ja koska syt(m, n) = 1 niin d t (m). Nyt m d t ja siten d = t, koska d, t < m. Näin ollen pystyrivin kaikki alkiot sisältyvät eri jäännösluokkaan mod m, eli pystyrivillä on edustajat kaikista jäännösluokista mod m. Tällöin tämän pystyrivin luvuista ϕ(m) kappaletta on sellaisia, että ne ovat alkuluokassa mod m, eli suurin yhteinen tekijä luvun m kanssa on 1. Näin ollen lukuja, joiden suurin yhteinen tekijä luvun mn kanssa on 1, eli lukuja, joiden suurin yhteinen tekijä sekä luvun m että luvun n kanssa on 1, on ϕ(n) ϕ(m) kappaletta. Siis ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Lause 1.6.7 (Seuraus). Jos m Z + ja luvulla m on esitys m = p a 1 1 p a 2 2 p ar r eri alkulukujen potenssien tulona, niin ϕ(m) = ϕ(p a 1 1 ) ϕ(p a 2 2 ) ϕ(p ar r ) = p a 1 1 1 (p 1 1) p a 2 1 2 (p 2 1) p ar 1 r (p r 1) = r i=1 p a i 1 i (p i 1). Lauseet 1.6.5 ja 1.6.6 19
Lause 1.6.8 (Eulerin teoreema). Olkoot a, m Z +. Jos syt(a, m) = 1, niin a ϕ(m) 1 (m). Todistus ryhmäteoria-osassa. Lause 1.6.9 (Fermat n pieni lause). Olkoon p alkuluku ja a Z +. Jos p a, niin a p 1 1 (p). Luennolla Lause 1.6.10 (Seuraus). Olkoon p alkuluku ja a Z +. Tällöin a p a (p). 20
2 Ryhmät 2.1 Ryhmäteorian alkeita Määritelmä 2.1.1. Olkoon S ei-tyhjä joukko. Kuvaus : S S S, (a, b) a b, on joukon S binäärinen operaatio (eli a b S aina, kun a, b S ja a b on yksikäsitteinen). Lisäksi binäärinen operaatio ( ) on kommutatiivinen (vaihdannainen) joukossa S, jos a b = b a aina, kun a S ja b S; assosiatiivinen (liitännäinen), jos a (b c) = (a b) c aina, kun a, b, c S. Määritelmä 2.1.2. Olkoot G ja ( ) joukon G operaatio. Pari (G, ) on ryhmä (group), mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Operaatio ( ) on binäärinen joukossa G eli a b G aina, kun a, b G. Lisäksi alkio a b G on yksikäitteinen; 2. Operaatio ( ) on assosiatiivinen joukossa G eli aina, kun a, b, c G; (a b) c = a (b c) 3. Joukossa G on sellainen alkio e, että a e = e a = a aina, kun a G. Alkiota e kutsutaan neutraali- eli ykkösalkioksi (identity/neutral element); 4. Aina, kun a G, on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi (inverse element). 21
Jos lisäksi 5. operaatio ( ) on kommutatiivinen joukossa G eli a b = b a aina, kun a, b G, niin kyseessä on Abelin ryhmä eli kommutatiivinen ryhmä. Jatkossa ryhmästä (G, ) käytetään merkintää G, mikäli operaatiosta ( ) ei ole epäselvyyttä. Tällöin operaatiota a b merkitään lyhyesti ab. Lause 2.1.3. Olkoot G ryhmä sekä a, b G. Tällöin 1. neutraalialkio e on yksikäsitteinen; 2. kunkin alkion a G käänteisalkio a 1 on yksikäsitteinen; 3. yhtälöllä ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x G; 4. yhtälöllä ya = b on yksikäsitteinen ratkaisu y G. Luennolla ja Harjoituksissa. Lause 2.1.4. Ryhmässä G ovat voimassa seuraavat lait: 1. ab = ac b = c; 2. ba = ca b = c; 3. (ab) 1 = b 1 a 1 ; 4. (a 1 ) 1 = a. Luennolla ja Harjoituksissa. Ryhmän G kertaluku (the order of G) tarkoittaa joukon G alkioiden lukumäärää; merkitään G. 22
