Kuva : Etäisestä yrskystä tulee 00 etrisiä sekä 20 etrisiä aaltoja kohti rantaa. Myrskyn etäisyys Kuvan ukaisesti yrskystä tulee ensin pitkiä sataetrisiä aaltoja, joiden nopeus on v 00. 0 tuntia yöhein saapuvat 20-etriset aallot. Tiedäe jo, että pitkien aaltojen nopeus riippuu aallonpituudesta v λ = C gλ, () issä C on diensioton vakio (ei siis riipu aallonpituudesta). Saae siis v 20 = C g 20 (2) v 00 = g 20 (3) g 00 = v 00 20 00. (4) Kun v 00 6.2 /s, saadaan 20-etristen aaltojen nopeudeksi v 20 2.8 /s. Sataetriset aallot taittavat atkan d ajassa t 00 = d/v 00. Saaan atkaan enee 20-etrisiltä aalloilta aika t 20 = d/v 20. Koska 20-etriset aallot tulevat δt = 0 h yöhein, pätee ajoille relaatio Etäisyys d voidaan ratkaista vaikka näin t 20 = t 00 + δt. (5) d = t 20 v 20 (6) = (t 00 + δt ) v 20 (7) ( ) d = + δt v 20, (8) v 00 jolloin saadaan ( d v ) 20 = δt v 20, (9) v 00
eli d = δt v ( 20 ) (0) v20 v 00 Kun sijoitetaan yo. lukuarvot, saadaan d 200 k = δt v 00v 20 v 00 v 20. () 2
Stefan-Boltzannin laki ustan kappaleen säteilylle Ratkaistaan diensioanalyysillä. Oleelliset uuttujat ja luonnonvakiot ovat Säteilyn intensiteetti I Kappaleen läpötila T Planckin vakio h valonnopeus c Boltzannin vakio k B Näiden diensiot ovat [I] = [W/ 2 ] = M t 3 [T ] = T [h] = [Js] = ML2 t [c] = L t [k B ] = [J/K] = ML2 T t, 2 issä T on läpötilan diensio, t ajan diensio, L pituuden diensio ja M assan diensio. 0. Nopea ratkaisu Tää tehtävä ratkeaa helposti, sillä yo. paraetreilla on vain yksi diensioton yhdistelä. Haluae siis kertoiet α i s.e. [I α T α2 h α3 c α4 k α5 B ] =. () Lyhyt tarkastelu tuottaa: α =, α 2 = 4, α 3 = 3, α 4 = 2, α 5 = 4. Eli Ic 2 h 3 4 = C, (2) (k B T ) issä C on jokin diensioton vakio. Ratkaistaan vielä intensiteetti: I = C (k BT ) 4 c 2 h 3 = I(T ), (3) joka on vakiokertoien arvoa vaille Stefan-Boltzannin laki. Täydellinen laki on eli eo. kerroin C 4. I(T ) = 2π5 5 (k B T ) 4 c 2 h 3, (4) 0.2 Huolellisepi ratkaisu Tarvitsee ittakaavat pituudelle, ajalle, assalle sekä läpötilalle. Valitaan esierkiksi Läpötilan ittakaava ˆT = T Ajan ittakaava ˆt = h/(k B T ) Pituuden ittakaava ˆL = cˆt = ch/(k B T ) Massan ittakaava ˆM = Iˆt 3 = I [h/(k B T )] 3. Nyt esitetään kaikki suureet diensiottoassa uodossa, käyttäen eo. ittakaavoja.
