Laboratoriotyö 1 FYSA240 (FYS242) Juha Merikoski (työohjeet) ja Sami Kähkönen (tietokoneohjelma) 1999,2005
|
|
- Väinö Pääkkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ISING-MALLIN MONTE CARLO -SIMULOINTI Laboratoriotyö Statistinen fysiikka FYSA40 (FYS4) Juha Merikoski (työohjeet) ja Sami Kähkönen (tietokoneohjelma) 999,005 Työssä tutustutaan magneettiseen järjestäytymiseen ja termodynaamisten suureiden numeeriseen laskemiseen Monte Carlo -menetelmän avulla. Tutkittava järjestelmä on kaksiulotteinen Ising-ferromagneetti neliöhilassa. Työ tehdään omaan tahtiin pc-luokan tietokoneilla eikä siihen tarvitse varata laboratoriovuoroa.. Ising-malli Ising-mallin idean keksi tiettävästi ensimmäisenä saksalainen fyysikko Wilhelm Lenz ( ). Hänen oppilaansa Ernst Ising ( ) julkaisi vuonna 95 artikkelin, jossa ratkaistiin mallin yksiulotteinen versio ja todettiin, ettei tässä tapauksessa mallissa ole faasitransitiota missään nollasta poikkeavassa lämpötilassa. Valitettavasti Ising päätteli, että näin olisi myös useampiulotteisessa tapauksesa, mikä osoitettiin eksaktisti virhepäätelmäksi 30-luvulla. Merkittävin askel Ising-mallin historiassa otettiin 944, jolloin norjalaissyntyinen Lars Onsager ( ) melkoisen matemaattisen yksilösuorituksen tuloksena julkaisi kaksiulotteisen mallin eksaktin ratkaisun nollakentässä. Mainittakoon, että Onsager sai vuonna 968 kemian Nobel-palkinnon toisesta merkitykseltään vastaavantasoisesta, epätasapainotermodynamiikkaan liittyvästä työstä. Vuoden 944 jälkeen kaksiulotteista mallia nollasta poikkeavassa kentässä samoin kuin kolmeulotteista mallia on yrittänyt ratkaista useampikin fyysikkosukupolvi kumpikin tapaus kuuluu statistisen fysiikan merkittävimpien toistaiseksi ratkaisemattomien ongelmien joukkoon []. Tarkastellaan Kuvan mukaista kaksiulotteista hilaa, jossa kuhunkin hilapisteeseen i on määritelty klassistyyppinen spin-muuttuja, joka voi saada arvot =± ( spin ylös tai spin alas ). Kutsumme näitä olioita jatkossa yksinkertaisesti spineiksi, vaikka varsinaisesti sana spin viittaakin kvanttimekaaniseen ominaisuuteen []. Ideaalisen paramagneetin tapauksessa ulkoisessa magneettikentässä B yhden spinin energia on µb, kun spin ylös -suunta on sama kuin magneettikentän suunta [3]. Tällöin systeemi voittaa energiaa spinien kääntyessä magneettikentän suuntaan. Ising-mallissa oletetaan lisäksi, että jokainen spin vuorovaikuttaa lähinaapuriensa kanssa ja kunkin lähinaapuriparin i, j energia on J S j. Kun spinien välillä on ferromagneettinen kytkentä eli J > 0, tämä vuorovaikutusenergia minimoituu, kun lähekkäin olevat spinit ovat samansuuntaiset. Kaksiulotteisessa neliöhilamallissa kullakin spinillä on neljä naapurispiniä. Näillä määrittelyillä koko systeemin energia mikrotilassa r on E tot r = J i,j S (r) i S (r) j µb S (r) i, () missä N on spinien lukumäärä ja S (r) i on spinin i suunta ko. tilassa. Merkintä i, j tarkoittaa summaamista yli kaikkien lähinaapuriparien siten, että jokainen pari lasketaan kerran. Jälkimmäinen summa käy yli kaikkien spinien. Keskeinen mitattavissa oleva suure on magneettinen momentti spiniä kohti M = µ N N, () koska Ising-mallin tapauksessa ei ole oikein mielekästä määritellä magneettista momenttia tilavuutta kohti, kuten kurssikirjassa [3] on tehty. i Kuva : Kaksiulotteinen Ising-malli. Pisteessä i olevan spinin lähinaapurit on merkitty katkoviivoilla.
