Symmetria ja liikevakiot Hamiltonin mekaniikassa

Transkriptio

1 Olli Tuohenmaa Symmetria ja liikevakiot Hamiltonin mekaniikassa diplomityö Tarkastajat: Heikki Orelma, Sirkka-Liisa Eriksson Tarkastajat ja aihe hyväksytty Luonnontieteiden tiedekunnan tiedekuntaneuvoston kokouksessa

2

3 Tiivistelmä OLLI TUOHENMAA: Symmetria ja liikevakiot Hamiltonin mekaniikassa Tampereen teknillinen yliopisto diplomityö, 84 sivua, 7 liitesivua joulukuu 2014 teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma pääaine: matematiikka tarkastajat: tutkijatohtori Heikki Orelma, professori Sirkka-Liisa Eriksson avainsanat: Hamiltonin mekaniikka, hamiltonilainen systeemi, momenttikuvaus, symmetria, symplektinen geometria Symplektinen monisto on sileä monisto, jolle on valittu ei-singulaarinen suljettu 2-differentiaalimuoto. Symplektinen muoto määrää kanonisen tavan kuvata sileän funktion differentiaali vektorikentäksi. Tällaisen vektorikentän määräämää dynaamista systeemiä kutsutaan hamiltonilaiseksi systeemiksi ja sen synnyttävää funktiota Hamiltonin funktioksi. Hamiltonin funktio on systeemin liikevakio, eli sen arvo ei muutu systeemin virtauksessa. Lisäksi hamiltonilaisen systeemin virtaus säilyttää symplektisen rakenteen. Mekaanisen systeemin faasiavaruudella eli systeemin konfiguraatioavaruuden kotangenttikimpulla on kanoninen symplektinen rakenne. Tämä mahdollistaa mekaanisen systeemin määrittelyn hamiltonilaisena systeeminä, kun Hamiltonin funktioksi valitaan systeemin kokonaisenergia. Hamiltonilaisen systeemin symmetriaryhmä on ryhmä diffeomorfismeja, jotka säilyttävät sekä symplektisen rakenteen että Hamiltonin funktion. Symmetriaryhmä voidaan usein esittää Lien ryhmän toimintana. Tällöin ryhmän Lien algebra kuvautuu symplektisen rakenteen säilyttäviksi vektorikentiksi. Jos moniston symplektinen muoto on eksakti 2-muoto ja sen määräävä 1-muoto on invariantti Lien ryhmän toiminnan suhteen, tämä symmetriaryhmä määrää momenttikuvauksen avulla liikevakion. Esimerkiksi kolmiulotteisen euklidisen avaruuden translaatio- ja rotaatiosymmetrioihin liittyvät liikevakiot ovat liikemäärä ja pyörimismäärä.

4

5 Abstract OLLI TUOHENMAA: Symmetry and first integrals in Hamiltonian mechanics Tampere University of Technology Master of Science Thesis, 84 pages, 7 appendix pages December 2014 Master s Degree Programme in Science and Engineering Major: Mathematics Examiners: Postdoc. Researcher Heikki Orelma, Prof. Sirkka-Liisa Eriksson Keywords: Hamiltonian mechanics, Hamiltonian system, moment map, symmetry, symplectic geometry A symplectic manifold is a smooth manifold equipped with a nondegenerate closed differential 2-form. The symplectic form defines a canonical way of mapping the differential of a smooth function into a vector field. A dynamical system defined by such a vector field is a Hamiltonian system and the function that generates the vector field is called the Hamiltonian function for the system. The Hamiltonian function is a first integral of the system: it s value stays constant along the flow of the system. Moreover, the flow of a Hamiltonian system preserves the symplectic form. The phase space of a mechanical system, i.e. the cotangent bundle of the system s configuration space, has a canonical symplectic structure. A mechanical system is defined on the phase space by using the total energy of the system as the Hamiltonian function. A symmetry group for a Hamiltonian system is a group of smooth transformations that preserve both the symplectic structure and the Hamiltonian function. Often a symmetry group arises from a Lie group action. The Lie algebra of the group can then be mapped into the space of symplectic structurepreserving vector fields. Furthermore, if the symplectic form is an exact 2-form and the associated 1-form is invariant under the Lie group action, the symmetry group defines a first integral via a moment map. In particular, the actions of the groups of translations and rotations of the Euclidean 3-space have moment maps that correspond to the linear and angular momentum, respectively.

6

7 Alkusanat Diplomityöni aiheena on symmetria Hamiltonin mekaniikassa. Sisällysluetteloa vilkaisemalla huomaa kuitenkin nopeasti, että varsin suuri osa työn sivumäärästä on käytetty yleisen differentiaaligeometrian käsittelyyn. Tämä on tarkoituksellista, sillä yksi tavoitteistani työn aihetta valitessa oli saada parempi ymmärrys sileiden monistojen, differentiaalimuotojen ja Lien ryhmien teoriasta. Tähän tarkoitukseen Hamiltonin mekaniikka on aiheena ideaalinen, sillä siinä hyödynnetään suurta osaa modernin differentiaaligeometrian perustyökaluista tavalla, joka kuitenkin liittyy läheisesti fysikaalisen maailman ilmiöihin. Henri Poincaré on muinoin todennut, että logiikalla todistetaan, mutta intuitiolla keksitään. Harmikseni joudun myöntämään, että geometrisesta aiheestaan huolimatta diplomityöni painottuu enemmän aksiomaattis-deduktiiviseen todistustyöhön kuin geometriseen intuitioon. Nykypäivänä hamiltonilaisten systeemien teoria on varsin pitkälle kehittynyt ja hyvin tunnettu. Ei siis ole erityisen yllättävää, että työni ei sisällä uusia matemaattisia tuloksia. Toivon kuitenkin, että teorian esitystavassa on havaittavissa tiettyä omaleimaisuutta. Tavoitteenani on ollut esittää ja todistaa mahdollisimman monet tulokset koordinaateista riippumattomassa muodossa. Toisaalta olen kuitenkin yrittänyt parhaani mukaan minimoida tarpeettomien abstraktien konseptien määrän. Lukijan tehtäväksi jääköön arvioida, kuinka hyvin näissä tavoitteissa on onnistuttu. Haluan esittää kiitokseni työn ohjaajalle Heikki Orelmalle. Tampereella Olli Tuohenmaa

8

9 Sisällys 1 Johdanto 1 2 Monistot Differentioituvat kuvaukset Sileät monistot Tangenttiavaruus Euklidisen avaruuden alimonistot 15 3 Vektorikentät ja virtaukset Tangenttikimppu Vektorikentät Virtaukset Lien algebra 23 4 Differentiaalimuodot Tensorit ja multikovektorit Determinantti ja orientaatio Differentiaalimuodot Ulkoderivaatta ja Lien derivaatta Integrointi ketjuilla 43 5 Symplektinen geometria Symplektiset vektoriavaruudet Symplektiset monistot Hamiltonilaiset vektorikentät Poissonin algebra 52 6 Mekaniikkaa Riemannin monistoilla Riemannin monistot Kotangenttikimpun symplektinen rakenne Mekaaniset systeemit 62

10 7 Symmetria ja liikevakiot Lien ryhmät Momenttikuvaus Liikemäärä ja pyörimismäärä 74 8 Yhteenveto 81 Lähteet 83 A Topologia 85 B Algebra 89

11 Merkinnät Alt ( f ) Aut (V) d Diff (M) dim M tensorin antisymmetrisaatio vektoriavaruuden automorfismien ryhmä ulkoderivaatta, differentiaali moniston diffeomorfismien ryhmä moniston dimensio End (V) vektoriavaruuden endomorfismien rengas Hom (V, V) F (M) H k dr (M) sileiden funktioiden assosiatiivinen algebra asteen k de Rhamin kohomologiaryhmä Hom (U, V) U:lta V:lle kuvaavien lineaarikuvausten vektoriavaruus id S im (A) ι v J n k ker (A) l g L v L (G) Λ k (V ) identiteettikuvaus joukolla S lineaarikuvauksen kuva-avaruus kontraktio vektorikentällä v joukon {1,..., n} kasvavien k-multi-indeksien joukko lineaarikuvauksen nolla-avaruus vasen translaatio alkiolla g Lien derivaatta suuntaan v vasemmalta invarianttien vektorikenttien Lien algebra antisymmetristen k-tensorien vektoriavaruus Λ (V ) ulkoalgebra Λ 0 (V ) Λ n (V ) Λ k (T M) k-ulkokimppu

