Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse asiassa olisi ollut fiksumpaa kirjoittaa esi 3 x x 3 je b) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 5x + 5x + tai 5x + 5x 3 tai 5x x 3 5 tai x 5.. Ratkaise x + x 3. Ratkaisu. Oletetaa, että yhtälöllä o ratkaisu x R. Jotta vase puoli o määritelty, pitää olla x. Silloi saadaa eliöö korottamalla: x + x 3 x x 3 x x x 9 6x + x x 6x 0 x x 5 3 x x 5 3. Sijoittamalla alkuperäisee yhtälöö ähdää, että x 5 3 todella myös o ratkaisu. 3. Osoita, että seuraava yhtälö o tosi mutta missä joukossa? cos x si x + cos x + si x cos x. Ratkaisu. Samaimisiksi lavetamalla saadaa arvoilla si x ± eli x π/ + π, Z: cos x si x + cos x + si x cos x + si x cos x + cos x si x cos x si x cos x si x cos x cos x cos x. Kaava o voimassa joukossa { x R x π/ + π, Z }.
. Osoita, että seuraava yhtälö o tosi mutta missä joukossa? cot x + si x + cos x si x. Ratkaisu. Käyttäe kotageti määritelmää ja lavetelemalla samaimisiksi saadaa arvoilla x π, Z: cot x + si x + cos x cos x si x + {}}{ cos x + si x si x + cos x cos x + si x( + cos x) cos x + si x( + cos x) si x. Kaava o voimassa joukossa { x R x π, Z }. 5. Sieveä (saat harjoitella tauluko käyttöä tässä) a) si( 3π x) b) si( π 3 + x) si( π 3 x) Ratkaisu. a) Sii yhteelaskukaava si(x + y) si x cos y + cos x si y mukaa ottae huomioo kosii parillisuude ja sii parittomuude si( 3π x) si 3 π cos x cos 3 π si x cos x 0 si x cos x. b) Siie yhteelaskukaava si x + si y si x+y mukaa cos x y ja sii parittomuude si( π + x) si( π x) si( π + x) + si(x π) 3 3 3 3 si ( π + x) + (x π) 3 3 cos ( π + x) (x π) 3 3 si x cos π si x si x. 3 6. Ratkaise epäyhtälö cos x si x > si x. Ratkaisu. Epäyhtälö o määritelty, ku x π, jolloi se voidaa kirjoittaa muotoo cos x si x si x > 0. Ratkaistaa ollakohdat (ekvivalessit ovat voimassa, ku x π): cos x si x si x 0 cos x si x si x 0 cos x si x si x cos x si x 0 cos x 0 x ± π + π, Z 0 x ± π + π, Z. Muodostetaa merkkitarkastelu ympyrässä, ottae huomioo ollakohdat ja määrittelemättömyyskohdat:
+ + + + Tämä perusteella epäyhtälö o voimassa jos ja vai jos tai tai 7. Osoita, että arc ta x + arc cot x π. π < x < π + π, Z 3π + π < x < π + π, Z 5π + π < x < 7π + π, Z. Ratkaisu. Reaaliluvulle x o 0 arc cot x π, jote se kotagetti o määritelty ja x cot(arc cot x). Koska trigoometria peruskaavoje 3, 9 ja 0 ja tageti jaksollisuude ja parittomuude mukaa arvoilla y π cot y cos y si y si(y + π ) cos(y + π ) ta(y + π ) ta(y π ) ta( π y), o x cot(arc cot x) ta( π arc cot x). Site ottamalla äistä arkustageti päähaara saadaa väittee eräs muoto: arc ta x arc ta ( ta( π arc cot x)) π arc cot x 8. Todista hyperboliste fuktioide laskukaava cosh x cosh x + sih x. Todistus. Kaikilla x R o cosh x + sih x (ex + e x ) + (ex e x ) (ex + + e x ) + (ex + e x ) (ex + e x ) cosh x. 9. Todista iduktiolla, että ( + x) + x kaikilla x >, kaikilla N. Todistus. Arvoilla x > o +x > 0. Iduktiotodistus: I) : ( + x) + x o tosi. I) k: Iduktio-oletus: Jollaki arvolla k o ( + x) k + kx. I3) k+: Iduktioväite: Arvolla k+ o ( + x) k+ + (k+)x. Lasketaa arvio: ( + x) (k+) ( + x)( + x) k [iduktio-oletukse ja positiivisuude ojalla] ( + x)( + kx) + kx + x + kx + (k+)x + kx [jätetää positiivie termi pois] + (k+)x. Kohtie I-3) ja iduktioperiaattee ojalla väite o tosi kaikilla N, ku x >. Pitääkö väite paikkasa myös arvolla x, etä arvoilla x <? 3
