Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama magneettikenttä vastustaa magneettivuon muutosta. b) Virtasilmukan synnyttämä magneettivuo on verrannollinen silmukassa kulkevaan virtaan: Φ M = L. Verrannollisuuskerroin L on itseisinuktanssi ja se kuvaa silmukan kykyä tuottaa magneettivuota tietyllä virralla. Pisteen saa myös, jos on tulkinnut itseisinuktanssin suureeksi joka kuvaa virtasilmukan kykyä varastoia magneettikentän energiaa: W = L /. c) Poyntingin vektori määritellään sähkökentän voimakkuuen ja magneettikentän voimakkuuen ristitulona S = E H. Poyntingin vektori kuvaa paljonko hetkellisesti sähkömagneettisen säteilyn energiaa menee pinta-alayksikön läpi aikayksikössä. Mikäli hetkellisesti puuttuu niin (1/4p). ) Hiukkasen aaltoluonne saaaan esille tutkimalla liittyykö hiukkasiin joitain aalloille ominaisia ilmiöitä kuten Braggin iffraktio. e) Fotoni on sähkömagneettisen kentän hiukkanen (1/4p). Sillä ei ole massaa, energia on E = hf, jossa f on sähkömagneettisen kentän taajuus, liikemäärä on p = E/c. (jokaisesta oikeasta ominaisuuesta 1/4p). f) Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaan kvanttimekaanisen hiukkasen paikkaa ja liikemäärää ei voia tietää tarkasti samanaikaisesti: ΔxΔp /. (Myöskään energiaa ja aikaa ei voi tietää samanaikaisesti: ΔtΔE /). Epätarkkuusperiaate on seurausta hiukkasen aaltopakettiesityksestä. 1
Tehtävä a) - Valitaan sylinterikoorinaatisto (r, ϕ, ) - Potentiaaliero levyjen välissä Vt () = Vsin( π ft) - Sähkökenttä Vt () V E () t = e = sin( π ft) e x (Jos kenttä on laskettu lausekkeesta E=- V niin p) ϕ R (r, ϕ) y - Ampere-Maxwellin laki: = t με E V B = = f cos( ft) e t με π π H - Sylinterikoorinaatistossa 1 B B ϕ Br B 1 Br B = er + eϕ + ( rbϕ) e r ϕ r r r ϕ - Symmetrian perusteella B ei riipu koorinaateista ϕ ja B 1 B = e ϕ + ( rb ϕ) e r r r B = B = vakio= (ei kenttää konensaattorin ulkopuolella) r 1 ( rbϕ ) V = μ ε π f cos( π ft) r r V rb ( ϕ ) = με πfcos( πftrr ) rb V ϕ = με πf cos( πft) r + D V D Bϕ = με πf cos( πft) r+ oltava D =, jotta B r ϕ ei ivergoi r = :ssa B = με V πf cos( πft) re ϕ
. b) Faraayn lain mukaan inusoitunut jännite on Φ E = in t A R B E = N in B A= N A t A A t R V = cos( ) r t με π π = = V R = με π [ cos( π )] t = NμεV π f R sin( πft) N f ft r r N f ft rr 5 4 = 5.5 1 sin(6.3 1 tv ) r= = Lasku oikein, iea ok, mutta pieni/pieniä laskuvirheitä 3
Tehtävä 3 a) Maxwellin yhtälöt ifferentiaalimuoossa: D = ρ b) B = B E = t H = J+ t jokaisesta oikeasta 1/4p (kaikki ok 1p) Suureet: E on sähkökentän voimakkuus H on magneettikentän voimakkuus B on magneettivuon tiheys D on sähkövuon tiheys J on virran tiheys ρ on varaustiheys kaikki ok 1p, puuttuvista ja virheellisistä -1/4p. Max 1p, min p. tulkinnat D = ρ B = B E = t H = J+ t sähkökentän lähe on varaustiheys magneettisia monopoleja ei ole löyetty muuttuva magneettikenttä aiheuttaa sähkökentän pyörteen virrantiheys sekä muuttuva sähkökenttä aiheuttavat magneettikentän pyörteen Tulkinnat nähään vaikkapa seuraavasti D S D = lim S V V S on pinta joka rajoittaa tilavuutta V lim n E= S E l S C C on käyrä joka rajoittaa pintaa S jos raja-arvo on erisuuri kuin nolla on ko. kohassa oltava D:n lähe jos raja-arvo on erisuuri kuin nolla on ko. kohassa oltava jotain joka aiheuttaa E:n pyörteen Yo. tavalla tai muuten oikein perustellusta lähe-tulkinnasta 1/p ja pyörrelähe-tulkinnasta 1/p. c) D = ρ B = ρ M B E= JM t H = J+ t Magneettisten monopolien aiheuttamat muutokset Maxwellin yhtälöihin on merkitty keltaisella. Yhtälöihin tulee siis magneettisten monopolien tiheys ρ M sekä magneettisten monopolien virrantiheys J 4 M.
Tehtävä 4 a) Lähtökohtana on Malusin laki θ = cos Polaroimattomassa valossa on kaikkia polarisaatiosuuntia yhtä paljon. Yhestä polarisaattorista läpi mennyt intensiteetti saaaan keskiarvona kulman θ yli. π 1 = cos θθ = π b) β α / cos β cos β cos ( α β) nyt valo on lineaarisesti polaroitua ja voiaan käyttää Malusin lakia Millä β:n arvolla läpimennyt intensiteetti on suurimmillaan? [ ] cos βcos( α β) sin βcos( α β) cos βsin( α β) β = + = Tapaukset β = ±π/ ja α-β = ±π/ antavat läpimenneeksi intensiteetiiksi nollan joten nämä vastaavat minimejä. Maksimi ulostulo kun sinβ cos( α β) = cosβsin( α β) tan β = tan( α β) β = α/ Läpimennyt intensiteetti on tällöin α 4 max = cos 5
Tehtävä 5 Vapaan hiukkasen yksiimensioinen Schröingerin yhtälö on muotoa Ψ( x, t) Ψ( x, t) = i m x t Separoiaan muuttujat eli tehään yrite Ψ ( x, t) =ψ ( x) f( t) Sijoitus Schröingerin yhtälöön ψ ( x) f( t) f() t = i ψ ( x) m x t 1 ψ ( x) 1 f( t) = i mψ ( x) x f( t) t Vasen puoli riippuu vain x:stä ja oikea puoli vain t:stä. Molempien puolien on oltava sama vakio. Merkitään tätä vakiota G:llä. 1 ψ ( x) = G mψ ( x) x i 1 f( t) = G f() t t ψ ( x) mg + k ψ ( x) =, jossa k = x ja f() t t ig = f () t igt / i t f () t e = = e ω jossa G ω = Paikkariippuvaa osaa kuvaava ifferentiaaliyhtälö on lineaarinen ja homogeeninen ensimmäisen kertaluvun iffis ja sen yleinen ratkaisu on ikx ψ ( x) = Ae + Be ikx Kokonaisaaltofunktion yleinen muoto on siis Ψ ( x, t) = ψ ( x) f( t) Tulkinta: Ensimmäinen termi kuvaa +x-suuntaan etenevää hitua ja jälkimmäinen x-suuntaan etenevää hitua ikx ( ωt) ikx ( + ωt) = Ae + Be 6