12 nl A rk A S k sgn (σ) span (S) supp ( f ) T p M TM T p ϕ Tϕ T pm T M T ϕ X (M) Ω k (M) Ω (M) u, v [u, v] nolla-avaruuden dimensio dim ker (A) kuvauksen aste dim im (A) joukon {1,..., k} bijektioiden ryhmä permutaation merkki pienin vektorijoukon S V sisältävä aliavaruus kuvauksen kantaja tangenttiavaruus tangenttikimppu sileän kuvauksen derivaatta sileän kuvauksen tangenttikuvaus kotangenttiavaruus kotangenttikimppu diffeomorfismin kotangenttikuvaus sileiden vektorikenttien Lien algebra k-differentiaalimuotojen vektoriavaruus ulkoalgebra Ω 0 (M) Ω n (M) avaruuden R n kanoninen sisätulo Lien sulkeet { f, g} Poissonin sulkeet f g ω η ϕ v ϕ ω g g tensoritulo ulkotulo vektorikentän pushforward differentiaalimuodon pullback ei-singulaarisen 2-tensorikentän määräämä kimppuisomorfismi kimppuisomorfismin g käänteiskuvaus

13 1 Johdanto Analyyttinen mekaniikka on klassisen mekaniikan osa-alue, jossa mekaanisia systeemejä tarkastellaan skalaariarvoisia energiasuureita, kuten liike-energiaa ja potentiaalienergiaa, käyttäen. Analyyttisen mekaniikan teoria koostuu kahdesta osasta, Lagrangen mekaniikasta ja Hamiltonin mekaniikasta. Näiden teorioiden esittämiseen matemaattisesti täsmällisessä muodossa tarvitaan modernia differentiaaligeometriaa. Motivaationa yleiselle hamiltonilaisten systeemien teorialle tässä johdannossa käsitellään lyhyesti Lagrangen ja Hamiltonin mekaniikkaa klassisen analyysin menetelmiä käyttäen. Esitys perustuu lähteisiin (Arnold 1989, s ) ja (Mac Lane 1986, s ). Mekaanisen systeemin kaikkien mahdollisten konfiguraatioiden joukkoa kutsutaan konfiguraatioavaruudeksi. Konfiguraatioavaruus muistuttaa lokaalisti euklidista avaruutta, mutta sen globaali topologia voi olla monimutkaisempi. Esimerkiksi tasossa liikkuvan heilurin paikka voidaan ilmaista yhden parametrin, heilurin varren kulman, avulla, mutta konfiguraatioavaruus ei ole R vaan S 1 eli ympyrä. Yleisessä tapauksessa konfiguraatioavaruudelle annetaan sileän moniston rakenne. Oletetaan kuitenkin toistaiseksi, että mekaanisen systeemin konfiguraatio voidaan esittää pisteenä q = (q 1,..., q n ) jollain avoimella joukolla U R n. Systeemin aikakehitys esitetään käyränä [t 1, t 2 ] U t c (t). Käyrän oletetaan olevan sileä, jotta jokaiselle ajanhetkelle voidaan määritellä nopeusvektori v (t) = dc dt (t). Nopeusvektori v (t) kuuluu pisteen c (t) tangenttiavaruuteen, joka voidaan tässä tapauksessa samaistaa avaruuden R n kanssa. Lagrangen mekaniikassa systeemiin kohdistuvien voimien ja liike-energian välinen vuorovaikutus ilmaistaan Lagrangen funktion L U R n R avulla. 1

14 Tarkastellaan sileiden käyrien avaruudessa määriteltyä funktionaalia S (c) = t 1 t 2 L (c (t), v (t)) dt. Lagrangen mekaniikan keskeinen luonnonlaki on Hamiltonin periaate, jonka mukaan mekaanisen systeemin kehitys konfiguraatiosta q 1 = c (t 1 ) konfiguraatioon q 2 = c (t 2 ) seuraa käyrää, joka on funktionaalin S stationäärinen piste. Käyrä c on stationäärinen piste, jos S (c + hu) S (c) lim = 0, h R h 0 h jokaisella reunaehdot u (t 1 ) = u (t 2 ) = 0 toteuttavalla sileällä käyrällä u. Olettaen, että Lagrangen funktio on sileä, Hamiltonin periaatteen stationäärisyysehto toteutuu, jos ja vain jos käyrä c toteuttaa jokaisen koordinaatin q i suhteen Eulerin Lagrangen yhtälön d dt ( L v i ) L q i = 0. Hamiltonin periaate ja Eulerin Lagrangen yhtälöt säilyttävät muotonsa yleisissä koordinaattimuunnoksissa, minkä vuoksi Lagrangen mekaniikassa voidaan käyttäää erilaisia ei-karteesisia koordinaatteja. Erityisesti systeemin konfiguraatioita rajoittavat sidosehdot voidaan usein esittää valitsemalla koordinaatisto, jossa osa koordinaattifunktioista häviää sidosehtojen toteutuessa. Mikäli Lagrangen funktio on muuttujan v suhteen aidosti konveksi jokaisessa pisteessä q U, voidaan Eulerin Lagrangen yhtälöt muuntaa yksinkertaisempaan muotoon, joka toimii pohjana Hamiltonin mekaniikalle. Konveksisuusehto toteutuu, jos ja vain jos komponenteista 2 L v i (q, v) v j koostuva matriisi on positiivisesti definiitti jokaisella (q, v) U R n. Pisteen q tangenttivektorille v voidaan määritellä konjugaattiliikemäärä p R n, jonka komponentit ovat p i = L (q, v). vi Kaikista pareista (q, p) koostuvaa joukkoa kutsutaan mekaanisen systeemin faasiavaruudeksi. Konveksisuuden toteutuessa kuvaus (q, v) (q, p) on bijektio. Legendren muunnosta käyttäen faasiavaruudelle voidaan tällöin määritellä Hamiltonin funktio H U R n R kaavalla H (q, p) = p i v i L (q, v), 2

15 missä v määräytyy q:n ja p:n funktiona. Hamiltonin funktion osittaisderivaatat koordinaattien q i ja p i suuntaan ovat ja H v q i = p j j q i L q i L v j v j q i H = v i v + p j j L v j p i p i v j. p i Summaustermit kumoutuvat molemmissa lausekkeissa, sillä p i = L/ v i. Lisäksi Eulerin Lagrangen yhtälöiden toteutuessa pätee Näin saadaan Hamiltonin yhtälöt L q i = d dt ( L v i ) = dpi dt. dq i dt = H p i ja dp i dt = H q i. Näiden yhtälöiden määräämää dynaamista systeemiä kutsutaan hamiltonilaiseksi systeemiksi. Hamiltonin yhtälöissä paikka- ja liikemääräkoordinaateilla on keskenään symmetrinen rooli, mikä antaa vihjeen taustalla olevasta geometrisesta rakenteesta. Sileän funktion f U R n R derivaatta Hamiltonin yhtälöiden integraalikäyrän suuntaan on d f dt = ( f dq i q i dt + f dp i p i dt ) = ( f q i H p i f p i H q i ). Määrittelemällä sileiden funktioiden Poissonin sulkeet { f, g} = ( f q i g p i f p i g q i ) saadaan integraalikäyrän suuntaiselle derivaatalle muoto d f dt = { f, H}. Poissonin sulkeiden koordinaattimuotoa tarkastelemalla havaitaan, että jokaisella sileällä funktiolla f ja g pätee { f, g} = {g, f }. Mekaanisen systeemin kokonaisenergia tilassa (q, p) on Hamiltonin funktion arvo H (q, p). Poissonin sulkeiden antisymmetrisyydestä seuraa energian 3