2 Muita työssä vastaan tulevia suureita ovat magneettisen momentin itseisarvon keskiarvo M = µ N N, (3) joka on varsinainen järjestyksen mittari tapauksessa J > 0, ja keskimääräinen energia spiniä kohti E = Etot N = J S j µb N i,j. (4) Huomaa, että tapauksessa J 0 kunkin spinin energia riippuu myös naapurispinien tilasta, joten ei ole mahdollista kirjoittaa koko järjestelmän energiaa (ja muita suureita) yksittäisen spinin tilojen avulla, toisin kuin ideaalisen paramagneetin tapauksessa. Määrittelemme vielä M:n ja E:n fluktuaatioita kuvaavat suureet ( M) = (M M) ( E) = (E E). (5). Monte Carlo -menetelmä Statistisessa fysiikassa (edelläkin) on usein kiinnostuksen kohteena lämpötilassa T olevaa järjestelmää kuvaavan termodynaamisen suureen A keskiarvo A = Z r A r e Etot r /kt ; Z = r e Etot r /kt, (6) missä on summattu yli systeemin kaikkien mikrotilojen r ja A r on A:n arvo tilassa r. Monissa fysikaalisesti mielenkiintoisissa järjestelmissä partitiofunktion Z ja keskiarvon (6) eksakti analyyttinen laskeminen on hankalaa ja on käytettävä numeerisia menetelmiä [4]. Koska Ising-mallia ei pystytä yleisessä tapauksessa ratkaisemaan kynällä ja paperilla, tutkitaan sitä usein numeerisesti, tavallisimmin käyttäen Monte Carlo -simulointia, jolla pyritään tuottamaan keskiarvojen laskemista varten edustava otos mallin N mikrotilasta. Lisäksi simulaatiot antavat hyvin havainnollisen kuvan järjestelmän käyttäytymisestä, joten ne voivat täydentää käsistystämme sellaisistakin ilmiöistä, joita pystymme analysoimaan teoreettisesti... Satunnainen otanta Yksi mahdollisuus on luoda satunnaisesti (tietokoneessa satunnaislukugeneraattorin avulla) suuri määrä systeemin tiloja (Kuva ), esimerkiksi tilat r, r,..., r m. Suureen A arvolle näistä laskettu tekijällä exp[ Er tot /kt] painotettu keskiarvo on likiarvo summalle (6). On ilmeistä, että arvio paranee, kun m kasvaa. Suuri osa tiloista r s vaikuttaa kuitenkin hyvin vähän lopputulokseen, koska tilan painokerroin on eksponentiaalisesti vähenevä energian funktio. Tämän vuoksi menetelmä tässä yksinkertaisimmassa muodossa kuluttaa tarkkuuteensa nähden kohtuuttoman paljon tietokoneaikaa... Metropolis-algoritmi Laskenta on huomattavasti tehokkaampaa, jos tilat r s alunalkaen valitaan niiden todennäkäisyyden mukaan. Tällöin pyritään tuottamaan niitä systeemin tiloja, jotka eniten vaikuttavat keskiarvoon (6). Tällainen otanta (importance sampling) voidaan tietokoneessa toteuttaa monella tavalla [4]. Seuraavalla sivulla hahmotellaan tietokoneohjelman käyttämä ns. Metropolis-algoritmi [5] muokattuna Ising-mallille sopivaksi: Kuva : Esimerkkejä tietokonesimuloinnilla tuotetuista Ising-mallin mikrotiloista matalassa ja korkeassa lämpötilassa. Musta neliö = spin ylös, valkoinen = spin alas.
