1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen etäisyys, eli 1 AU = 149 597 870 700 m. Tarkoittaako eo. lausahdus, että maan ja auringon välinen etäisyys on 149597870700 m? (1) Tieteellisessä merkintätavassa 1 AU on paljon informaatiota: Tieto yksiköstä AU Tieto suuruudesta 1 Tieto tarkkuudesta yhden numeron tarkkuus Jos maan ja auringon välinen etäisyys oikeasti olisi edellä mainittu 149597870700 m, niin kirjoittaisimme näin Maan ja auringon välinen etäisyys on 1.000000000 AU. Tästä näkisimme välittömästi suuruuden (1), yksikön (AU) sekä uskomattoman kymmenen numeron tarkkuuden. Lukuarvojen luettavuuden vuoksi käytämme lisäksi eksponentiaalista merkintää 149597870700 m = 1.49597870700 10 11 m, (2) josta näemme välittömästi luvun suuruusluokan (10 11 ). Ymmärrämme siis kappaleen alussa olevan lausahduksen tarkoittavan, että maan ja auringon välinen etäisyys 1 AU = 1 10 11 m, josta heti nähdään etäisyyden olevan yhden numeron tarkkuudella annetun, sen suuruusluokka on 10 11 ja yksikkö on metriä. 1.2 Laskun tuloksen tarkkuus Lukiossa, ja myös stackissä, ohjeistetaan, että jos laskun muuttujat tiedetään n:n numeron tarkkuudella (esim. 4.23 10 5 m tiedetään kolmen numeron tarkkuudella), niin laskun lopputulos annetaan samalla tarkkuudella. Jos osa muuttujista tunnetaan tarkemmin, niin vastaus annetaan epätarkimman muuttujan mukaan. Tämä yleissääntö pätee kuitenkin vain ns. tulomuotoisiin tuloksiin. Eli jos esim. auto kulkee matkan s = 3.0 km (kahden numeron tarkkuus!) ajassa t = 194 s (kolmen numeron tarkkuus!), niin sen keskinopeus on v = 3.0 103 m 194 s = 15.46 m/s = 55.66 km/h 56 km/h, (3) missä vastaus esitettiin siis kahden numeron tarkkuudella. Voimme tehdä huolellisemman virheanalyysin: koska auton kulkema matka annettiin kahden numeron tarkkuudella, voimme olettaa että ko. luvun suhteellinen 1
virhe on enintään s/s = 0.01, kun taas ajan suhteellinen virhe on enintään t/t = 0.001. Labratöissäkin käytettävässä tulomuotoisen tuloksen virheanalyysin nojalla lopputuloksen suhteellinen virhe on enintään v v = s s + t t (4) = 0.01 + 0.001 = 0.011. (5) Koska lopputulos oli v = 55.66 km/h on absoluuttinen virhe siis enintään v = 55.66 km/h 0.011 0.6 km/h. Eli virhe on kolmannessa desimaalissa, jolloin vastauksen esitys kahden desimaalin tarkkuudella on perusteltua. Lukion ja stackin käyttämä yleissääntö ei kuitenkaan selvästi aina päde: jos muuttujia on paljon, kasvaa lopputuloksen virhe, jolloin lopputuloksen tarkkuus voi pahassa tapauksessa olla selvästi yksittäisiä muuttujia huonompi. Tärkeämpi ongelma on kuitenkin tulokset, jotka eivät ole tulomuotoisia. Tarkastellaan tästä esimerkkinä pöydän reunalle asetetulla lasermittarilla mitattua etäisyyttä huoneen toisessa reunassa olevasta maalitaulusta. Oletetaan, että mittari antaa etäisyydeksi s 0 = 8.576325 m (eli tiedämme etäisyyden mikrometrin tarkkuudella). Oletetaan, että pöydällä on lisäksi punnus, jonka etäisyys lasermittarista tiedetään millimetrin tarkkuudella, esim. s 1 = 0.053 m. Millä tarkkuudella tiedämme nyt punnuksen etäisyyden maalitaulusta? Yo. yleissääntö antaisi meille etäisyydeksi (jos punnus, mittari ja maalitaulu ovat samalla linjalla) s = s 0 + s 1 = 8.629325 m 8.6 m, (6) missä tulos on esitetty siis kahden numeron tarkkuudella. Mutta tämähän tarkottaisi, että tiedämme punnuksen etäisyyden maalitaulusta vain kymmenen senttimetrin tarkkuudella! Maalaisjärjellä voimme kuitenkin päätellä, että meidän täytyy tietää etäisyys millimetrin tarkkuudella, sillä lasermittarin antama tulos on olennaisesti tarkka. Eli etäisyys olisi s = 8.629 m. Tämä maalaisjärjen mukainen tulos saadaankin täsmällisemmällä differentiaalisella tarkastelulla, jota labratöiden yhteydessä pääsette tekemään: s = s s 0 + s s 1 s 0 s 1 (7) = s 0 + s 1 (8) = 1 mm + 1 µm (9) 1 mm = 1 10 3 m, (10) eli saamme lopputuloksen virheeksi (tai tarkkuudeksi) millimetrin, kuten oletimmekin. 1.3 Yksiköt Edellä maan ja auringon välinen etäisyys ilmaistiin niin astronomisissa yksiköissä (AU) kuin metreissäkin (m). Molemmat yksiköt mittaavat samaa asiaa, eli pituutta. Sopivan yksikön valinta auttaa luvun suuruuden hahmottamisessa: kumpi lausahdus paremmin auttaa hahmottamaan maan ja Marsin ratoja? Marsin ja auringon välinen etäisyys on 228 miljoonaa kilometriä. 2