16 säilymislaki dh dt = {H, H} = 0. Useimmilla mekaanisilla systeemeillä Lagrangen funktio on muotoa L (q, v) = 1 2 g i j (q) v i v j V (q), missä kertoimet g i j (q) muodostavat jokaisessa pisteessä symmetrisen ja positiivisesti definiitin matriisin. Tällöin Hamiltonin funktioksi saadaan H (q, p) = 1 2 gi j (q) p i p j + V (q), missä kertoimet g i j (q) ovat Lagrangen funktiossa esiintyvän matriisin käänteismatriisin komponentit. Funktion V tulkitaan olevan systeemin potentiaalienergia. Havaitaan, että 1 2 g i j (q) v i v j = 1 2 gi j (q) p i p j, kun p j = g i j v i. Tämä neliömuoto on systeemin liike-energia. Lisäksi se määrää konfiguraatioavaruudelle Riemannin metriikan. Metriikka mahdollistaa konfiguraatioavaruuden geometrian tutkimisen. Eräs Hamiltonin mekaniikan klassisista tuloksista liittyy faasiavaruuden tilavuusalkion säilymiseen. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemi voidaan esittää vektorikenttänä faasiavaruudessa. Esimerkiksi Hamiltonin yhtälöihin liittyvä vektorikenttä on w = ( H p 1,..., H p n, H q 1,..., H q n ). Intuitiivisesti tällainen vektorikenttä voidaan nähdä nopeuskenttänä faasiavaruuden pisteiden virtaukselle, jolloin systeemin integraalikäyrät ovat kyseisen virtauksen virtaviivoja. Tunnetusti virtaus on kokoonpuristumaton, jos sen nopeuskentän divergenssi häviää. Havaitaan, että vektorikentän w divergenssin termit kumoutuvat pareittain, sillä div (w) = ( w i q i + w n+i p i ) = ( 2 H p i q i 2 H q i p i ) = 0. Toisin sanoen, hamiltonilaisen systeemin virtaus säilyttää faasiavaruudesta valitun alueen tilavuuden, vaikka alueen muoto voikin muuttua virtauksessa. Tästä seuraa esimerkiksi, että systeemin integraalikäyrät eivät voi pakkautua nollamittaiseen attraktorijoukkoon. 4

17 2 Monistot 2.1 Differentioituvat kuvaukset Euklidisen avaruuden differentiaalilaskenta luo pohjan sileiden monistojen teorialle. Alla käsitellään lyhyesti tärkeimpiä tuloksia ja esitellään käytetty notaatio. Esitietona tarvittavia topologian ja algebran määritelmiä, perustuloksia ja notaatiota on käsitelty lyhyesti liitteissä A ja B. Avaruuden R n koordinaattifunktiot r i R n R määritellään kaavalla r i (a) = a i, missä a = (a 1,..., a n ). Kanonisia kantavektoreita merkitään e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1). Euklidisen avaruuden kanoninen sisätulo ja normi ovat u, v = u i v i ja v = v, v. Olkoon U R m avoin joukko. Kuvaus f U R n on differentioituva pisteessä a U, jos on olemassa lineaarikuvaus T Hom (R m, R n ), jolla f (a + h) f (a) T (h) lim = 0, h R m. h 0 h Kuvaus T on kuvauksen f derivaatta pisteessä a. Vektoria T (v) R n kutsutaan suunnattuksi derivaataksi suuntaan v R m. On helppo nähdä, että jos f on differentioituva pisteessä a, saadaan suunnatulle derivaatalle kaava f (a + tv) f (a) T (v) = lim. t 0 t Komponenttifunktioiden f i = r i f osittaisderivaatat määritellään kaavalla f i (a) = lim r j t 0 f i (a + te j ) f i (a), t joten differentioituvan funktion derivaatan komponentit ovat Tj i = ri T (e j ) = f i r j (a). 5

18 Pelkkä osittaisderivaattojen pisteittäinen olemassaolo ei kuitenkaan takaa differentioituvuutta. Seuraava propositio antaa differentioituvuudelle riittävän ehdon: propositio 2.1. Kuvaus f U R n on differentioituva pisteessä a U, jos komponenttifunktioiden f i osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteen a jossain avoimessa ympäristössä. Todistus. Katso (Pugh 2002, s. 273). Kuvaus f on sileä pisteessä a U, jos sen jokaisen kertaluvun kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa kyseisessä pisteessä. Kuvaus on C 1 eli jatkuvasti differentioituva, jos sen ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia jokaisessa U:n pisteessä, ja C eli sileä, jos se on sileä jokaisessa U:n pisteessä. Avoimien joukkojen U ja V välistä bijektiota f U V sanotaan diffeomorfismiksi, jos sekä f että f 1 ovat sileitä. Koska differentioituvuudesta seuraa jatkuvuus, diffeomorfismit ovat aina homeomorfismeja. lause 2.2 (käänteiskuvauslause). Olkoon U R n avoin joukko, f U R n sileä kuvaus ja T R n R n kuvauksen f derivaatta pisteessä a U. Jos T on isomorfismi, niin pisteellä a on avoin ympäristö V U, jolla f V V f (V) on diffeomorfismi. Todistus. Katso (Pugh 2002, s ). 2.2 Sileät monistot Sileät monistot ovat euklidiseen avaruuteen upotettujen sileiden käyrien ja pintojen yleistyksiä. Monisto rakennetaan joukosta, jonka jokaisen pisteen ympäristö voidaan muuntaa euklidisen avaruuden avoimeksi joukoksi kuvauksella, jota kutsutaan kartaksi. Karttojen avulla monistolle saadaan lokaalisti euklidinen topologia. Eri karttojen määrittelyjoukkojen päällekkäisyys määrää, millainen globaali topologia monistolla on. Monistojen määrittelyssä käytetty lähestymistapa perustuu lähteeseen (Lee 2009). määritelmä 2.3. Olkoon M ei-tyhjä joukko. Kartta joukolla M on bijektio osajoukolta U M euklidisen avaruuden R n avoimelle joukolle. Karttaan x U x (U) R n viitataan usein parina (U, x), ja joukkoa U kutsutaan kartan koordinaattiympäristöksi. Olkoot (U, x) ja (V, y) kaksi joukon M karttaa, joilla U V. Kuvauksia x y 1 y (U V) x (U V) ja y x 1 x (U V) y (U V) 6

19 kutsutaan transitiokuvauksiksi tai koordinaattimuunnoksiksi. Kartat ovat yhteensopivia, jos joukot x (U V) R m ja y (U V) R n ovat avoimia ja transitiokuvaukset x y 1 ja y x 1 ovat diffeomorfismeja. Erityistapauksena kartat, joilla U V =, ovat automaattisesti yhteensopivia. Pareittain yhteensopivien karttojen kokoelma A = {(U λ, x λ )} λ Λ on atlas, jos koordinaattiympäristöt U λ muodostavat joukon M peitteen eli jos U λ = M. λ Λ Kartta on yhteensopiva atlaan kanssa, jos se on yhteensopiva kyseisen atlaan jokaisen kartan kanssa. lemma 2.4. Olkoot (U, x) ja (V, y) atlaan A kanssa yhteensopivia karttoja, joilla U V. 1 Kartat (U, x) ja (V, y) ovat keskenään yhteensopivia. 2 Kartat (U V, x U V ) ja (U V, y U V ) ovat yhteensopivia atlaan kanssa. 3 Jos A x (U) on avoin ja S = x 1 (A), niin (S, x S ) on atlaan kanssa yhteensopiva kartta. Todistus. Todistetaan ensimmäinen väite. Valitaan p U V. Koska A on atlas, on olemassa kartta (W, z) A, jolla p W. Koska sekä (U, x) että (V, y) ovat yhteensopivia atlaan kanssa, kuvaukset z x 1 x (U W) z (U W) ja y z 1 z (V W) y (V W) ovat diffeomorfismeja. Joukkojen x (U V W) ja y (U V W) välille saadaan diffeomorfismi (y z 1 ) (z x 1 ) = y x 1 x(u V W). Näin ollen kuvaus y x 1 on sileä jokaisessa pisteessä x (p) x (U V), eli y x 1 on C. Vastaavasti nähdään, että x y 1 on C. Lemman muut väitteet todistetaan samaan tapaan. Atlas on maksimaalinen, jos se ei sisälly mihinkään suurempaan atlaaseen. Edellisen lemman ensimmäinen kohta takaa, että jokainen atlas voidaan laajentaa yksikäsitteisesti maksimaaliseksi atlaaksi. propositio 2.5. Olkoon A joukon M maksimaalinen atlas. Koordinaattiympäristöjen kokoelma B = {U λ } λ Λ on kanta eräälle joukon M topologialle. Todistus (Tu 2011, s. 322). Olkoon T kaikista kokoelman B joukkojen mielivaltaisista unioneista koostuva joukkokokoelma. Koska A on atlas, λ Λ U λ = M, eli M T. Lisäksi T, ja selvästi T on suljettu mielivaltaisten unionien suhteen. 7