Huomautus. Äärettömässä ryhmässä (infinite group) on ääretön määrä alkioita. Äärellisessä ryhmässä (finite group) on äärellinen määrä alkioita ja siis myös ryhmäoperaation tuloksia. Näin ollen äärellisessä tapauksessa voidaan kirjoittaa ryhmätaulu (group table), johon merkitään kaikkien ryhmäoperaatioiden tulokset omiin soluihinsa. r a y l h k m i a o n t ryhman alkiot alkioiden väliset operaatiot Huomautus. Ryhmätaulun jokaisella vaaka- ja pystyrivillä esiintyy kukin ryhmän G alkio tarkalleen kerran. Abelin ryhmän ryhmätaulu on symmetrinen taulukon lävistäjän suhteen. 23
2.2 Jäännösluokkaryhmät Jaettaessa kokonaislukuja luvulla m Z +, jakoalgoritmi ja samoin myös kongruenssi modulo m jakaa joukon Z erillisiin jäännösluokkiin modulo m: Z m = {[0], [1], [2],..., [m 1]}, missä m Z +. Miten jäännösluokilla (mod m) lasketaan? Olkoon x [a] ja y [b], eli x a (m) ja y b (m). Tällöin x+y a+b (m) ja xy ab (m), eli x+y [a + b] ja x y [a b]. Näin ollen määritellään jäännösluokkien modulo m yhteenlasku ja kertolasku seuraavasti: ja [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [ab]. Huomautus. Yhteenlasku (mod m) ja kertolasku (mod m) eivät riipu jäännösluokkien edustajien a ja b valinnasta. Lause 2.2.1. Pari (Z m, +) on Abelin ryhmä. Huomautus. (Z m, +) = m. 24
Jäännösluokkaa [a] (mod m) sanotaan alkuluokaksi (mod m), mikäli syt(a, m) = 1. Alkuluokkien (mod m) joukkoa merkitään Z m. Siis Z m = {[a] Z m syt(a, m) = 1}. Tarkastellaan seuraavaksi joukkoa Z m varustettuna kertolaskulla (mod m). Lause 2.2.2. Pari (Z m, ) on Abelin ryhmä. Ongelma. Olkoon m Z +. Helposti nähdään, että ryhmän (Z m, +) kertaluku (Z m, +) = m. Mutta miten lasketaan ryhmän (Z m, ) kertaluku (Z m, )? Seuraavat lauseet on esitetty aiemmin luvussa 1.6. Lause 2.2.3. Z m = ϕ(m), missä ϕ(m) on Eulerin ϕ-funktio. Lause 2.2.4. Jos p on alkuluku, niin Z p = ϕ(p) = p 1. Lause 2.2.5. Jos p on alkuluku ja k N, niin Z p k = ϕ(p k ) = p k 1 (p 1). Lause 2.2.6. Jos m Z + ja luvulla m on esitys m = p a 1 1 p a 2 2 p ar r alkulukujen potenssien tulona, niin Z m = ϕ(m) = ϕ(p a 1 1 ) ϕ(p a 2 2 ) ϕ(p ar r ) = p a 1 1 1 (p 1 1) p a 2 1 2 (p 2 1) p ar 1 r (p r 1) = r i=1 p a i 1 i (p i 1). eri 25
2.3 Permutaatioryhmistä Määritelmä 2.3.1. Olkoon X. Bijektiivistä kuvausta f : X X sanotaan joukon X permutaatioksi (permutation). Huomautus. Kuvaus f : X X on bijektio jos ja vain jos se on 1. injektio eli ehdosta f(a) = f(b) seuraa, että a = b aina, kun a, b X, 2. surjektio eli jokaiselle b X on olemassa sellainen a X, että f(a) = b. Lause 2.3.2. Olkoon S X joukon X kaikkien permutaatioiden joukko. Jos ( ) on kuvausten yhdistämisoperaatio, niin (S X, ) on ryhmä. Huomautus. Yleensä ( ) ei ole kommutatiivinen operaatio, eli (S X, ) ei yleensä ole Abelin ryhmä. Permutaatioiden muodostamia ryhmiä nimitetään permutaa- Huomautus. tioryhmiksi. Määritelmä 2.3.3. Jos X = n, niin merkitään S X = S n. Näin saadaan astetta n oleva symmetrinen ryhmä (symmetric group of order n). Lause 2.3.4. Astetta n olevan symmetrisen ryhmän S n kertaluku S n = n! Huomautus. Jos X on äärellinen joukko, niin mikä tahansa sen permutaatio voidaan esittää nk. permutaatiomatriisin avulla. Esimerkki. Olkoon X = 3. Määrää astetta 3 olevan symmetrisen ryhmän S 3 kaikki alkiot. Onko kyseessä Abelin ryhmä? 26
