MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun



Samankaltaiset tiedostot
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

Tekijä Pitkä matematiikka

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa a)- ja b)-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat oikein

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 2013

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

4. Kertausosa. 1. a) 12

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

2 Pistejoukko koordinaatistossa

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS

Transkriptio:

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun YTL Hyvän vastauksen piirteitä: Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi. YTL on antanut määräyksiä opettajille matematiikan kokeen merkinnöistä alustavassa arvioinnissa. Määräykset ovat nähtävillä YTL:n sivustolla www.ylioppilastutkinto.fi. MAOL on saanut jäseniltään pyyntöjä tarkentaa arviointiohjeita. Tässä muutamia MAOL:n esimerkkejä selkeästä arvioinnista: Merkinnöissä käytetään kuulakärkikynää, ei tussia. Tehtäväkohtainen kokonaispistemäärä merkitään selkeästi vastauksen loppuun ulkoreunan puoleiseen marginaaliin. Matematiikan kokeen pisteytyksessä käytetään vain kokonaisia pisteitä. Virheet merkitään alleviivaamalla kyseinen kohta tai pitkät virheelliset kohdat merkitsemällä pystyviiva kyseiseen kohtaan tehtävän viereen. Katkoviivaa voi käyttää merkitsemään epätarkkaa ilmaisua vastaavalla tavalla. Opettajan merkinnät eivät saa peittää kokelaan vastausta. Virheellisen tai ongelmallisen kohdan marginaaliin on toivottavaa tehdä selventäviä merkintöjä. Vastauksen loppuun voi merkitä tarvittaessa arvosteluun liittyviä seikkoja. Esimerkkejä lyhyistä merkinnöistä marginaalissa: (- p.) virheen siirtyminen eteenpäin numerotarkkuus pyöristysvirhe periaatevirhe puuttuva piste oikein, väärin yksikkö väärinpäin

Esimerkkejä merkinnöistä vastauksen lopussa: Kopiointivirhe, tehtävän luonne ei ole muuttunut. Vastauksen periaate on oikein, mutta kopioimisvirheestä lähtien tulokset ovat väärää suuruusluokkaa. Vastauksen ansiot: kuvaajan analyysi, Muita esimerkkejä: Virheellisen lukuarvon ensimmäinen esiintyminen alleviivataan. Jos loppuosa laskusta on periaatteeltaan oikea, muita lukuja ei alleviivata, vaan merkitään, että virhe on siirtynyt eteenpäin. Jos kuviossa on pieni virhe, kuviosta alleviivataan virheellinen osa siten, että kokelaan vastaus jää selkeästi näkyviin. Jos alleviivaus ei onnistu kokelaan vastausta peittämättä, alleviivataan koko kuvio ja virhe selitetään lyhyesti marginaalissa. Virheellisen numerotarkkuuden voi merkitä alleviivaamalla ylimääräiset numerot tai alleviivaamalla koko luvun ja merkitsemällä marginaaliin numerotarkkuus.

Alustava pisteitys. b) c) Nimittäjien ja sulkeiden poisto x + x = 6x + = 5x 5 5 6 x = 7 Sijoitus x + y + + = + y x + + = 0 (tai ) (desimaaliluku ei kelpaa vastauksess x + 5y = Suorien leikkauspisteessä toteutuu yhtälöpari x 5y = 5 Eliminoimalla tai muuten saatu joko x = 6 tai 0y = 4 (tai saatu jompikumpi arvo laskettu x = josta leikkauspisteeksi y tai = (, ) 5 5 Molemmat suorat on kirjoitettu ratkaistuun muotoon, mutta toisessa pieni virhe ja jatko oikein. Graafinen ratkaisu max max Laskinratkaisut sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu.. x = = x = b) x = = x = c) ( ) x 6 = 8 = = x = 6 d) x 5 = = x = 5 5 e) x 0 = 000 = 0 x = f) x 0 = 0,0 = 0 x = Pelkät vastaukset riittävät

. Sulkujen poisto ja sievennys: ( x + )( x) = x + x Kirjoitettu yhtälöksi x + x = 0 ja saatu x = 0 x = Laskinratkaisut sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu. b) Sijoitettu lausekkeeseen n n + n:n arvot, 0,,,, 4 saatu vastaukseksi kokonaisluvut n =,0,,,4 Yksi n:n arvo puuttuu Laskuvirhe max Graafinen ratkaisu max Derivaattaratkaisu ja vastaus väärin 0 A = π r = 50 c) Ympyrän säde on r. Pinta-ala r = 50 (tai,8655 K) π Halkaisija r = 50 = 5,70... π 5,7 cm Vastauksessa väärä tarkkuus Laskettu likiarvoilla ja saatu väärä vastaus Vastauksesta puuttuu yksikkö 0 Laskinratkaisut sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu. 4. Aluksi: Tilavuus on 00 ml, yksikköhinta on,50 hinta/tilavuus on,50 00 /ml = 0,05 /ml Muuttuneet arvot: Tilavuus on,5 00 ml = 5 ml, yksikköhinta on, 40,50 =,0 hinta/tilavuus,0 5 /ml = 0,068 /ml Vertailu: 0,068 0,068 0,05 (tai ) 0,05 0,05 =, (tai 0,) Tahna on kallistunut %. Laskettu ilman yksiköitä 0

