Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset 013 Tehtävie ratkaisuja 1. Todista, että jokaista positiiviste kokoaislukuje paria k ja kohdeoolemassak sellaista positiivista kokoaislukua m 1,m,..., m k,jotkaeivät välttämättä ole eri lukuja, että 1+ k 1 ) ) 1+ )1+ 1m1 1m 1+ 1mk. Ratkaisu. Osoitetaa väite todeksi iduktiolla k: suhtee. Kaikilla o 1+ 1 1 1+ 1. Tehdää sitte iduktio-oletus, joka mukaa tehtävässä olevayhtälö saadaa toteutumaa arvolla. Iduktioaskel k k + 1 tehdää eri tavoi se mukaa, oko parito vai parillie. Edellisessä tapauksessa +1 o kokoaisluku. Voidaa kirjoittaa 1+ k+1 1 +k+1 1 1+ 1 ) +1 + k 1 +1 +1) +k+1 1) ) +1 1+ 1 ) 1+ k 1 +1 1+ 1 ) 1. +1 Tulo jälkimmäie tekijä o iduktio-oletukse mukaa k: muotoa 1 + 1 oleva luvu a tekkijä, jote koko tulo o k + 1): samamuotoise luvu tulo. Jos o parillie, kirjoitetaa vastaavasti 1+ 1+ k+1 1 +k 1 1 +k+1 1) + k+1 ) + k+1 ) ) ) 1 1+ k 1) 1 1+ + k+1 + k+1 + k ) 1+ k 1 Johtopäätös o sama kui parittoma : tapauksessa. Väite o todistettu.. 407 taso pistee asetelmaa kutsutaa kolumbialaiseksi, jos se koostuu 013 puaisesta ja 014 siisestä pisteestä, joista mitkää kolme eivät ole samalla suoralla. Taso jaetaa useaksi alueeksi piirtämällä joukko suoria. Suorie joukko o suopea kolumbialaiselle asetelmalle, jos seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät:.
mikää suora ei kulje mikää asetelma pistee kautta; missää alueessa ei ole erivärisiä asetelma pisteitä. Etsi piei sellaie k, että jokaista 407 pistee kolumbialaista asetelmaa kohde o olemassa tälle asetelmalle suopea k: suora sijoittelu. Ratkaisu. Osoitetaa esi iduktiolla, että jos asetelmassa o parito määrä pisteitä + 1, ii :llä suoralla voidaa muodostaa suopea sijoittelu, riippumatta siitä, kuika suuri osuus pisteistä o siisiä. Jos 1,äi selvästi o. Oletaa, että jokaisee 1 pistee asetelmaa liittyy suopea 1: suora sijoittelu. Olkoo sitte asetelmassa + 1 pistettä. Tarkastellaa iide koveksia verhoa. [Se o piei moikulmio, joka sisältää kaikki pisteet. Äärellise pistejouko E koveksi verho voi ajatella sytyvä ii, että tarkastellaa esi jotaki mielivaltaista suoraa l, jokamäärittämistä puolitasoista toisee E kokoaa sisältyy. Kaikista l: suutaisista ja E: pisteide kautta kulkevista suorista jotki kaksi ovat sellaisia, että kaikki E: pisteet ovat joko suoralla tai toisessa suora määrittämistä puolitasoista. Jos suoralla o aiaki kaksi E: pistettä, äistä kaksiäärimmäistä ovat koveksi verho kärkipisteitä. Jos suoralla o vai yksi E: piste A, tarkastellaa A: ja E: muide pisteide kautta kulkevia suoria. Näistä jotki kaksi ovat sellaisia, että kaikki E: pisteet ovat joko suoralla tai kokoaa toisessa suora määrittämistä puolitasoista. A ja suoralla kauimpaa A:sta oleva E: piste ovat koveksi verho kärkiä.] Jos koveksi verho kärkipisteissä o kaksi vierekkäistä samaväristä, A ja B, o olemassa AB: suutaie suora l, joka toisella puolella ovat A ja B ja toisella puolella 1 asetelma pistettä. Iduktio-oletukse mukaa ämä voidaa jakaa 1:llä suoralla ii, että