Phragmén-Lindelön lauseista

Phragmén-Lindelön lauseista Pro gradu -tutkielma Tuomas Saarelainen 249684 Itä-Suomen yliopisto 28. toukokuuta 2017

Sisältö 1 Johdanto 1 2 Kompleksiarvoisten funktioiden ominaisuuksia 2 2.1 Kompleksitason joukoista..................... 2 2.2 Analyyttisyys........................... 3 2.3 Logaritmi kompleksitasossa................... 7 2.4 Konformikuvauksista....................... 9 3 Maksimiperiaate ja sen laajennuksia 10 4 Phragmén-Lindelöf 23 4.1 Tuloksista............................. 23 4.2 Historiaa.............................. 35 Lähteet 39

Tiivistelmä Tässä tutkielmassa syvennytään kompleksianalyysissä Phragmén-Lindelön lauseina tunnettuihin tuloksiin, jotka ovat laajennuksia maksimiperiaatteena tunnetulle tulokselle. Phragmén-Lindelön lauseiden avulla voidaan tutkia funktioita, joilla on määritelyjoukossaan muutamia erikoispisteitä, joissa funktio mahdollisesti käyttäytyy eri tavalla kuin muualla alueessa. Tulokset osoittavat maksimiperiaatteen olevan kuitenkin voimassa koko kyseisessä alueessa, minkä ei pitäisi olla mahdollista pelkän maksimiperiaatteen nojalla. Tutkielmassa alueella tarkoitetaan avointa ja yhtenäistä joukkoa. Tutkielman toisessa luvussa esitellään lukijalle tarvittavia pohjatietoja kompleksianalyysistä, esimerkiksi miten reaalianalyysin puolelta tutut eksponenttifunktiot ja logaritmifunktiot määritellään kompleksitasossa. Lisäksi luvussa käsitellään sekä konformikuvauksia että subharmonisia funktioita, joista jälkimmäiset ovat tutkielman kannalta varsin olennaisia. Näistä funktioista esitetään havainnollistukseksi myös muutamia esimerkkejä. Kolmannessa luvussa esitellään maksimiperiaate analyyttisille funktioille. Tulos todistetaan koskemaan myös pelkästään harmonisia ja subharmonisia funktioita. Jälkimmäisiä funktioita koskevasta tuloksesta saadaan merkittävä seuraus, joka koskee myös analyyttisia funktioita, joilla on erikoispisteitä alueessa. Luku 4 jakautuu kahteen alalukuun, joissa käsitellään erikseen tutkielmassa esiteltävät päätulokset ja näihin tuloksiin liittyvää historiaa. Tuloksetalalukuun on valikoitunut muutamia Phragmén-Lindelön lauseina tunnettuja tuloksia, joita on otettu sekä kompleksianalyysin klassisista teoksista (kuten [8], [9], [14]) että yliopistojen oppikirjoina toimivista teoksista ([6], [13]). Esitellyt tulokset todistetaan ja apuna käytetään aiemmin tutkielmassa todistettuja tai viitattuja tuloksia. Historiaa-alaluvussa tuodaan lukijalle esille hieman sekä esiteltyjen tulosten että tulosten löytäneiden henkilöiden historiaa. Ensimmäiset tulokset kehittelivät suomalainen Ernst Lindelöf ja ruotsalainen Edward Phragmén, joiden mukaan lauseet on nimetty. Avainsanat: kompleksianalyysi, maksimiperiaate, Phragmén-Lindelön lause, subharmoninen funktio.

Summary This MSc thesis is about a result known as Phragmén-Lindelöf Principle or Phragmén-Lindelöf Theorem in complex analysis. It is an extension of a result known as Maximum Modulus Principle. With Phragmén-Lindelöf Theorem one can examine functions which may have dierent behaviour in a few exceptional points in the domain. Results show that Maximum Modulus Principle also holds for such functions. In this thesis a domain is dened as a connected open set. In the second section the basic information about complex analysis is introduced to the reader. For instance the exponential function and logarithmic function are dened in the complex plane. In this section conformal mappings and subharmonic functions are introduced to the reader. The latter ones are very essential in this thesis. Some examples are considered regarding subharmonic functions. Section 3 consists of the Maximum Modulus Principle for analytic functions. The principle is also proved for harmonic and subharmonic functions. The Maximum Modulus Principle for subharmonic functions has a corollary which will concern analytic functions with a few exceptional points in the domain. Section 4 has two subsections: the main results and some history about these main theorems. The rst subsection introduces the reader to some results known as Phragmén-Lindelöf Theorems. Some of these are from classical complex analysis books (e.g. [8], [9], [14]) while others are from books for undergraduates (e.g. [6], [13]). Proofs of the theorems are based on theorems or lemmas proved or mentioned earlier in this thesis. The second subsection is about the history of these main theorems and the mathematicians after whom the results are named. Ernst Lindelöf was a Finnish mathematician known for founding the complex analytic school in Finland and Edward Phragmén was a Swedish mathematician who was a professor in the Stockholm University. Keywords: Complex Analysis, Maximum Modulus Principle, Phragmén-Lindelöf Theorem, Subharmonic Function.

1 Johdanto Ensimmäinen Phragmén-Lindelön periaatteena tunnettu tulos julkaistiin vuonna 1908 Acta Mathematicassa. Tekijöinä olivat ruotsalainen Lars Edward Phragmén (1863-1937) ja suomalainen Ernst Lindelöf (1870-1946), joiden nimeä lauseet kantavat. Kyseistä tyyppiä olevia kompleksianalyysin ongelmia kutsutaankin joissain yhteyksissä "Phragmén-Lindelöf -tyyppiä" oleviksi. Phragmén-Lindelön lauseita käsitteleviä artikkeleita löytyy satoja ja monessa kompleksianalyysin perusteoksessa käsitellään tai vähintäänkin viitataan Phragmén-Lindelöin maksimiperiaatteen yhteydessä. Tutkielma aloitetaan käsittelemällä tuloksien ymmärtämiseksi tarvittavia pohjatietoja kompleksianalyysistä. Lukijan oletetaan omaavan matematiikan aineopintotason pohjatiedot sekä perusteita kompleksianalyysista ja erityisesti kompleksisesta integroinnista, jota tässä tutkielmassa ei tarkemmin esitellä, vaikkakin kompleksista integrointia ja sen avulla saatavia tuloksia käytetään mm. subharmonisten funktioiden käsittelyn yhteydessä. Kolmannessa luvussa käsitellään maksimiperiaatetta ja siitä saatavia tuloksia mm. subharmonisille funktioille. Maksimiperiaate tarkoittaa yksinkertaistettuna sitä, että ei-vakion funktion moduli saa maksiminsa alueen reunalla, ei sisäpisteissä. Neljännen luvun ensimmäisessä alaluvussa lukija johdatellaan "Phragmén-Lindelöf -tyyppiä" olevien ongelmien kautta syvemmälle Phragmén- Lindelön lauseina tunnettuihin tuloksiin. Lauseista on luvassa todistuksia ja laajennuksia erilaisiin tilanteisiin kuten maksimiperiaatteen tilanteessa edeltävässä luvussa. Toisessa alaluvussa kerrotaan lyhyesti sekä tutkielman päätuloksiin liittyvää historiaa että päätulosten kehitelleiden henkilöiden historiikkia. Tekijöistä varsinkin Ernst Lindelöf on suomalaisten näkökulmasta varsin merkittävä henkilö, sillä hän kehitti merkittävästi suomalaista matematiikan yliopisto-opetusta ja perusti funktioteoreettisen (eli kompleksianalyyttisen) koulukunnan Suomeen. Tutkielmassa käytettävät merkinnät noudattavat pitkälti kompleksianalyysissa käytettyjä globaaleja merkintöjä. Merkintöjä määritellään lukijalle tarkemmin toisen luvun alussa sekä myöhemmin tulosten yhteydessä, jos uusia merkintöjä ilmenee. 1

