Kombinatorinen optimointi

Transkriptio

1 Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein ratkaisua etsitään heuristisilla menetelmillä (eivät välttämättä löydä optimia, mutta yleensä hyvän ratkaisun) 1

2 Töidenjärjestelytehtävä Joukko töitä pitää suorittaa useammalla eri koneella Jokaisesta työstä tiedetään, missä järjestyksessä ne käsitellään eri koneissa ja mikä aika kuluu kullakin koneella Tavoite: Määrää töiden aikataulutus koneilla siten, että kaikkien töiden valmistumiseen kuluva kokonaisaika minimoituu 2

3 Optimiratkaisun löytäminen on hankalaa Eräs heuristinen ratkaisumenetelmä on SPT-sääntö (Shortest Processing Time): Kun jollakin koneella työ loppuu, valitaan seuraavaksi aina se mahdollinen työ, jonka vaatima aika tällä koneella on pienin 3

4 Esimerkki: Kahdeksan työtä, kolme konetta, jokaisella työllä kaksi tai kolme työvaihetta eri koneilla tietyssä järjestyksessä Työvaiheiden kestot kullekin työlle muotoa k:a, missä k on koneen numero ja a on aika kyseisellä koneella Työ :5 2:3 1:6 2:4 1:7 1:3 2:3 1:2 2:3 1:2 3:2 3:4 2:2 3:7 3:3 2:4 3:4 1:4 3:3 3:2 4

5 Asettelu järjestyksessä: K K K

6 SPT-säännöllä: K K K

7 Optimiratkaisu: K K K

8 Asettelutehtävä Levystä leikataan suorakulmion tai suorakulmaisen kolmion muotoisia paloja Leikkaus on voitava tehdä siten, että levy leikataan suoraan kokonaan poikki jossain suunnassa Tavoite: Leikkaa palat siten, että hukkapaloja tulee mahdollisimman vähän Jos palat voivat olla muunkin muotoisia = vielä hankalampi tehtävä 8

9 Rautateiden aikataulutus Tavoite: Optimoi junien aikataulut siten, että junien kulkuajat vastaavat matkustajien tarpeita, ja että vaihtoajat risteysasemilla ovat mahdollisimman lyhyitä 9

10 Laskennallinen vaativuus eli kompleksisuus Ongelman laskennallinen vaativuus: Kertoo, miten ongelman ratkaisuun kuluva aika riippuu ongelman koosta Olkoon s ongelman koko Polynomiset ratkaisumenetelmät: Ratkaisuajan määrää jokin s:n polynomi, jolloin merkitään O(s n ), missä n on jokin vakio Eksponentiaaliset ratkaisumenetelmät: Ratkaisuaika riippuu koosta s eksponentiaalisesti, esimerkiksi O(n s ), O(s s ) tai O(s!) 10

11 Ongelmaluokka P: Polynomisessa ajassa ratkeavat ongelmat, tai ongelmat, jotka voidaan muuntaa sellaiseksi NP-täydelliset ongelmat: Joukko ongelmia, joista tiedetään, että ne ovat joko kaikki luokassa P tai kaikki luokan P ulkopuolella, mutta ei tiedetä, kumpi vaihtoehto on tosi Käytännössä voidaan tehokkaasti ratkaista vain luokkaan P kuuluvia ongelmia Esimerkki NP-täydellisistä ongelmista: Kauppamatkustajan ongelma 11

12 Heuristiset menetelmät Kertamenetelmät: Muodostetaan ratkaisu valmiiksi käyttäen tiettyjä sääntöjä Korjaavat menetelmät: Jollain tavalla löydettyä ratkaisua pyritään parantamaan pienillä muutoksilla Yhdistetyt menetelmät: Muodostetaan alkuratkaisu kertamenetelmällä, ja parannetaan sitä korjaavalla menetelmällä Toistetut menetelmät: Toistetaan yhdistettyä menetelmää eri alkuratkaisuilla 12

13 Kauppamatkustajan ongelma Olkoon n paikkakuntaa, joiden väliset etäisyydet tunnetaan Kauppamatkustaja lähtee joltain paikkakunnalta, käy kaikilla muilla paikkakunnilla ja palaa lähtöpaikkaansa Tavoite: Määrää paikkakuntien kiertojärjestys siten, että reitin kokonaispituus minimoituu 13

14 Töiden järjestely: Koneella on suoritettavana n työtä Kun vaihdetaan työstä i työhön j, kuluu vaihdossa aikaa d ij Tavoite: Määrää töiden järjestys siten, että vaihtoihin kuluva kokonaisaika minimoituu Tulkitaan työt paikkakunniksi ja ajat d ij etäisyyksiksi = Kauppamatkustajan ongelma 14

