LUKU 6. Weingartenin kuvaus

LUKU 6 Weingartenin kuvaus 6.1. Vektorikentän derivaatta Seuraavassa määritellään pinnalla määritellyn reaaliarvoisen funktion ja vektorikentän derivaatta. Nämä tulevat olemaan hyvinmääriteltyjä, kunhan derivointisuunta on pinnalle tangentiaalinen. Tätä varten kannattaa kerrata kurssilta Differentiaalilaskenta 1 [4, luku I], miten derivaatta ja differentioituvuus on määritelty euklidisen avaruuden avoimessa osajoukossa määritellylle funktiolle, ja miksi määrittelyssä pitää rajoittua nimenomaan avoimiin joukkoihin. Kerrataan aluksi derivoinnin ketjusääntö sellaisessa muodossa, josta derivaatta on helppo yleistää pinnalla määritellylle funktiolle ja vektorikentälle. Olkoot V R 3 avoin, p V, (p; v) R 3 p ja f : V R C -funktio. Funktion f derivaatta pisteessä p vektorin v suuntaan on Df(p)v = Df(α(0))α (0) = (f α) (0), missä α: ( ε, ε) V on C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v. Jos f on määritelty vain pinnalla M, on derivaatta (f α) (0) edelleen hyvinmääritelty, kunhan polku α on pinnan M polku. Määritelmä 6.1. Olkoot M R 3 sileä pinta, p M, v p = (p; v) T p (M), f : M R C -funktio ja X pinnan M C -vektorikenttä. (i) Funktion f derivaatta tangenttivektorin v p suuntaan on D vp f := (f α) (0), missä α: ( ε, ε) M on C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v. (ii) Vektorikentän X derivaatta tangenttivektorin v p suuntaan on D vp X := (p; (X α) (0)), missä α: ( ε, ε) M on C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v, ja X on vektorikentän X suuntaosa, X(x) = (x; X(x)), x M. Ennenkuin selvitellään tässä määritellyn derivaatan ominaisuuksia, ja ennen kaikkea osoitetaan, että määritelmä on hyvin asetettu, tarkastellaan kahta esimerkkiä, jotka osoittavat, miksi pinnalla määritellylle funktiolle tai vektorikentälle derivaatta voidaan määritellä vain pinnalle tangentiaaliseen suuntaan. Esimerkki 6.2. Olkoon T := {(x, y, z) R 3 z = 1}. Tällöin T on funktion F : R 3 R, F (x, y, z) = z 1, määräämä sileä tasa-arvopinta, jolle normaalina on F (x, y, z) = (0, 0, 1) ja tangenttiavaruus 1 Viimeksi muutettu 10.2.2010. T p (T) = {(p; v) T R 3 v = (v 1, v 2, 0)}. 42

6.1. VEKTORIKENTÄN DERIVAATTA 43 Olkoon f : T R, f(p) := 0, kaikille p T. Jotta funktion f derivaatta voitaisiin määrätä muihinkin suuntiin kuin pinnalle tangentiaaliseen suuntiin, pitää funktion arvot tuntea jossakin pinnan ympäristössä. Olkoot g ja h funktion f seuraavat laajennukset koko avaruuteen: g : R 3 R, g(p) := 0, ja h: R 3 R, h(x, y, z) := z 1. Olkoon nyt α: ( ε, ε) R 3 C -polku siten, että α(0) = p T ja α (0) = v. Tässä vektorin (p; v) ei tarvitse olla pinnan T tangenttivektori. Nyt g(α(t)) = 0 kaikille t ( ε, ε), joten (g α) (0) = 0. Toisaalta, h(α(t)) = α 3 (t) 1, kun α = (α 1, α 2, α 3 ), joten (h α) (0) = α 3(0) = v 3. Jos polku α valitaan siten, että α 3 (t) = t kaikille t ( ε, ε), on (h α) (0) = v 3 = 1, ja siis (g α) (0) (h α) (0). Siis, jos (p; v) ei ole pinnan T tangenttivektori, derivaatta riippuu siis laajenuksen valinnasta. Jos taas (p; v) on pinnan T tangenttivektori, on v 3 = 0 ja (h α) (0) = v 3 = 0 = (g α) (0). Esimerkki 6.3. Olkoot r > 0 ja M := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } sekä X pinnan M vektorikenttä, jonka suuntaosalle X on X(p) := 1 r p. Olkoot Y ja Z vektorikentän X seuraavat laajennukset (vain suuntaosa on annettu): Y : R 3 R 3, Y (p) := 1 p, ja r Z : R 3 \ {0} R 3, Z(p) := 1 p p. Olkoon nyt α: ( ε, ε) R 3 C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v. Tässä vektorin (p; v) ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori. Nyt Y (α(t)) = 1 α(t) kaikille t ( ε, ε), joten (Y r α) (0) = 1 r α (0) = 1 v. r Toisaalta, Z(α(t)) = 1 α(t), joten α(t) (Z α) 1 ( d 1 t=0 (0) = α(0) α (0) + α(0) = dt α(t) ) 1 ( α(0) α p v (0) ) p α(0) 3 = 1 r v p v p. r 3 Nyt (Y α) (0) = (Z α) (0), jos ja vain jos p v p = 0, eli p v = 0, tai yhtäpitävästi r 3 v p T p (M). Huomautuksia 6.4. a) Olkoot X pinnan M vektorikenttä ja Y avoimessa joukossa joukossa V M määritelty vektorikenttä, jolle Y (p) = X(p) kaikille p M. Olkoot p M, v p = (p; v) T p (M) ja α: ( ε, ε) M C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v. Tällöin suuntaosille on ketjusäännön nojalla (X α) (0) = (Y α) (0) = DY (α(0))α (0) = DY (p)v. Siis, derivaatta D vp X ei riipu valitusta polusta α, jolle α(0) = p ja α (0) = v, ainoastaan pisteestä p ja suunnasta v.

6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 44 b) Derivaatta D vp X ei myöskään riipu siitä, miten a-kohdan laajennus Y valitaan. Nimittäin, jos Z on avoimessa joukossa joukossa V M määritelty vektorikenttä, jolle Z(p) = X(p) kaikille p M, on (Z α)(t) = (Y α)(t) kaikille t ( ε, ε), joten (Z α) (0) = (Y α) (0). c) Kohdan a) lasku antaa menetelmän derivaatan D vp X määräämiseen ilman, että tarvitsee määrätä polku α, jolle α(0) = p ja α (0) = v. c) Kohtien a) ja b) väitteet pätevät myös reaaliarvoisen funktion f derivaatalla (sopivasti modifioituina). Erityisesti, derivaatalle on D vp f = (f α) (0) = Dg(p)v, kun g on avoimessa joukossa joukossa V M määritelty funktio, jolle g(p) = f(p) kaikille p M, ja v p = (p; v) T p (M). 6.1.1. Funktioiden ja vektorikenttien derivointia koskevat tutut derivointikaavat, joiden todistaminen jätetään lukijan tehtäväksi (f : M R on pinnalla M määritelty C -funktio, X ja Y ovat pinnan M C -vektorikenttiä ja v p = (p; v) T p (M)): (i) D vp ( X + Y ) = D vp X + Dvp Y ; (ii) D vp (f Y ) = (D vp f) X(p) + f(p) (D vp Y ); (iii) D vp ( X Y ) = (D vp X) Y (p) + X(p) Dvp Y. 6.1.2. Funktion f tai vektorikentän X derivaatan määräämiseksi kannattaa huomata seuraava käytännöllinen yhteys lokaaleihin parametriesityksiin: Olkoot M R 3 sileä pinta, p M, ϕ: U M pinnan M lokaali parametriesitys ja u 0 U siten, että ϕ(u 0 ) = p. Olkoot edelleen f : M R C -funktio ja X pinnan M C -vektorikenttä. Tällöin derivaatat koordinaattikäyrien tangenttivektorien E ϕ 1 (u 0 ) = ϕ (u 0 ) ja E ϕ 2 (u 0 ) = ϕ (u 0 ), u 1 u 2 suuntiin ovat (f ϕ) (f ϕ) D E ϕ 1 (u 0)f = (u 0 ), D u E ϕ 2 (u 0)f = (u 0 ), 1 u 2 D ( (X ϕ) ) E ϕ 1 (u 0) X = p; (u 0 ), D u ( (X ϕ) ) E ϕ 2 (u 0) X = p; (u 0 ). 