Klassisen mekaniikan muotoilu symplektisen geometrian avulla Ville Kivioja 21. kesäkuuta 2017 Tämän lyhyen artikkelin tarkoituksena on muotoilla klassinen mekaniikka mahdollisimman yleisesti ja käyttäen mahdollisimman selkeitä geometrisia käsitteitä. Sisältö 1 Aksiomatisointi Lagrangen funktion avulla 1 2 Faasiavaruus ja Legendren muunnos 2 3 Symplektistä geometriaa yleisesti 4 3.1 Kotangenttikimpun symplektinen rakenne............... 4 4 Symplektinen rakenne mekaniikassa 5 Merkintöjä T p M on moniston M tangenttiavaruus pisteessä p M. Sen duaaliavaruus on T p M. Tensoria W pisteessä p M merkitään W p, ja tämän lineaarikuvauksen argumentit merkitään sulkuihin, esim W p (X, Y ). Monistojen välisen kuvauksen F : M N differentiaalia pisteessä p M merkitään df p. Moniston M kaikkien vektorikenttien joukko on Vec(M) ja kaikkien kovektorien joukko Λ 1 M. 1 Aksiomatisointi Lagrangen funktion avulla Klassisessa mekaniikassa fysikaalisen systeemin määrittää täysin systeemin konfiguraatioavaruus ja Lagrangen funktio seuraavassa esiteltävän aksiooman mukaisesti. Konfiguraatioavaruus on (differentioituva 1 ) monisto Q, jonka ulottuvuus n on systeemin vapausasteiden lukumäärä ja jota lokaalisti parametrisoi systeemin yleistetyt koordinaatit q 1,..., q n. Kukin konfiguraatioavaruuden piste on siis fysikaalisen systeemin asento, otos, jossa kaikki systeemin vapausasteet on kiinnitetty 2. Konfiguraatioavaruus ei sisällä tietoa systeemin liiketilasta, kuten hiukkasten nopeuksista tai 1 Otetaan käytäntö, että kaikki monistot ovat differentioituvia ja kaikki funktiot sileitä (eli koordinaattiesityksissään mielivaltaisen monta kertaa differentioituvia) ilman että sitä erikseen joka kerta mainitaan. 2 Esimerkiksi jos fysikaalinen systeemi on varattu vierivä kuulaa tasossa, niin systeemin vapausasteiksi voidaan ottaa koordinaatit q 1,..., q 5 siten, että (q 1, q 2) R 2 antavat kuulan kosketuspisteen tason kanssa, ja (q 3, q 4, q 5) SO(3) määrittävät kuulan asennon. Tässä hivenen epäkorrekti merkintä (q 3, q 4, q 5) SO(3) tarkoittaa lokaaleja koordinaatteja. Huomaa, että kuulaan on merkittävä vähintään 2 (ei-antipodaalista) pistettä, jotta sen asento voidaan määrittää. 1
pyörimismääristä. Lagrangen funktio on mielivaltainen funktio L: T Q R, missä T Q merkitsee moniston Q tangenttikimppua 3. Fysikaalinen systeemi on pari (Q, L). Aksiooma Fysikaalisen systeemin aikakehitys tilasta q A Q tilaan q L Q tapahtuu sellaista käyrää ˆσ : [0, 1] Q pitkin, joka toteuttaa seuraavaa: Jos C on kaikkien niiden käyrien σ : [0, 1] Q joukko, joille σ(0) = q A ja σ(1) = q L, niin aktiofunktio S : C R S(σ) = 1 0 L(σ(t), σ(t)) dt saa stationaarisen arvon käyrällä ˆσ. Käyrää ˆσ sanotaan tällöin luonnolliseksi liikkeeksi. Tämän aksiooman seurauksena annetun fysikaalisen systeemin (Q, L) dynamiikka tunnetaan täydellisesti. Todellakin, olkoon fysikaalinen systeemi tilassa q ja olkoon kiinnitetty alkuehtovektori v T q Q, joka sisältää siis informaation systeemin liiketilasta ensimmäisessä kertaluvussa. Aikakehityksen tilasta q lähtien on tapahduttava sellaista käyrää σ pitkin, että kaikille t vastaava aktiofunktio S t, jonka lähtöjoukkoina ovat käyrät α, joille α(0) = q ja α(t) = σ(t), saa stationaarisen arvon käyrällä σ. Siten yllä olevan aksiooman nojalla käyrän σ tulee toteuttaa lokaaleissa koordinaateissa nk. Euler Lagrange-yhtälöt 4 L σ(t), d ( L ) σ(t), = 0 1 i n (1) q i σ(t) dt q i σ(t) kaikille riittävän pienille t, missä Lagrangen funktio L on identifioitu koordinaattiesityksensä kanssa. Tämä on aina toisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmä 5 käyrälle σ ja siten alkuehdot σ(0) = q ja σ (0) = v määräävät yksikäsitteisen ratkaisun 6. 