Fysiikan mittausmenetelmät I syksy 206 Laskuharjoitus 4. Merkitään kaapelin resistanssin ja kuormaksi kytketyn piirin sisäänmenoimpedanssia summana R 000.2 Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako Z R C u R u i Z R C + Z L ( R + j ωc ( R + j + jωl + Z L Z R C ωc + jωl( R + jωc LCω 2 + jω L R + ja kysytty ulostulojännite uo ennen kuormaa on siten u o u R kω u i u i kω + 0.2Ω Kun ratkaistaan ur:n amplitudi ja määrätään ulostulojännitteen vaimentuneen %:lla, saadaan taajuudeksi f 2,35 MHz. SPICE-simulaatio tilanteesta:
Analyyttinen ratkaisu: C 760 pf, L 5.2 μh, R 0.2 Ω, R load kω Jännitteenjakokaavaa U o Z 2 Z +Z 2 voidaan käyttää vain, jos impedanssien Z ja Z 2 läpi kulkeva virta on sama. Merkitään yllä olevassa piirissä kelan läpi kulkevaa virtaa I tot, kondensaattorin C läpi kulkevaa virtaa I C, ja vastusten R ja R load läpi kulkevaa virtaa I R. Voimme kirjoittaa ulostulojännitteen ja sisäänmenojännitteen suhteen, kun tunnemme jännitteen pisteessä U R seuraavasti
U o U R R load R + R load Lasketaan ensin U R. Merkitään sarjaan kytkettyjä vastuksia R + R load. Kondensaattori C on kytketty kanssa rinnan. Rinnankytkennän impedanssi Z R C saadaan Z R C + + jωc Z C Impedanssin Z L läpi kulkeva virta on nyt sama kuin Z R C läpi kulkeva virta (Kirchoff. laki, I tot I R + I C. Voidaan käyttää jännitteenjakoa U R Z R C Z L + Z R C R + jωc tot jωl + R + jωc tot jωl ( + jωc + jωl ω R 2 LC + tot Tehtävässä ei tarvita vaihekulmia, joten osamäärän reaali- ja imaginääriosia ei tarvitse erotella nimittäjän kompleksikonjugaatilla. Voidaan ottaa itseisarvo suoraan
U R jωl R ω 2 LC + tot jωl ω 2 LC + ( ω 2 LC 2 + ( ωl 2 ( ω 2 LC 2 + ( ωl 2 Ulostulosignaalin amplitudi on sisäänmeno- ja ulostulojännitteiden suhteen itseisarvo. Saadaan R load U o U R R + R load Selvitetään kulmataajuuden raja-arvo, jolla signaali vaimenee prosentin eli U o 0.99 R load 0.99 U R R + R load 0.99 ( ω 2 LC 2 + ( ωl 2 R load R + R load
0.99 2 ( ω 2 LC 2 + ( ωl 2 ( R load R + R load 2 0.99 2 [( ω 2 LC 2 + ( ωl 2 ] ( R 2 load R + R load 0.99 2 [ω 4 L 2 C 2 2ω 2 LC + + ω 2 L2 2 R ] ( R 2 load tot R + R load ω 4 0.99 2 L 2 C 2 + ω 2 0.99 2 ( L2 2 2LC + (0.99 2 ( R 2 load 0 R + R load Tehdään muuttujanvaihto x 2 ω 4 jolloin voidaan käyttää toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa x b ± b2 4ac 2a Saadaan ratkaisut.0832 0 2 x { s 2 2.9292 0 4 s 2 Taajuus ei selvästikään voi olla kompleksinen (negatiivinen neliö, joten yhtälöllä on vain yksi fysikaalinen ratkaisu. Kulmataajuus saadaan huomioimalla aiempi muuttujanvaihto ω x 2.9292 0 4 s 2.48085 07 Hz
Taajuus f ω 2π.48085 07 Hz 2π 2.35685 0 6 Hz f 2.36 MHz 2. a Olkoon lähtöimpedanssi R ja kuormaresistanssi RL. Kun ulostulojen välille ei ole kytketty mitään on tilanne ekvivalentti sen kanssa että niiden välissä olisi äärettömän resistanssin vastus, ja vahvistimen "lähtöjännite" kokonaan ulostulojen napojen yli. Kun vahvistimeen kytkee kuorman, jonka resistanssi on äärellinen, jakautuu tämä "lähtöjännite" yli sarjaan kytkettyjen vastusten: R L R + R L 0.8 josta lyhyen laskun jälkeen saadaan R RL/4 eli ulostuloimpedanssi R 250 Ω.