3 Metropolis-algoritmi: (i) Aloitetaan jostain satunnaisesta järjestelmän mikrotilasta. (ii) Valitaan jokin spin, jonka senhetkistä tilaa (spin tai ) yritetään muuttaa. (iii) Toteutetaan tilan muutos todennäköisyydellä w = min{, e Etot /k BT }, missä E tot on koko järjestelmän energian muutos, jos valittua spiniä käännetään. (iv) Palataan kohtaan (ii). Algoritmin kohta (iii) onnistuu seuraavasti: Tuotetaan satunnaislukugeneraattorilla satunnaisluku s [0, ]. Lasketaan spinin käännön todennäköisyys w. Jos sattuu olemaan w > s, käännetään spin; muussa tapauksessa jätetään spinin suunta ennalleen. Se, että algoritmia toistamalla lopulta tuotetaan (6):n mukaisia keskiarvoja, on todistettavissa todennäköisyyslaskennan menetelmin (stokastiikan alkeita: Markovin ketjujen teoria). 3. Työn suoritus Työssä tarvitaan kurssin Statistinen fysiikka alkuosan tietoja. Aluksi kannattaa kerrata kurssikirjasta [] kappale 3., jossa tarkastellaan ideaalista paramagneettia. Kirjan luvun 8 termodynaamiset ideat ovat hyvin käyttökelpoisia ferromagneetin tapauksessa (kirjassa ei kuitenkaan valitettavasti ole esimerkkejä faasimuutoksista magneettisissa systeemeissä vaan ainoastaan fluidisysteemeissä). Kuten luennolla on todettu, ferromagneetin faasidiagrammi on kuitenkin analoginen fluidisysteemin faasidiagrammin kanssa höyrynpainekäyrän osalta (Kuva 3). Magneettien ja fluidien faasimuutoksissa onkin paljon yhtäläisyyksiä. (a).5 (b) B 0 P / P C T / T C T / T C Kuva 3: (a) Ising-mallin faasidiagrammi (T,B)-tasossa. (b) Fluidisisteemin höyrynpainekäyrä. Työssä tarkasteltavat fysikaaliset tilanteet ja suoritettavat tehtävät: 3.0. Tietokoneohjelman käyttöön tutustuminen Tietokoneohjelma antaa aloitusruudussa työn tekijöiden syntymäaikojen perusteella sopivan arvon kytkentävakiolle J. Kirjoita saamasi arvo muistiin (koska joudut kohdassa 3. asettamaan J:n ensin nollaksi) ja käytä sitä kohtien 3. ja 3.3 laskuissa. Kirjoita muistiin myös samalla määräytyvä vaihtuvan tehtävän (kohta 3.5) numero. Automaattisesti alustetaan myös ohjelman käyttämä satunnaislukugeneraattori. Tarkemmat ohjeet ohjelman käyttöä varten ovat kansiossa työn suorituspaikalla. Halutessasi voit kopioda simulointiohjelman exe-version kotimikroosi; ohjelman tulostusparametrit on tosin optimoitu fysiikan laitoksen käyttöympäristön mukaan. Kokeile ohjelman käyttöä ja testaa myös tulostus ennenkuin siirryt varsinaisiin tehtäviin. Kunkin tehtävän kohdalla kannattaa tulostaa pari kuvaa tyypillisistä ohjelman tuottamista spin-konfiguraatioista. Tämä helpottaa myöhemmin selostuksen kirjoittamista. 3.. Ideaalinen paramagneetti J = 0 Tämä tilanne on käsitelty oppikirjassa [3] ja luennolla. Kun spinien välillä ei ole vuorovaikutuksia eli J = 0, saa lauseke () muodon Er tot = µb S (r) i. (7) Tällöin magneettinen momentti lämpötilassa T on ( µb ) M = µ tanh kt 3 (8)