2 Faasiavaruus ja Legendren muunnos Fysikaalisen systeemin (Q, L) faasiavaruus on Q:n kotangenttikimppu T Q. Lagrangen funktion tyypillinen muoto on L = T U, missä T, U : T Q R ovat funktiota, joista T tulee ei-degeneroituneesta ( 0 2) -tensorikentästä A siten, että T (q, v) = 1 2 A q(v, v) ja U riippuu vain konfiguraatioavaruuden pisteestä U(q, v) = 3 Muista, että tangenttikimppu on joukkona T Q = q Q {q} TqQ. Sen topologia määräytyy epätriviaalilla tavalla alkuperäisen moniston topologiasta. 4 Välivaiheet siihen, miten yllä esitetystä aksioomasta täsmälleen ottaen saadaan Euler Lagrangen yhtälöt, on tehty kunnolla esimerkiksi kirjassa Classical Mechanics and Dynamical Systems, Martin Scholtz, s. 84 86. Huomaa, että käyrien avaruutta voidaan pitää vektoriavaruutena jos halutaan ratkaista ongelma vain lokaalisti, sillä silloin käyrät ovat avaruuden R 2n käyriä (tämä samaistus on tietenkin epäkanoninen). Euler Lagrange yhtälöt ovat joka tapauksessa vain lokaalit. 5 Lagrangen funktio riippuu vain käyrästä ja sen derivaatasta, ja samoin on silloin myös sen osittaisderivaattojen laita. Jälkimmäinen termi Euler Lagrangen yhtälöissä tuottaa korkeintaan toisen kertaluvun aikaderivaattoja käyrästä. 6 Tämä ratkaisu on yksikäsitteinen ja olemassa kaikille t, mutta differentiaaliyhtälö sinänsä on mielekäs vain jossakin ympäristössä, ja saatu ratkaisu on siis lopulta vain lokaali. 2
U(q). Esimerkiksi jos konfiguraatioavaruus koostuu vapaasta pistehiukkasesta 2- ulotteisessa avaruudessa (massaltaan m) ja 1-ulotteisesta hyrrästä (hitausmomentilla J), niin sen knofiguraatioavaruus on Q = R 2 S 1. Tällöin luonnollisissa koordinaateissa yleinen vektori on muotoa v = (v x, v y, ω) R 3 ja liike-energia on T (q, v) = 1 2 m(v2 x + v 2 y) + 1 2 Jω2 Siispä tensori A pitää määritellä siten, että A q (v, w) = A q ((v x, v y, ω), (w x, w y, µ)) = m(v x w x + v y w y ) + Jωµ Jotta voidaan muodostaa systeemin Hamiltonin funktio, on Lagrangen funktion oltava yllä kuvattua muotoa, joten oletetaan tämä vastedes 7. Tässä tapauksessa liike-energiafunktio T määrää vektorien ja kovektorien identifikaation missä v T q Q identifioidaan kovektoriin A q (v, ). Ei-degeneroituneisuuden vuoksi tämä kuvaus T q Q T q Q on kääntyvä kaikille q ja määrää siten kääntyvän kuvauksen τ : T Q T Q. Yleisesti, kun tangenttikimpun ja kotangenttikimpun välillä on kääntyvä kuvaus, voidaan määritellä sitä vastaava Legendren muunnos: kuvausta τ : T Q T Q vastaava Legendren muunnos on muunnos, joka liittää kuhunkin tangenttikimpun funktioon f : T Q R kotangenttikimpun funktion L(f): T Q R L(f)(α) = α(τ 1 (α)) f(τ 1 (α)) Fysikaalisen systeemin Hamiltonin funktio on systeemin Lagrangen funktion Legendren muunnos liike-energiafunktion antaman