2.4 Aliryhmä ja sivuluokat Määritelmä 2.4.1. Olkoon (G, ) ryhmä ja H G, H. Jos (H, ) on ryhmä, sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi (subgroup); merkitään (H, ) (G, ) tai lyhyemmin H G. Huomautus. Jos H G, niin aina ryhmän G neutraalialkio e G H. Lause 2.4.2 (1. Aliryhmäkriteeri). Olkoot G ryhmä ja H G, H. Nyt H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. a, b H ab H; 2. a H a 1 H. Lause 2.4.3 (2. Aliryhmäkriteeri). Olkoot G ryhmä ja H G, H. Tällöin H G jos ja vain jos ehto on voimassa. a, b H ab 1 H Jos H G, niin ehto toteutuu, sillä H on ryhmä. Oletetaan, että ehto on voimassa. Jos a H, niin ehdon nojalla aa 1 = e H. Edelleen ea 1 = a 1 H, joten Lauseen 2.4.2 ehto 2. toteutuu. Jos a, b H, niin edellisen nojalla b 1 H ja ehdon nojalla ab = a(b 1 ) 1 H. Siispä myös Lauseen 2.4.2 ehto 1. toteutuu. Näin ollen Lauseen 2.4.2 nojalla H G. Huomautus. Jos (G, ) on ryhmä, a G ja n Z +, niin a n = a} a {{... a}. n kpl 27
Lause 2.4.4 (3. Aliryhmäkriteeri). Olkoot G ryhmä ja H ryhmän G äärellinen ei-tyhjä osajoukko. Tällöin H G jos ja vain jos ehto on voimassa. a, b H ab H Huomautus. Äärellisessä tapauksessa siis riittää, että ryhmän G ryhmäoperaatio on binäärinen joukossa H. Äärettömässä tapauksessa tämä ei vielä takaa sitä, että H olisi ryhmän G aliryhmä. Huomautus. Jos G on ryhmä, niin aina G G ja {e G } G. Näitä ryhmiä sanotaan ryhmän G triviaaleiksi aliryhmiksi. Määritelmä 2.4.5. Olkoon (H, ) (G, ) ja a G. Tällöin joukkoa ah = a H = {a h h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi (left coset). Lause 2.4.6. Olkoon G ryhmä, H G ja a 1 H, a 2 H,... aliryhmän H vasemmat sivuluokat ryhmässä G. Tällöin G = i a i H ja aina joko a i H a j H = tai a i H = a j H. Lisäksi, jos b ah, niin bh = ah. Ja kääntäen, jos bh = ah, niin b ah. 28
Huomautus. Koska eh = H, niin H itse on eräs vasen sivuluokka. Kun h H, niin hh = H. Nyt sivuluokassa ah on yhtä monta alkiota kuin aliryhmässä H eli ah = H kaikilla a G. Vasenta sivuluokkaa vastaavalla tavalla voidaan määritellä myös ryhmän G alkion a määräämä aliryhmän H oikea sivuluokka Ha = H a = {h a h H}, missä a G. Oikeilla sivuluokilla on voimassa samat ominaisuudet kuin vasemmilla sivuluokilla. Lause 2.4.7 (Lagrangen lause). Olkoot G äärellinen ryhmä, H G ja n aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä ryhmässä G. Tällöin G = n H, ts. äärellisessä ryhmässä aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Lause 2.4.8. Jos äärellisen ryhmän G kertaluku on alkuluku, niin sen ainoat mahdolliset aliryhmät ovat {e} ja G (nk. triviaalit aliryhmät). 29