4 ja energia spiniä kohti (huomaa erilainen merkintä kirjassa) on ( E = Etot µb ) N = µb tanh = MB. (9) kt Oppikirjassa on käytetty merkintää x = µb/kt. Piirrä käyrät (8) ja (9) eri kuviin x:n funktiona alueella x = Mitä voit päätellä systeemin käyttäytymisestä lämpötilan funktiona? Laske muutama piste edellä piirtämillesi käyrille osaston mikrotietokoneessa olevalla Monte Carlo -ohjelmalla. Huomaa, että ohjelman käyttämässä yksikköjärjestelmässä on k = ja µ =, mikä on tavallinen käytäntö statistisen fysiikan laskuissa. Tästä seuraa myös, että B ja T ilmaistaan samoissa yksiköissä, samoin myöhemmin J. Sovimme nyt yksinkertaisuuden vuoksi, että kaikki tulokset ilmaistaan yksiköttöminä [6]. Piirrä ohjelman laskemat pisteet samaan kuvaan kaavoista (8) ja (9) laskemiesi käyrien kanssa. Vertaamalla pisteitä teorian ennusteisiin voit varmistaa tässä vaiheessa, että olet saanut tietokoneohjelman toimimaan oikein. 3.. Ferromagneetti J > 0 nollakentässä B = 0 Kun J > 0, spinien välinen vuorovaikutus pyrkii kääntämään naapurispinit samaan suuntaan (ferromagnetismi). Tällöinkin voidaan johtaa tarkat analyyttiset lausekkeet suureille ( 4) kaksiulotteisessa tapauksessa rajalla N, kun B = 0. Teoreettinen tarkastelu on kuitenkin hyvin vaikea [,7], minkä vuoksi turvaudumme jatkossa yksinomaan Monte Carlo -simulointiin. Laske magneettisen momentin itseisarvo M, kun kt/j = ja B = 0 käyttäen ohjelman aiemmin antamaa J:n arvoa. Aseta sama arvo vaaka- ja pystysuuntaiselle kytkennälle eli J x = J y = J. Piirrä tulos parametrin y = kt/j:n funktiona (ohjelmassa siis k = ). Miten M mittaa systeemin järjestäytymisastetta? Kriittinen lämpötila T c tarkoittaa lämpötilaa, jonka yläpuolella spontaani magnetoituma eli magnetoituma nollakentässä häviää. Arvioi kriittinen lämpötila simulaatiotuloksistasi (tarvitset riittävän monta datapistettä) ja vertaa saamaasi arviota teoreettiseen tulokseen: sinh(j/kt c ) = eli T c.69j/k äärettömän kokoiselle kaksiulotteiselle Ising-mallille [7]. Jos haluaisit mallintaa tällä Ising-mallilla raudan ferromagnetismia [6], mikä olisi J:n arvo elektronivoltteina, jos kiderakennekorjaukset voi jättää huomiotta? 3.3. Ferromagneetti J > 0 magneettikentässä B > 0 Toista kohdan 3. laskut, kun B > 0. Valitse kokeillen kaksi sellaista magneettikentän B arvoa, joilla ero edelliseen tapaukseen näkyy selvästi (B:n täytyy olla samaa suuruusluokkaa kuin J). Piirrä tulokset samaan kuvaan. Mikä on J:n ja B:n suhteen vaikutus eri lämpötila-alueilla? 3.4. Antiferromagneetti J < 0 Muuta J negatiiviseksi ja tarkastele ohjelman tuottamia systeemin tiloja eri lämpötiloissa, kun B = 0. Voit myös kokeilla muuttaa kytkentävakioista vain toisen (joko J x tai J y ) etumerkkiä Vaihtuva tehtävä Työpaikalla olevassa kansiossa on joukko numeroituja ja aika ajoin vaihtuvia tehtäviä, joista jokainen työpari suorittaa yhden. Tietokone määrää kunkin parin suoritettavaksi tulevan tehtävän parin syntymäaikojen perusteella ohjelman aloitusruudussa. 4
5 4. Työselostus Työstä laaditaan tiivis kirjallinen selostus, jossa esitellään lyhyesti Ising-malli, tarkastellaan kohdan 3 laskujen tuloksia ja vastataan esitettyihin kysymyksiin. Työn filosofia ja selostuksen sävy on lähinnä kompuutterieksperimentti, ei niinkään teoreettinen tutkielma. Systeemi minimoi vapaan energian F = E T S, jolloin lämpötilan kasvaessa entropia S eli epäjärjestys voittaa. Miten tämä näkyy ohjelman tuottamista systeemin tiloista kussakin kohdassa? Tervetulleita ovat muutkin havainnot systeemin