20 Olkoon S = α U α ja T = β U β kaksi T :n jäsentä. Tällöin S T = ( U α ) α β U β = (U α U β ), α,β ja näin ollen jokaisella p S T on olemassa indeksit α ja β, joilla p U α U β. Lemman 2.4 kohdan 3 perusteella nähdään, että jokaisella p U α U β on V p B, jolla p V p ja V p U α U β. Näin ollen S T = V p, p S T eli S T T. Havaitaan siis, että T on joukon M topologia. Kaksi atlasta ovat ekvivalentit, jos niiden unioni on atlas. Ekvivalentit atlaat kuuluvat samaan maksimaaliseen atlaaseen, ja atlaiden ekvivalenttius on ekvivalenssirelaatio. Sileä rakenne joukolla M on sileiden atlaiden ekvivalenssiluokka. Propositiossa 2.5 määritelty topologia on sileän rakenteen indusoima topologia. määritelmä 2.6. Sileällä rakenteella varustettu joukko M on sileä monisto, jos sileän rakenteen indusoima topologia tekee joukosta M Hausdorffin avaruuden, jolla on numeroituva kanta. Jos moniston kaikkien karttojen maalijoukkona on R n jollain kiinteällä n N, moniston dimensio on dim M = n. Tärkein sileä monisto on euklidinen avaruus R n, jonka kanonisen sileän rakenteen määrää atlas {(R n, id)}, jossa id on identiteettikuvaus. Kaikki tässä työssä käsiteltävät monistot oletetaan sileiksi, joten jatkossa adjektiivia sileä ei erikseen mainita. Samoin oletetaan, että monistoilla on hyvin määritelty dimensio. Monistojen topologia on määritelty siten, että maksimaalisen atlaan jokaisella kartalla (U, x) kuvaus x U x (U) on homeomorfismi. Näin ollen moniston M jokaisella pisteellä p M on avoin ympäristö U, joka on homeomorfinen R n :n avoimen joukon kanssa. Toisin sanoen, M on lokaalisti euklidinen. Monistojen M ja N kartat (U, x) ja (V, y) määräävät karteesiselle tulolle M N kartan (U V, x y), jossa x y on kuvaus U V R m R n (p, q) (x (p), y (q)). Tällaiset kartat peittävät joukon M N, ja ne ovat selvästi keskenään yhteensopivia, joten ne muodostavat atlaan joukolle M N. Tällöin sileän rakenteen indusoima topologia on sama kuin tulotopologia. Proposition a.10 perusteella M N on sileä monisto. määritelmä 2.7. Olkoot M ja N monistoja, ϕ M N jatkuva kuvaus, p M 8

21 sekä (U, x) ja (V, y) sellaiset M:n ja N:n kartat, joilla p U ja ϕ (p) V. Kuvaus ϕ on sileä pisteessä p, jos y ϕ x 1 on sileä pisteessä x (p). Kuvaus on sileä eli C, jos se on sileä jokaisessa pisteessä p M. Atlaan diffeomorfisuusehdosta seuraa, että kuvauksien sileys ei ole riippuvainen karttojen (U, x) ja (V, y) valinnasta. Olkoot (Û, ˆx) ja ( ˆV, ŷ) toiset kartat, joilla p Û ja ϕ (p) ˆV. Tällöin pisteen p jossain ympäristössä ŷ ϕ ˆx 1 = ŷ (y 1 y) ϕ (x 1 x) ˆx 1 = (ŷ y 1 ) (y ϕ x 1 ) (x ˆx 1 ). Selvästi ŷ ϕ ˆx 1 on sileä, jos y ϕ x 1 on sileä, sillä ŷ y 1 ja x ˆx 1 ovat määritelmän mukaan diffeomorfismeja. Moniston M mikä tahansa avoin joukko S M on monisto, sillä moniston M atlaasta {(U λ, x λ )} λ Λ saadaan monistolle S atlas {(U λ S, x λ Uλ S )}. λ Λ Tällöin sileän rakenteen indusoima topologia on sama kuin aliavaruustopologia. Proposition a.8 perusteella S on sileä monisto. Tällaista monistoa S kutsutaan avoimeksi alimonistoksi. Yleisyyttä loukkaamatta voidaan siis puhua sileistä kuvauksista, joiden määrittelyjoukko on koko monisto M. määritelmä 2.8. Diffeomorfismi monistolta M monistolle N on bijektiivinen C -kuvaus, jonka käänteiskuvaus on myös C. Diffeomorfismit monistolta itselleen muodostavat ryhmän Diff (M), kun laskutoimitukseksi valitaan kuvausten kompositio. Erityisesti kartat ovat aina diffeomorfismeja kuvalleen. Asian varmistamiseksi kartalla (U, x) riittää tutkia kuvausten x ja x 1 sileyttä, sillä moniston topologia on määritelty siten, että x on homeomorfismi. Sileys nähdään helposti käyttämällä joukolla x (U) karttaa (x (U), id x(u) ), sillä id x(u) x x 1 = id x(u) ja x x 1 id x(u) = id x(u). Funktio f M R on sileä pisteessä p U M, jos f x 1 x (U) R on sileä. Moniston M sileiden funktioiden joukkoa merkitään F (M). määritelmä 2.9. Assosiatiivinen R-algebra on reaalinen vektoriavaruus V, jolle on lisäksi määritelty binäärioperaatio V V V (u, v) uv, 9

22 joka toteuttaa jokaisella a, b R ja u, v, w V sekä distributiivisuuslait (u + v) w = uw + vw ja u (v + w) = uv + uw että kertolaskujen yhteensopivuus- ja assosiatiivisuusehdot (au) (bv) = (ab) (uv) ja (uv) w = u (vw). Funktioiden f, g F (M) ja skalaarikertoimien a, b R avulla määritellään funktiot a f + bg ja f g säännöillä (a f + bg) (p) = a f (p) + bg (p) ja ( f g) (p) = f (p) g (p). Selvästi näin määritellyt funktiot ovat myös sileitä. Joukolla F (M) on siis assosiatiivisen algebran rakenne. Toisaalta vakiofunktio 1 F (M) on funktioiden kertolaskun neutraalialkio, joten F (M) on samalla myös kommutatiivinen rengas. Sileiden funktioiden käsittelyyn saadaan joustavuutta normeerattujen testifunktioiden avulla. Seuraava propositio takaa testifunktioiden olemassaolon: propositio Olkoon U moniston M avoin osajoukko ja S U sen suljettu osajoukko. On olemassa normeerattu testifunktio ρ F (M), joka toteuttaa seuraavat ehdot: 1 supp (ρ) U. 2 ρ (q) = 1 jokaisella q S. Todistus. Katso (Lee 2013, s ). 2.3 Tangenttiavaruus Derivaatio pisteessä p M on lineaarikuvaus v F (M) R, joka toteuttaa Leibnizin säännön v ( f g) = v ( f ) g (p) + f (p) v (g) jokaisella f, g F (M). Derivaatioiden joukolle määritellään yhteenlasku ja skalaarilla kertominen kaavoilla (u + v) f = u ( f ) + v ( f ) ja (av) f = a (v f ), a R. Helposti nähdään, että myös u + v ja av ovat derivaatioita pisteessä p M, joten derivaatiot muodostavat vektoriavaruuden. määritelmä Moniston M tangenttiavaruus pisteessä p M on kyseisen pisteen derivaatioista koostuva vektoriavaruus, ja sitä merkitään T p M. Tangent- 10

23 tiavaruuden jäseniä kutsutaan tangenttivektoreiksi. Sileän kuvauksen ϕ M N derivaatta pisteessä p M on lineaarikuvaus T p ϕ T p M T ϕ(p) N, joka kuvaa tangenttivektorin v T p M pisteen ϕ (p) N tangenttivektoriksi, joka saa funktiolla f F (N) arvon T p ϕ (v) ( f ) = v ( f ϕ). Jälleen on helppoa varmistaa, että T p ϕ on lineaarinen ja että T p ϕ (v) todella on tangenttivektori pisteessä ϕ (p) N. Seuraavaksi tarkastellaan joitain tangenttivektorien perusominaisuuksia. Lineaarisuudesta ja Leibnizin säännöstä seuraa välittömästi, että jos c F (M) on vakioarvoinen funktio, niin v (c) = v (c) 1 = v (c 1) c v (1) = c v (1) c v (1) = 0 jokaisella v T p M. Lisäksi jos f (p) = g (p) = 0, niin v ( f g) = v ( f ) v (g) = 0 jokaisella v T p M. Seuraavassa propositiossa osoitetaan, että tangenttivektorin arvo riippuu ainoastaan funktion arvoista pisteen p mielivaltaisen pienessä avoimessa ympäristössä. propositio Olkoot f ja g sileitä funktioita, joilla f U = g U jollain avoimella joukolla U. Jos p U ja v T p M, niin v ( f ) = v (g). Todistus (Lee 2013, s. 56). Funktio f g on nolla-arvoinen joukossa U. Olkoon ρ F (M) testifunktio, jolla supp (ρ) M {p} ja ρ (q) = 1 jokaisella q supp ( f g). Tällöin ( f g) ρ = f g koko monistolla. Koska ρ (p) = 0 ja ( f g) (p) = 0, nähdään, että v ( f ) v (g) = v ( f g) = v (( f g) ρ) = 0, ja näin ollen v ( f ) = v (g). Edellisen proposition perusteella avoimen alimoniston U M jokainen tangenttiavaruus voidaan samaistaa moniston M vastaavan pisteen tangenttiavaruuden kanssa. Seuraavaksi näytetään, että tangenttiavaruuksilla määritelty derivaatta toteuttaa samat laskusäännöt kuin euklidisen avaruuden kuvausten derivaatta. 11