2 Kompleksiarvoisten funktioiden ominaisuuksia Tässä tutkielmassa tarkastellaan pääasiassa muotoa f : A B, missä A, B C, olevia kompleksiarvoisia funktioita. Kompleksiarvoisia funktioita käsitellään matematiikan syventävissä opinnoissa. Tutkielman tulosten ymmärtämisen kannalta on kuitenkin tärkeää määritellä hiukan tarkemmin joitain ominaisuuksia ja ominaisuuksiin liittyviä tuloksia. 2.1 Kompleksitason joukoista Ensiksi lyhyesti joukoista ja niiden merkinnöistä kompleksitasossa tässä tutkielmassa. Jos z 0 C ja r > 0, niin D(z 0 ; r) on avoin z 0 -keskinen kiekko, jonka säde on r. Avoimeen kiekkoon kuuluvat kaikki pisteet, jotka ovat alle säteen etäisyydellä keskipisteestä, eli D(z 0 ; r) = {z C : z z 0 < r}. Vastaava suljettu kiekko D(z 0 ; r) sisältää myös enintään säteen etäisyydellä olevat pisteet, eli D(z 0 ; r) = {z C : z z 0 r}. Suljetun tai avoimen kiekon kehää merkitään C(z 0 ; r) ja se sisältää täsmälleen säteen etäisyydellä olevat pisteet, eli C(z 0 ; r) = {z C : z z 0 = r}. Jos z 0 C ja ε > 0, niin merkitään N(z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} pisteellä z 0 olevaa ε-ympäristöä. Piste z 0 on joukon G C sisäpiste, jos on olemassa r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G. Joukon G sanotaan olevan avoin, jos jokainen joukon G piste on sen sisäpiste. Joukko G on suljettu, jos sen komplementti G c = C G on avoin. Piste z on joukon G reunapiste (merkitään z G), jos kaikilla r > 0 D(z; r) G ja D(z; r) G c. (2.1) Joukon G sulkeuma on G = G G. Sulkeuma voidaan ymmärtää myös sisäpisteiden ja reunapisteiden muodostamana unionina. Piste z C on joukon G kasautumispiste, jos on olemassa jono z n G siten, että z n z ja lim n z n = z. Joukko G on rajoitettu, jos on olemassa M > 0 siten, että z < M kaikilla z G. Jos G on rajoitettu, niin sen halkaisija määritellään seuraavasti diam (G) = sup z w. z,w G Joukon G sanotaan olevan kompakti, jos se on samanaikaisesti sekä suljettu että rajoitettu. 2

Avoin joukko G C on yhtenäinen, jos ei ole mahdollista löytää kahta erillistä epätyhjää joukkoa G 1 ja G 2 siten, että G = G 1 G 2. Avointa ja yhtenäistä joukkoa kutsutaan alueeksi. [13, s. 6] Määritellään tässä myös ylä- ja alaraja-arvot. Määritelmä 2.1. Rajoitetun reaalilukujonon {a n } suurinta kasautumispistettä kutsutaan yläraja-arvoksi ja sitä merkitään lim n a n. Jos jono {a n } on rajoittamaton ja kasvava jono, niin merkitään yläraja-arvoa lim n a n = +. Vastaavasti pienintä kasautumispistettä kutsutaan alaraja-arvoksi ja sitä merkitään lim n a n. [8, s. 303], [1, ss. 34-35] Seuraava lause havainnollistaa tarkemmin ylä- ja alaraja-arvon merkitystä. Todistus sivuutetaan. Lause 2.2. Jonon {a n } yläraja-arvo A = lim n a n toteuttaa seuraavat ehdot: Kaikilla ε > 0 on olemassa N N siten, että on ainoa luku, joka 1. a n < A + ε kaikilla n N, ja 2. a n > A ε äärettömän monelle n. Vastaavasti alaraja-arvo A = lim n a n on ainoa luku, joka toteuttaa seuraavat ehdot: Kaikilla ε > 0 on olemassa N N siten, että 1. a n > A ε kaikilla n N, ja 2. a n < A + ε äärettömän monelle n. [6, ss. 20-21], [1, s. 34-35] Lause kuvastaa hyvin siis sitä, miten ylä- ja alaraja-arvot toimivat rajoina jonojen kasvuille. Jono tai funktio voi saada yläraja-arvon ylittäviä arvoja äärellisen määrän, mutta suurin osa arvoista kuitenkin on pienempiä ylärajaarvo. Vastaavasti suurin osa arvoista on suurempia alaraja-arvon tilanteessa. 2.2 Analyyttisyys Tässä tutkielmassa käsiteltävät funktiot ovat pääasiassa analyyttisiä funktioita. 3

Määritelmä 2.3. Olkoon G C avoin joukko ja f : G C kompleksiarvoinen funktio. Funktion f derivaatta pisteessä a G on f f(a + h) f(a) (a) = lim, h 0 h mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa. Jos f on derivoituva jokaisessa avoimen joukon G pisteessä, niin tällöin f on analyyttinen joukossa G. [3, s.33], [12, s. 70] Jokainen kompleksiarvoinen funktio f(z) on mahdollista esittää muodossa f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Tästä johtuen on olemassa helppo keino selvittää funktion analyyttisyys. Kyseessä ovat Cauchy-Riemann -yhtälöt (2.2), joiden johto tässä tutkielmassa sivuutetaan 1 u x = v y & u y = v x. (2.2) Yhtälöjen toteutuminen on välttämätön, mutta ei kuitenkaan riittävä ehto funktion analyyttisuuden osoittamiseksi. Lisäksi täytyy olettaa, että funktioiden ensimmäiset osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Saadaan seuraava tulos, jonka todistus nyt sivuutetaan 2. Lause 2.4. Olkoon f : G C funktio siten, että f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ja olkoon funktioiden u ja v ensimmäiset osittaisderivaatat jatkuvia avoimessa joukossa G. Tällöin funktio f on analyyttinen joukossa G, jos ja vain jos funktiot u ja v toteuttavat Cauchy-Riemann -yhtälöt (2.2). [3, s.42] Analyyttisiä funktioita kutsutaan jossain lähteissä myös holomorsiksi 3 funktioiksi. Jos funktio on analyyttinen koko kompleksitasossa, niin tällöin funktion sanotaan olevan kokonainen [1, s.192]. Harmoninen funktio on käsitteenä tuttu reaalianalyysin puolelta. Harmonisen funktion kompleksitasossa voi määritellä seuraavasti. Määritelmä 2.5. Olkoon G C avoin osajoukko ja u : G R funktio. Tällöin u on harmoninen funktio, jos sen kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia joukossa G ja ns. Laplacen yhtälö on voimassa. [3, s.252] 2 u x + 2 u 2 y = 0 2 1 Muun muassa kirjoissa [12, s.73], [3, s.40-41] 2 Löytyy mm. kirjasta [12, ss. 74-75] 3 Kreikan kielen sanoista holos = kokonainen ja morphe = muoto [8, s. 112] 4

Harmonisen funktion määritelmän sijaan subharmonisen funktion määrittely on hieman tuntemattomampi. Määrittelyn ymmärtämiseksi esitellään ensin Cauchyn keskiarvolauseena (tai Gaussin keskiarvolauseena [6, s. 185]) tunnettu tulos harmonisille funktioille. Lause 2.6. Jos h : G R on harmoninen funktio, z 0 G ja on olemassa r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G, niin tällöin [3, s. 253] h(z 0 ) = 1 2π h(z 0 + re iθ )dθ. (2.3) 2π 0 Todistus. Olkoon D kiekko siten, että D(z 0 ; r) D G ja olkoon f analyyttinen funktio kiekossa D siten, että h = Rf. Cauchyn integraalikaavasta voidaan päätellä, että f(z 0 ) = 1 2π f(z 0 + re iθ )dθ. 2π 0 Ottamalla molemmilta puolilta reaaliosat saadaan väite aikaiseksi. [3, s. 253] Yhtälöä (2.3) kutsutaan keskiarvoperiaatteeksi ja funktiolla, joka toteuttaa sen, sanotaan olevan keskiarvo-ominaisuus. Tämä ominaisuus koskee myös analyyttisia funktiota ja epäyhtälö (2.3) osoittaa sen, että analyyttisen funktion arvo keskellä kiekkoa on sama kuin sen keskiarvo kiekossa olettaen, että suljettu kiekko D(z 0 ; r) on alueessa, jossa funktio on analyyttinen. [6, s.185], [12, s. 217] Määritelmä 2.7. Reaaliarvoinen funktio h on subharmoninen avoimessa joukossa G C, jos kaikilla z 0 G on olemassa r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G ja että epäyhtälö on voimassa. [15, s. 1] h(z 0 ) 1 2π h(z 0 + re iθ )dθ (2.4) 2π 0 Määritelmän 2.7 perusteella kaikki harmoniset funktiot ovat myös subharmonisia, koska ne toteuttavat ns. keskiarvoepäyhtälön (2.4). Kaikki subharmoniset funktiot eivät kuitenkaan ole harmonisia. [9, s. 203] 5