tai Marsin ja auringon välinen etäisyys on 1.52 AU. Yleisemmin pyrimme aina käyttämään tarkasteltavalle järjestelmälle luonnollisia mittayksiköitä. 1.4 Dimensiot Tiettyä suuretta, esimerkiksi maan ja auringon välistä etäisyyttä, voidaan kuvata millä tahansa sopivalla yksiköllä. Mitä siis tarkoittaa sopiva? Voimme mitata maan ja auringon välisen etäisyyden metreissä, vaaksoissa, tuumissa, jaardeissa tai vaikka missä muurahaisen askelluksissa. Yhteistä kuitenkin kaikille mahdollisuuksille on, että niillä voidaan kuvata pituutta. Meillä on seitsemän fundamentaalia dimensiota Pituus L Massa M Aika(väli) t (monesti tämä on T ) Lämpötila T (ja jos aika on T niin tämä on Θ) Sähkövirta I Ainemäärä N Valovoima J Kaikki fysiikan suureet (voima, kiihtyvyys, nopeus, virta, kaikki luonnonvakiot yms) pohjautuvat näiden dimensioiden yhdistelmiin ja kutakin dimensiota vastaa erilaisia yksiköitä, joissa kunkin dimension suureita voidaan mitata. Jos dimension käsite kuulostaa nyt tekniseltä ja potentiaalisesti turhalta säädöltä, niin kohta huomaamme sen olevan itseasiassa äärimmäisen hyödyllinen! Palataan vielä kuitenkin hetkeksi ensimmäiseen lausahdukseen Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. Lausahduksesta voimme päätellä seuraavaa Etäisyys ilmaistaan lausahduksessa astronomisissa yksiköissä. Astronomisella yksiköllä mitataan pituuksia, joten etäisyyden dimensio on pituus. Maan ja auringon välisen etäisyyden suuruus on 1 AU. Tiedämme etäisyyden yhden numeron tarkkuudella. 3
Kuva 1: Vakionopeudella v liikkuva m-massainen kappale. 2 Dimensioanalyysiä 2.1 Alkulämmittelyä dimensioanalyysiin Kuvan 1 kappale liikkuu vakionopeudella v. Ajassa t se liikkuu matkan s(t) = vt. (11) Määritellään merkintä [O] = suureen O dimensio. Nyt siis [s(t)] = L (12) [v] = L/t (13) [t] = t, (14) missä siis L on pituuden dimensio, t ajan dimensio ja johdannaissuureena L/t on nopeuden dimensio. Nähdään selvästi, että pätee [s(t)] = L = L t = [v] [t]. (15) t Fysiikassa kaikki yhtälöt (luonnonlait) ovat dimensionaalisesti homogeenisia, eli yhtälön molemmilla puolilla kaikki termit omaa saman dimension. Esim. Newtonin II laki jousen (jousivakio κ) varassa roikkuvalle kappaleelle (massa m) Yhtälön eri termien dimensiot ovat ma = F = mg κx. (16) [ma] = [m] [a] = M L t 2 = ML t 2 (17) [mg] = [m] [g] = M L t 2 = ML t 2 (18) [κx] = [κ] [x] = [κ] L. (19) Kahdella ensimmäisellä (ma ja mg) on selvästi sama dimensio. Myös viimeisellä on oltava sama dimensio, jotta yhtälö olisi dimensionaalisesti homogeeninen. Voimme siis päätellä, että jousivakion dimension on oltava [κ] = ML t 2 1 L = M t 2, (20) ja todellakin, jousivakio voidaan ilmaista yksiköissä kg/s 2 joskin yleisemmin käytetään yksikköä N/m (Newton per metri). 4
2.2 Funktiot ja dimensiot Potenssifunktiota x n lukuunottamatta kaikkien funktioiden f(x) argumenttien x on oltava dimensiottomia. Ei siis ole mielekästä kysyä mikä on sin(5 kg)? (21) Pohjimmiltaan tämä palautuu eo. dimensionaaliseen homogeenisuuteen, sillä funktioita voidaan esittää ns. potenssisarjakehitelmillä. Esimerkiksi: e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... (22) Koska kaikkien oikeanpuoleisten termien on oltava samaa dimensiota, ja ensimmäinen termi on pelkkä luku (1), on myös x:n oltava dimensioton, eli pelkkä luku. Palataan hetkeksi vielä kuvan 1 vakionopeudella liikkuvaan kappaleeseen. Kappaleen ajassa t kulkema matka oli s(t) = vt. (23) Kuljettu matka s on ajan t funktio. Koska ajalla t on dimensio (sen dimensio on aika!) ja olemme epäsuorasti olettaneet, että kuljettu matka ei riipu mistään muusta suureesta, on kuljetun matkan oltava jokin ajan potenssifunktio. Lyhyt s:n, v:n ja t:n dimensioiden tarkastelu näyttääkin heti, että itseasiassa yhtälössä (23) oleva muoto on ainoa mahdollinen yhdistelmä, joka on dimensionaalisesti homogeeninen. Kuljettu matka ei siis voi riippua esimerkiksi ajan toisesta potenssista. 5