24 propositio Sileän kuvauksen derivaatalla on seuraavat ominaisuudet: 1 Jos ϕ M N ja ψ N P ovat sileitä kuvauksia, niin T p (ψ ϕ) = T ϕ(p) ψ T p ϕ (ketjusääntö). 2 Identiteetti kuvautuu identiteetiksi, eli T p (id M ) = id Tp M. 3 Jos ϕ M N on diffeomorfismi, niin T p ϕ T p M T ϕ(p) N on isomorfismi jokaisella p M. Todistus (Tu 2011, s ) 1 Merkitään q = ϕ (p). Suoraan määritelmän perusteella jokaisella v T p M ja f F (P) pätee T p (ψ ϕ) (v) ( f ) = v ( f ψ ϕ) = T p ϕ (v) ( f ψ) = (T q ψ (T p ϕ (v))) f = (T q ψ T p ϕ (v)) f. 2 Identiteettikuvaukselle saadaan jokaisella v T p M ja f F (M) T p (id M ) (v) ( f ) = v ( f id M ) = v ( f ) = (id Tp M (v)) f. 3 Olkoon ϕ M N diffeomorfismi. Valitaan mielivaltainen p M ja merkitään taas q = ϕ (p). Diffeomorfisuusoletuksen mukaan on olemassa kuvaus ϕ 1 N M, jolla Tällöin ketjusäännön mukaan ϕ 1 ϕ = id M ja ϕ ϕ 1 = id N. T q (ϕ 1 ) T p ϕ = T p (ϕ 1 ϕ) = T p (id M ) = id Tp M, ja vastaavasti T q (ϕ 1 ) T p ϕ = id TqN. Näin ollen (T p ϕ) 1 = T q (ϕ 1 ). Kartan (U, x) koordinaattiympäristössä funktiolle f F (M) määritellään osittaisderivaatta koordinaatin x i suhteen kaavalla f x i (p) = r i ( f x 1 ). x(p) Avaruuden R n osittaisderivaatat / r i a toteuttavat Leibnizin säännön, joten ne kuuluvat tangenttiavaruuteen T a R n. Jokaisella f F (M) saadaan T x(p) (x 1 ) ( r i ) ( f ) = x(p) r i ( f x 1 ) = f x(p) x i (p), 12

25 ja näin ollen x i = T x(p) (x 1 ) ( p r i, eli x(p)) x i T p M. p Osittaisderivaattojen lineaarikombinaatiot v = v i ovat siis tangenttivektoreita pisteessä p U. x i, v i R p propositio Olkoon (U, x) moniston M kartta ja p U. Tangenttivektorit / x i p muodostavat tangenttiavaruuden T p M kannan, ja näin ollen mikä tahansa derivaatio v T p M voidaan esittää muodossa v = v (x i ) x i. p Todistus (Tu 2011, s. 13, 89). Todistetaan ensin, että joukko { r 1,..., a r n } a muodostaa avaruuden T a R n kannan. Lähteessä (Tu 2011, s. 6) on osoitettu, että avoimella pallolla B (a, r) = {b R n b a < r} määritelty C -funktio f voidaan esittää muodossa siten, että sileille funktioille g i pätee f (b) = f (a) + (r i (b) a i ) g i (b) g i (a) = f r i (a). Olkoon nyt v T a R n, jolloin edellistä muotoa käyttäen saadaan v ( f ) = v ( f (a) + (r i a i ) g i ) = v ( f (a)) + v ( (r i a i ) g i ) = v ((r i a i ) g i ) = v (r i a i ) g i (a) + (r i (a) a i ) v (g i ) = (v (r i ) v (a i )) g i (a) + (a i a i ) v (g i ) = v (r i ) f r i (a). 13

26 Koska v (r i ) R, nähdään, että T a R n = span ({ r 1,..., a Tarkastellaan sitten nolladerivaatiota v = 0. Tällöin Sijoittamalla f = r j saadaan r n }). a v ( f ) = v i f r i (a) = 0 jokaisella f F (Rn ). v (r j ) = v i r j r i (a) = vi δ j i = v j = 0, ja näin ollen joukko { / r i a } on lineaarisesti riippumaton. Olkoon (U, x) kartta pisteen p M ympäristössä. Koska x U x (U) on diffeomorfismi, derivaatta T x(p) (x 1 ) T x(p) R n T p M on isomorfismi. Koska isomorfismi kuvaa kannan kannaksi ja x i = T x(p) (x 1 ) ( p r i, x(p)) joukko { / x i p } on avaruuden T p M kanta. korollaari Proposition 2.14 seurauksena nähdään, että 1 dim M = dim T p M jokaisella p M ja 2 jos M ja N ovat diffeomorfisia, niin dim M = dim N. Todistus 1 Kantavektoreita on sama lukumäärä kuin koordinaattifunktioita. 2 Proposition 2.13 mukaan kuvauksen ϕ M N diffeomorfisuudesta seuraa tangenttiavaruuksien isomorfisuus, ja isomorfisuudella on välttämättömänä ehtona dim T p M = dim T ϕ(p) N. Avaruuden R n jokainen vektori v R n määrää pisteeseen a R n tangenttivektorin D v T a R n kaavalla f (a + tv) f (a) D v ( f ) = lim. t 0 t Koska f on sileä, on olemassa lineaarikuvaus T R n R, jolla T (v) = D v ( f ), ja näin ollen kuvaus v D v on myös lineaarinen. Koordinaateissa esitettynä kyseinen kuvaus on selvästi v i e i v i r i. (2.1) a 14

27 Koordinaattimuodon perusteella on selvää, että kyseessä on isomorfismi. Etsitään seuraavaksi koordinaattiesitys kuvauksen ϕ M N derivaatalle. Olkoon (U, x) pisteen p M sisältävä kartta ja (V, y) pisteen ϕ (p) N sisältävä kartta. Nyt joukot { x j p} ja y i ϕ(p) ovat vektoriavaruuksien T p M ja T ϕ(p) N kantoja, ja näin ollen on olemassa kertoimet A i j, joilla T p ϕ ( x j p) = A i j y i. ϕ(p) Operoimalla molemmilla puolilla koordinaattifunktioon y k saadaan missä ϕ k = y k ϕ, ja Nähdään siis, että (T p ϕ ( x j )) y k = p x j (y k ϕ) = ϕk p x j (p), A i j y k y i = A i j δk i = A k j. p A k j = ϕk x j (p) = r j (y k ϕ x 1 ). x(p) 2.4 Euklidisen avaruuden alimonistot Joukko M R n on m-ulotteinen alimonisto, jos jokaisella joukon M pisteellä on avoin ympäristö U R n, avoin joukko V R n ja diffeomorfismi x U V, jolla x (U M) = {a V a i = 0 jokaisella i > m}. Ehto voidaan kirjoitaa myös muodossa x (U M) = V (R m {0}), joten x (U M) on avoin avaruudessa R m. Alimonistolle saadaan sileän moniston rakenne, kun atlas muodostetaan kartoista (U M, x 1,..., x m ). Sileän rakenteen indusoima topologia on tällöin sama kuin M:n aliavaruustopologia. 15