Esimerkki 2.8. Jos funktio h(z) on harmoninen funktio joukossa G ja p 1, niin tällöin h(z) p on subharmoninen. Tapaus p = 1 seuraa suoraan siitä, että kaikilla z 0 G on olemassa r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G ja h(z 0 ) = 1 2π h(z 0 + re iθ )dθ 2π 1 2π 0 2π 0 h(z0 + re iθ ) dθ, on voimassa. Tapaus p > 1 saadaan todistettua Hölderin epäyhtälön [11, ss. 63-64] avulla h(z 0 ) p = 1 2π p h(z 0 + re iθ )dθ 2π 0 ( 1 2π h(z0 + re iθ ) ) p dθ 2π 0 ( ) p ( 1 2π 2π 0 ( ) p 1 2π = 2π = 1 2π 2π 0 0 h(z0 + re iθ ) ) p/p ( 2π ) p/q p dθ 1 q dθ 0 h(z 0 + re iθ ) p dθ (2π) p/q h(z0 + re iθ ) p dθ, missä konjugaattieksponenteille on voimassa 1 p + 1 q = 1. Määritelmä 2.9. Reaaliarvoinen funktio h on superharmoninen avoimessa joukossa G C, jos kaikilla z 0 G on olemassa r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G ja että epäyhtälö on voimassa. [15, s.1] h(z 0 ) 1 2π h(z 0 + re iθ )dθ (2.5) 2π 0 Kaikki harmoniset funktiot ovat myös superharmonisia funktioita. Määritelmistä seuraa, että funktio on harmoninen, jos ja vain jos se on sekä subharmoninen että superharmoninen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia. 6

2.3 Logaritmi kompleksitasossa Logaritmi ja logaritmifunktiot on määritelty hieman eri tavalla kompleksitasossa kuin reaaliakselilla. Logaritmin määrittelyä varten tulee ensin määritellä eksponenttifunktio. Jos z = x + iy, niin eksponenttifunktio e z on määritelty kompleksitasossa seuraavasti e z = e x (cos y + i sin y). Eksponenttifunktio e z on kokonainen funktio ja sillä on reaalisen eksponenttifunktion algebralliset ominaisuudet, kuten d dz ez = e z, eli eksponenttifunktion e z derivaatta muuttujan z suhteen on sama kuin funktio itse. Helposti nähdään myös, että e z = e x, arg e z = y + 2kπ (k Z). Tästä seuraa, että e z 0 kaikilla z C. [12, s. 111] Eksponenttifunktio ei ole injektio kompleksitasossa. Seuraava tulos on voimassa kompleksitasossa ja sen todistus sivuutetaan. Lause 2.10. 1. e z = 1 jos ja vain jos z = 2πki, k Z, 2. e z 1 = e z 2 jos ja vain jos z 1 = z 2 + 2kπi, k Z. [12, s. 112] Lauseen 2.10 eräs tärkeä seuraus on se, että eksponenttifunktio on jaksollinen, mikä vaikuttaa myös logaritmin ominaisuuksiin kompleksitasossa. Logaritmi määritellään kompleksitasossakin eksponenttifunktion käänteiskuvaukseksi, eli w = log z, jos z = e w. Tutkimalla eksponenttifunktion ominaisuuksia ja esittämällä z polaarimuodossa z = re iθ sekä kuva w muodossa w = u + iv voidaan kirjoittaa z = e w seuraavasti re iθ = e u+iv = e u e iv. (2.6) Ottamalla modulit edellisen yhtälön molemmilta puolilta, saadaan r = e u. Tällöin voidaan todeta, että u on funktion (reaaliarvoinen) logaritmi muuttujasta r u = Log r, 7

missä Log on tavallinen reaalinen logaritmi. Vertaamalla yhtälöön (2.6) jääneitä termejä, e iθ = e iv, havaitaan yhtäsuuruus v = arg z = θ. Tällöin siis w = log z on moniarvoinen funktio johtuen eksponenttifunktion jaksollisuudesta. Määritelmä 2.11. Jos z 0, niin log z := Log z + i arg z = Log z + i Arg z + i2kπ(k Z), jossa Arg z ( π, π] on argumentin päähaara. Logaritmin päähaaraa merkitään [12, ss. 118-119] Log z := Log z + i Arg z. Esimerkki 2.12. Jos f(z) 0 on analyyttinen funktio alueessa G, tällöin log f(z) on subharmoninen alueessa G. Funktio log f(z) on harmoninen kaikkialla muualla paitsi funktion f(z) nollakohdissa, joissa sillä on logaritminen singulariteetti. Jos z 0 ei ole funktion f(z) nollakohta, niin funktion log f(z) harmonisuudesta seuraa, että kaikilla z 0 G on olemassa r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G ja yhtälö log f(z 0 ) = 1 2π log f(z0 + re iθ ) dθ 2π 0 on voimassa. Jos taas z 0 on funktion f(z) on nollakohta, niin tällöin log f(z 0 ) = ja kaikilla z 0 G on olemassa riittävän pieni r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G ja epäyhtälö on voimassa. [9, s. 203], [11, s. 349] log f(z 0 ) < 1 2π log f(z0 + re iθ ) dθ 2π 0 8

2.4 Konformikuvauksista Konformikuvauksilla tarkoitetaan yksinkertaistettuna kuvauksia, joissa lokaali rakenne ja kulmien suuruudet säilyvät. Seuraava lause esittelee muutamia kompleksitasossa olevien käyrien ominaisuuksia, joita tarvitaan konformisuuden määrittelyyn. Todistus sivuutetaan. Lause 2.13. Käyrille alueessa D, jossa funktio w = f(z) on analyyttinen, on voimassa seuraavat ominaisuudet: 1. jatkuvan käyrän kuva on jatkuva käyrä, 2. derivoituvan käyrän kuva on derivoituva käyrä, 3. analyyttisen käyrän kuva on analyyttinen käyrä. [10, s. 148] Lauseen 2.13 avulla tiedetään, että käyrä kuvautuu aina käyräksi ja säilyttää käyrän ominaisuudet. Teoksessa [10] kuvauksen sanotaan olevan konforminen, jos se säilyttää derivoituvien käyrien välisen kulman suuruuden ja suunnan. Oletetaan, että f(z) on analyyttinen funktio pisteen z 0 ympäristössä ja funktion derivaatalle on voimassa f (z) 0. Olkoon z 0 kahden derivoituvan käyrän z 1 = z 1 (t), 0 t 1 ja z 2 = z 2 (t), 0 t 1 leikkauspiste, jossa käyrät leikkaavat toisensa kulmassa α. Jos z 1 ja z 2 ovat pisteitä näillä käyrillä ja näiden etäisyys pisteestä z 0 on r, niin saadaan yhtälöt z 1 z 0 = re iθ 1, z 2 z 0 = re iθ 2. Yhtälöiden avulla saadaan ratkaistua pisteet z 1 ja z 0 sekä z 2 ja z 0 yhdistävien janojen kulma z 2 z 0 z 1 z 0 = e i(θ 2 θ 1 ), joka on siis θ 2 θ 1. Etäisyyden r lähestyessä nollaa, kyseinen kulma lähenee α:a, eli { } z2 z 0 α = lim arg. (2.7) r 0 z 1 z 0 Tulee huomata, että tässä määrittelyssä kulma α on määritelty alkavan kaarelta z 1 (t) ja päättyvän kaarelle z 2 (t). Jos w 1 ja w 2 ovat pisteiden z 1 ja z 2 9

vastaavat kuvat, niin tällöin käyrien kuvat leikkaavat pisteessä w 0 = f(z 0 ) kulmassa { } w2 w 0 β = lim arg. (2.8) r 0 w 1 w 0 Tällöin β = lim r 0 arg = lim r 0 arg { } f(z2 ) f(z 0 ) f(z 1 ) f(z 0 {( f(z2 ) f(z 0 ) ) (z2 ) } z 0. z 1 z 0 z 2 z 0 f(z 1 ) f(z 0 ) z 1 z 0 Kun r 0, niin sekä z 1 että z 2 lähestyvät z 0 :aa. Tästä johtuen f(z 2 ) f(z 0 ) lim r 0 z 2 z 0 Oletuksen nojalla f (z 0 ) 0, joten saadaan = lim r 0 f(z 1 ) f(z 0 ) z 1 z 0 = f (z 0 ) β = lim r 0 z 2 z 0 z 1 z 0 = α. (2.9) Siis kahden käyrän muodostama kulma pisteessä z 0 on identtinen niiden kuvien pisteessä w 0 = f(z 0 ) muodostaman kulman kanssa. Vertailemalla yhtälöitä (2.7) ja (2.8) havaitaan sekä suuruuden että suunnan säilyvän. Konformikuvauksia tarvitaan myöhemmin tutkielmassa Luvussa 4, Lauseen 4.5 todistuksessa, jossa ympyräsektori kuvataan puolikiekkoon, puolikiekko puolitasoon ja puolitaso lopulta yksikköympyrälle. 3 Maksimiperiaate ja sen laajennuksia Maksimiperiaate on yksi keskeisistä tuloksista koskien analyyttisiä funktioita. Tuloksesta on lähdetty tutkimaan analyyttisten funktioiden käyttäytymistä useissa eri tilanteissa ja Phragmén-Lindelön lauseet ovat eräitä maksimiperiaatteesta johdettuja tuloksia ja analyyttisten funktioiden tutkimussuunta. Muita analyyttisiä funktioita koskevia rajoituksia tuovia tuloksia ovat mm. Schwarzin lemma [11, s. 254] ja Hadamardin kolmen ympyrän lause [9, s. 209]. Maksimiperiaatteen avulla on myös mahdollista todistaa Algebran peruslause. [8, s. 377] Aloitetaan aputuloksella, jonka avulla saadaan helposti todistettua Maksimiperiaatteen I versio. 10

Lemma 3.1. Olkoon f analyyttinen funktio kiekossa D(z 0 ; r), ja olkoon f(z) f(z 0 ) kaikilla muuttujan arvoilla z, jotka kuuluvat kiekkoon D(z 0 ; r). Tällöin f vakio kiekossa D(z 0 ; r). Todistus. Oletetaan väitteen vastaisesti, että f(z) ei ole vakio. Tällöin täytyy olla olemassa piste z 1 kiekossa D(z 0 ; r) siten, että f(z 0 ) > f(z 1 ). Merkitään C(z 0 ; r):llä z 0 keskeistä ympyrää, joka leikkaa pisteen z 1. Tällöin väitteen perusteella f(z) f(z 0 ) kaikilla z C(z 0 ; r). Funktion f jatkuvuudesta johtuen on oltava f(z) < f(z 0 ) kaikilla z C, missä C on kaari ympyrällä C(z 0 ; r), joka sisältää pisteen z 1. Voidaan olettaa, että C = { z 0 + re iθ : a < θ < b }, missä 0 a < b 2π. Keskiarvo-ominaisuuden nojalla 2π f(z 0 ) = 1 f(z 0 + re iθ )dθ 2π 0 = 1 ( a f(z 0 + re iθ )dθ + 2π 0 b a f(z 0 + re iθ )dθ + 2π b ) f(z 0 + re iθ )dθ. Mutta f(z0 + re iθ ) f(z0 ), kun θ [0, a] [b, 2π] ja f(z0 + re iθ ) > f(z 0 ), kun θ (a, b)), mistä seuraa ristiriita. [12, s.217] Lause 3.2. (Maksimiperiaate I). Olkoon f analyyttinen funktio alueessa G siten, että f(z) f(z 0 ) kaikilla z G jollekin z 0 G. Tällöin f vakio alueessa G. Todistus. Riittää osoittaa, että f vakio. Cauchy-Riemann-yhtälöiden perusteella tästä seuraa, että f on vakio. Tehdään antiteesi ja oletetaan, että f ei ole vakio. Tällöin on olemassa piste z 1 siten, että f(z 1 ) < f(z 0 ). Olkoon γ G sileä käyrä pisteestä z 0 G pisteeseen z 1 G. Tällöin on olemassa sileälle käyrälle γ kuuluva piste ω, jolle seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. f(z) = f(z 0 ) kaikille pisteille z γ ennen pistettä ω, 2. On olemassa pisteitä z γ mielivaltaisen lähellä pistettä ω siten, että f(z) < f(z 1 ) Ensimmäisestä ehdosta ja funktion f jatkuvuudesta seuraa, että f(ω) = f(z 0 ). Koska alue on avoin joukko, niin on olemassa r > 0 siten, että D(ω; r) G. Lemmasta 3.1 seuraa, että f on vakio kiekossa D(ω; r), mikä on ristiriita ehdon (2) kanssa. Näin ollen väite pätee. [12, ss. 217-218] Huomautus 3.3. Maksimiperiaate on mahdollista todistaa myös käyttämällä avoimen kuvauksen lausetta [3, s. 128] tai arvioimalla analyyttisen funktion potenssisarjaesitystä. [14, s. 166] 11

Maksimiperiaatteen ensimmäinen versio tarkoittaa myös sitä, että jos funktio f on analyyttinen ja ei-vakio alueessa G, niin tällöin funktiolla ei voi olla lokaalia maksimia joukossa G. Tästä saadaan seurauksena johdettua seuraava tulos. Lause 3.4. (Maksimiperiaate II) Olkoon G C rajoitettu alue ja oletetaan, että f on analyyttinen funktio alueessa G ja jatkuva sen sulkeumassa G. Tällöin [2, s. 156], [6, s. 196] sup f(z) = sup f(z). (3.1) z G z G Todistus. Koska sulkeuma G on kompakti, niin f saa globaalin maksimin sulkeumassa G jollain z 0 G. Jos z 0 G, niin tällöin se on paikallinen maksimi ja Lauseen 3.2 perusteella f on vakio. Jos taas z 0 G, niin tällöin f(z 0 ) on myös globaali maksimi reunalla G. Väite seuraa. [2, s. 157] Maksimiperiaatteesta seuraa suoraan myös niin sanottu minimiperiaate, joka on helppo johtaa. Lause 3.5. (Minimiperiaate) Olkoon f analyyttinen rajoitetussa alueessa G ja jatkuva sen reunalla G. Tällöin, jos f on nollasta poikkeava alueessa G, niin f(z) saa pienimmän arvonsa reunalla G. Todistus. Merkitään g = 1. Oletusten nojalla funktiolla g ei ole napoja, joten f g on analyyttinen ja sillä on maksimimoduli reunalla G. Tästä seuraa, että funktiolla f on minimimoduli reunalla G. Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkitilannetta. Esimerkki 3.6. Olkoon G = {z = x + iy : x R, 1 2 π < y < 1 2 π} joukko ja asetetaan funktio f(z) = exp(exp z). Tällöin f on jatkuva funktio sulkeumassa G ja analyyttinen joukossa G. Jos piste z G, niin tällöin z = x ± 1 2 πi ja f(z) = exp(±iex ) = 1. Kuitenkin, kun x, niin tällöin f(x). Tulos ei ole ristiriidassa Maksimiperiaatteen kanssa, koska kyseinen joukko G ei ole rajoitettu. [3, s. 128] Yllä olevan esimerkin perusteella voidaan todeta, että on mahdotonta hävittää oletusta alueen G rajoittuneisuudesta Maksimiperiaatteen II versiossa (Lause 3.4). Maksimiperiaate saadaan todistettua koskemaan pelkästään harmonisia funktioita. 12

Lause 3.7. (Maksimiperiaate harmonisille funktioille) Olkoon G alue ja olkoon h jatkuva reaaliarvoinen funktio siten, että funktio toteuttaa keskiarvoperiaatteen h(z 0 ) = 1 2π h(z 0 + re iθ )dθ, (3.2) 2π 0 alueessa G. Jos on olemassa piste z 0 G siten, että h(z 0 ) h(z) on voimassa kaikilla z G, niin tällöin h on vakio. [3, s. 253] Todistus. Olkoon A = {z G : h(z) = h(z 0 )} joukko. Koska h on jatkuva, niin joukko A on suljettu alueessa G. Jos piste a A, niin valitaan r > 0 siten, että D(a; r) G. Oletetaan, että on olemassa piste b D(a; r) siten, että h(b) h(z 0 ). Tällöin on oltava h(b) < h(z 0 ). Funktion jatkuvuudesta johtuen h(z) < h(z 0 ) = h(a) kaikilla z N(b). Erityisesti, jos ρ = a b ja b = a + ρe iβ, jossa 0 β < 2π, niin tällöin on olemassa väli I [0, 2π] siten, että β I ja h(a + ρe iθ ) < h(a) kaikilla θ I. Nyt oletuksen (3.2) mukaan h(a) = 1 2π 2π 0 h(a + ρe iθ )dθ < h(a), mikä on ristiriita. Joten D(a; r) A ja joukko A on myös avoin. Alueen G yhtenäisyydestä johtuen A = G ja väite pätee. [3, ss. 253-254] Laajennetaan maksimiperiaate koskemaan myös subharmonisia funktioita. Lause 3.8. (Maksimiperiaate subharmonisille funktioille) Olkoon v subharmoninen funktio alueessa G siten, että v(z) M, jossa M > 0, kaikilla z G. Jos on olemassa piste z 0 G siten, että v(z 0 ) = M, niin tällöin v(z) = M kaikilla z G. [2, s. 404] Todistus. Jos D(z 0 ; ρ) G, niin kerrotaan keskiarvoepäyhtälö v(z 0 ) 1 2π 2π 0 v(z 0 + ρe iθ )dθ puolittain luvulla ρ 0, jolloin epäyhtälön suunta ei muutu. Integroidaan molemmat puolet muuttujan ρ suhteen suljetun välin [0, r] yli, jolloin saadaan 1 2 v(z 0)r 2 = r 0 v(z 0 )ρdρ 1 2π = 1 2π 13 r 2π 0 0 D(z 0 ;r) v(z 0 + ρe iθ )ρdθdρ v(z)dm(z),