2.5 Syklinen ryhmä Olkoon (G, ) ryhmä ja a G. Kun n Z +, niin määritellään a n = a a... a }{{} n kpl ja a n = a} 1 a 1 {{... a 1 }. n kpl Lisäksi asetetaan a 0 = e. Tällöin joukko H = {a k k Z} on ryhmän G osajoukko. Lause 2.5.1. Olkoon (G, ) ryhmä, a G ja H = {a k k Z}. Tällöin (H, ) on ryhmän (G, ) aliryhmä. Määritelmä 2.5.2. Yllä määriteltyä ryhmää H = {a k k Z} sanotaan alkion a generoimaksi sykliseksi ryhmäksi (cyclic group); merkitään H = a. Alkio a on generoija (generator). Lause 2.5.3. Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on syklinen. Huomautus. Ryhmä (Z m, +) on syklinen. Sen sijaan ryhmä (Z m, ) ei välttämättä ole syklinen. Lause 2.5.4. Olkoot G ryhmä ja a G sekä n pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, että a n = e. Tällöin a = n ja a = {a 0 = e, a 1 = a, a 2, a 3,..., a n 1 }. Huomautus. Lauseen 2.5.4 mukaista lukua n sanotaan alkion a kertaluvuksi; alkion a kertaluvusta käytetään merkintää a, a tai ord(a). Lause 2.5.5. luvun k. Olkoon G ryhmä ja a G. Jos a k = e, niin a = n jakaa Harjoituksissa. 30
Lause 2.5.6. Syklisen ryhmän jokainen aliryhmä on syklinen. Olkoon G = a = {a k k Z} ja H G. Nyt jokainen aliryhmän H alkio on alkion a potenssi. Jos H = {e}, niin H = e on syklinen. Jos H {e}, niin on olemassa sellainen m Z +, että a m H. Olkoon sitten n = min{m a m H, m Z + }. Osoitetaan, että H = a n. Olkoon b H mielivaltainen. Siis on olemassa sellainen l Z, että b = a l. Nyt jakoalgoritmin (Lause 1.1.1) nojalla l = qn + r, missä q, r Z ja 0 r < n. Siis b = a l = a qn+r = (a n ) q a r. Koska a n H ja b H, niin a r = [(a n ) q ] 1 b H. Koska 0 r < n, niin luvun n valinnasta johtuen täytyy olla r = 0. Siis l = qn ja b = a l = a qn = (a n ) q. Täten H = a n on syklinen. Lause 2.5.7. Lause 2.5.8. Syklinen ryhmä on aina Abelin ryhmä. Jos G on äärellinen ryhmä, niin kaikilla a G Lause 2.5.9 (Eulerin teoreema). a G = e. Jos a, m Z + ja syt(a, m) = 1, niin a ϕ(m) 1(m). 31
2.6 Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Määritelmä 2.6.1. Olkoon N G. Aliryhmää N sanotaan normaaliksi (normal subgroup), mikäli an = Na aina, kun a G. Tällöin merkitään N G. Huomautus. {e} G ja G G. Jos G on Abelin ryhmä ja N G, niin kaikilla a G pätee an = {an n N} = {na n N} = Na. Siis Abelin ryhmän jokainen aliryhmä on normaali. Lause 2.6.2 (Normaalisuuskriteeri). Ryhmän G aliryhmä N on normaali jos ja vain jos ana 1 N aina, kun a G. Huomautus. Kun todistetaan, että N G, niin pitää osoittaa, että 1. N G; 2. ana 1 N aina, kun a G ja n N (aliryhmän normaalisuuskriteeri). Olkoon nyt (N, ) (G, ). Vasempien sivuluokkien joukossa {an a G} voidaan määritellä operaatio ( ) seuraavasti: an bn = (a b)n. Näin saatu operaatio on hyvin määritelty (well-defined) eli se ei ole riippuvainen sivuluokkien an ja bn edustajista. Lisäksi sivuluokkien joukko {an a G} yhdessä kyseisen operaation kanssa on rakenteeltaan ryhmä. 32