1 u 2 Näidenkin kaavojen toteaminen jätetään lukijan tehtäväksi. Kannattaa muistaa, että E ϕ 1 (u 0 ) on polun t ϕ(u 0 + t e 1 ) ja E ϕ 2 (u 0 ) vastaavasti polun t ϕ(u 0 + t e 2 ) tangenttivektori hetkellä t = 0. Tässä e 1 := (1, 0) ja e 2 := (0, 1). 6.2. Weingartenin kuvaus Yksikkövauhtisen polun α kaarevuus on helppo ymmärtää tangenttivektorin α muutosnopeuteen α liittyväksi ominaisuudeksi. Kaksiulotteiselle pinnalle M R 3 vastaava ajattelutapa ei ole helppoa toteuttaa. Ensinnäkin, jos ϕ: U M on pinnan M lokaali parametriesitys, on tangenttivektoreita nyt kaksi, eli nyt pitäisi selvittää kaksiulotteisen tangenttiavaruuden muuttumisnopeutta. Toisekseen, lokaalia

6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 45 parametriesitystä ei välttämättä voida korjata sellaiseksi, että koordinaattikäyrät olisivat yksikkövauhtisia. Helpompi lähestymistapa saadaan tutkimalla pinnan yksikkönormaalia. Tasokäyristä kannattaa palauttaa mieleen seuraava Frenet n kaavojen antama kaava: kun α: I R 2 on yksikkövauhtinen polku, on N = κ T, missä T := α, N := Jα ja κ on polun α merkkinen kaarevuus. Määritelmä 6.5. Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p T p (M). Pinnan M Weingartenin kuvaus S p pisteessä p määritellään kaavalla 2 S p (v p ) := D vp N. Huomautuksen 6.4 kohdasta a) saadaan kaava Weingartenin kuvauksen arvojen laskemiseen: Jos V on avoin, pinnan M sisältävä joukko ja Ñ : V R3 C -kuvaus, jolle Ñ M = N, sekä v p = (p; v) T p (M), niin S p (v p ) = (p; DÑ(p)v). Tästä seuraa erityisesti, että Weingartenin kuvaus S p on lineaarikuvaus T p (M) R 3 p. Kuvavektoreista S p (v p ) voidaan sanoa hieman enemmänkin: Koska N on yksikkövektori, on N(p) N(p) = 1 kaikille p M, joten (ks. 6.1.1.iii) 0 = D vp 1 = 2(D vp N) N(p). Siis D vp N N(p), joten Dvp N Tp (M), eli Weingartenin kuvaus S p on lineaarikuvaus S p : T p (M) T p (M). Weingartenin kuvauksen arvojen S p (v p ) laskemista helpottavat seuraavat kaavat: Olkoot p M, ϕ: U M pinnan M lokaali parametriesitys ja u 0 U siten, että ϕ(u 0 ) = p. Tällöin kohdan 6.1.2 kaavojen nojalla ( S p (E ϕ (N ϕ) ) 1 (u 0 )) = p; (u 0 ), u 1 ( S p (E ϕ (N ϕ) ) 2 (u 0 )) = p; (u 0 ). u 2 Koska vektorit E ϕ 1 (u 0 ) ja E ϕ 2 (u 0 ) virittävät tangenttiavaruuden T p (M), saadaan Weingartenin kuvauksen arvot S p (v p ) lasketuksi y.o. derivaattojen avulla kaikille tangenttivektoreille v p T p (M). Kannattaa lisäksi muistaa, että (N ϕ)(u) = ±N ϕ (u), missä N ϕ on tilkun ϕ yksikkönormaali, joka puolestaan on helppo laskea koordinaattikäyrien tangenttivektorien ristitulon avulla. Lause 6.6. Olkoot (M, N) suunnistettu pinta ja α: I M C 2 -polku. Tällöin pinnan M Weingartenin kuvaukselle S on voimassa α (t) N(α(t)) = S α(t) (α (t)) α (t) kaikille t I. 2 Weingartenin kuvauksesta käytetään myös nimitystä muoto-operaattori, varsinkin englannin kielisenä versiona shape operator. Kuten myöhemmin nähdään, Weingartenin kuvaus mittaa pinnan kaareutumista vastaavaan tapaan kuin tasokäyrän kaarevuus.