identifikaatiokuvauksen suhteen. Laskuesimerkki 1. Lasketaan yllä mainitun systeemin Hamiltonin funktio koordinaateissa. Siis (q, p) = α T Q ja τ 1 (α) = (q, v) siten, että α = τ(q, v) = A q (v, ), eli kaikille w T q Q pätee α(w) = A q (v, w). Siten α(τ 1 (α)) = A q (v, v) eli H(q, p) = H(α) = A q (v, v) L(q, v) = m(v 2 x + v 2 y) + Jω 2 L(q, v) = i p i v i L(q, v) sillä systeemin liikemäärämuuttuja on p = (mv x, mv y, Jω). Tämä viimeinen väite ei ehkä ole välitön suoraan edeltä, mutta jos α = p i dq i moniston koordinaateissa ja v = v x 1 + v y 2 + ω 3, niin m(v 2 x + v 2 y) + Jω 2 = A q (v, v) = α(v) = p 1 v x + p 2 v y + p 3 ω Tämäkään nyt ei ollut varsinainen todistus, mutta yhteensopivuus väitteen kanssa on ilmeistä. 7 Fysiikan kirjallisuudesta saa vaikutelman, että Hamiltonin funktion muodostaminen onnistuu ehkä yleisemmässäkin tapauksessa, mutta vain tämän (melko yleisen) erikoistapauksen logiikka on minulle selvä. 3
3 Symplektistä geometriaa yleisesti Pari (M, ω) on sympletinen monisto, jos M on 2n-ulotteinen differentioituva monisto ja ω on suljettu ja ei-degeneroitunut 2-muoto. Suljettu merkitsee, että dω = 0. Eidegeneroivuus taas tarkoittaa, että kaikille p M kuvaus T p M T p M, v ω(v, ) on kääntyvä 8. Symplektisellä monistolla (M, ω) voidaan jokaiseen funktioon f : M R luonnollisella tavalla liittää vektorikenttä v f. Tämä v f, nimeltään funktion f symplektinen gradientti on se vektorikenttä, jonka symplektinen muoto liittää kovektorikenttään df. Toisin sanoen, jos määritellään ξ : Vec(M) Λ 1 (M), ξ(v) = ω(v, ), niin ξ on kääntyvä ja v f = ξ 1 (df). Edelleen ω(v f, w) = df(w) kaikille w Vec(M). Jos (M, ω) ja (N, η) ovat symplektisiä monistoja, niin diffeomorfismi F : M N on symplektomorfismi, jos F η = ω pätee 9. Seurauksena, jos symplektisen moniston (M, ω) 2-ulotteisille aliavaruuksille määritellään pinta-alat asettamalla ala(s) := S ω, niin symplektomorfismit F : (M, ω) (M, ω) säilyttävät tämän pinta-alan käsitteen, siis ala(s) = ala(f (S)). Poimitaan tähän kaksi matemaattista faktaa, joiden fysikaaliset seuraukset mainitaan seuraavassa luvussa: Fakta 3.1. Jos vektorikenttä v on jonkun funktion f : M R symplektinen gradientti, niin vektorikentän v flow on symplektomorfismi 10. Fakta 3.2. Olkoon v f funktion f symplektinen gradientti. Tällöin f on vakio v f :n flow-käyriä pitkin 11. 3.1 Kotangenttikimpun symplektinen rakenne Olkoon N monisto. Tällöin kotangenttikimpulla T N on luonnollinen rakenne symplektisenä monistona: kanoninen symplektinen muoto kotangenttikimpulla T N on ω := dγ, missä γ on symplektinen potentiaali (toiselta nimeltään tautologinen 1- muoto). Symplektinen potentiaali määritellään seuraavasti: Olkoon π : T N N kanoninen projektiokuvaus (q, p) q. Jos m T N, niin määritellään γ m = m dπ. Huomaa, että jos v T m (T N), niin dπ m (v) T π(m) N, joten tämä on järkevää. Darboux n lauseen mukaan kotangenttikimpulla on minkä tahansa pisteen ympäristössä 8 Siispä vektorien ja kovektorien välillä on identifikaatio, vrt. metriseen tensoriin Riemannin geometriassa. Myös edellä Legendren muunnosta varten tarvittiin tällainen identifikaatio, mutta identifikaation antoi hyvin erilainen tensorikenttä kuin tässä käsiteltävä symplektinen muoto ω, eikä edellä esiintynyt konfiguraatioavaruus Q ole symplektinen monisto, vaan sen kotangenttikimppu on, kuten tullaan toteamaan. 