0. Logaritmille tuetaa omiaisuus l(xy) l x+ l y. Osoitetaa tämä avulla, että kaikilla c Q o l x c c l x. a) Osoita iduktiolla, että l x l x pätee kaikilla N. b) Osoita kohda a) avulla, että l x l x pätee kaikilla N. (Vihje: l x l x.) c) Osoita kohtie a) ja b) avulla, että l x m m l x pätee kaikilla m Q. Ratkaisu. a) Osoitetaa iduktiolla, että l x l x kaikilla N, ku tiedetää, että l xy l x+ l y. I) Väite pätee arvolla, sillä l x l x. I) Oletetaa, että väite pätee jollaki arvolla k, eli l x k k l x. I3) Todistetaa että väite pätee arvolla k+: l x k+ l x k x l x k + l x k l x + l x (k + ) l x. Iduktioperiaattee ojalla väite pätee kaikilla N. b) Osoitetaa, että l x l x kaikilla N. Logaritmi voidaa kirjoittaa muodossa l x l x l(x ). Kohda a) ojalla ja jakamalla luvulla > 0 saadaa kaikilla N l x l x l x l x. c) Osoitetaa, että l x m m l x kaikilla m Q. Logaritmi voidaa kirjoittaa muodossa ( ) l x l x m m l (x m ) m Tästä saadaa kohtia a) ja b) peräkkäi soveltae: ( ) l x l (x m m ) m l(x ) m ja ratkaisemalla edellisestä lopulta m l x l x m.. Mitä vikaa o seuraavassa laskussa? m l x m ( )( ) i? Ratkaisu. Neliöjuurta ei ole varsiaisesti määritelty egatiivisille luvuille, ja laskusäätö ab a b pätee vai, ku a 0 ja b 0. Siis.. (ks. demot ) Sieveä joukko A : { a C a 0 }. Ratkaisu. Esiäki, kompleksilukuje joukossa ei ole järjestystä, joka olisi yhteesopiva reaalilukuje järjestykse kassa. Niipä voidaa tarkastella vai lukuja z x + iy, joide eliö o reaalie: z x y + ixy 0 mikä tarkoittaa: ((x 0) (y 0)) (x y ). Näistä voidaa päätellä, että A sisältää täsmällee puhtaat imagiaariluvut ja olla, siis A { a C Re a 0 }.
3. Oko puoliavoi väli [0, [ o yhtä mahtava kui avoi väli ]0, [? Ratkaisu. Kyllä o, mutta bijektio äide välillä ei voie olla mikää jatkuva fuktio [0, [ ]0, [. Oikeastaaha tulokseksi kelpaa melkei idettie kuvaus, pistee olla kuvaamie o vai järjestettävä jollai vippaskostilla jolleki avoime väli ]0, [ pisteelle. Aloitetaa siis kuvaamalla olla puolikkaalle (miksipä jolleki muulle?). Nyt puolikas pitää kuvata jolleki muulle kui puolikkaalle. Avuksi kelpaavat luvut, 3, joita riittää. Kuvataa järjestelmällisesti: puolikas kolmaekselle, kolmaes eljäekselle je. Lopuksi kuvataa kaikki välit ] +, [ itsellee idettisellä kuvauksella x x. Havaiollisesti: 0 5 3 0 5 3 Täsmällie fuktio määrittely: f : [0, [ ]0, [, ku x 0, f(x) : ku x +, x muutoi. Kostruktio mukaa tämä o eräs bijektio [0, [ ]0, [, jote välit ovat yhtä mahtavat, ks. Kuva. Tutki laskime avulla ratioaalilukuje,,,,,... desimaalimuotoja. Päättele: 3 5 6 a) Millaie o luvu oltava, jotta luvu desimaaliesitys olisi päättyvä? b) Mite päättyvä desimaaliosa pituus riippuu luvusta? 5