Todistus. Derivoidaan identiteetti puolittain muuttujan t suhteen. Saadaan 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 46 α (t) N(α(t)) = 0 0 = α (t) N(α(t)) + α (t) (N α) (t) = α (t) N(α(t)) + α (t) D (α(t);α (t)) N = α (t) N(α(t)) α (t) S α(t) (α (t)). Lauseen identitetti on erään tasokäyrille tutun kaavan yleistys: kun α: I R 2 on sileä polku, on κ(t) = α (t) J(α (t)) α (t) 3 = α (t) N(t) α (t) 2, kun N := Jα / α. Tasokäyrille lausekkeen S α(t) (α (t)) α (t) tilalla siis on κ(t) α (t) 2. Tämä antaa aiheen seuraavaan määritelmään: Määritelmä 6.7. Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M, u p T p (M) yksikkövektori (siis u p = 1) ja S p pinnan M Weingartenin kuvaus pisteessä p. Pinnan M normaalikaarevuus tangenttivektorin u p suuntaan on k(u p ) := S p (u p ) u p. Kaikille v p T p (M), v p 0 p, asetetaan k(v p ) := S p(v p ) v p v p 2. Kuva 1. Voidaan osoittaa, että pinnan M normaalikaarevuus tangenttivektorin v p suuntaan on pinnan normaalin N(p) ja tangenttivektorin v p määräämän tason {p + s v + t N(p) s, t R} ja pinnan M leikkauskäyrän merkkinen kaarevuus. Kuvassa myös leikkauskäyrän C kuvajoukko N(C) pinnan Gaussin kuvauksessa.

6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 47 Edellisen lauseen tulos antaa seuraavan, tasokäyrien kaarevuuden merkin merkityksen yleistävän tulkinnan: Jos pinta M tangenttivektorin v p suuntaan liikuttaessa taipuu normaalivektoria N(p) kohti, on normaalikaarevuus k(v p ) 0. Vastaavasti, jos pinta M tangenttivektorin v p suuntaan liikuttaessa taipuu normaalivektorista N(p) poispäin, on normaalikaarevuus k(v p ) 0. Esimerkki 6.8 (Pallo). Olkoot r > 0, M := {p R 3 p = r} ja N(p) := 1 p r (vrt. esimerkkiin 6.3). Tällöin ( D vpn = p; 1 ). r v Pallon Weingartenin kuvaus pisteeessä p M on siis S p (v p ) = (p; 1 ) r v = 1 r v p Tarkastellaan ominaisarvoyhtälöä S p (v p ) = λ v p. Selvästi tämä yhtälö toteutuu kaikille tangenttivektoreille v p, kun λ = 1 r. Jos taas λ 1 r, yhtälö toteutuu ainoastaan vektorille v p = 0 p. Pallon Weingartenin kuvauksen S p ominaisarvot ovat siis λ 1 = λ 2 = 1 r. Näitä vastaaviksi ominaisvektoreiksi kelpaavat mitkä tahansa nollasta eroavat tangenttivektorit. Esimerkki 6.9 (Torus). Olkoot 0 < b < a ja ϕ: R 2 R 3, ϕ(u, v) := ((a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v). Tällöin ϕ on sileä tilkku, jonka kuvajoukko M := ϕ(r 2 ) on sileä pinta, torus. 3 1 0.5 0-0.5-1 -4 0 2 4-2 0-2 2 4-4 Kuva 2. Torus väritettynä ominaisarvon λ 1 avulla. 3 Tarkasteltava torus on esitettävissä myös sileänä tasa-arvopintana ( x 2 + y 2 a ) 2 + z 2 = b 2, joten torus on suunnistuva.