9 F on kuvauksen F pull-back-operaattori, joka määritellään niin, että (F η)(v, w) = η(df v, df w). Se siis yksinkertaisesti siirtää symplektisen muodon η monistolta N monistolle M käyttäen diffeomorfismia F. Vielä toisin sanoen, diffeomorfismin F myötä M ja N ovat samaistettavissa, joten moniston N symplektistä muotoa voidaan käyttää monistolla M. 10 Yleisesti, vektorikentän X Vec(M) flow on kuvaus Φ: [0, 1] M M siten, että kiinnitetylle p käyrän σ(t) = Φ(t, p) derivaatta yhtyy kaikissa pisteissä vektorikenttään X. 11 Tavallisen gradientin suuntaan funktio kasvaa kaikkein nopeimmin, symplektisen gradientin suuntaan ei lainkaan, joten nämä ovat hyvin eri käsitteet. 4
olemassa lokaalit koordinaatit (q i, p i ) siten, että saadaan kaavat γ = p i dq i ja ω = dq i dp i (2) 4 Symplektinen rakenne mekaniikassa Olkoon vastedes ω kanoninen symplektinen muoto faasiavaruudessa T Q. Hamiltonin flow on flow Hamiltonin funktiota H : T Q R vastaavalle vektorikentälle v H, t.s. se on Hamiltonin funktion symplektisen gradientin flow. Faktan 3.2 nojalla Hamiltonin funktio on vakio Hamiltonin flow-käyriä pitkin. Fakta 4.1. Hamiltonin flow-käyrien projektiot konfiguraatioavaruuteen Q ovat luonnollisia liikkeitä. Todistus. Laskuesimerkissä 2 nähdään, että Hamiltonin flow-käyrät toteuttavat koordinaateissa Hamiltonin yhtälöt (alla). Todistus sille, että Hamiltonin yhtälöt ovat ekvivalentit Euler Lagrangen-yhtälöihin (1) löytyy mistä tahansa klassisen mekaniikan kirjasta. Fysikaalisesti sanoen siis jokaiseen faasiavaruuden pisteeseen liittyy Hamiltonin funktion määräämä vektori v H, joka määrää täysin miten systeemin vapausasteet ja vastaavat yleistetyt liikemäärät kehittyvät ajassa 12. Algebrallisesti tämä voidaan tarkistaa huomaamalla (tämä tehdään lopuksi), että jos lokaaleissa koordinaateissa σ(t) = (q 1 (t),..., q n (t), p 1 (t),..., p n (t)) on Hamiltonin flow-käyrä, niin Hamiltonin yhtälöt 13 toteutuvat. ṗ i = q i ja q i = p i Fakta 4.2. (Seuraus Faktoista 3.1 ja 4.1) Joukon 14 S T Q pinta-ala säilyy luonnollisen liikkeen seurauksena. 12 Aikakehitys on lokaali siinä mielessä, että systeemi voi äärellisessä ajassa lakata olemasta. Esimerkiksi edellisen esimerkin pallot voivat sijaita äärellisen kokoisella pyödällä, jolloin esimerkiksi olisi q 1, q 2, q 5, q 6 ]0, 1[. Kuitenkin taas siinä mielessä aikakehitys voidaan päätellä globaalisti, että systeemin koko olemassoloaika tunnetaan täysin. 13 Muista Hamiltonin yhtälöiden fysikaaliset roolit: Jos H = p2 + V (q), niin ensimmäinen yhtälöistä antaa Newtonin toisen lain ṗ = V (huomaa miten liikemäärän muutosnopeus riippuu 2m q vain paikkakoordinaatista, ei lainkaan liikemäärästä) ja toinen nopeuden ja liikemäärän yhteyden ẋ = p/m. 14 Fysikaalisesti S on joukko konfiguraatioavaruuden pisteitä ja vastaavia liikemääriä. 5
