ISING-MALLIN MONTE CARLO -SIMULOINTI Statistinen fysiikka FYSA1/K1 Juha Merikoski ja Sami Kähkönen (1999,005) Janne Juntunen (00) ja Vesa Apaja (00-) Työssä tutustutaan magneettiseen järjestäytymiseen ja termodynaamisten suureiden numeeriseen laskemiseen Monte Carlo -menetelmän avulla. Tutkittava järjestelmä on kaksiulotteinen Ising spinhila. Työ tehdään omaan tahtiin pc-luokan tietokoneilla eikä siihen tarvitse varata laboratoriovuoroa. Työn voi tehdä millä tahansa koneella, jossa on Matlab. 1. Ising-malli /http://en.wikipedia.org/wiki/ising model Ising-mallin idean keksi tiettävästi ensimmäisenä saksalainen fyysikko Wilhelm Lenz ( 1957). Hänen oppilaansa Ernst Ising (1900 199) julkaisi vuonna 195 artikkelin, jossa ratkaistiin mallin yksiulotteinen versio ja todettiin, ettei tässä tapauksessa mallissa ole faasitransitiota missään nollasta poikkeavassa lämpötilassa. Ising päätteli, että näin olisi myös useampiulotteisessa tapauksessa, mutta tämä osoitettiin vääräksi 30-luvulla. Vuonna 19 norjalaissyntyinen Lars Onsager (1903 197) julkaisi melkoisen matemaattisen yksilösuorituksen tuloksena kaksiulotteisen Ising-mallin eksaktin ratkaisun nollakentässä. Sittemmin kaksiulotteista mallia nollasta poikkeavassa kentässä samoin kuin kolmiulotteista mallia on yrittänyt ratkaista useampikin fyysikko- ja matemaatikkosukupolvi nämä kuuluvat statistisen fysiikan merkittävimpien toistaiseksi ratkaisemattomien ongelmien joukkoon. Ising-malli on hyvin kuuluisa ja melkein kaikki statistisen fysiikan oppikirjat käsittelevät sitä. Kuva 1: Kaksiulotteisen Ising-mallin yksi mahdollinen mikrotila 5 5 hilalle periodisilla reunaehdoilla. Tässä esimerkissä vain keskellä oleva punaisella viivalla rajattu neliö on kuvattuna simulaatiossa, loput ovat sen kopioita. Kuvassa sininen spin vuorovaikuttaa vain vihreällä merkittyjen lähinaapuriensa kanssa. Tarkastellaan Kuvan 1 kaltaista kaksiulotteista hilaa, jossa kuhunkin hilapisteeseen i on määritelty klassinen spin-muuttuja, joka voi saada arvot =±1 ( spin ylös tai spin alas ). Kutsumme näitä olioita jatkossa yksinkertaisesti spineiksi, vaikka varsinaisesti sana spin viittaakin kvanttimekaaniseen ominaisuuteen. Ising-malli voidaan johtaa aidosti kvanttimekaanisesta Heisenbergin mallista ja se kuvaa eräitä systeemejä rajatapauksena. Klassisella rajalla malliin jää vain toistensa kanssa kommutoivia operaattoreita, joten sen statistista mekaniikkaa voidaan tarkastella ilman kvanttimekaniikan koneistoa 1. Ideaalisen paramagneetin tapauksessa ulkoisessa magneettikentässä B yhden spinin energia on µb, kun spin ylös -suunta on sama kuin magneettikentän suunta. Tällöin systeemin energia laskee spinien kääntyessä magneettikentän suuntaan. Ising-mallissa oletetaan lisäksi, että jokainen spin vuorovaikuttaa lähinaapuriensa kanssa ja kunkin lähinaapuriparin i,j energia on J S j. 1 Plischke & Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, nd edition, World Scientific (199). 1
Näillä määrittelyillä systeemin kokonaisenergia mikrotilassa r on E tot r = J i,j S (r) i S (r) j µb S (r) i, (1) missä N on spinien lukumäärä ja S (r) i on spinin i suunta ko. tilassa. Merkintä i, j tarkoittaa summaa yli kaikkien lähinaapuriparien siten, että jokainen pari lasketaan kerran. Jälkimmäinen summa käy yli kaikkien spinien. Haluttaessa kytkentävakiolle J saadaan todellista ainetta vastaava arvo sovittamalla mallin kriittinen lämpötila esim. raudalle mitattuun arvoon (n. 3 K). Saadaan kolme eri fysikaalista tilannetta: 1) Ideaalinen paramagneetti: J = 0 eli ei lainkaan vuorovaikusenergiaa. Kaikki spinit ovat itsenäisiä. ) Ferromagneettinen kytkentä J > 0: vuorovaikutusenergia minimoituu, kun lähekkäin olevat spinit ovat samansuuntaiset. Nyt J < J, joten J(1)(1) = J( 1)( 1) < J(1)( 1) = J( 1)(1). 