Toruksen koordinaattivektorikentät ovat joten tilkulla ϕ on normaalivektori ja yksikkönormaali 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 48 E ϕ 1 (u, v) = (a + b cos v) ( sin u, cos u, 0), E ϕ 2 (u, v) = b ( sin v cos u, sin v sin u, cos v), E ϕ 1 (u, v) E ϕ 2 (u, v) = b (a + b cos v) (cos v cos u, cos v sin u, sin v) N ϕ (u, v) = (cos v cos u, cos v sin u, sin v). Määritelmän 6.5 jälkeen esitettyjen kaavojen nojalla Weingartenin kuvauksen arvot koordinaattivektorikenttien suuntiin saadaan osittaisderivaattoina N ϕ (u, v) = (cos v sin u, cos v cos u, 0) u ja N ϕ (u, v) = (sin v cos u, sin v sin u, cos v). v Koska N ϕ (u, v) = cos v u a + b cos v Eϕ 1 (u, v) ja N ϕ v (u, v) = 1 b Eϕ 2 (u, v), on toruksen Weingartenin kuvauksella S p ominaisarvoina pisteessä p = ϕ(u, v) λ 1 = cos v a + b cos v ja λ 2 = 1 b. Näitä vastaavat ominaisvektorit ovat koordinaattivektorikentät E ϕ 1 (u, v) ja E ϕ 2 (u, v). 6.2.1. Kahden edellisen esimerkin kaltainen ominaisuus, että suunnistetun pinnan Weingartenin kuvauksella on reaaliset ominaisarvot, on kaikilla suunnistetuilla pinnoilla. Tämä perustuu seuraavaan Weingartenin kuvauksen tärkeään symmetriaominaisuuteen: Lause 6.10. Suunnistetun pinnan (M, N) Weingartenin kuvaus S p on symmetrinen jokaisessa pisteessä p M, t.s. (6.1) S p (v p ) w p = v p S p (w p ) kaikille v p, w p T p (M). Todistus. Olkoon ϕ: U M pinnan M lokaali parametriesitys pisteen p ympäristössä siten, että sen yksikkönormaali N ϕ ja pinnan N ovat samansuuntaiset, t.s. N(ϕ(u)) = N ϕ (u) kaikille u = (u 1, u 2 ) U. Määritelmän 6.5 jälkeen esitettyjen kaavojen nojalla Weingartenin kuvauksen arvot koordinaattivektorikenttien suuntiin saadaan osittaisderivaattoina S ϕ(u) (E ϕ 1 (u)) = (ϕ(u); N ϕ ) (u), u 1 S ϕ(u) (E ϕ 2 (u)) = (ϕ(u); N ϕ ) (u). u 2 Derivoidaan identiteetti N ϕ (u) ϕ u 1 (u) = 0

muuttujan u 2 suhteen. Saadaan Siis 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 49 0 = N ϕ (u) ϕ (u) + N ϕ 2 ϕ (u) (u) u 2 u 1 u 2 u 1 = S ϕ(u) (E ϕ 2 (u)) E ϕ 1 (u) + N ϕ (u) S ϕ(u) (E ϕ 2 (u)) E ϕ 1 (u) = N ϕ (u) Vaihtamalla muuttujien u 1 ja u 2 roolit, saadaan 2 ϕ u 2 u 1 (u). 2 ϕ u 2 u 1 (u). S ϕ(u) (E ϕ 1 (u)) E ϕ 2 (u) = N ϕ 2 ϕ (u) (u). u 1 u 2 Koska toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat riippumattomia derivointijärjestyksestä (ks. [4, H. A. Schwarzin lause 7.3]), on 2 ϕ u 2 u 1 (u) = 2 ϕ u 1 u 2 (u), joten S ϕ(u) (E ϕ 2 (u)) E ϕ 1 (u) = S ϕ(u) (E ϕ 1 (u)) E ϕ 2 (u). Koska vektorit E ϕ 1 (u) ja E ϕ 2 (u) muodostavat tangenttiavaruudelle T ϕ(u) (M) kannan, seuraa väite lineaarisuusperiaatteesta: bilineaarimuodon (v p, w p ) S p (v p ) w p arvot määräytyvät täysin kantavektoreilla saamistaan arvoista. Yksityiskohtien läpikäyminen jätetään lukijan tehtäväksi. (Esitä mielivaltaiset tangenttivektorit v p, w p T p (M) kantavektoreiden E ϕ 1 (u) ja E ϕ 2 (u) lineaarikombinaatioina, ja laske kaavan (6.1) molemmat puolet auki käyttäen kantavektoreille saatua tulosta apuna.) Weingartenin