Laskuesimerkki 2. Seuraavassa käydään läpi algebrallinen harjoitus siitä, miten Hamiltonin yhtälöt (4) seuraavat Hamiltonin flow n määritelmästä. Merkitään Hamiltonin flow-käyrän koordinaatteja σ(t) = (q 1 (t),..., q n (t), p 1 (t),..., p n (t)) =: (X 1,..., X 2n ) Aiemmin todetun nojalla Hamiltonin symplektinen gradientti v H toteuttaa dh(w) = ω(v H, w) kaikille w Vec(M). Nyt (v H ) σ(t) = σ(t) jolloin koordinaateissa X j w j = ω ij σ i w j w j X j = ω ij σ i (3) Lausekkeen (2) perusteella symplektisen muodon ω koordinaatit ovat ] 2n [ω ij ] 2n i,j=1 = [ω( i, j )] 2n i,j=1 = (dq k dp k )( i, j ) = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) Tämä on neljästä blokista koostuva matriisi, jonka blokit ovat [ω ij ] n i,j=1 = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) ja vastaavasti [ω ij ] 2n i,j=n+1 = 0 n. Antidiagonaaliset blokit ovat [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = dq k ( i )dp k ( j ) dq k ( j )dp k ( i ) = dq k ( i )dp k ( j ) ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) i,j=1 ] 2n ] n i,j=1 i,j=1 = 0 n ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = [dp i ( j )] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = [ δ (i+n,j) ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = I n sekä vastaavasti (tai antisymmetrian nojalla) [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = I n. Kokonaisuudessaan siis [ ] [ω ij ] (n,2n) (i,j)=(1,n+1) = 0n I n I n 0 n Nyt on suoraviivaista tarkistaa, että yhtälöt (4) ja yhtälöt (3) ovat ekvivalentit. Esimerkiksi, kun j n, niin kuten piti. X j = 2 ω ij σ i q j = ω (i+n),j ṗ i = ( I n ) ij ṗ i = ṗ j 6
Selvitettäviä asioita i) Mitä täsmälleen tarkoittaa, että aktiofunktio saa stationaarisen arvon. Mitä tarkoittaa funktionaaliderivaatta? Jos jotain fiksua, niin edellisen voinee määritellä jälkimmäisen avulla. ii) Onko tensori A yleisemmin Lagrangen funktion Taylor-sarjan 1. kertaluvun termi silloin kun Lagrange ei ole tavallista muotoa L = T U, vaan sisältää esimerkiksi ristitermejä nopeudesta ja paikasta (liikkuva varaus magneettikentässä)? iii) Olisi parempi jos Faktan 4.1 todistaisi geometrisesti, ilman koordinaatteja. Samalla voisi ymmärtää, että siinä on jotain syvällistä että juuri Legendremuunnetun funktion flow-käyrät antaa alkuperäisen aktion ekstremaaleja! iv) Onko jokainen symplektinen monisto fysikaalinen systeemi? Varmaan ei, mutta onko jokainen kotangenttikimppu varustettuna Hamiltonin funktiolla fysikaalinen systeemi? Varmaan ei, koska tuskin mikä tahansa funktio kelpaa Hamiltoniksi, sen pitäisi kuitenkin tulla Legendre muuntamalla Lagrangesta, ja Lagrangen taas on pakko olla esim konveksi ja vaikka mitä... v) Symplektistä kaarevuutta ei kuulemma ole, eli jokainen symplektinen moniston on lokaalisti symplektomorfinen. Entä globaalisti: Onko topologia ainoa rajoite vai onko symplektisellä monistolla jotakin globaalia karakteristikaa? vi) moniston Q koordinaatistot määräävät kotangenttikimpulle luonnolliset koordinaatit (Markun pistemuunnos ) mutta T Q:lle voidaan laittaa myös mielivaltaiset koordinaatit monistona, ja jos nämä koordinaatit eivät riko Hamiltonin yhtälöjen muotoa, niin koordinaattimuunnos on kanoninen muunnos Markun termistöllä, näin ymmärrän. vii) Markku puhui kinemaattisesta metrisestä tensorista, joka ilmeisesti on tuo tensori A. Tähän liittyy sekin, että klassisen mekaniikan voisi muotoilla myös moniston Q Riemannin geometriana täysin, niinkö? Onko symplektisessä muotoilussa jotain etuja? 7