15 Kuljetusten järjestely: Suoritettavana on joukko kuljetuksia paikoista a i paikkoihin b i Edellisen kuljetuksen loppupaikan b i ja seuraavan kuljetuksen alkupaikan a j välinen etäisyys on d ij Tavoite: Määrää kuljetusten järjestys siten, siirtymät edellisen kuljetuksen loppupaikasta seuraavan kuljetuksen alkupaikkaan minimoituvat Yhdistetään kunkin kuljetuksen alku- ja loppupaikat a i ja b i yhdeksi paikkakunnaksi = Kauppamatkustajan ongelma 15

16 Euklidisessa tasossa optimaalinen kauppamatkustajan reitti ei leikkaa itseään Euklidisessa tasossa ne solmut, jotka ovat solmujen konveksin peitteen kärkipistesolmuina, ovat optimaalisella kauppamatkustajan reitillä toisiinsa nähden samassa järjestyksessä kuin kierrettäessä konveksia peitettä 16

17 Kertamenetelmiä Lähimmän naapurin menetelmä: Lisätään reittiin alkusolmu Lisätään reittiin aina se solmu, joka on lähinnä reitin viimeistä solmua ja joka ei vielä kuulu reittiin Solmu lisätään aina reitin viimeisen solmun perään 17

18 Väliinsijoitus satunnaisessa järjestyksessä: Lisätään reittiin alkusolmu Lisätään reittiin muut solmut jossain järjestyksessä Solmu lisätään sellaiseen väliin, että sen lisääminen kasvattaa reitin pituutta mahdollisimman vähän 18

19 Reitin pituuden minimilisäys: Lisätään reittiin alkusolmu Lisätään reittiin aina se solmu, jonka lisääminen kasvattaa reitin pituutta mahdollisimman vähän Solmu lisätään aina reitin parhaaseen väliin 19

20 Kaukaisimman solmun lisäys: Lisätään reittiin alkusolmu Lisätään reittiin aina se solmu, joka on kauimpana reitin solmuista ja joka ei vielä kuulu reittiin Solmu lisätään aina reitin parhaaseen väliin 20

21 Korjaavia menetelmiä 2-opt: (Sopii vain symmetrisille tehtäville, ts. on oltava d ij = d ji ) Muodostetaan reitti jollain kertamenetelmällä (tai satunnaisesti) Valitaan reitiltä kaksi peräkkäisten solmujen muodostamaa paria a b ja c d Muutetaan reittiä siten, että a c ja b d, jos se lyhentää reittiä Käydään läpi kaikki mahdolliset parit Jos reitti ei muutu yhden tällaisen kierroksen aikana, lopetetaan 21

22 3-opt: (Sopii myös epäsymmetrisille tehtäville, ts. voi olla d ij d ji ) Muodostetaan reitti jollain kertamenetelmällä (tai satunnaisesti) Valitaan reitiltä kolme peräkkäisten solmujen muodostamaa paria a b, c d ja e f (voi olla b = c ja d = e) Muutetaan reittiä siten, että a d, c f ja e b, jos se lyhentää reittiä Käydään läpi kaikki mahdolliset kolmikot Jos reitti ei muutu yhden tällaisen kierroksen aikana, lopetetaan 22

23 Or in menetelmä: Kuten 3-opt, paitsi että kokeillaan vain ne kolmikot, joissa solmujen d ja e etäisyys on korkeintaan k solmua (esimerkiksi k = 3) 23

24 Lämpökäsittely eli simulated annealing Periaate: Ratkaisua korjataan heuristisesti parempaan suuntaan aina, kun siihen tulee tilaisuus, mutta tietyllä todennäköisyydellä voidaan siirtyä myös huonompaan suuntaan Fysikaalinen analogia: Materiaalia ensin kuumennetaan ja sitten annetaan sen jäähtyä hitaasti = Muodostuu optimaalinen kiderakenne, joka vastaa energiaminimiä 24

25 Lämpökäsittely yleisesti: Olkoon V (i) objektifunktion arvo systeemin tilassa i ja olkoon k kierroslaskuri 1. Valitaan satunnainen alkuratkaisu 2. Siirretään systeemi nykyisestä tilasta i johonkin toiseen tilaan j, jos V (j) < V (i) tai jos V (j) V (i) ja r k < exp( (V (j) V (i))/t k ) missä r k (0,1) on satunnaisluku ja T k pienenee, kun k kasvaa 3. Toistetaan kohtaa 2 kunnes ratkaisu ei muutu 25

26 Lämpökäsittelyn soveltaminen kauppamatkustajan ongelmaan: Käytetään esimerkiksi 3-opt-menetelmää Kokeiltaessa uutta kolmikkoa, tehdään muutos aina silloin, kun se lyhentää reittiä Jos taas uusi reitti olisi pidempi, hyväksytään se silti, jos edellä mainittu satunnaislukutesti sen sallii 26