Ĩ = I ˆt 3ˆM =. T = T ˆT =. h = h ˆt ˆM ˆL 2 = h ˆt Iˆt 3 (cˆt) 2 = h Ic 2 [h/(k BT )] 4 = (kbt )4 Ic 2 h 3. c = c ˆṱ = c ˆt =. L cˆt k ˆT ˆt B = k 2 B ˆM ˆL = k 2 B T 2 ˆMc 2ˆt = k 2 B T T (k Ic 2ˆt = k BT ) 3 (kbt )4 3 B Ic 2 h = 3 Ic 2 h. 3 Mutta yo. viidestä diensiottoasta uuttujasta vain kaksi on oikeasti uuttujia h ja k B, sillä loput ovat vakioita. Ja nuokin kaksi uuttujaa ovat saat. Voie siis kirjoittaa yleisen lain esierkiksi diensiottoalle uuttujalle h (kannattaa valita se, sillä se sisältää haluaae suureen I) h = F (Ĩ, T, c) = F (,, ). (5) Koska funktion F paraetrit ovat kaikki vakioita, niin on koko funktion arvokin siis vakio, eli F (,, ) = C jollekin diensiottoalle vakiolle C. Huoaa, että diensioton uuttuja k B puuttuu ielivaltaisesta funktiosta F, sillä ko. uuttuja ääräytyy suoraan uuttujasta h. Lopputuleana saae siis: eli h = (k BT ) 4 Ic 2 = C, (6) h3 I = C c2 h 3 (k B T ) 4. (7) 2
Auringon läpötila Stefan-Boltzannin laki liittää ustan kappaleen läpötilan T siitä lähtevän läpösäteilyn kokonaisintensiteettiin I: I(T ) = 2π5 (k B T ) 4 5 c 2 h 3. () Auringon kokonaissäteilyteho P voidaan laskea aapallolle saapuvasta intensiteetistä I aa. Olettaen intensiteetin olevan saa kaikissa suunnissa on aapallon etäisyydellä auringosta tuleva kokonaissäteilyteho issä R on auringon ja aan etäisyys. P = 4πR 2 I aa, (2) Toisaalta kaikki tuo säteilyteho tulee auringon pinnalta tai ainakin sen läpi, joten säteilyintensiteetti auringon pinnalla on I aurinko = P 4πr 2, (3) issä r on auringon säde. Tää säteilyteho voidaan liittää auringon pinnan läpötilaan Stefan-Boltzannin lain avulla eli I aurinko = 2π5 5 (k B T aurinko ) 4 c 2 h 3, (4) T 4 aurinko = I aurinko 5 2π 5 c 2 h 3 (k B ) 4 (5) Sijoitetaan lukuarvot I aa = kw/ 2. c = 3.0 0 8 /s. h = 6.6 0 34 Js. k B =.4 0 23 J/K. R = AU =.5 0 (noin 9 valoinuuttia) r = 7 0 8 (noin 00 kertaa aan säde). = P 4πr 2 5 2π 5 c 2 h 3 (k B ) 4 (6) = 4πR2 I aa 5 c 2 h 3 4πr 2 2π 5 (k B ) 4 (7) ( ) 2 R 5 I aa c 2 h 3 = r 2π 5 (k B ) 4. (8) Saadaan T aurinko 5000 K. Tätä voi verrata Wikipedian arvoon 5800 K. Stefan- Boltzannin lain avulla voidaan arvioida yös uiden tähtien läpötiloja, tai tiedettäessä läpötila niiden kokoa. Englanninkielisessä wikipediassa on aiheesta itseasiassa erinoainen esitys https://en.wikipedia.org/wiki/stefan%e2%80% 93Boltzann_law#Exaples
Ballistinen heiluri 0. Diensioanalyyttinen ratkaisu Oleelliset suureet ovat siis luodin alkunopeus v heilahduskorkeus h langan pituus l luodin assa heilurin assa M heilahduskula θ putoaiskiihtyvyys g Välittöästi voidaan kuitenkin huoata, että heilahduskula, langan pituus sekä heilahduskorkeus eivät ole toisistaan riippuattoia suureita, vaan cos θ = l h l = h l. Jätetään heilahduskula pois tarkastelusta. Suureiden diensiot ovat [v] = L/t [h] = L [l] = L [] = M [M] = M [g] = L/t 2 issä L on pituuden diensio, M assan diensio ja t ajan diensio. Valitaan ittakaavat ˆL = h ˆM = ˆt = ˆL/v = h/v ja siis diensiottoat uuttujat ovat nyt ṽ = v ˆṱ = v h L vh =. l = l ˆL = l/h. = ˆM = / =. M = M ˆM = M/. h = h ˆL = h/h =. g = g ˆt 2ˆL = g h2 v 2 h = gh v 2. Näee siis, että diensiottoia uuttujia on kole M, l ja g, uiden ollessa vakioita. Voie kirjoittaa siis ballistista heiluria kuvaavan yleisen lain joka linkittää nää diensiottoat uuttujat toisiinsa. g = F ( M, l), () jossa siis funktio F on ielivaltainen funktio. Huoaa, että kannattaa kirjoittaa yo. yhtälö ikäänkuin ratkaisuksi diensiottoalle uuttujalle g, sillä se sisältää haluaae suureen eli auksen nopeuden v. Siirtyällä nyt takaisin alkuperäisiin diensiollisiin uuttujiin saadaan gh v 2 = F ( M, l), (2)