3) Antiferromagneettinen kytkentä J < 0: vuorovaikutusenergia minimoituu, kun lähekkäin olevat spinit ovat vastakkaissuuntaiset. Nyt J < J, joten J( 1)(1) = J(1)( 1) = J < J(1)(1) = J( 1)( 1) = J. Kaksiulotteisessa neliöhilamallissa kullakin spinillä on neljä lähinaapurispiniä. Keskeinen mitattavissa oleva suure on magneettinen momentti spiniä kohti M = µ N N, () koska Ising-mallin tapauksessa ei ole oikein mielekästä määritellä magneettista momenttia tilavuutta kohti. Mallissa magneettisten momenttien etäisyys ei ole oleellinen, vaan niiden välinen vuorovaikutus. Muita työssä vastaan tulevia suureita ovat magneettisen momentin itseisarvon keskiarvo M = µ N N, (3) joka on varsinainen järjestyksen mittari tapauksessa J > 0, ja keskimääräinen energia spiniä kohti E = Etot N = 1 J S j µb N i,j. () Huomaa, että tapauksessa J 0 kunkin spinin energia riippuu myös naapurispinien tilasta, joten ei ole mahdollista kirjoittaa järjestelmän kokonaisenergiaa (ja muita suureita) yksittäisen spinin tilojen avulla, toisin kuin ideaalisen paramagneetin tapauksessa. Määritellään vielä M:n ja E:n fluktuaatioita kuvaavat suureet ( M) = (M M) ( E) = (E E). (5). Monte Carlo -menetelmä Statistisessa fysiikassa (edelläkin) on usein kiinnostuksen kohteena lämpötilassa T olevaa järjestelmää kuvaavan termodynaamisen suureen A keskiarvo A = 1 Z r A r e Etot r /kbt ; Z = r e Etot r /kbt, () missä on summattu yli systeemin kaikkien mikrotilojen r ja A r on A:n arvo tilassa r. Monissa fysikaalisesti mielenkiintoisissa järjestelmissä partitiofunktion Z ja keskiarvon () eksakti analyyttinen laskeminen on hankalaa ja on käytettävä numeerisia menetelmiä 3. Koska Ising-mallia ei pystytä yleisessä tapauksessa ratkaisemaan Raudan kiderakenne bcc eikä neliöhila, joten malli ei ole kovin tarkka. 3 D. W. Heermann, Computer Simulation Methods in Theoretical Physics, Springer (1990).
kynällä ja paperilla, tutkitaan sitä usein numeerisesti, tavallisimmin käyttäen Monte Carlo -simulointia, jolla pyritään tuottamaan keskiarvojen laskemista varten edustava otos mallin N mikrotilasta. Lisäksi simulaatiot antavat hyvin havainnollisen kuvan järjestelmän käyttäytymisestä, joten ne voivat täydentää käsitystämme sellaisistakin ilmiöistä, joita pystymme analysoimaan teoreettisesti..1. Satunnainen otanta Yksi mahdollisuus on luoda satunnaisesti (tietokoneessa satunnaislukugeneraattorin avulla) suuri määrä systeemin tiloja (Kuva ), esimerkiksi tilat r 1,r,...,r m. Suureen A arvolle näistä laskettu tekijällä exp[ Er tot /k B T] painotettu keskiarvo on likiarvo summalle (). On ilmeistä, että arvio paranee, kun m kasvaa. Suuri osa tiloista r s vaikuttaa kuitenkin hyvin vähän lopputulokseen, koska tilan painokerroin on eksponentiaalisesti vähenevä energian funktio. Tämän vuoksi menetelmä tässä yksinkertaisimmassa muodossa kuluttaa tarkkuuteensa nähden kohtuuttoman paljon tietokoneaikaa. J=1 T=1.5 B=0 J=1 T=.5 B=0 J=1 T=3 B=0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 Kuva : Esimerkkejä tietokonesimuloinnilla tuotetuista Ising-mallin mikrotiloista matalassa ja korkeassa lämpötilassa. Musta/valkea neliö kuvaa tilaa spin ylös/alas. 3