5. ( x ) + ( x 9) = x 4x + 90 f ( x) = x 4x + 90 f ( x) = 4x 4 4x 4 = 0 x = 6 Kulkukaavio: derivaatan merkit oikein funktion kulku oikein x = 6 ( x ) + ( x 9) = x 4x + 90 Käyrä y = x 4x + 90on ylöspäin aukeava paraabeli, joten pienin arvo on huipun y-koordinaatti kysytty muuttujan arvo on huipun x-koordinaatti y ( x) = 4x 4 4x 4 = 0 (tai mainittu derivaatan nollakoht x = 6 Huippu laskettu huipun kaavan tai juurien avulla oikein max 6 Laskuvirhe, joka ei oleellisesti muuta tehtävän luonnetta. max 5 Pelkkä oikea vastaus x = 6 ja lyhyt perustelu

6. Kun liito-orava laskeutuu korkeuden h verran, niin 60 =,h, josta h = 60 = 8,88..., Liito-oravan on siis ponnistettava korkeudelta h + = 9,88... 9 metriä Korkeus on 60, + = 9,88... 9metriä Vastaus 0 m ja perusteltu 0 Vastauksesta puuttuu yksikkö 0 Kokeilemalla (esim. piirtämällä) tai likiarvoilla, saatu oikea vastaus max b) Jos liitokulma vaakatasoon nähden = α, niin tanα = ( = 0,00... ) (tai tanα = h ), 60 jolloin α = 6,858... 7 (alaviistoon) a-kohta laskettu väärin ja b-kohdassa oikea idea laskimessa radiaanit max 7. Jos kuution särmä = s, niin sen tilavuus Vk Pyramidin pohjan ala A = s. Pyramidin korkeus h = s. Pyramidin tilavuus 6 s = s. V = Ah = s s p = ( = V ) 6 k Kysytty suhde on siten :6 (tai 6 ) : Kuutio koostuu kuudesta (identtisestä) pyramidista, joten suhde on :6. Laskettu lukuarvolla (esim. s =) max4 Pelkkä oikea vastaus 0 6

8. 90 Keskiarvo x = = 6555 6 46994 Keskihajonta s = = 564,885... 565 6 (tai otoskeskihajonta s = 46994 = 74,78... 74) 5 keskihajonta taulukoimalla Joukkue Katsojamäärä x x x ( x x) Jokerit 97 68 68594 HIFK 866 7 975 Kärpät 58-74 58756 TPS 554-0 0444 Tappara 559-96 4046 Ilves 577-78 898884 yht 90 46994 Keskihajonta s = 46994 = 564,885... 565 6 (tai otoskeskihajonta s = 46994 = 74,78... 74) 5 + = 6 555 + 565 = 8 0 x s = 6 555 565 = 4 990 Kysytyt joukkueet ovat siten Jokerit ja HIFK. x + s = 6 555 + 74 = 8 69 x s = 6 555 74 = 4 84 Kysytty joukkue on siten Jokerit. Kaikilla joukkueilla katsojaluku on yli 4990 = 6555 565. Vain Jokerien ja HIFK:n katsojaluvut ovat yli 80 = 6555+565. Kysytyt joukkueet ovat siten Jokerit ja HIFK. b) x s a-kohta laskettu väärin ja b-kohdassa oikea idea max

9. 0 Raimon I = = 7,8... 7,4. Raimon J,9, 0,9,5 = = 5,64... 5,6. Molemmat oikein, mutta väärä tarkkuus. b) Hannan massa on m = I h = 5,60 = 64 kilogrammaa, 64 Hänen J-indeksinsä on siis J = = 5,695... 6 (tai 5,7) c),60,5 m, m Indeksit ovat samat silloin, kun =,5. h h Tällöin h 0,5 =, (tai, h = ) h =, =,69 metriä Vastauksesta puuttuu yksikkö 0 0. Vasemmanpuoleisen neliön sivun pituus on s 5 v = =,5. Jos oikeanpuoleisen neliön sivu on s o = x, niin hypotenuusa on x. Saadaan ehto 50 = x x = 50 =,57K,570... <,5 joten s v > s o (tai laskettu pinta-alat ja verrattu niitä) Tällöin myös vasemmanpuoleisen neliön pinta-alakin on suurempi. Pelkkään kuvaan perustuva ratkaisu 0