Ratkaisu. a) Huomataa, että päättyviä desimaalilukuja ovat esimerkiksi 0,5 0,5 0, 5 5 0,5 8 0, 0 5 0,065 6 0,05 0 5 0,0 5 5 5 0,035 3 0,05 0 5. Olkoo luvulla päättyvä desimaaliesitys 0,d d... d k d d... d k d d... d k, 0 k k 5 k missä d d... d k o site k-umeroie luoollie luku. Toisaalta siis jote supistamiste jälkee o k 5 k d d... d k N, p 5 q joillaki p, q N 0. Luku o päättyvä jos ja vai jos luvu (alku)tekijöitä ovat ja 5. b) Kokeilut atavat viitteitä, että desimaaliosa pituus o max(p, q) (todistus?). 5. Oko umeroituva moe umeroituva jouko päättymätö tulojoukko umeroituva? Esimerkiksi: oko kaikkie luoollisista luvuista muodostettuje lukujooje joukko umeroituva? Päättymätö tulojoukko tarkoittaa vektorie jouko yleistystä jooiksi seuraavasti: X X X 3 {(x, x, x 3,...) x i X i kaikilla i N}. Kuki päättymättömä tulojouko alkio o siis päättymätö alkiojoo. Ratkaisu. Ei ole umeroituva vaa yliumeroituva. Todistus saadaa samaa tapaa kui osoitettaessa reaalilukuje joukko yliumeroituvaksi (ks. moistee Luku.7.). Oletetaa, että joukot A, A, A 3,... ovat umeroituvia ja tarkastellaa iide päättymätötä tulojoukkoa A : A A A 3. Atiteesi. A o umeroituva. Silloi jouko A alkiot voidaa esittää luetteloa, ts. o olemassa bijektio N A: Esitetää ämä alkiot, siis päättymättömät joot, alekkai (jätetää yksikertaisuude vuoksi pois sulut ja pilkut väleistä): A A A 3 A A 5 a a a 3 a a 5 a a a 3 a a 5 3 a 3 a 3 a 33 a 3 a 35 a a a 3 a a 5 5 a 5 a 5 a 53 a 5 a 55.......... 6
Muodostetaa yt yksi uusi joo, joka o jouko A alkio mutta ei ole yksikää tauluko jooista. Koska kuki joukko A j o umeroituva, ovat sarakkee A j alkiot a j, a j, a 3j,... eri alkioita. Silloi diagoaalialkioista muodostuva joo J (a, a, a 33, a, a 55,...) o päättymättömä tulojouko alkio, mutta se ei ole yksikää vaakariveillä olevista jooista. Nimittäi: J ei ole esimmäie jooista, koska toie jäse a a. J ei ole toie jooista, koska esimmäie jäse a a. J ei ole kolmas jooista, koska esimmäie jäse a a 3. J ei ole eljäs jooista, koska esimmäie jäse a a. yleisesti jatkossa: J ei ole k:s jooista, koska esimmäie jäse a a k. Tämä o ristiriitaista, koska kaikki joot piti jo olla luettelossa riveiä. 6. Osoita, että kompleksilukuje yhteelasku ja kertolasku toteuttavat osittelulait, ts. kaikilla z, z, z 3 C: I) z (z + z 3 ) z z + z z 3. II) (z + z )z 3 z z 3 + z z 3. Ratkaisu. Olkoot z (x, y ), z (x, y ) ja z 3 (x 3, y 3 ) C mielivaltaisia. Vase puoli aukikirjoitettua: z (z + z 3 ) (x, y ) ((x, y ) + (x 3, y 3 )) Oikea puoli vastaavasti: (x, y )(x + x 3, y + y 3 ) (x (x + x 3 ) y (y + y 3 ), x (y + y 3 ) + y (x + x 3 )) (x x + x x 3 y y y y 3, x y + x y 3 + y x + y x 3 ). z z + z z 3 (x, y )(x, y ) + (x, y )(x 3, y 3 ) (x x y y, x y + y x ) + (x x 3 y y 3, x y 3 + y x 3 ) (x x y y + x x 3 y y 3, x y + y x + x y 3 + y x 3 ), mistä äkyy tuloste oleva samat. Näissä käytettii reaalilukuje yhtee- ja kertolaskuje vaihdaaisuutta sekä osittelulakeja. Toie osittelulaki vastaavaa tapaa laskemalla (tai vedote kertolasku vaihdaaisuutee, mite se käy?). 7