kuvauksen symmetrisyys takaa sen, että jokaisen suunnistetun pinnan Weingartenin kuvauksella S p on (reaaliset) ominaisarvot (ja vastaavat reaaliset ominaisvektorit). Ominaisarvoilla on selkeä geometrinen merkitys: Olkoot λ R Weingartenin kuvauksen S p ominaisarvo ja v p T p (M) sitä vastaava ominaisvektori. Tällöin on siis S p (v p ) = λ v p, joten Jos erityisesti v p on yksikkövektori, on S p (v p ) v p = λ v p v p = λ v p 2. λ = S p (v p ) v p = k(v p ) pinnan normaalikaarevuus tangenttivektorin v p suuntaan. 6.2.2. Palautetaan mieleen eräitä tärkeitä tuloksia lineaarikuvauksen ominaisarvoista ja -vektoreista. 4 Olkoot V := T p (M) ja L := S p : T p (M) T p (M), jolloin V on kaksiulotteinen vektoriavaruus ja L symmetrinen lineaarikuvaus V V. Lineaarikuvauksen L ominaisuuksien tarkastelemiseksi sen matriisin avulla menetellään seuraavasti: 1 Valitaan avaruudelle V jokin kanta. 4 Vaikka tässä Weingartenin kuvaus S p on kaksiulotteisen vektoriavaruuden T p (M) lineaarikuvaus itselleen, ei aliavaruutta T p (M) R 3 p kannata samaistaa tason R 2 kanssa eikä Weingartenin kuvausta S p 2 2-matriisiin liian suoraviivaisesti. Katso tarkemmin dokumentista Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki.

6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 50 2 Käytetään esimerkiksi Gramin ja Schmidtin ortogonalisointimenetelmää [1, 12], jonka avulla valitusta kannasta saadaan sisätuloavaruudelle V ortonormeerattu kanta {t 1, t 2 }. 3 Lineaarikuvauksen L matriisi A := [ a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ] kannan {t 1, t 2 } suhteen määrätään kantavektoreiden kuvavektoreiden avulla seuraavasti: Lt 1 = a 1,1 t 1 + a 2,1 t 2, Lt 2 = a 1,2 t 1 + a 2,2 t 2. 4 Lineaarikuvauksen matriisi A ortonormeeratun kannan {t 1, t 2 } suhteen on symmetrinen, jos ja vain jos lineaarikuvaus L on symmetrinen eli toteuttaa ehdon Lv w = v Lw kaikille v, w V ; vrt. [2, 6]. 5 Matriisien ominaisarvoteorian [2, luku III] nojalla symmetrisen matriisin A ominaisarvot λ 1 ja λ 2 ovat reaaliset ja vastaavista ominaisvektoreista voidaan muodostaa tasoon R 2 ortonormeerattu kanta {v 1, v 2 }. 6 Olkoon U : R 2 V lineaarikuvaus, joka vie tason standardikannan avaruuden V ortonormeeratuksi kannaksi {t 1, t 2 }, t.s. U(1, 0) = t 1 ja U(0, 1) = t 2. Tällöin lineaarikuvauksen U 1 LU matriisi tason standardikannan suhteen on juuri A, joten kaikille tason vektoreille v on U 1 LUv = Av, t.s. LUv = UAv. Erityisesti, LUv j = UAv j = λ j Uv j, j {1, 2}. 7 Avaruudelle V saadaan ortonormeerattu kanta {e 1, e 2 }, kun e 1 := Uv 1 ja e 2 := Uv 2. Tällöin Le j = λ j e j, joten luvut λ 1 ja λ 2 ovat kuvauksen L ominaisarvot ja vektorit e 1 ja e 2 vastaavat ominaisvektorit. Olkoot nyt k 1 ja k 2 R Weingartenin kuvauksen S p ominaisarvot sekä e 1 ja e 2 T p (M) vastaavat ominaisvektorit, jotka voidaan olettaa yksikkövektoreiksi ja toisiaan vastaan kohtisuoriksi. Jokainen yksikkövektori v T p (M) voidaan esittää muodossa v = cos θ e 1 + sin θ e 2, missä θ R. Pinnan M normaalikaarevuus vektorin v suuntaan on 5 k(v) = S p (v) v = (cos θ S p (e 1 ) + sin θ S p (e 2 )) v = (cos θ k 1 e 1 + sin θ k 2 e 2 ) v = cos 2 θ k 1 + sin 2 θ k 2. Saadusta esityksestä on helppo nähdä, että normaalikaarevuuden k(v) ja ominaisarvojen k 1 ja k 2 välillä on voimassa, kun oletetaan, että k 1 k 2, k 1 = max{k(v) v T p (M), v = 1}, k 2 = min{k(v) v T p (M), v = 1}. Määritelmä 6.11. Suunnistetun pinnan (M, N) Weingartenin kuvauksen S p ominaisarvot k 1 (p) ja k 2 (p) ovat pinnan M pääkaarevuuksia pisteeessä p ja vastaavat ominaisvektorit e 1 (p) ja e 2 (p) ovat pinnan M pääkaarevuussuuntia pisteeessä p. 5 Tämä tulos tunnetaan Eulerin lauseena [16, 2 6] tai [8, Cor. 13.20]. Yhtälö on yksi monista Leonhard Eulerin nimeä kantavista yhtälöistä ja kaavoista. Euler (1703 1783) oli yksi kaikkien aikojen tuottoisimmista matematiikoista. Julkaisujen joukossa on mm. äskettäin suomennettu Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta, Oy Fram Ab, Vaasa, 2007 (suom. ja toim. Johan Stén).

6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 51 Lineaarikuvaukselle L: V V (ks. 6.2.2) määritellään determinantti ja jälki asettamalla det L := det A = a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, ja tr L := tr A := a 1,1 + a 2,2. On helppo todeta, että lineaarikuvauksen determinantti ja jälki ovat hyvinmääriteltyjä (eli määritelty arvo ei riipu valitusta kannasta; kannan ei tässä tarvitse olla edes ortonormeerattu). Määritelmä 6.12. Suunnistetun pinnan (M, N) Gaussin kaarevuus K(p) ja keskikaarevuus H(p) pisteeessä p määritellään kaavoilla (6.2) K(p) := det S p ja H(p) := 1 2 tr S p. Koska ominaisvektoreiden v 1 ja v 2 muodostamassa kannassa matriisin A määrämän lineaarikuvauksen matriisi on [k1 ] (p) 0, 0 k 2 (p) saadaan K(p) = k 1 (p) k 2 (p) ja H(p) = 1 (k 2 1(p) + k 2 (p)). Gaussin kaarevuutta K(p), keskikaarevuutta H(p) sekä pääkaarevuuksia k 1 (p) ja k 2 (p) sitoo seuraava yhtälö: Lause 6.13. Suunnistetun pinnan (M, N) pääkaarevuudet k 1 (p) ja k 2 (p) toteuttavat yhtälön λ 2 2H(p) λ + K(p) = 0. Todistus. Olkoon A := [ a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ] Weingartenin kuvauksen S p matriisi tangenttiavaruuden T p (M) jonkin ortonormeeratun kannan {t 1, t 2 } suhteen. Koska pääkaarevuudet k 1 (p) ja k 2 (p) ovat matriisin A ominaisarvot, toteuttavat ne yhtälön Väite seuraa tästä. det(λ I A) = λ 2 (a 1,1 + a 2,2 ) λ + (a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 ) = 0. Pääkaarevuudet k 1 (p) ja k 2 (p) ovat siis k 1,2 (p) = H(p) ± H(p) 2 K(p). Edellä esitetty ominaisarvoteoriaan perustuva menetelmä antaa geometrisen yhteyden Weingartenin kuvauksen ja varsinkin normaalikaarevuuden, pääkaarevuuksien ja pääkaarevuussuuntien välille. Kaarevuuksien laskeminen onnistuu kuitenkin helpommin, kun apuna käytetään pinnan lokaalia parametriesitystä ja siihen liittyviä Weingartenin yhtälöitä. Näitä tarkastellaan seuraavassa luvussa.