. Ison munkin säde on R, jolloin sen tilavuus Vi = 4 ja pinta-ala Ai = 4π R. Pienen munkin säde on r, jolloin 4 Vp = π r ja Ap = 4π r. (Saadaan tilavuusehto Vi = 4V p Vi 8 = V ) 4 4 π R = 8 π r R = 8r R = r Kokonaispinta-alojen eli sokerimäärien suhde on 4A p 8 4π r = = A i 4 π ( r) A 4 ( ) (Tai i π r = = ) 4A p 8 4π r Suhde laskettu mittakaavan avulla oikein 6 p π R Laskettu lukuarvolla max4

. Päästöt vuonna 990 on a ja vuonna 008,9a. a 8 =,9a 8 =,9 =,084K Päästöt vuonna 05 5 a a a =,5799K,58 Päästöt ovat siis kasvaneet yhteensä n. 58 %. t Malli: Päästöjen määrä P( t) = a b. Tutkitaan tilannetta vuodesta 990 alkaen, jolloin mallin t on vuosien määrä vuoden 990 jälkeen. Päästöt vuonna 990 ovat P(0) = a. Vuotuinen kasvutekijä b = + p 00 Päästöjen kasvu 990 008 oli 9 %. Saadaan yhtälö: P(8) =,9 P(0), eli, jossa p = vuotuinen kasvuprosentti. 8 =,9a, a b josta kasvutekijä b = 8,9 =,084... 5 Vuonna 05 on t = 5, joten P(5) = a b = a,5799...,58a. Päästöt ovat siis kasvaneet yhteensä n. 58 %. Vastauksessa väärä tarkkuus Käytetty a:n tilalla lukuarvoa max4

. Piirretty suorat koordinaatistoon ja väritetty nelikulmio (tai merkitty sen kärkipisteet). Yksi kärki on origossa. Laskettu muut kärjet yhtälöpareista: x = 0 x = 0 (tai päätelty suoran yhtälöstä y = x + 6) x + y = 8 y = 6 9 y = 0 x = x + y = 9 y = 0 x + y = 8 x 9y = 54 x = x + y = 9 x + y = 9 y = 5 Luettu kärkipisteet kuvasta 0 Yksi kärki väärin b) (Funktion f ( x, y) = x + y ääriarvot löytyvät nelikulmion kärjistä.) Ehdokkaat: f (0,0) = 0, f (0,6) = 6, (,5) f 9,0 = 8, f =, ( ) suurin arvo on 8 ja pienin arvo on 0

4. Sovelletaan annuiteettikaavaa 6,6 p 00 A = K n n, jossa K = 8000, p = = 0,55, = + =,0055 ja n = 4. 4 Sijoitukset: A = 8000 = 56,76..., 4 joten kuukausierä on 56,7. b) Sijoitetaan edellä lasketut ja A sekä k = jäljellä olevan lainan k kaavaan Vk = K A Saadaan V = 8000 A tai V k. = 4,5908... 4,59 euroa = 8000 56,7 = 4,6K 4,6 euroa c) Kristianin maksama korko on 4A 8000 4 56,7 8000 = 56,5 euroa tai 4 56,76K 8000 = 56,5607K 56,56 euroa. Käytetty arvoa =,066 0 Väärä n:n arvo 0

5. b) Olkoon A = (0,0,5). v = 4 + 9 + 6 = 49 = 7 0 + 6 Yksikkövektori v = = v i j k v 7 Räjähdyspisteen paikka on P. uuur uuur uuur uuur OP = OA + AP = OA + 05 v i j + 6k = 0i + 0 j + 5k + 05 7 = 0i + 0 j + 5k + 0i 45 j + 90k = 50i 5 j + 95k 0 jokin paikkavektorin oikea muoto joten räjähdyspiste on ( 50, 5,95) Olkoon A = (0,0,5). v = 4 + 9 + 6 = 49 = 7 Ehto etäisyydelle on t v = 7t = 05, josta t = 5. Räjähdyspisteen uuur uuur paikka on P. Saadaan yhtälö OP = OA + 5v = 0i + 0 j + 5k + 0i 45 j + 90k = 50i 5 j + 95k joten räjähdyspiste on ( 50, 5,95) Etäisyys katsojiin on 50 + ( 5) + 95 = 750 =,958... (metriä)