b Tehovahvistus on suhde sisäänmenevän ja ulostulevan tehon välillä. Sisäämenevä teho on P I U2 R I jossa U on sisäänmenevän signaalin jännite ja RI piirin tuloimpedanssi 20 kω. Jännite vahvistuu 60 db eli 000-kertaiseksi, mutta tämä vahvistunut jännite jakautuu kuormavastuksen RL ja ulostuloimpedanssin välille. Molemmat ovat yhtä suuria, joten vain puolet jännitehäviöstä tapahtuu kuormassa. Lopullinen jännitevahvistus on siis 500. Ulostulevalle teholle P O (500U2 R L Nyt lasketaan ulostulevan ja sisäänmenevän tehon suhde desibeleissä: A P 0log 0 ( P O P I josta pienen laskun jälkeen kun U:t supistuvat pois saadaan AP 67 db. c Nousunopeus (V/s riittää taajuuksilla, joilla d[a V sin(ωt] dt A V ω cos(ωt 0,5 V/μs Jännitteen aikaderivaatta on maksimissaan kun kosini on A V ω 0,5 V/μs joten suurin vääristymätön taajuus saadaan kun A V ω 0,5 V/μs, ω 0,5 V/μs A V, f ω 2π f 0,5 V/μs A V 2π 5,9 khz 3. a Ohmin laki antaa suoraan R U/I 5 V / 34µA 47 kω. b Suuri, 47 kω on melko paljon verrattuna yleensä käytettyihin resistanssiarvoihin. Tästä syystä piiri ei ole kovin käytännöllinen; estääkseen ulostulojännitteen muuttumisen tulisi jokaisella piirillä olla paljon pienempi lähtöimpedanssi kun sitä seuraavan piirin tuloimpedanssi. Jos jännitettä uo mittaa esim. yleismittarilla, jonka tuloimpedanssi on tyypillisesti megaohmien luokka, kytkeytyy se
rinnan R:n kanssa, ja vaikuttaa piirin ulostulojännitteeseen. Jos valitaan pienempi R:n arvo, lähtöimpedanssi pienenee mutta 5 V:n signaalia ei saavuteta ilman vahvistusta. c Tehollisarvo lämpökohinalle vastuksessa on UT (4kBTRΔf. Δf on taajuuden kaistanleveys, tässä tapauksessa 9990 Hz. Lukuarvojen asetus antaa UT 4.884 µv. Raekohinavirta on IS (2qIΔf, jossa q on elektronin alkeisvaraus.602 0-9 C. Ohmin lain kautta saadaan vastaava kohinajännite: US R (2qIΔf 39.885 µv. Koska kohinatyypit ovat toisistaan riippumattomia, kokonaiskohinan tehollisarvon saa summaamalla kohinoiden tehollisarvot neliöllisesti: UN (US 2 + UT 2 40.83 µv. Itse jännitesignaalin tehollisarvon saa virran tehollisarvosta Ohmin lain kautta, jolloin U 3.38 V. SNR on tällöin 20log0(3.38V/40.83µV db 99 db. 4. Kuvasta lukemalla: a 3dB -pisteet (amplitudi pudonnut 3dB päästökaistalta 0 khz ja 2 khz. c Taajuuskaista on tämän perusteella 2 khz - 0 khz 2 khz. b Vaimennuksen jyrkkyys laskettuna korkean taajuuden puolelta: 2 khz -> 3,5 khz; 0 db - > - 65 db, josta saadaan n. 43 db / khz. Jyrkkyys ilmoitetaan yleensä joko dekadia tai oktaavia (eli taajuuden kaksinkertaistumista kohden. d Vasteen tasaisuus on kuvan perusteella n. ± db. Elliptinen suodin on vasteen tasaisuuteen eli rippelijännitteeseen nähden jyrkin kaikista suodinmitoituksista. 5. a 200 Hz näytteistystaajuudella Nyquistin taajuus on 00 Hz ja 80 Hz:lla taas 90 Hz. Mitatut taajuuden muutokset johtuvat rajataajuuden ylittävän signaalin laskostumisesta (aliasing. b Laskostuneille signaaleille f fn fn fa, missä f on signaalin todellinen taajuus, fn Nyquistin taajuus ja fa mitattu laskostunut signaali. Ensimmäisen mittauksen perusteella fn fa 20 Hz, joten f:n täytyy olla 20 Hz suurempi kuin fn, eli 20 Hz. Toisessa mittauksessa fn fa 30 Hz ja samoin perustein signaalin taajuus on oikeasti 30 Hz suurempi kuin 90 Hz eli 20 Hz. c Mittaustulos on liipaisutasosta riippuva DC-vakiojännite, jos näytteistystaajuus on sama kuin signaalin taajuus eli 20 Hz.