Lause 2.6.3. Olkoon (G, ) ryhmä ja N G. Tällöin ({an a G}, ) on ryhmä. Määritelmä 2.6.4. Edellä esiteltyä paria ({an a G}, ) kutsutaan ryhmän G tekijäryhmäksi normaalin aliryhmän N suhteen (factor group/quotient group of G by N). Kyseisestä ryhmästä käytetään merkintää G/N. Huomautus. mikäli ryhmä G on äärellinen. G/N = G N, Lause 2.6.5. Olkoon (G, ) ryhmä ja N G. Jos ryhmä G on Abelin ryhmä, niin tällöin myös tekijäryhmä G/N on Abelin ryhmä. Pohdi itse. Lause 2.6.6. Olkoon (G, ) ryhmä ja N G. Jos ryhmä G on syklinen ryhmä, niin tällöin myös tekijäryhmä G/N on syklinen. Pohdi itse. 33
2.7 Ryhmähomomorfismi Määritelmä 2.7.1. Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta f : G H sanotaan ryhmähomomorfismiksi (group homomorphism) ryhmältä G ryhmälle H, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Lause 2.7.2. Olkoon f : G H ryhmähomomorfismi ja olkoot e G ja e H ryhmien G ja H neutraalialkiot. Tällöin f(e G ) = e H ja f(a 1 ) = (f(a)) 1 aina, kun a G. Määritelmä 2.7.3. Olkoon f : G H ryhmähomomorfismi ja D G. Tällöin f(d) = {f(x) x D} on aliryhmän D kuva (image) ryhmässä H. Määritelmä 2.7.4. Olkoon f : G H ryhmähomomorfismi ja T H. Tällöin f 1 (T ) = {x G f(x) T } on aliryhmän T alkukuva (pre-image) ryhmässä G. Lause 2.7.5. Olkoon f : (G, ) (H, ) ryhmähomomorfismi. 1. Jos D G, niin f(d) H. 2. Jos T H, niin f 1 (T ) G. Oletetaan, että f : (G, ) (H, ) on ryhmähomomorfismi. Todistetaan väitteet erikseen. 34
1. Olkoon D G. Selvästi f(d) H ja f(d), sillä e G D ja siten f(e G ) = e H f(d). Onko f(d) H? Olkoon c, d f(d). Tällöin on olemassa sellaiset alkiot a, b D, että f(a) = c ja f(b) = d. Koska D G, niin aliryhmäkriteerin nojalla a b 1 D ja siten f(a b 1 ) f(d). Koska f on homomorfismi, niin f(a b 1 ) = f(a) f(b 1 ) eli eli eli f(a) f(b 1 ) f(d), f(a) f(b) 1 f(d), c d 1 f(d). Näin ollen aliryhmäkriteerin nojalla f(d) H. 2. Olkoon T H. Selvästi f 1 (T ) G ja f 1 (T ), sillä e H T, ja siten e G f 1 (T ). Onko f 1 (T ) G? Olkoon a, b f 1 (T ). Näin ollen f(a), f(b) T. Koska T H, niin aliryhmäkriteerin nojalla f(a) f(b) 1 T eli f(a) f(b 1 ) T eli f(a b 1 ) T eli a b 1 f 1 (T ). Näin ollen aliryhmäkriteerin nojalla f 1 (T ) G. Huomautus. Lauseen sisältö voidaan muotoilla seuraavasti: homomorfisessa kuvauksessa aliryhmät kuvautuvat aliryhmiksi ja aliryhmien alkukuvat ovat aliryhmiä. Edellä esitetty johtaa luontevasti kysymykseen siitä, mitä normaaleille aliryhmille tapahtuu homomorfismeissa. 35