tilojen luonteesta, kuten järjestyksen saarekkeista ja mahdollisesta metastabiiliudesta demonstroi havaintosi kuvin. Yksi mahdollinen pohdiskelun aihe on myös kvalitatiivinen yhtäläisyys Ising-mallissa ja muissa fysikaalisissa systeemeissä tapahtuvien faasimuutosten välillä. Monte Carlo -menetelmää ei tarvitse yksityiskohtaisesti käsitellä selostuksessa. Liite Eräiden ferro- ja antiferromagneettisten materiaalien kriittisiä lämpötiloja (Lähde: Ashcroft & Mermin [6]): Ferromagneetteja T c Antiferromagneetteja T c Fe 043 K MnO K Co 388 K FeO 98 K Ni 67 K KFeF 3 5 K Gd 93 K VS 040 K GdCl 3. K Cr 3 K Kirjallisuus [] Ising-mallin fysiikkaan ja historiaan liittyvää materiaalia työn suorituspaikalla olevassa kansiossa. [] Ising-malli voidaan johtaa aidosti kvanttimekaanisesta Heisenbergin mallista eräille systeemeille pätevänä rajatapauksena. Kyseisellä rajalla malliin jää vain toistensa kanssa kommutoivia operaattoreita, minkä ansiosta mallin statistista mekaniikkaa voidaan tarkastella ilman kvanttimekaniikan koneistoa [Plischke & Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, nd edition, World Scientific (994)]. [3] F. Mandl, Statistical Physics, Luku 3. A Paramagnetic Solid in a Heat Bath, Wiley (988). [4] D. W. Heermann, Computer Simulation Methods in Theoretical Physics, Springer (990). [5] Nimi Monte Carlo viittaa luonnollisesti kuuluisaan kasinoon, jossa tuotetaan satunnaislukuja ruletilla, kun taas Metropolis on algoritmin kehittäjän nimi. Alkuperäinen artikkeli [N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller & E. Teller, J. Chem. Phys., 0 (953)] sisältää yksinkertaisen perustelun sille miksi algoritmin voi odottaa toimivan. [6] Ising-mallin parametrit, kuten kytkentävakio J, saavat jonkin tietyn arvon energia- ja lämpötilayksiköissä vasta sitten, kun mallia aletaan soveltaa johonkin realistiseen systeemiin. Esim. raudalle kokeellisesti mitattu kriittinen lämpötila on noin 043 K, mistä saa J:lle arvion. Tarkkaan ottaen asiaan vaikuttaisi jonkin verran myös raudan kiderakenne, joka on bcc-rakenne eikä neliöhila, ja monet muut komplikaatiot, joihin ei ole tarpeen puuttua tässä [Luvut 4 ja 33, Ashcroft & Mermin, Solid State Physics (976)]. [7] Kriittisen pisteen lähellä pätevän skaalauksen M (T c T) /8 ja muiden tunnettujen eksaktien tulosten [R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press (98)] todentaminen Monte Carlo -menetelmällä vaatii pidempiä simulointeja kuin mihin tässä työssä voidaan ryhtyä. 5
FYSA241/K1. Juha Merikoski ja Sami Kähkönen (1999,2005) Janne Juntunen (2006) ja Vesa Apaja (2006-)
ISING-MALLIN MONTE CARLO -SIMULOINTI Statistinen fysiikka FYSA1/K1 Juha Merikoski ja Sami Kähkönen (1999,005) Janne Juntunen (00) ja Vesa Apaja (00-) Työssä tutustutaan magneettiseen järjestäytymiseen
LisätiedotFysp240/1 Ising-malli (lyhyt raportti)
Tiia Monto Työ tehty: 19.1. tiia.monto@jyu. 7515 Fysp/1 Ising-malli (lyhyt apotti) Assistentti: Avostellaan (joko hyväksytty tai hylätty) Työ jätetty: Abstact I simulated paamagnet, feomagnet and antifeomagnet
LisätiedotAineen magneettinen luonne mpötilan vaikutus magnetoitumaan