missä z = z 0 + ρe iθ ja dm(z) = ρdθdρ on standardi Euklidinen pintamitta. Kertomalla molemmat puolet kahdella ja jakamalla r 2 :lla saadaan epäyhtälö muotoon v(z 0 ) 1 v(z)dm(z). πr 2 D(z 0 ;r) Nyt voidaan arvioida 1 πr 2 = 1 πr 2 = 1 πr 2 = 1 πr 2 D(z 0 ;r) [v(z) v(z 0 )] dm(z) v(z)dm(z) 1 πr 2 v(z)dm(z) v(z 0) πr 2 D(z 0 ;r) D(z 0 ;r) D(z 0 ;r) D(z 0 ;r) v(z)dm(z) v(z 0 ) 0, D(z 0 ;r) v(z 0 )dm(z) dm(z) mutta tällöin v(z) v(z 0 ) 0, jos v(z 0 ) = M. Tästä johtuen integraalin on oltava nolla kiekossa D(z 0 ; r). [2, s. 404] Seuraus 3.9. Olkoon u harmoninen funktio alueessa G ja jatkuva reunalla G. Olkoon v subharmoninen funktio alueessa G siten, että lim v(z) u(ζ) z ζ kaikilla ζ G. Tällöin v(z) u(z) kaikilla z G. [2, s. 404] Todistus. Erotus v u on subharmoninen, sillä harmonisena funktiona u toteuttaa keskiarvoperiaatteen (2.3) ja subharmonisena funktiona v keskiarvoepäyhtälön (2.4). Täten siis kaikilla z 0 G on olemassa r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G ja epäyhtälö v(z 0 ) u(z 0 ) 1 2π = 1 2π 2π 0 2π 0 2π v(z 0 + re iθ )dθ 1 u(z 0 + re iθ )dθ 2π 0 [ v(z0 + re iθ ) u(z 0 + re iθ ) ] dθ on voimassa. Voidaan siis olettaa, että lim z ζ v(z) 0 jokaisella ζ G sekä osoittaa, että v(z) 0 kaikilla z G. Valitaan funktio w(z) = max(v(z), 0), joka on subharmoninen sillä, jos v(z) > 0, niin tällöin v(z) u(z) = w(z) u(z) w(z 0 ) u(z 0 ) = v(z 0 ) u(z 0 ), 14

ja, jos v(z) 0, niin tällöin w(z) u(z) 0 u(z 0 ). Siis funktio w(z) on subharmoninen. Funktiolle w(z) on tällöin voimassa lim z ζ w(z) = 0 kaikilla z G. Tällöin voidaan määritellä w(ζ) = 0, kun ζ G. Funktio w on nyt jatkuva sulkeumassa G:ssa, subharmoninen alueessa G:ssa ja nolla reunalla G. Siis funktio saa maksiminsa jollain pisteellä z 0 G. Jos w(z 0 ) > 0, niin tällöin z 0 G ja Lauseen 3.8 perusteella w olisi vakio, mikä on ristiriita sen kanssa, että w(ζ) = 0, kun ζ G. Tästä johtuen w(z 0 ) = 0, josta taas seuraa w(z) = 0 kaikilla z G ja siten v(z) 0 kaikilla z G. [2, s. 404], [11, ss. 336-337] Seuraus osoittaa, että subharmoninen funktio saa pienempiä arvoja kuin harmoninen funktio, jonka kanssa se saa samoja arvoja alueen reunalla. Harmonisen funktion sanotaan tuolloin toimivan harmonisena majoranttina subharmoniselle funktiolle. Tätä huomiota käytetään hyväksi siten, että maksimiperiaate subharmonisille funktioille saadaan laajennettua myös tilanteisiin, joissa alueen reunalla on muutamia erikoispisteitä, joissa funktio mahdollisesti käyttäytyy eri tavalla. Väitteen todistamisen avuksi tarvitaan seuraavat kaksi lemmaa. Lemma 3.10. Olkoon h(z) reaaliarvoinen rajoitetussa alueessa G määritelty funktio ja olkoon sup h(z) = M. (M R ) (3.3) z G Tällöin on olemassa ainakin yksi piste ζ G siten, että pätee jokaiselle ympäristölle N(ζ). [9, s.203] sup h(z) = M (3.4) z N(ζ) G Todistus. Tehdään antiteesi. Tällöin jokaisella pisteellä ζ G on olemassa ympäristö N(ζ) siten, että sup h(z) = M(ζ) < M. z N(ζ) G Joukon G kompaktiudesta johtuen on olemassa äärellinen määrä pisteitä z 1,..., z n joukossa G siten, että G N(z 1 )... N(z n ). Tällöin, jos merkitään M 0 = max{m(z 1 ),..., M(z n )}, niin saadaan sup h(z) = M 0 < M, z G mikä on ristiriita oletuksen (3.3) kanssa. Väite siis pätee. [9, ss. 203-204] 15

Lemma 3.11. Olkoon h(z) subharmoninen funktio rajoitetussa alueessa G. Oletetaan tällöin, että lim h(z) 0 (3.5) z ζ kaikilla ζ G. Tällöin h(z) 0 kaikilla z G. Lisäksi, jos on olemassa piste z 0 G siten, että h(z 0 ) = 0, niin h(z) 0. [9, s.204] Todistus. Olkoon sup h(z) = M z G ja olkoon E joukko pisteitä ζ G, joille on voimassa Lemman 3.10 väite (3.4). Lemman 3.10 perusteella joukko E ei ole tyhjä joukko. Oletetaan ensin, ettei yksikään joukon G sisäpiste kuulu joukkoon E. Tällöin joukossa E on oltava ainakin yksi piste ζ 0 G. Oletuksen (3.5) perusteella voidaan valita ε > 0 siten, että on olemassa ympäristö N(ζ 0 ), jossa on voimassa h(z) < ε. Valinnasta johtuen on voimassa toisaalta epäyhtälö ja taas toisaalta sup h(z) ε, z N(ζ 0 ) G sup h(z) = M. z N(ζ 0 ) G Jälkimmäinen johtuu siitä, että ζ 0 E. Tästä seuraa, että M ε ja siten M 0. Joukon G pisteillä h(z) < M. Tämä todistaa lemman siltä osalta, että joukkoon E ei kuulu lainkaan joukon G pisteitä. Oletetaan seuraavaksi, että joukko E sisältää joukon G pisteitä ja asetetaan joukko E G = E G. Koska subharmoninen funktio h(z) on jatkuva joukossa G, niin täytyy yhtälön h(z) = M pitää paikkaansa kaikilla joukon E G pisteillä. Itse asiassa millä tahansa pisteellä z 0 G, jolla on voimassa h(z 0 ) < M, on olemassa ympäristö N(z 0 ), jossa h(z) < M δ jollakin δ > 0. Täten (3.4) ei ole voimassa noilla pisteillä. Osoitetaan, että joukko E G on avoin. Olkoon z 0 E G ja olkoon ρ 0 > 0 siten, että epäyhtälö M = h(z 0 ) 1 2π h(z 0 + ρe iθ )dθ (3.6) 2π 0 on voimassa kaikilla ρ < ρ 0. Funktion h(z) subharmonisuudesta johtuen ρ 0 on olemassa. Tästä johtuen kiekko D(z 0 ; ρ 0 ) = {z C : z z 0 < ρ 0 } 16

ei sisällä yhtään pistettä, jolla on voimassa h(z) < M. Jos tuollainen piste z 1 D(z 0 ; ρ 0 ) olisi olemassa, niin tuon pisteen ympäristössä olisi voimassa h(z) < M δ jollakin δ > 0. Tämä aiheuttaisi sen, että ρ = z 1 z 0 ja tällöin integraali kaavassa (3.6) olisi pienempi kuin M, mikä ei ole mahdollista. Tästä johtuen jokaisella pisteellä z 0 E G täytyy olla ympäristö N(z 0 ), jossa h(z) = M. Toisin sanoen N(z 0 ) E G ja joukko E G on avoin. Oletetaan, että z G on joukon E G kasautumispiste. Tällöin johtuen siitä, että h(z) = M on voimassa kaikilla joukon E G pisteillä ja, että funktio h(z) on jatkuva joukossa G, niin täytyy myös h(z ) = M olla voimassa. Toisin sanoen siis z kuuluu myös joukkoon E G. Joukko E G on siis joukon G (epätyhjä) osajoukko siten, että jokainen joukon E G kasautumispiste joukossa G kuuluu myös joukkoon E G. Tästä seuraa väistämättä, että G = E G ja siten h(z) M. Tällöin oletuksen (3.5) nojalla lim z ζ h(z) = lim h(z) = M 0, (3.7) z ζ jokaisella reunapisteellä ζ G. Nyt siis riippumatta siitä, onko joukossa E joukon G pisteitä, niin sup h(z) = M 0, (3.8) z G on voimassa. Lisäksi, jos h(z 0 ) = 0 jollakin z 0 G, niin tällöin M = 0 ja siten h(z) 0. [9, ss. 204-205] Lemmojen 3.11 ja 3.10 avulla saadaan todistettua viimeinen laajennettu versio Maksimiperiaatteelle. Versio koskee vain subharmonisia funktioita, mutta tästä voidaan kuitenkin johtaa myös yleisesti analyyttisia funktioita koskeva tulos, ks. Seuraus 3.13. Lause 3.12. (Maksimiperiaate III) Olkoon h(z) = h(x, y) subharmoninen funktio rajoitetussa alueessa G ja olkoon u(z) = u(x, y) harmoninen funktio G:ssa. Oletetaan, että lim [h(z) u(z)] 0 (3.9) z ζ on voimassa kaikilla ζ G lukuunottamatta äärellistä määrää erikoispisteitä ζ 1,..., ζ n G, joille on voimassa lim [h(z) u(z)] < +. (3.10) z ζ k Tällöin h(z) u(z) kaikilla z G. Lisäksi, jos h(z 0 ) = u(z 0 ) jollakin pisteellä z 0 G, niin tällöin h(z) u(z). [9, s. 206] 17