28 Tyypillisesti alimonisto saadaan alkukuvana M = f 1 ({0}) = {a R n f (a) = 0}, missä f R n R k on sileä kuvaus ja n > k. Esimerkiksi tasossa liikkuvan jäykkävartisen heilurin konfiguraatioavaruus voidaan samaistaa yksikköympyrän S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1 = 0} kanssa. Seuraava lause antaa riittävän ehdon sille, että tällaiselle konfiguraatioavaruudelle saadaan sileän moniston rakenne: lause Olkoon f R n R k sileä kuvaus ja M = f 1 ({0}). Jos kuvauksen f derivaatta on täysiasteinen, eli rk T p f = k, jokaisessa pisteessä p M, niin M on n k -ulotteinen alimonisto. Todistus. Merkitään m = n k, ja esitetään R n :n pisteet pareina (a, b), joissa a R m ja b R k. Olkoon p M. Valitaan muuttujien järjestystä vaihtava kuvaus h Aut (R n ) siten, että kuvauksen f h derivaatta pisteessä h 1 (p) voidaan esittää muodossa T (a, b) = T 1 (a) + T 2 (b), missä T 2 Aut (R k ). Näin voidaan tehdä aina, kun p M, sillä oletuksen mukaan tällöin rk T = k. Määritellään kuvaus g R n R n säännöllä g (a, b) = (a, f h (a, b)). Olkoon J R n n kuvauksen g Jacobin matriisi pisteessä h 1 (p). Merkitään lisäksi kuvauksien T 1 ja T 2 matriisiesityksia A R k m ja B R k k, jolloin saadaan det (J) = det I 0 = det (B) 0. A B Käänteiskuvauslauseen perusteella pisteelle h 1 (p) voidaan valita avoin ympäristö V R n siten, että g V V g (V) on diffeomorfismi. Tällöin x = g h 1 on diffeomorfismi pisteen p M avoimessa ympäristössä U = h (V). Lisäksi selvästi x (q) = (h 1 (q), f (q)) = (q i 1,..., q im, 0,..., 0) jokaisella q U M, ja näin ollen x U x (U) on alimoniston määritelmässä esitetyn ehdon täyttävä diffeomorfismi. 16

29 3 Vektorikentät ja virtaukset 3.1 Tangenttikimppu Liittämällä moniston M tangenttiavaruudet yhteen saadaan tangenttikimppu TM = T p M. p M Unioni on pistevieras, sillä T p M T q M =, kun p q. Olkoon (U, x) on moniston kartta ja p U. Avoimen alimoniston U tangenttikimppu on TU = T p U = T p M, p U p U sillä T p M = T p U, kun p U. Tangenttikimpun TU jäsenille v p = v i x i p saadaan kartan (U, x) indusoima kartta x TU x (U) R n kaavalla x (v p ) = (x 1 (p),..., x n (p), v 1,..., v n ) R 2n. Näin ollen jokainen moniston M kartta (U, x) määrää tangenttikimpulle kartan (TU, x). Päällekkäisten karttojen (TU, x) ja (TV, ỹ) välinen transitiokuvaus ỹ x 1 R 2n R 2n on (x (p), v i e i ) (y (p), v j yi x j (p) e i). Koska funktiot y i / x j ovat sileitä, myös transitiokuvaukset ovat sileitä. Näin ollen moniston M atlas määrää tangenttikimpulle kanonisen atlaan. Lähteessä (Tu 2011, s ) on osoitettu, että tämä atlas antaa tangenttikimpulle sileän moniston rakenteen. Tangenttikimpun kanoninen projektio π TM M määritellään kaavalla π (v p ) = p, kun v p T p M. Projektio on selvästi sileä kuvaus tangenttikimpun sileän rakenteen suhteen. 17

30 Sileän kuvauksen ϕ M N derivaatoista T p ϕ T p M T ϕ(p) N voidaan koota tangenttikuvaus Tϕ TM TN. Tangenttikuvaus toteuttaa yhtälön π 2 Tϕ = ϕ π 1, eli toisin sanoen kuvan 3.1 kaavio kommutoi. TM Tϕ TN π 1 π 2 M ϕ N Kuva 3.1. Tangenttikuvaus. Koordinaattiesityksen Tϕ ( v i ) = v x i p i ϕ j x i (p) y j ϕ(p) perusteella nähdään, että Tϕ on sileä kuvaus, sillä funktiot ϕ j / x i ovat sileitä. Tangenttikuvauksien avulla ilmaistuna ketjusäännölle saadaan elegantti muoto T(ψ ϕ) = Tψ Tϕ. Ketjusäännön perusteella nähdään, että jos ϕ M N on diffeomorfismi, niin myös Tϕ TM TN on diffeomorfismi ja (Tϕ) 1 = T(ϕ 1 ). 3.2 Vektorikentät Vektorikenttä monistolla M on kuvaus v M TM, jolle π v = id M. Vektorikenttä v määrää siis jokaiselle p M tangenttivektorin v p T p M. Vektorikenttien joukolle saadaan reaalisen vektoriavaruuden rakenne, kun laskutoimitukset määritellään pisteittäin kaavoilla (u + v) p = u p + v p ja (av) p = av p, a R. Lisäksi funktion f M R avulla voidaan määritellä vektorikenttä f v kaavalla ( f v) p = f (p) v p. Kartan (U, x) alueella vektorikenttä / x i määritellään asettamalla p x i. p 18

31 Koordinaattiympäristön U sisällä jokainen vektorikenttä voidaan kirjoittaa muodossa v = v i x i, missä vi (p) = v p (x i ). Vektorikentän v avulla voidaan määritellä sileän funktion Lien derivaatta L v f asettamalla (L v f ) (p) = v p ( f ). Algebran F (M) derivaatio on R-lineaarikuvaus D F (M) F (M), joka toteuttaa Leibnizin säännön D ( f g) = D ( f ) g + f D (g). Jos L v f on sileä funktio jokaisella f F (M), niin selvästi L v on derivaatio. propositio 3.1. Seuraavat ominaisuudet ovat ekvivalentteja: 1 Vektorikenttä v M TM on sileä kuvaus. 2 On olemassa atlas, jonka jokaisella kartalla (U, x) vektorikentän komponenttifunktiot v i ovat sileitä. v = v i x i 3 Funktio L v f on sileä jokaisella f F (M). Todistus (Tu 2011, s ). Todistetaan ensin, että (1) (2). Jos v on sileä, se on sileä jokaisella kartalla. Tällöin mielivaltaisella kartalla (U, x) määritelty kuvaus x v x 1 x (U) R 2n on sileä. Kuvaus x v x 1 on komponenteissa esitettynä (x 1 (p),..., x n (p)) (x 1 (p),..., x n (p), v 1 (p),..., v n (p)), joten jokaisen funktion v i täytyy olla sileä koordinaattiympäristössä U. Implikaatio suuntaan (2) (1) saadaan seuraavasti: Jos funktiot v i ovat sileitä, niin kuvaus x v x 1 on sileä. Jos tämä pätee jokaisella kartalla, niin kuvaus v M TM on sileä. Todistetaan sitten, että (2) (3). Olkoot komponenttifunktiot v i sileitä kartalla (U, x). Mielivaltaisella sileällä funktiolla f F (M) saadaan Funktio f / x i on sileä, sillä L v f = v i f x i. f x i x 1 = ( f x 1 ) r i 19

32 on sileä joukossa x (U). Näin ollen L v f on sileä joukossa U. Koska atlaan kartat peittävät koko moniston, nähdään, että L v f F (M). Osoitetaan vielä implikaatio (3) (2). Oletetaan, että L v f on sileä jokaisella f F (M). Valitaan avoin joukko V, jonka sulkeuma kuuluu joukkoon U. Valitsemalla sopiva testifunktio ρ kartan (U, x) koordinaattifunktiot voidaan laajentaa koko monistolla määritellyiksi sileiksi funktioiksi ˆx i = ρx i siten, että ˆx i V = x i V. Nyt oletuksen mukaan L v ˆx i on sileä, ja (L v ˆx i ) (p) = v p (ˆx i ) = v p (x i ) = v i (p), kun p V. Näin ollen v i on sileä joukossa V, ja koska V voidaan valita vapaasti, nähdään, että v i F (U). Sileyskriteereistä nähdään helposti, että sileiden vektorikenttien lineaarikombinaatiot ovat myös sileitä vektorikenttiä. Sileiden vektorikenttien vektoriavaruutta merkitään X (M). Lisäksi havaitaan, että f v on sileä jokaisella f F (M) ja v X (M), ja näin ollen X (M) on F (M)-moduli. Proposition 3.1 perusteella nähdään, että jos v on sileä vektorikenttä, niin L v on algebran F (M) derivaatio. Toisaalta jokainen derivaatio D määrää sileän vektorikentän kaavalla v p ( f ) = (D f ) (p). Vektorikenttä v X (M) voidaan siis samaistaa derivaation L v kanssa. Notaation keventämiseksi käytetään merkintää v ( f ) = L v f. 3.3 Virtaukset Vektorikentän voidaan tulkita kuvaavan moniston pisteiden infinitesimaalista siirtymää. Kuvaus, joka siirtää moniston pisteitä vektorikentän suuntaisesti, tunnetaan virtauksena. määritelmä 3.2. Virtaus monistolla M on C -kuvaus ϕ R M M, joka toteuttaa seuraavat ehdot: 1 ϕ (t 1 + t 2, p) = ϕ (t 1, ϕ (t 2, p)) jokaisella t 1, t 2 R ja p M. 2 ϕ (0, p) = p jokaisella p M. Valitsemalla kiinteä t R virtaus ϕ määrää sileän kuvauksen ϕ t (p) = ϕ (t, p) monistolta M itselleen. Tällöin virtauksen ensimmäinen ominaisuus voidaan kirjoittaa muodossa ϕ t 1 ϕ t 2 = ϕ t 1+t 2. Kuvaus ϕ t on bijektiivinen jokaisella t R, sillä ϕ t ϕ t = ϕ t ϕ t = ϕ 0 = id M, 20