eli gh v =, (3) F ( M, l) jota voidaan toki hiean sieventää ääritteleällä uuden ielivaltaisen funktion f( M, l) = / F ( M, l: v = ghf( M, l ). (4) h Huoaa, että tää kertoo yleisen ratkaisun uodon, ja että alla oleva tarkka ratkaisu toteuttaa nienoaan tään diensioanalyyttisen uodon. Yleinen uoto on toisaalta oikein vaikka töräys olisikin elastinen, joskin funktion f uoto vain tällöin uuttuu. Alla olevasta tarkasta ratkaisusta nähdään yös, että vastaus ei riipukaan langan pituudesta l, jolloin funktio f ei voikaan riippua jälkiäisestä uuttujasta. Tällöin saadaan tulos yksinkertaistettua uotoon v = ghf( M ), (5) jolloin tunteaton funktio f riippuukin enää vain assojen suhteesta. 0.2 Tarkka ratkaisu täysin epäelastiselle töräykselle Tarvitsee: luodin assa, heilurin assa M, korkeus jolle heiluri heilahtaa h. Viieisen suureen saa ehkä käytännössä helpoin, jos tiedäe heilurin pituuden sekä heilahduskulan. Oleellista on, että luodin ja heilurin töräys ovat täysin epäelastiset, eikä liike-energia siis säily töräyksessä (vaan aiheuttaa esierkiksi uodonuutoksia sekä läpöä). Liikeäärä sen sijaan säilyy: v = v + Mv = ( + M)v (6), issä v on luodin nopeus ennen töräystä (joka halutaan tietää) ja v on luodin ja heilurin nopeus välittöästi sen jälkeen. Toisaalta, töräyksen jälkeen ekaaninen energia (liike-energia + potentiaalienergia) säilyy: Saae siis v = 2 ( + M)v 2 = ( + M)gh. (7) ( + M ) ( v = + M ) 2gh. (8) Lopputulosta on syytä hiean testata: rajalla M 0, saae v = 2gh, ikä vastaisi sitä, että apuisie vain suoraan ylöspäin. Kuulostaa järkevältä. Toisaalta, rajalla M on korkeuden h oltava 0, jotta yhtälö olisi järkevä. Sekin kuulostaa järkevältä, sillä jos heiluri on äärettöän painava, niin se ei luodista heilahdakaan. Huoaa yös ratkaisun oikea diensioanalyyttinen uoto. 2
Kuva : -assainen kappale törää M-assaiseen kappaleeseen nopeudella v. D töräys Valitaan kuvan ukaisesti suunta oikealle positiiviseksi. Alussa siis v > 0. Töräys on elastinen, eli kokonaisliike-energia säilyy 2 v2 = 2 v 2 + 2 Mν2, () issä v on -assaisen kappaleen loppunopeus ja ν on M-assaisen kappaleen loppunopeus. Loppunopeusten erkki (positiivinen tai negatiivinen) kertoo suuntautuuko kappale vasealle vaiko oikealle. Liikeäärä säilyy kaikissa töräyksissä: v = v + Mν. (2) Ratkaisealla yhtälöstä () haluttu M-assaisen kappaleen loppunopeus ν saadaan ν 2 = v2 v 2 M = M ( v 2 v 2). (3) Sijoittaalla yhtälöstä (2) ratkaistu nopeus v = v M ν saadaan ν 2 = [ v 2 (v M ) ] 2 M = [ v 2 v 2 + 2v M ( ) ] 2 M M ν ν 2 (4) (5) = 2vν M ν2 (6) eli [ + M ] ν 2 = 2vν (7) josta jakaalla nopeudella ν saadaan [ + M ] ν = 2v. (8) Lopputuleana saae siis ν = 2v + M. (9)
2.5 Final speed \nu/v 0.5 0 0 2 3 4 5 Mass ratio M/ Kuva 2: M-assaisen kappaleen loppunopeus ν assasuhteen M/ funktiona. M-assaisen kappaleen loppunopeus assasuhteen M/ funktiona on siis ( ) M ν = 2v + M. (0) Yhtälö (0) on piirretty kuvassa 2. Yhtälöstä ja kuvasta nähdään: rajalla M/ = 0 saadaan ν = 2v (ja v = v). rajalla M/ saadaan ν = 0 (ja v = v). rajalla M/ = saadaan ν = v (ja v = 0). Perustele itsellesi iksi näin pitää ollakin! 2