Todistus. Tarkastellaan funktioita v k (z) = ln z ζ k (k = 1,..., n). Selvästi v k (z) on harmoninen alueessa G ja saa arvon pisteessä z = ζ k. Merkitään R = diam (G) halkaisijaa sulkeumalle G. Tällöin v k (z) ln R (z G) pätee jokaiselle funktiolle v k (z). Tästä johtuen funktiot u k (z) = v k (z) ln R (k = 1,..., n) eivät voi saada positiivisia arvoja sulkeumassa G. Muuten funktioilla on samat ominaisuudet kuin funktioilla v k (z). Olkoon ε > 0 ja tarkastellaan funktiota d ε (z) = h(z) u(z) + ε n u j (z), joka on subharmoninen, sillä funktio h on subharmoninen toteuttaen keskiarvoepäyhtälön (2.4), funktiot u(z), u 1 (z), u 2 (z),..., u n (z) ovat harmonisia ja toteuttavat siten keskiarvoperiaatteen (2.3). Kuten Seurauksen 3.9 todistuksessa tällöin kaikilla z 0 G on olemassa r > 0 siten, että D(z 0 ; r) G ja epäyhtälö [ ] 2π n d ε (z 0 ) h(z 0 + re iθ ) u(z 0 + re iθ ) + ε u j (z 0 + re iθ ) dθ 0 on voimassa. Lisäksi d ε (z) toteuttaa epäyhtälön [ ] n lim d ε(z) = lim h(z) u(z) + ε u j (z) 0 (3.11) z ζ z ζ jokaisella reunapisteellä ζ ζ k ja yhtälön j=1 j=1 j=1 lim d ɛ (z) = (k = 1,..., n) (3.12) z ζ k jokaisella reunapisteellä ζ = ζ k. Tämä on perusteltavissa sillä, että funktiot h(z) u(z) ja u j (z), jossa j k, ovat ylhäältä rajoitettuja pisteen ζ k ympäristössä, samalla kun u k (z), kun z ζ k. 18

Lemmaa 3.11 voidaan siis käyttää funktioon d ε (z) ja tällöin d ε (z) 0 (z G), tai n h(z) u(z) ε u j (z). j=1 Jos annetaan luvun ε lähestyä nollaa, niin saadaan epäyhtälö h(z) u(z) (z G), eli u(z) toimii harmonisena majoranttina funktiolle h(z) alueessa G väitteen mukaisesti. Lisäksi on havaittavissa, että lim [h(z) u(z)] 0 z ζ kaikilla pisteillä ζ G lukuunottaen myös erikoispisteet ζ 1,..., ζ n. Tällöin Lemman 3.11 perusteella, jos h(z 0 ) u(z 0 ) = 0 jollakin pisteellä z G, niin tällöin h(z) u(z) = 0 kaikilla z G, eli toisin sanoen h(z) u(z) ja väite pätee. [9, ss. 207-208] Seuraus 3.13. Olkoon f(z) analyyttinen funktio rajoitetussa alueessa G ja oletetaan, että lim f(z) M < (3.13) z ζ kaikilla ζ G lukuunottamatta äärellistä määrää erikoispisteitä ζ 1,..., ζ n G, joille on voimassa lim f(z) <. (3.14) z ζ k Tällöin f(z) M kaikilla z G. Lisäksi, jos f(z 0 ) = M jollakin z 0 G, niin tällöin f(z) M. [9, ss. 208-209] Todistus. Valitaan h(z) = f(z) ja u(z) M, jolloin todistus menee kuten Lauseessa 3.12. 19

Esimerkki 3.14. Tarkastellaan funktiota ( ) 1 + z f(z) = exp, (3.15) 1 z joka on selvästi analyyttinen yksikkökiekossa D. Sisäfunktiona oleva Möbiuskuvaus z 1+z kuvaa yksikkökiekon oikeaan puolitasoon Rw > 0 ja yksikkökiekon reunan D laajennetulle imaginaariakselille. Koska e iy = 1 on 1 z voimassa kaikilla y R, niin f on rajoitettu reunalla D lukuunottamatta pistettä z = 1. Tällöin (3.13) on voimassa kaikilla ζ D \ {1}. Kuitenkin, jos z 1 pitkin positiivista x-akselia, niin nähdään ettei f ole rajoitettu. Täten oletus (3.14) on Seurauksessa 3.13 on välttämätön. Maksimiperiaate on laajennettu nyt koskemaan useampaa erityyppistä tilannetta. Versiosta III johdettava Seuraus 3.13 vahvistaa tuloksen koskemaan myös tilanteita, joissa alueen reunalla on muutamia erikoispisteitä, joissa funktio mahdollisesti käyttäytyy eri tavalla kuin muualla reunalla. Luvun lopuksi esitellään eräs tärkeä tulos, johon sovelletaan maksimiperiaatteen laajennusta. Lause 3.15. Olkoon f(z) analyyttinen avoimessa kiekossa D(0; R) ja olkoon ζ 1 ja ζ 2 kaksi pistettä kehällä C(0; R). Olkoon σ 1 kaari pisteestä ζ 1 pisteseen ζ 2 ja σ 2 kaari pisteestä ζ 2 pisteeseen ζ 1 siten, että molemmat ovat avoimia kaaria ja positiivisesti suunnistettuja. Oletetaan, myös että lim log f(z) log m, (ζ σ 1), z ζ lim log f(z) log M, (ζ σ 2 ) (3.16) z ζ ovat voimassa samalla, kun lim log f(z) < + (k = 1, 2). z ζ k Lisäksi olkoon 2α ja 2β kaarien σ 1 ja σ 2 vastaiset kulmat pisteeseen z = 0 (α > 0, β > 0, α + β = π). Olkoon U(z) yksiarvoinen harmoninen haara funktiosta Arg ζ 1 z ζ 2 z siten, että U(0) = 2β. Tällöin missä f(z) M u(z) m 1 u(z), (z K) (3.17) u(z) = 1 [U(z) β], (3.18) π 20

ja erityisesti f(0) M β/π m α/π. (3.19) [9, ss. 210-211] Todistus. Funktio U(z) on harmoninen, sillä kiekossa D(0; R) se on analyyttisen funktion ( ) ( ) ζ1 z Log = log ζ 1 z ζ 2 z ζ 2 z + i Arg ζ1 z ζ 2 z imaginaariosa. Kun z:n arvo vaihtelee kiekossa D(0; R), lähtien keskipisteestä z = 0, niin funktion U(z) arvo vaihtelee välillä (0, 2π), lähtien liikkeelle arvosta U(0) = 2β. Funktiota U(z) tarkasteltaessa geometrisesti (ks. Kuva 1) on selvää, että { β, jos z σ 1, U(z) = π + β, jos z σ 2 ja tästä seuraa, että u(z) = 1 π [U(z) β] = { 0, jos z σ1, 1, jos z σ 2. Funktiot U(z) ja u(z) ovat rajoitettuja joukoissa N(ζ 1 ) D(0; R) ja N(ζ 2 D(0; R). Havaitaan, että harmoniselle funktiolle on voimassa u(z) < 1 kaikilla z C(0; R) ja Lauseen 3.12 nojalla myös kaikilla z D(0; R). Vastaavasti u(z) < 0 kaikilla z C(0; R) ja myös kaikilla z D(0; R). Tästä seuraa, että 0 < u(z) < 1 kaikilla z D(0; R) ja erityisesti u(0) = β/π. Tarkastellaan seuraavaksi funktiota log m + (log M log m)u(z), (3.20) joka yksinkertaistuu kaarella σ 1 pelkäksi log m ja kaarella σ 2 pelkäksi log M. Funktio pysyy yhä rajoitettuna pisteen ζ 1 tai ζ 2 ympäristössä. Tällöin oletusten (3.16) perusteella tämä funktio toimii harmonisena majoranttina funktiolle log f(z) kehällä C(0; R). Lauseen 3.12 perusteella log f(z) log m + (log M log m)u(z) tai log f(z) u(z) log M + (1 u(z)) log m kaikilla z D(0; R). Väite pätee. [9, s. 212] 21