Lause 2.7.6. Olkoon f : (G, ) (H, ) ryhmähomomorfismi. 1. Jos N G ja f on surjektio, niin f(n) H. 2. Jos M H, niin f 1 (M) G. Oletetaan, että f : (G, ) (H, ) on ryhmähomomorfismi. Todistetaan väitteet erikseen. 1. Oletetaan, että N G ja f on surjektio G H. Tällöin Lauseen 2.7.5 nojalla f(n) H. Onko f(n) H? Olkoon z f(n) ja d H. Siten on olemassa sellainen x N, että z = f(x), ja koska f on surjektio, on myös olemassa sellainen a G, että d = f(a). Koska N G, niin a x a 1 N ( Lause 2.6.2) eli eli eli eli f(a x a 1 ) f(n) f(a) f(x) f(a 1 ) f(n) f(a) f(x) f(a) 1 f(n) d z d 1 f(n). Täten normaalisuuskriteerin nojalla f(n) H. 2. Oletetaan, että M H. Lauseen 2.7.5 nojalla f 1 (M) G. Onko f 1 (M) G? Olkoon x f 1 (M) ja a G. Nyt f(x) M ja f(a) H. Koska M H, niin Lauseen 2.6.2 nojalla eli eli eli f(a) f(x) f(a) 1 M f(a) f(x) f(a 1 ) M f(a x a 1 ) M a x a 1 f 1 (M). Täten normaalisuuskriteerin nojalla f 1 (M) G. 36
Määritelmä 2.7.7. Olkoon f : G H homomorfismi. Joukkoa Im(f) = f(g) = {f(x) x G} sanotaan homomorfismin f kuvaksi (the image of f) ja joukkoa Ker(f) = {x G f(x) = e H } = f 1 ({e H }) sanotaan homomormismin f ytimeksi (the kernel of f). Lause 2.7.8. Olkoon f : G H ryhmähomomorfismi. Tällöin Im(f) H ja Ker(f) G. Seuraa suoraan lauseista 2.7.5 ja 2.7.6. Lause 2.7.9. Jos G on ryhmä ja N G, niin kuvaus f : G G/N, f(a) = an on surjektiivinen homomorfismi, jonka ydin on N. Edellisen lauseen kuvaus f : G G/N, f(a) = an on ns. luonnollinen homomorfismi G G/N. Määritelmä 2.7.10. Ryhmät (G, ) ja (H, ) ovat isomorfiset (isomorphic) eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektiivinen kuvaus f : G H, joka toteuttaa ehdon f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Eli on olemassa bijektiivinen homomorfismi f : G H. Tällöin merkitään G = H ja sanotaan, että kuvaus f on ryhmäisomorfismi (a group isomorphism). Huomautus. Jos G on äärellinen ryhmä ja G = H, niin G = H. Huomautus. Jos G = H, niin H = G. Huomautus. Jos G = H ja H = N, niin G = N. 37
Lause 2.7.11 (Homomorfismien peruslause). Olkoon f : (G, ) (H, ) homomorfismi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Merkitään Ker(f) = K ja määritellään kuvaus F : G/K Im(f) siten, että F (ak) = f(a) kaikilla ak G/K. 1. Onko kuvaus F hyvinmääritelty eli onko kuvaus F riippumaton sivuluokan määrääjän valinnasta? Olkoon a K = ak. Tällöin a ak eli a = a k jollakin k K. Näin ollen F (a K) = f(a ) = f(a k) = f(a) f(k) = f(a) e H = f(a) = F (ak). Siispä F on hyvinmääritelty. 2. Onko kuvaus F surjektio? Olkoon f(b) Im(f). Tällöin bk G/K ja F (bk) = f(b), joten kuvaus F on surjektio. 3. Onko kuvaus F injektio? Olkoon F (ak) = F (bk), jolloin f(a) = f(b). Tällöin f(b) 1 f(a) = f(b) 1 f(b) = e H, joten e H = f(b) 1 f(a) = f(b 1 ) f(a) = f(b 1 a). Näin ollen ytimen määritelmän nojalla b 1 a K eli K = (b 1 a)k = b 1 K ak. Operoimalla yhtälöä puolittain vasemmalta sivuluokalla bk saadaan bk e G K = bk b 1 K ak bk = ak. Siispä kuvaus F on injektio. Kohtien 2. ja 3. nojalla kuvaus F on bijektio G/K Im(f). 38
4. Onko kuvaus F ryhmähomomorfismi? Olkoon ak, bk G/K. Tällöin F (ak bk) = F ((a b)k) = f(a b) = f(a) f(b) = F (ak) F (bk), joten kuvaus F on ryhmähomomorfismi. Kohtien 1.-4. nojalla kuvaus F on ryhmäisomorfismi G/Ker(f) Im(f) eli G/Ker(f) = Im(f). Lause 2.7.12. Samaa kertalukua olevat sykliset ryhmät ovat isomorfiset. 39