33 ja näin ollen (ϕ t ) 1 = ϕ t. Lisäksi virtauksen määritelmän mukaan sekä ϕ t että ϕ t ovat C, ja näin ollen ϕ t on diffeomorfismi. Täten virtaus voidaan tulkita ryhmähomomorfismiksi (R, +) Diff (M) t ϕ t. Toisin sanoen, virtaus kuvaa reaaliluvun t moniston diffeomorfismiksi ϕ t siten, että arvojoukko muodostaa diffeomorfismiryhmän aliryhmän. Tällainen aliryhmä {ϕ t t R} Diff (M) tunnetaan nimellä yksiparametrinen diffeomorfismiryhmä. Sileä käyrä monistolla M on C -kuvaus c I M, missä I R on avoin väli. Käyrällä c on tangenttikuvaus Tc TI TM, jota käyttäen voidaan määritellään käyrän nopeusvektori c (t 0 ) = Tc ( d dt t 0 ), missä t 0 I ja t on R:n kanoninen koordinaattifunktio. Nopeusvektorin arvo funktiolla f F (M) on siis c (t 0 ) ( f ) = d dt t 0 ( f c). Olkoon (U, x) moniston M kartta, jolla c (t 0 ) U. Nopeusvektorille saadaan koordinaattiesitys missä c i = x i c. c (t 0 ) = T t0 c ( d dt ) = dci t 0 dt (t 0) x i, c(t 0 ) Olkoon v sileä vektorikenttä monistolla M. Sileä käyrä c I M on vektorikentän v integraalikäyrä, jos c (t) = v c(t) jokaisella t I. Integraalikäyrän sanotaan alkavan pisteestä p M, jos c (0) = p. Integraalikäyrä on maksimaalinen, jos sitä ei voida laajentaa suuremmalle määrittelyjoukolle. Jotta c olisi vektorikentän v integraalikäyrä, sen tulee toteuttaa lokaalisti kartalla (U, x) differentiaaliyhtälöryhmä dc i dt = vi c, i {1,..., n}, 21

34 missä c i = x i c ja v i = v (x i ). Olkoon D R M avoin joukko, jolla reaalilukujen osajoukko D p = {t R (t, p) D} on nollan sisältävä avoin väli jokaisella p M. Lokaali virtaus on sileä kuvaus ϕ D M, joka toteuttaa virtauksen määritelmän ehdon 2 jokaisella p M, ja ehdon 1 jokaisella p M, t 1 D ϕ(t2,p) ja t 2 D p, joilla t 1 + t 2 D p. Toisin sanoen, lokaali virtaus on kuin virtaus, mutta sen määrittelyjoukkoa on rajoitettu. Tämän korostamiseksi virtausta kutsutaan myös globaaliksi virtaukseksi. Jos D = R M, lokaali virtaus on luonnollisesti myös globaali virtaus. Lokaali virtaus ϕ D M määrää jokaiselle pisteelle p M sileän käyrän ϕ p D p M, kun asetetaan ϕ p (t) = ϕ (t, p). Lokaalin virtauksen nopeuskenttä on vektorikenttä v, joka määritellään pisteittäin kaavalla v p = ϕ p (0). Nopeuskenttä on sileä, sillä se saa sileällä funktiolla f F (M) arvon v ( f ) = d dt ( f ϕ p ) = t=0 t f ϕ (0,p) ja f ϕ D R on sileä. propositio 3.3. Lokaali virtaus ϕ D M ja sen nopeuskenttä v toteuttavat yhtälön ϕ p (t) = v ϕp (t) jokaisella p M ja t D p, eli käyrät ϕ p ovat vektorikentän v integraalikäyriä. Todistus (Lee 2013, s. 210). Olkoon p M, t 0 D p ja q = ϕ p (t 0 ), jolloin ϕ q (t 1 ) = ϕ t 1 (q) = ϕ t 1 ϕ t 0 (p) = ϕ t 1+t 0 (p) = ϕ p (t 1 + t 0 ) jokaisella t 1 D q. Näin ollen havaitaan, että v ϕp (t 0 ) ( f ) = v q ( f ) = ϕ q (0) ( f ) = d dt ( f ϕ q ) = d t=0 dt ( f ϕ p ) = ϕ p (t 0 ) ( f ). t=t 0 Differentiaaliyhtälöiden olemassaolo-, yksikäsitteisyys- ja sileä riippuvuus alkuarvoista -lauseiden avulla saadaan seuraava tulos: 22

35 lause 3.4. Olkoon v X (M). On olemassa yksikäsitteinen lokaali virtaus ϕ D M, jolla on seuraavat ominaisuudet: 1 Vektorikenttä v on ϕ:n nopeuskenttä. 2 Jokainen käyrä ϕ p D p M on vektorikentän v maksimaalinen pisteestä p alkava integraalikäyrä. 3 Jos t 0 D p, niin D ϕ(t0,p) = {t t 0 t D p }. Todistus. Katso (Lee 2013, s ). Jokaisella sileällä vektorikentällä on siis lokaali virtaus muttei välttämättä globaalia virtausta. Vektorikentän, joka on jonkin globaalin virtauksen nopeuskenttä, sanotaan olevan täydellinen. 3.4 Lien algebra Sileiden vektorikenttien u, v X (M) kompositiona saadaan kuvaus L u L v F (M) F (M). Operaattori L u L v ei kuitenkaan toteuta Leibnizin sääntöä, sillä L u L v ( f g) = L u (gl v f + f L v g) = g (L u L v f ) + f (L u L v g) + (L u f ) (L v g) + (L v f ) (L u g), eli L u L v ei ole derivaatio. Sen sijaan kommutaattorin L u L v L v L u tapauksessa kaksi viimeistä termiä katoavat, joten tuloksena saadaan derivaatio. määritelmä 3.5. Lien algebra on reaalinen vektoriavaruus, jolle on määritelty Lien sulkeiksi kutsuttu binäärioperaatio V V V (u, v) [u, v]. Lien sulkeilla tulee olla seuraavat ominaisuudet: 1 Bilineaarisuus: jokaisella u, v, w V ja a, b R toteutuu [au + bv, w] = a [u, w] + b [v, w] ja [u, av + bw] = a [u, v] + b [u, w]. 2 Antikommutatiivisuus: [u, v] = [v, u] jokaisella u, v V. 3 Jacobin identiteetti: jokaisella u, v, w V toteutuu [[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0. Lien sulkeiden antikommutatiivisuudesta nähdään helposti, että [v, v] = 0 23

36 jokaisella v V. propositio 3.6. Sileiden vektorikenttien avaruus X (M) on Lien algebra, kun sulkeet määritellään siten, että vektorikentän [u, v] määräämä derivaatio on L [u,v] = L u L v L v L u. Todistus. Identifikaatiota v ( f ) = L v f käyttäen voidaan kirjoittaa [u, v] = uv vu. Kommutaattori on selvästi antikommutatiivinen. Myös lineaarisuus ensimmäisen argumentin suhteen toteutuu, sillä L u+v f = L u f + L v f ja näin ollen [au + bv, w] = (au + bv) w w (au + bv) = auw + bvw awu bwv = a (uw wu) + b (vw wv) = a [u, w] + b [v, w]. Lineaarisuus toisen argumentin suhteen seuraa antikommutatiivisuudesta. Jacobin identiteetin ensimmäiselle termille saadaan [[u, v], w] = [uv, w] [vu, w] = uvw wuv vuw + wvu. Vastaavasti muutkin termit koostuvat alkioiden u, v ja w permutaatioista etumerkin vaihdellessa. Laskemalla kaikki 12 termiä yhteen permutaatiot kumoutuvat pareittain, ja Jacobin identiteetti toteutuu. Diffeomorfismin ϕ M N avulla määritellään vektorikentän v X (M) pushforward ϕ v X (N) kaavalla (ϕ v) q = Tϕ (v ϕ 1 (q) ). Diffeomorfismi ϕ määrää siis R-lineaarikuvauksen ϕ X (M) X (N). lemma 3.7. Olkoon ϕ M N diffeomorfismi. Vektorikenttä ˆv X (N) on kentän v X (M) pushforward, jos ja vain jos (Lˆv f ) ϕ = L v ( f ϕ) (3.1) jokaisella f F (N). Todistus. Valitaan mielivaltainen p M ja f F (N), ja oletetaan, että ˆv = ϕ v. 24