Kuva 1: Lausetta 3.15 havainnollistava kuva. 22

4 Phragmén-Lindelöf Tässä luvussa esitellään tutkielman päätuloksina toimivat Phragmén-Lindelön lauseet sekä niihin liittyvään historiaa lyhyesti. Myös ensimmäisten kyseistä tyyppiä olevien tulosten kehittelijöiden historiaa kerrotaan lyhyesti jälkimmäisessä alaluvussa. 4.1 Tuloksista Edellisessä luvussa esiteltiin maksimiperiaatteesta useita erilaisia versiota ja esimerkkitilanne, johon maksimiperiaatetta ei voida soveltaa. Johdantona Phragmén-Lindelön lauseisiin tarkastellaan seuraavanlaista tulosta. Lause 4.1. Olkoon G = {z C : a < Rz < b} avoin kaistale ja olkoon f(z) analyyttinen ja rajoitettu funktio kaistaleessa G, sekä jatkuva sen sulkeumassa G. Tällöin Todistus. Olkoon sup z G sup z G f(z) = sup f(z). (4.1) z G f(z) = M 1 ja sup f(z) = M 2 <. Aiempien tu- z G losten perusteella on selvää, että M 1 M 2. Riittää siis eliminoida epäyhtälö M 1 < M 2. Olkoon z 0 G piste siten, että z 0 = c, jossa a < c < b. Valitaan suorakulmainen alue H = {z G : A < Iz < A}, missä A > 0. Olkoon ε > 0. Määritellään funktio g(z) = f(z) 1 + ε(z a) sulkeumassa H. Tällöin R{1 + ε(z a)} 1 ja siis 1 + ε(z a) 1 alueessa H. Pystysuorilla reunoilla on voimassa ja vaakasuorilla reunoilla taas Tästä seuraa, että g(z) f(z) M 1 1 + ε(z a) 1 ± iεa = 1 + ε 2 A 2. g(z) M 2 1 + ε2 A 2. 23

Nyt valitsemalla A riittävän suureksi saadaan M 2 1 + ε2 A 2 < M 1. Tällöin kaikkialla reunalla H on voimassa epäyhtälö g(z) M 1. (4.2) Maksimiperiaatteen I version nojalla epäyhtälö (4.2) on voimassa myös kaikissa sisäpisteissäkin ja pisteessä z 0 erityisesti. Tästä seuraa, että f(z 0 ) M 1 1 + iε(z 0 a) M 1 1 + iε(b a). (4.3) Koska epäyhtälö (4.3) ei sisällä mitään mainintaa luvusta A, voidaan antaa epsilonin vapaasti lähestyä nollaa, jolloin saadaan f(z 0 ) M 1. Tällöin siis on oltava M 1 = M 2. Väite pätee. [6, s.196] Huomautus 4.2. Vastaavanlaisen rajoitteen asettaminen vaakasuoralle kaistaleelle on vain määrittelykysymys. Kyseinen tulos oli esimerkki "Phragmén-Lindelöf -tyyppiä" olevasta tilanteesta. Rajoitetussa kaistaleessa funktion moduli saa supremuminsa siis kaistaleen reunalla. Tulos on itse asiassa hyvin samanlainen edellisessä luvussa esitellyn Maksimiperiaatteen II version (Lause 3.4) kanssa. Nyt esitellyssä tuloksessa oli kyse kaistaleesta. Seuraavassa Lauseessa on kyse vastaavanlaisesta "Phragmén-Lindelöf - tyyppiä" olevasta tilanteesta, joka on otettu toisesta teoksesta. Lause 4.3. Oletetaan, että F on analyyttinen funktio sektorissa S = {z C : π/4 < arg z < π/4} ja jatkuva sen sulkeumassa S. Oletetaan lisäksi, että funktion F modulille on voimassa F (z) 1 sektorin reunalla S ja, että on olemassa vakiot C, c > 0 siten, että F (z) Ce c z kaikilla z S. Tällöin F (z) 1 kaikilla z S. [13, s. 124] Toisin sanoen, jos funktio F on korkeintaan eksponentiaalista tyyppiä sektorissa S ja, jos F (z) 1 reunalla S, niin F (z) 1 kaikkialla sektorissa S. Se, että kasvulle tarvitaan jonkinlainen rajoitus seuraa tarkastelemalla funktiota F (z) = exp(z 2 ). Funktio F (z) on reunalla S rajoitettu, mutta F (z) on rajoittamaton, kun z pitkin positiivista reaaliakselia. Nyt voidaan esittää todistus Lauseelle 4.3. 24

Todistus. Edellä tehdyn tarkastelun perusteella voidaan käyttää todistuksessa funktiota exp(z α ), jossa α < 2. Yksinkertaisuuden vuoksi korvataan funktio exp(z α ) funktiolla exp(z 3/2 ). Yleistettävyyttä ei menetetä samalla. Olkoon ε > 0. Asetetaan funktio F ε (z) = F (z) exp( εz 3/2 ). (4.4) Tässä on valittu logaritmin päähaara määrittelemään z 3/2 siten, että jos z = re iθ, jossa π < θ < π, niin tällöin z 3/2 = r 3/2 e 3iθ/2. Tästä johtuen siis funktio F ε on analyyttinen sektorissa S ja jatkuva sen reunalla S. Tällöin saadaan myös exp( εz 3/2 ) = exp( εr 3/2 cos(3θ/2)); (4.5) ja koska kulma on rajoitettu välille π/4 < θ < π/4, niin seuraava epäyhtälö on voimassa π 2 < 3π 8 < 3θ 2 < 3π 8 < π 2. (4.6) Epäyhtälöstä (4.6) johtuen cos(3θ/2) on väistämättä positiivinen sektorissa S. Tämä yhdistettynä oletukseen F (z) Ce c z osoittaa sen, että moduli F ε (z) vähenee nopeasti suljetussa sektorissa, kun z. Lisäksi tämä implikoi, että funktio F ε (z) on rajoitettu. Itse asiassa F ɛ (z) 1 kaikilla z S. Tämä voidaan perustella siten, että jos merkitään modulin supremumia reunalla M = sup F ε (z), (4.7) z S niin olettamalla, ettei F ole nolla, voidaan valita pistejono {w j } siten, että F ɛ (w j ) M. Koska määrittelyn perusteella M 0 ja F ɛ vähenee nollaa kohti modulin z kasvaessa sektorissa, niin tällöin w j ei voi lähestyä ääretöntä. Voidaan päätellä tämän jonon kasaantuvan kohti pistettä w S. Maksimiperiaatteen perusteella piste w ei kuitenkaan voi olla joukon S sisäpiste, joten pisteen on sijaittava reunalla S. Oletusten perusteella reunalla pätee sekä F (z) 1 että exp( εz 3/2 ) 1. Tästä seuraa, että M 1. Nyt voidaan antaa epsilonin lähestyä nollaa, jolloin alkuperäinen väite pätee. [13, s. 125] Osoitetaan seuraavaksi ensimmäinen tulos Phragmén-Lindelön lauseista. Ensimmäinen tulos koskee aluetta, joka on kulman rajaama. Lause 4.4. (Phragmén-Lindelön lause kulman rajaamalle alueelle) Olkoon G kulman α (0 < α < 2π) rajaama alue ja olkoon f(z) analyyttinen alueessa G. Oletetaan, että f(z) toteuttaa seuraavat ehdot: 25

1. jokaiselle äärelliselle pisteelle ζ G; 2. jokaiselle z = re iθ G; Tällöin jossa lim f(z) C ; (4.8) z ζ log log M(r) lim r log r 1 α, (4.9) M(r) = sup f(z). (z G) (4.10) z =r f(z) C (4.11) kaikilla z G. Erityisesti, jos jollakin pisteellä z 0 G on voimassa f(z 0 ) = C, niin tällöin f(z) C Todistus. Korvataan oletus (4.9) seuraavalla funktion modulin f(z) (kun z ) kasvuun liittyvällä rajoituksella. Olkoon p 1 < 1 riittävän lähellä lukua 1. Tällöin on olemassa aidosti α α kasvava ja rajoittamaton jono {r n } reaalilukuja siten, että f(z) exp( z p 1 ), jos z = r n (n = 1, 2,...). (4.12) Yleistettävyyttä ei menetetä ollenkaan, jos oletetaan alueen G äärellisen huipun olevan origossa ja kulman puolittajan olevan reaaliakselin suuntainen. Yleinen tapaus voidaan redusoida tähän erikoistapaukseen tekemällä lineaarisia muunnoksia ilman, että se vaikuttaa lauseen oletuksiin. Tarkastellaan seuraavaksi funktiota F ε = f(z) exp(εz p 2 ), (4.13) jossa ε 0 ja p 1 p 2 1/α (Merkintä p 1 on yhä sama kuin epäyhtälössä (4.12)). Tässä yhteydessä z p 2 merkitsee moniarvoisen funktion z p 2 = exp(p 2 Log z) yksiarvoista haaraa, joka on analyyttinen alueessa G ja saa positiivisia arvoja positiivisilla ja reaalisilla z:n arvoilla. Olkoon G n ympyräsektori arg z απ/2, jossa z r n, ja, joka on rajoitettu kahdella janalla sekä ympyräkaarella λ n. Tällöin ensimmäisen ehdon 26