Aineen magneettinen luonne ja lämpl mpötilan vaikutus magnetoitumaan Jaana Knuuti-Lehtinen 3.4.2009 2.4.20092009 1 Johdanto Magnetoitumisilmiö Mistä johtuu? Mitä magnetoitumisessa tapahtuu? Magneettiset
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
Lisätiedot6. Yhteenvetoa kurssista
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotStatistinen fysiikka, osa A (FYSA241)
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 0. Käytännön asioita 1 Ajat, paikat Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Touko Herranen Toni Mäkelä Luento 11: Faasitransitiot Ke 29.3.2017 1 AIHEET 1. 1. kertaluvun transitioiden (esim.
Lisätiedot1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 1. Johdanto 1 Ajat, paikat Luennot: 20h ma, ke klo 10.15, FYS1,, 9.1.-22.2 Demot: 10h, ke
LisätiedotLASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:
LisätiedotStatistinen fysiikka, osa A (FYSA241)
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 1 Ajat, paikat 0. Käytännön asioita Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa
LisätiedotSTOKASTISISTA PROSESSEISTA JA SIMULAATIOMENETELMISTÄ
STOKASTISISTA PROSESSEISTA JA SIMULAATIOMENETELMISTÄ Simulaatiokurssi 2004 muokattu 25.5.2006 (J.Merikoski) Stokastisten simulaatiomenetelmien yleisiä lähtökohtia. Satunnaismuuttujat, stokastiset prosessit
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
LisätiedotSyventävien opintojen seminaari
Syventävien opintojen seminaari Sisällys 1 2 3 4 Johdanto Kvanttikenttäteorioiden statistinen fysiikka on relevanttia monella fysiikan alalla Kiinteän olomuodon fysiikka (elektronisysteemit) Kosmologia
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotJohdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
LisätiedotFaasitasapaino Ferromagneetti ja Isingin malli Clausius-Clapeyron Lisää faasimuunnoksista. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 5. Faasitransitiot 1 Olomuodonmuutokset eli faasitransitiot Arkisesti: kvalitatiivinen
Lisätiedot34.2 Ulkoisen magneettikentän vaikutus ferromagneettiseen aineeseen
34 FERROMAGNETISMI 34.1 Johdanto Jaksollisen järjestelmän transitiometalleilla on täyden valenssielektronikuoren (s-kuori) alapuolella vajaa d-elektronikuori. Tästä seuraa, että transitiometalliatomeilla
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
LisätiedotMitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn
Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
Lisätiedot5. Faasitransitiot. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 5. Faasitransitiot 1 Olomuodonmuutokset eli faasitransitiot Arkinen määritelmä
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotStanislav Rusak CASIMIRIN ILMIÖ
Stanislav Rusak 6.4.2009 CASIMIRIN ILMIÖ Johdanto Mistä on kyse? Mistä johtuu? Miten havaitaan? Sovelluksia Casimirin ilmiö Yksinkertaisimmillaan: Kahden tyhjiössä lähekkäin sijaitsevan metallilevyn välille
Lisätiedotinfoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2
infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona 29.11. ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen 12-13.3. lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
LisätiedotFaasitasapaino Ferromagneetti, Ising Clausius-Clapeyron Vesi Yhteenvetoa kurssista. FYSA241, kevät Tuomas Lappi