37 Tällöin saadaan L v ( f ϕ) (p) = v p ( f ϕ) = Tϕ (v p ) ( f ) = (ϕ v) ϕ(p) ( f ) = (L ϕ v f ) ϕ (p) = (Lˆv f ) ϕ (p). Toisaalta jos (3.1) pätee jokaisella f F (N), niin jokaisella q N saadaan ˆv q ( f ) = v ϕ 1 (q) ( f ϕ) = Tϕ (v ϕ 1 (q) ) ( f ) = (ϕ v) q f, ja näin ollen ˆv = ϕ v. Osoittautuu, että diffeomorfismit säilyttävät vektorikenttien Lien algebran rakenteen. propositio 3.8. Olkoon ϕ M N diffeomorfismi ja u, v X (M). Tällöin ϕ [u, v] = [ϕ u, ϕ v]. Todistus (Tu 2011, s. 160). Merkitään û = ϕ u ja ˆv = ϕ v. Kun yhtälöä (3.1) sovelletaan muutamia kertoja peräkkäin, saadaan [u, v] ( f ϕ) = L u L v ( f ϕ) L v L u ( f ϕ) = L u ((Lˆv f ) ϕ) L v ((Lû f ) ϕ) = (LûLˆv f ) ϕ (Lˆv Lû f ) ϕ = (LûLˆv f LûLˆv f ) ϕ = ([û, ˆv] f ) ϕ. Lemman 3.7 perusteella nähdään, että ϕ [u, v] = [ϕ u, ϕ v]. 25

38 26

39 4 Differentiaalimuodot 4.1 Tensorit ja multikovektorit Vektoriavaruuden V kopioista muodostavaa k-kertaista karteesista tuloa merkitään V k = V V. Kuvaus f V k R on multilineaarinen, jos se on lineaarinen jokaisen argumenttinsa suhteen. Tällaisia multilineaarikuvauksia kutsutaan k-tensoreiksi, ja niiden muodostamaa vektoriavaruutta merkitään V V, k kpl Olkoon f asteen k tensori ja g asteen l tensori. Tensorien f ja g tensoritulo on k + l-tensori f g, joka määritellään säännöllä f g (v 1,..., v k+l ) = f (v 1,..., v k ) g (v k+1,..., v k+l ), v i V. Esimerkiksi kovektorien ω, η V tensoritulona saadaan 2-tensori eli bilineaarimuoto ω η V V R. Asetetaan äärellisulotteiselle avaruudelle V kanta {e 1,..., e n }, ja merkitään sen duaalikantaa {є 1,..., є n }. Mielivaltaisen k-tensorin arvo vektoreilla v 1,..., v k V saa muodon f (v 1,..., v k ) = v i 1 1 vi k k f (e i1,..., e ik ) = f i1 i k v i 1 1 vi k k = f i1 i k є i 1 є i k (v 1,..., v k ), missä v i j = єi (v j ) ja f i1 i k = f (e i1,..., e ik ). Tämän perusteella on selvää, että jokainen k-tensori voidaan esittää muodossa f = f i1 i k є i 1 є i k. Lisäksi f = 0, jos ja vain jos f i1 i k = 0, ja näin ollen tensorit є i 1 є i k muodostavat k-tensorien vektoriavaruuden kannan. Permutaatio joukolla I = {i 1,..., i n } on bijektio σ I I, joka voidaan tulkita 27

40 järjestetyn n-monikon (i 1,..., i n ) uudelleenjärjestykseksi (i 1,..., i n ) (σ (i 1 ),..., σ (i n )). Permutaatioita on käsitelty tarkemmin esimerkiksi lähteessä (Tu 2011, s ), josta on löydettävissä myös alla esitettyjen tulosten todistukset. Permutaatio, joka vaihtaa kaksi alkiota keskenään ja säilyttää muut, on 2- sykli. Keskeistä on, että jokainen permutaatio voidaan esittää 2-syklien yhdistelmänä. Permutaation merkki sgn (σ) on +1, jos 2-syklihajotelmassa on parillinen määrä syklejä, ja 1, jos 2-syklejä on pariton määrä. Helposti havaitaan, että jos σ ja τ ovat saman joukon permutaatioita, niin sgn (στ) = sgn (σ) sgn (τ). Olkoon S k joukon {1,..., k} kaikista permutaatioista koostuva ryhmä. Permutaation σ S k toiminta k-tensorilla f määritellään kaavalla σ ( f ) (v 1,..., v k ) = f (v σ(1),..., v σ(k) ). Nyt voidaan määritellä, että k-tensori f on symmetrinen, jos ja antisymmetrinen, jos σ ( f ) = f jokaisella σ S k, σ ( f ) = sgn (σ) f jokaisella σ S k. Näin ollen tensori on symmetrinen, jos sen arvo ei muutu, kun kaksi sen argumenttia vaihdetaan keskenään, ja antisymmetrinen, jos se vaihtaa merkkiä kyseisessä toimenpiteessä. Lisäksi jos k-tensori f on antisymmetrinen, niin f (..., v,..., v,...) = 0 jokaisella v V. Mielivaltainen k-tensori f voidaan pakottaa antisymmetriseksi operaattorilla Alt ( f ) = 1 k! σ S k sgn (σ) σ ( f ). Antisymmetrisiä k-tensoreita kutsutaan k-kovektoreiksi tai yleisemmin multikovektoreiksi, ja niiden joukkoa merkitään Λ k (V ). Skalaarit määritellään 0-kovektoreiksi. Joukko Λ k (V ) on suljettu skalaarikertolaskun ja tensorien yhteenlaskun suhteen, joten k-kovektorit muodostavat k-tensorien aliavaruuden. propositio 4.1. Olkoon ω Λ k (V ). Jos joukko {v 1,..., v k } on lineaarisesti riippuva, niin ω (v 1,..., v k ) = 0. 28

41 Todistus. Yleisyyttä loukkaamatta voidaan olettaa, että vektori v 1 voidaan esittää muodossa v 1 = k i=2 Tällöin lineaarisuuden perusteella a i v i, a i R. ω (v 1,..., v k ) = ω ( a i v i,..., v k ) = k i=2 k i=2 a i ω (v i,..., v k ). Nyt antisymmetrisyydestä seuraa, että summan jokaisella termillä pätee a i ω (v i,..., v i,..., v k ) = 0, ja näin ollen ω (v 1,..., v k ) = 0. Edellisen proposition perusteella havaitaan, että n-ulotteisella vektoriavaruudella jokainen asteen k > n multikovektori on nolla-arvoinen, sillä dimension määritelmän mukaan jokainen vektorijoukko {v 1,..., v k } on tällöin lineaarisesti riippuva. Multikovektorien ω Λ k (V ) ja η Λ l (V ) ulkotulo määritellään kaavalla ω η = (k + l)! Alt (ω η). k!l! Esimerkiksi kahden kovektorin ω, η V ulkotulo on ω η (u, v) = ω (u) η (v) ω (v) η (u), ja koska ω η (v, u) = η ω (u, v), saadaan ω η = ω η η ω. Skalaarin eli 0-kovektorin a R tapauksella määritellään a ω = aω. Eri asteisten multikovektorien avaruuksien suorana summana saadaan ulkoalgebra Λ (V ) = Λ 0 (V ) Λ n (V ). Seuraava propositio käsittelee ulkotulon algebrallisia ominaisuuksia. Väitteiden todistukset ovat luonteeltaan teknisiä ja koostuvat pääosin permutaatioiden manipuloinnista, joten ne sivuutetaan. propositio 4.2. Ulkoalgeralla Λ (V ) on seuraavat ominaisuudet: 1 Ulkotulolla varustettuna Λ (V ) on assosiatiivinen algebra. Erityisesti (ω η) µ = ω (η µ) 29