.. Metropolis-algoritmi Metropolis-algoritmi tunnetaan myös nimellä MR T kehittäjiensä nimien mukaan. Näin algoritmi toimii Ising-mallille: (i) Aloitetaan jostain satunnaisesta järjestelmän mikrotilasta. (ii) Valitaan jokin spin, jonka senhetkistä tilaa (spin tai ) yritetään muuttaa. (iii) Toteutetaan tilan muutos todennäköisyydellä w = min{1,e Etot /k BT }, missä E tot on koko järjestelmän energian muutos, jos valittua spiniä käännetään. Toisin sanoen spin käännetään aina mikäli se laskee energiaa ja todennäköisyydellä e Etot /k BT jos se nostaa sitä. (iv) Palataan kohtaan (ii). Algoritmin kohta (iii) toteutetaan seuraavasti: Tuotetaan satunnaislukugeneraattorilla satunnaisluku s [0,1]. Lasketaan spinin käännön todennäköisyys w. Jos saadaan tulos w > s käännetään spin, muuten jätetään se ennalleen. Tässä on tärkeä huomata, että tilanne jossa spiniä ei käännetä tuottaa silti mittausten kannalta uuden spinhilan, vaikkei sen spinit muuttuneetkaan. Tällainen saman rakenteen toistaminen on algoritmin takia välttämätöntä jotta se tuottaisi lopulta oikean todennäköisyysjakauman. Se, että algoritmi todella tuottaa yhtälön () mukaisia keskiarvoja, voidaan todistaa todennäköisyyslaskennan avulla (stokastiikan alkeita: Markovin ketjujen teoria). 3. Työn suoritus Työssä tarvitaan kurssin Statistinen fysiikka alkuosan tietoja. Aluksi kannattaa kerrata kurssikirjasta kappale jossa tarkastellaan ideaalista paramagneettia. Kuten luennolla on todettu, ferromagneetin faasidiagrammi on kuitenkin analoginen fluidisysteemin (neste/kaasu/kiinteä aine) faasidiagrammin kanssa höyrynpainekäyrän osalta (Kuva??). Magneettien ja fluidien faasimuutoksissa onkin paljon yhtäläisyyksiä. B P kiinteä neste C T c T kaasu Kuva 3: (a) Ising-mallin faasidiagrammi (T,B)-tasossa. (b) Fluidisysteemin höyrynpainekäyrä. 3.1. Ideaalinen paramagneetti J = 0 Tämä tilanne on käsitelty mm. F. Mandl in kirjassa 5 ja luennolla. Kun spinien välillä ei ole vuorovaikutuksia eli J = 0, saa lauseke (1) muodon Er tot = µb S (r) i. (7) Tällöin magneettinen momentti lämpötilassa T on ( µb ) M = µtanh k B T N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller E. Teller, J. Chem. Phys. 1, (1953). 5 F. Mandl, Statistical Physics, Chapter 3.1, A Paramagnetic Solid in a Heat Bath, Wiley (19). T ()
ja energia spiniä kohti (huomaa erilainen merkintä kirjassa) on ( E = Etot µb ) N = µb tanh = MB. (9) k B T Oppikirjassa on käytetty merkintää x = µb/k B T. Piirrä käyrät (??) ja (??) x:n funktiona alueella x = 0... Mitä voit päätellä systeemin käyttäytymisestä lämpötilan funktiona? 3.. Ferromagneetti J > 0 nollakentässä B = 0 Kun J > 0, spinien välinen vuorovaikutus pyrkii kääntämään lähinaapurien spinit samaan suuntaan (ferromagnetismi). Tällöinkin voidaan johtaa tarkat analyyttiset lausekkeet suureille ( ) kaksiulotteisessa tapauksessa rajalla N, kun B = 0. Teoreettinen tarkastelu on kuitenkin hyvin vaikea minkä vuoksi turvaudumme jatkossa yksinomaan Monte Carlo -simulointiin. Kriittinen lämpötila T c tarkoittaa lämpötilaa, jonka yläpuolella spontaani magnetoituma eli magnetoituma nollakentässä häviää. Kriittisen pisteen lähellä skaalauksen M (T c T) 1/ ja muiden eksaktien tulosten todentaminen Monte Carlo -menetelmällä vaatii pitempiä simulointeja kuin mihin tässä tyossä voidaan ryhtyä. 3.3. Ferromagneetti J > 0 magneettikentässä B > 0 Magneettikenttä suosii magneettikentän suuntaisia spinejä, siksi faasitransitio siirtyy. 3.. Antiferromagneetti J < 0 Matalissa lämpötiloissa Lähinaapurit pyrkivät vastakkaisiin spin-suuntiin, siksi rakenne muistuttaa sakkilautaa.. Työselostus Työ tehdään lapputyönä. Aja tehtävälapulla annetut simulaatiot, kommentoi tuloksia ja vastaa kysymyksiin. Osaan simulaatioista liittyy pelkkä tulosten tarkkailu. R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press (19) 5