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 5. Faasitransitiot 1 Olomuodonmuutokset eli faasitransitiot Arkinen määritelmä terävä muutos
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 4: entropia Pe 3.3.2017 1 Aiheet tänään 1. Klassisen termodynamiikan entropia
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotExperiment Finnish (Finland) Hyppivät helmet - Faasimuutosten ja epätasapainotilojen mekaaninen malli (10 pistettä)
Q2-1 Hyppivät helmet - Faasimuutosten ja epätasapainotilojen mekaaninen malli (10 pistettä) Lue yleisohjeet erillisestä kuoresta ennen tämän tehtävän aloittamista. Johdanto Faasimuutokset ovat tuttuja
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
Lisätiedot5. Numeerisesta derivoinnista
Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotFysikaaliset tieteet. Minkälaisia opintokokonaisuuksia saa fysiikasta? Miksi ja miten tehdä fysiikasta sivuaine?
Fysikaaliset tieteet Minkälaisia opintokokonaisuuksia saa fysiikasta? Miksi ja miten tehdä fysiikasta sivuaine? Oletko fysiikan opiskelija? Tässä olevia kokonaisuuksia ei tarjota sinulle aivan tälläisenään.
LisätiedotT Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 11, ke , 12:15 14:00 Puheentunnistus ja kielimallien evaluointi Versio 1.
T-61.020 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 11, ke 18.4.2007, 12:1 14:00 Puheentunnistus ja kielimallien evaluointi Versio 1.0 1. Käytämme siis jälleen viterbi-algoritmia todennäköisimmän
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotTfy Teoreettinen mekaniikka (5 op) Tfy Fysiikka IV alkuosa A ja Tfy Teoreettinen mekaniikka
7.8.2006/akh Perustetut kurssit Tfy-0 Korvaavat vastaavat opintojaksot Tfy-0.1011 Fysiikka IA (4 op) Tfy-0.101 Fysiikka I alkuosa Tfy-0.1012 Fysiikka IB (4 op) Tfy-0.101 Fysiikka I loppuosa Tfy-0.1023
Lisätiedot1.1 Magneettinen vuorovaikutus
1.1 Magneettinen vuorovaikutus Magneettien välillä on niiden asennosta riippuen veto-, hylkimis- ja vääntövaikutuksia. Magneettinen vuorovaikutus on etävuorovaikutus Magneeti pohjoiseen kääntyvää päätä
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotFYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO
FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO Johdanto Inertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin mekaniikan lait pätevät. Tällaista koordinaatistoa ei reaalimaailmassa kuitenkaan ole. Epäinertiaalikoordinaatisto
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2018-2019, Harjoitus 3, Ratkaisu Harjoituksessa käsitellään algoritmien aikakompleksisuutta. Tehtävä 3.1 Kuvitteelliset algoritmit A ja B lajittelevat syötteenään
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotMATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN
MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN Matematiikka ja matematiikan soveltaminen, 4 osp Pakollinen tutkinnon osa osaa tehdä peruslaskutoimitukset, toteuttaa mittayksiköiden muunnokset ja soveltaa talousmatematiikkaa
LisätiedotSisällys. 3. Muuttujat ja operaatiot. Muuttujat ja operaatiot. Muuttujat. Operaatiot. Imperatiivinen laskenta. Muuttujat. Esimerkkejä: Operaattorit.