(4.8) mukaan jokaiselle pisteelle ζ, joka kuuluu jommalle kummalle janalle, on voimassa lim F ε(z) C lim exp( εz p 2 ) = C lim exp ( εr p 2 cos p 2 θ) C, z ζ z ζ z ζ jossa z = re iθ. Alueessa G on voimassa p 2 θ < 1 απ α 2 = π 2, ja siten cos p 2 θ > 0. Lisäksi määrittelyn (4.12) mukaan kaarella λ n on voimassa ( F ε (z) < exp(r p 1 n εr p 2 n cos p 2 θ) exp r p 1 n εr p 2 n cos p ) 2απ, 2 jossa oikeanpuoleinen termi lähestyy nollaa, kun n. Tämä on seurausta havainnoista cos(p 2 απ/2) > 0 ja p 1 < p 2 < 1/α. Nyt valitsemalla n niin suureksi, että F ε (z) C on voimassa kaarella λ n, niin tällöin saadaan yläraja-arvolle lim z ζ F ε(z) C kaikilla ζ reunalla G n. Tällöin Lauseen 3.12 mukaan F ε (z) C kaikilla z G n. Sijoittamalla yhtälön (4.13) oikea puoli ja antamalla luvun ε lähestyä nollaa, havaitaan että lim ɛ 0 f(z) exp( εz p 2 ) = f(z) C kaikilla z G n, jos n on riittävän suuri. Tämä todistaa väitteen (4.11), sillä n voidaan aina valita riittävän suureksi, jotta G n sisältää jonkin joukon G pisteen. Lopuksi huomataan myös, että jos f(z 0 ) = C, jollekin pisteelle z 0 G, niin tällöin f(z) C, mikä tietysti pitää paikkaansa jo maksimiperiaatteen nojalla. [9, ss. 215-216] Lauseesta on olemassa vahvempi tulos, jossa ehto (4.9) korvataan ehdolla log M(r) lim 0, (4.14) r r 1/α joka on taas yhteneväinen seuraavan funktion modulin f(z) (kun z ) kasvuun liittyvän rajoituksen kanssa. Jokaista ε > 0 kohti on olemassa aidosti kasvava ja rajoittamaton jono {r n } reaalilukuja siten, että f(z) exp(ε z 1/α ), jos z = r n (n = 1, 2,...). (4.15) 27

Toisin sanottuna ehdosta (4.9) seuraa (4.14), mutta ei kääntäen. Suunta ( ) voidaan osoittaa tarkastelemalla Lauseessa 4.4 käytettyä rajoitetta (4.12). Olkoon ε > 0 ja p 1 < 1/α. Tällöin exp( z p 1 ) < exp(ε z 1/α ) (4.16) tarpeeksi suurilla z arvoilla. Se, että ( ) käänteinen suunta ei ole voimassa voidaan osoittaa tarkastelemalla funktiota [ f(z) = exp z 2 1 + (log z) 2 ], (4.17) joka on kulman α = π/4 rajoittamassa alueessa ja toteuttaa ehdosta (4.14) saatavan epäyhtälön (4.15), muttei ehdosta (4.9) saatavaa epäyhtälöä (4.12). Tarkempi tarkastelu sivuutetaan. Lause 4.5. Lause 4.4 pitää yhä paikkaansa, jos ehto (4.9) korvataan ehdolla (4.14). [9, s.216] Todistus. Oletetaan, että f(x) C (4.18) on voimassa jokaisella pisteellä z = x positiivisella reaaliakselilla. Tällöin voidaan soveltaa edellistä Lausetta 4.4 molempiin reaaliakselin jakamiin alueisiin. Kumpikin näistä alueista ovat kulman πα/2 rajaamia ja näin ollen, jotta Lausetta 4.4 voidaan käyttää täytyy osoittaa, että ehto f(z) exp( z p 1 ), jos z = r n (n = 1, 2,...) on voimassa myös tässä tilanteessa kaikilla ρ 1 < 2/α ja tarpeeksi lähellä arvoa 2/α. Tämä on osoitettu todeksi aiemmin kaikille p 1 1/α (ks. (4.16)). Nyt väitteen osoittamiseksi riittää luoda epäyhtälö (4.18) kiinnitetylle, mutta mielivaltaiselle pisteelle x > 0. Olkoon ε > 0 ja olkoon {r n } jono, joka täyttää ehdon (4.15). Kuten Lauseen 4.4 todistuksessa, olkoon G n ympyräsektori arg z < απ/2, jossa z < r n ja valitaan n niin suureksi, että x G n. Sektorin G n reuna koostuu kahdesta janasta ja kaaresta λ n. Kaarella λ n on voimassa f(z) < exp(εrn 1/α ) ja samaan aikaan oletuksen perusteella on voimassa lim f(z) C z ζ 28

kaikille reunajanojen pisteille ζ. Tarkoituksena on kuvata G n konformikuvausten avulla yksikköympyrän sisäalueeseen siten, että piste x tulee origoon, jotta voidaan käyttää Lauseen 3.15 tulosta todistuksessa. Tehdään seuraavat muutokset: ( ) 1/α z z 1 = f 1 (z) = i, f(0) M β/π m α/π (4.19) z 2 = f 2 (z) = r n ( ) 2 1 + z. 1 z Ensimmäinen muunnos kuvaa sektorin G n puolikiekkoon D n = { z 1 < 1, Iz 1 > 0}, reunakaaren λ n puoliympyrälle C n = { z 1 = 1, Iz 1 > 0} ja pisteen x pisteeseen i(x/r n ) 1/α. Toinen muunnos kuvaa puolikiekon D n ylempään puolitasoon, puoliympyrän C n negatiiviselle reaaliakselin osalle ja pisteen i(x/r n ) 1/α pisteeseen Tehdään vielä kolmas muunnos [ ] 1 + i(x/rn ) 1/α 2 ξ n =. (4.20) 1 i(x/r n ) 1/α z 3 = f 3 (z) = z ξ n z ξ n, joka kuvaa ylemmän puolitason yksikköympyrän sisäpisteiksi γ : z 3 = 1, negatiivisen reaaliakselin osan (avoimelle) kaarelle Σ n lähtöpisteenään 1 ja loppupisteenään ξ n / ξ n. (Huom. γ on positiivisesti suunnistettu.) Näin ollen saadaan joukon G n haluttu kuvaus z 3 = (f 3 f 2 f 1 )(z), joka kuvaa sen yksikkökiekkoon. Seurauksena tästä funktio f(z) on muunnettu funktioksi siten, että f (0) = f(x), epäyhtälö f (z) = (f f 1 1 f 1 2 f 1 3 )(z), f (z) < exp(ɛr 1/α n ) 29

on voimassa kaikilla z 3 Σ n ja lim f (z) C z ζ kaikilla pisteillä ζ vastaavanlaisessa suljetussa kaaressa σ n = γ Σ n. Nyt epäyhtälöstä (4.19) seuraa, että f (0) = f(x) [ exp(εr 1/α n ) ] β n/π C α n/π, missä 2α n ja 2β n ovat kaarien σ n ja Σ n vastapäisiä kulmia pisteeseen z 3 = 0 (kulmille voimassa Lauseen 3.15 tavoin α n > 0, β n > 0, α n + β n = π). Nyt pisteen ξ n kuvauksen (4.20) perusteella joka taas implikoi seuraavaa lim ξ n = 1, n lim arg ξ n = 0. n Tällöin on voimassa kaikilla tarpeeksi suurilla n arvoilla [ ( ) ] 1/α ( ) 1/α x x arg ξ n = 4 arg 1 + i = 4 arctan r n r n ja arg ξ ( ) 1/α n x = 2 arg ξ n = 8 arctan > 0. ξ n r n Lisäksi, koska piste 1 on kaaren Σ n lähtöpiste ja piste ξ n / ξ n on loppupiste, niin tästä seuraa ja siis ( x 2β n = 8 arctan r n ) 1/α ( ) 1/α x, ts. β n = 4 arctan, r n Tästä kuitenkin seuraa [ 4 f(x) exp ( ) 1/α x α n = π 4 arctan. r n π εr1/α n ( ) ] 1/α x arctan C 1 (4/π) arctan(x/rn)1/α, r n 30