3. Muuttujat ja operaatiot Sisällys Imperatiivinen laskenta. Muuttujat. Nimi ja arvo. Muuttujan nimeäminen. Muuttujan tyyppi.. Operandit. Arvon sijoitus muuttujaan. Aritmeettiset operaattorit. Arvojen
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn
Lisätiedot3. Muuttujat ja operaatiot 3.1
3. Muuttujat ja operaatiot 3.1 Sisällys Imperatiivinen laskenta. Muuttujat. Nimi ja arvo. Muuttujan nimeäminen. Muuttujan tyyppi. Operaattorit. Operandit. Arvon sijoitus muuttujaan. Aritmeettiset operaattorit.
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 6.11. ja tiistai 7.11. Pohdintaa Mitä tai mikä ominaisuus lämpömittarilla
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedot3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
LisätiedotPERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä /+^2 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen / +^2 Kopioi molemmat matematiikka-alueet ja liiku alueen sisällä
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotPERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota KAKSI välilyöntiä (SEURAA ALUEMERKINTÄÄ) 4:n jälkeen 3/4 +5^2
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä 3/4+^2 3 4+ 2 Kirjoita muuten sama, mutta ota KAKSI välilyöntiä (SEURAA ALUEMERKINTÄÄ) 4:n jälkeen 3/4 +^2 3 + 4 2 Kopioi
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
LisätiedotKiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet
Kiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet Peruskäsite: Yhdisteessä elektronien orbtaaliliike ja spin vaikuttavat magneettisiin ominaisuuksiin (spinin vaikutus on merkittävämpi) Diamagnetismi Kaikki
LisätiedotOHJEITA TYÖSELOSTUKSEN LAATIMISEEN
OHJEITA TYÖSELOSTUKSEN LAATIMISEEN Raportointi kuuluu tärkeänä osana jokaisen fyysikon työhön riippumatta siitä työskenteleekö hän tutkijana yliopistossa, opettajana koulussa vai teollisuuden palveluksessa.
LisätiedotTietotekniikan valintakoe
Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tietotekniikan valintakoe 2..22 Vastaa kahteen seuraavista kolmesta tehtävästä. Kukin tehtävä arvostellaan kokonaislukuasteikolla - 25. Jos vastaat useampaan
LisätiedotJohdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä
FYSP105 / K2 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funtiona. Sähkömagnetismia ja työssä
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedot3. Simulaatioiden statistiikka ja data-analyysi
[5B] TIETOKONESIMULAATIOISTA Luennolla esiteltiin fysiikan alan tietokonesimulaatiomenetelmiä. Esimerkkien puitteissa koodejakin katsellen tarkastelimme samalla joitakin vähemmälle huomiolle jääneitä aiheita
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 27.11. ja tiistai 28.11. Kotitentti Julkaistaan ti 5.12., palautus viim. ke 20.12.
LisätiedotFYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ
FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys
LisätiedotKombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotFysiikan maailmankuva 2015 Luento 8. Aika ja ajan nuoli lisää pohdiskelua Termodynamiikka Miten aika ja termodynamiikka liittyvät toisiinsa?
Fysiikan maailmankuva 2015 Luento 8 Aika ja ajan nuoli lisää pohdiskelua Termodynamiikka Miten aika ja termodynamiikka liittyvät toisiinsa? Ajan nuoli Aika on mukana fysiikassa niinkuin jokapäiväisessä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotPsykologia tieteenä. tieteiden jaottelu: TIETEET. EMPIIRISET TIETEET tieteellisyys on havaintojen (kr. empeiria) tekemistä ja niiden koettelua
Psykologia tieteenä tieteiden jaottelu: FORMAALIT TIETEET tieteellisyys on tietyn muodon (kr. forma) seuraamista (esim. logiikan säännöt) matematiikka logiikka TIETEET LUONNON- TIETEET fysiikka kemia biologia
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotFYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT
FYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funktiona. Sähkömagnetismia ja
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 6: Vapaaenergia Pe 11.3.2016 1 AIHEET 1. Kemiallinen potentiaali 2. Maxwellin
Lisätiedot