jokaalueessaovaiyhdevärisiä pisteitä. Pisteet A ja B ovat joko samassa tai eri alueissa; alueissa joissa e ovat, ei ole muita sijoittelu pisteitä, jote sijoittelu o suopea. Oletetaa sitte, että kaikki koveksi vierekkäiset kärkipisteet ovat erivärisiä. Valitaa iistä jällee kaksi A ja B. Iduktio-oletukse mukaa o olemassa 1:suorasuopea sijoittelu, joka jakaa loput 1 pistettä alueisii, joissa kussaki o vai yhdevärisiä asetelma pisteitä. Jos A ja B ovat samassa alueessa, ii tässä alueessa o vai joko A: tai B: värisiä asetelma pisteitä. Suora, joka erottaa erivärise pistee muista täydetää sijoittelu halutuksi. Jos A ja B ovat eri alueissa, ii AB: suutaie suora erottaa e muista asetelma pisteistä alueisii, joissa saotut pisteet ovat aluee aioat pisteet. Iduktioaskel o otettu. Tehtävä luvui 013 suoraa riittääaia. Osoitetaa vielä, että o tilateita, joissa tarvitaa 013 suoraa. Tarkastellaa 406 pistettäympyrä kehällä, vuorotelle siisiä ja puaisia ja yksi siie piste jossaki). Sijoittelussa,jokaosuopeatälle asetelmalle täytyy olla jokaista kahta vierekkäistä pistettä kohde suora, joka leikkaa pisteide välise jaa ja siis myös iide välise kaare. Suorie ja ympyrä leikkauspisteitä o oltava aiaki 406, ja koska suora leikkaa ympyrä eitää kahdessa pisteessä, suoria o oltava aiaki 013. 3. Kolmio ABC kärje A vastaie sivuympyrä sivutkoosivuabc pisteessä A 1.Määriteltäköö sivu CA piste B 1 ja sivu AB piste C 1 vastaavasti käyttämällä kärkie B ja C vastaisia sivuympyröitä. Oletetaa, että kolmio A 1 B 1 C 1 ympäri piirrety ympyrä keskipiste sijaitsee kolmio ABC ympäri piirretyllä ympyrällä. Todista, että kolmioabc o suorakulmaie.
Kolmio ABC kärje A vastaie sivuympyrä o ympyrä, joka sivuaa jaaa BC, puolisuoraa AB jaa AB jatkeella ja puolisuoraa AC jaa AC jatkeella. Kärkie B ja C vastaiset sivuympyrät määritellää vastaavasti. Ratkaisu. Olkoot kolmio ABC sivut a, b, c, kulmat α, β, γ, se sivuympyröide keskipisteet I a,i b,i c ja A,B,C ABC: sisäympyrä ja kolmio sivuje sivuamispisteet. Olkoo vielä B c piste, jossa I b -keskie sivuympyrä sivuaa puolisuoraa BA ja p a + b + c. Koska kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrä keskipiste o kolmio ulkopuolella, kolmio o tylppäkulmaie. Voidaa olettaa, että C 1 A 1 B 1 o tylppä. Kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrä keskipiste o silloi samalla kolmio ABC ympärysympyrä kaarella kui A. Olkoo M tämä kaare keskipiste. Osoitetaa, että M o kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrä keskipiste. O tuettua ja helppo todistaa) että pisteet A 1,B 1,C 1 ovat kolmio ABC piiri puolittajia, ts. AB + BA 1 AC + CA 1 je. Siis esimerkiksi BC 1 CB 1 p a. Koska M o kaare BAC keskipiste, M o jaa BC keskiormaalilla. Lisäksi MBC 1 MBA MCA MCB 1. Kolmiot MBC 1 ja MCB ovat yhteeviä sks), jote MB 1 MC 1. Koska kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrä keskipistee tiedetää oleva kaarella BAC, keskipiste o todellaki M. Koska BA 1 p c CA, kolmiot MBA 1 ja MCA ovat yhteeviä. Siis MA MA 1, jote piste A o kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrällä. Osoitetaa sitte, että myös piste B c o tällä ympyrällä. Osoitetaa esi, että M o jaalla I b I c.tämä tulee osoitetuksi, jos äytetää, että BAM ja BAI c ovat vieruskulmia. Todellaki: BAM BCM 1 β + γ) ja BAI b α + 1 β + γ), jote BAM + BAI b α + β + γ 180.Koska kulma ja se vieruskulma puolittajat ovat toisiaa vastaa kohtisuorassa, A, B, C ovat kolmio I a I b I c korkeusjaoje katapisteet. Kolmio ABC ympärysympyrä oäi olle kolmio I a I b I c yhdeksä pistee ympyrä, joka tuetusti kulkee sivuje keskipisteide kautta. M o siis jaa I b I c keskipiste. Koska I c C 1 AB I b B, M o suorie I c C 1 ja I b B c suuatisella suoralla, yhtä etäällä molemmista suorista. Mutta tämä merkitsee sitä, että M o jaa B c C 1 keskiormaalilla, jote MB c MC 1 A 1 B 1 C 1 : ympärysympyrä säde. Tarkastellaa yt pistee B potessia A 1 B 1 C 1 : ympärysympyrä suhtee. Pätee BA 1 BA BC 1 BB c. Nyt BA 1 p c ja tuetusti tai helposti todistettavasti) BA p b. Lisäksi BB c p. Siis p c)p b) pp a). Tämä yhtälö sieveee muotoo b + c a 0. Pythagoraa lausee kääteislausee perusteella kolmio ABC o siis suorakulmaie. 4. Olkoo ABC teräväkulmaie kolmio, joka korkeusjaoje leikkauspiste o H, ja olkoo W sivu BC piste, joka sijaitsee aidosti pisteide B ja C välissä. Pisteet M ja N olkoot kärjistä B ja C lähtevie korkeusjaoje kaat. Merkitää ω 1 :llä kolmio BWN ympäri piirrettyä ympyrää, ja olkoo X ympyrä ω 1 se piste, jolle WX o ympyrä ω 1 3
halkaisija. Merkitää ω :lla vastaavasti kolmio CWM ympäri piirrettyä ympyrää, ja olkoo Y se ympyrä ω piste, jolle WY o ympyrä ω halkaisija. Todista, että X, Y ja H ovat samalla suoralla. Ratkaisu. Olkoot kolmio ABC kulmat α, β, γ. Olkoo Z ympyröide ω 1 ja ω toie leikkauspiste. Koska WX ja WY ovat ω 1 : ja ω : halkaisijat, kulmat WZX ja WZY ovat suoria. X, Z ja Y ovat siis samalla suoralla. Jäeelikulmioista BWZN ja WCMZ saadaa kulmaksi NZM NBW+ WCM β+γ. Kulma NZM o siis kulma MAN α vieruskulma, jote Z o pisteide A, N, M kautta kulkevalla ympyrällä. Koska ANH ja AMH ovat suoria kulmia, myös H o tällä ympyrällä jaah o ympyrä halkaisija. Mutta silloi AZH o suora kulma. Osoitetaa vielä, että myös AZX o suora. Tämä seuraa kehäkulmalausee ja kulmie AHN ja ABC yhtäsuuruude vuoksi siitä, että AZX AZN + NZX AHN + XBN ABC + XBN XBW. Siis H o samalla suoralla kui Z, X, Y,javäite o todistettu. 5. Olkoo Q >0 positiiviste ratioaalilukuje joukko. Olkoo f : Q >0 R kuvaus, joka toteuttaa seuraavat kolme ehtoa: i) kaikilla x, y Q >0 pätee fx)fy) fxy); ii) kaikilla x, y Q >0 pätee fx + y) fx)+fy); iii) o olemassa ratioaaliluku a>1, jolle fa) a. Todista, että jokaisella x Q >0 pätee fx) x. Ratkaisu. Koska a fa) fa 1) fa)f1) af1), ii f1) 1. Tästä seuraa iduktiolla, että fk) k kaikilla positiivisilla kokoaisluvuilla k: josfk) k, ii fk +1) fk) +f1) k +1. Jos m ja ovat positiivisia kokoaislukuja, ii f)f m ). Tästä seuraa, että fx) > 0 kaikilla positiivi- m fm) f m ) silla ratioaaliluvuilla. Ehdosta ii) seuraa yt, että f o kasvava fuktio. Erityisesti a fa) fa ), ja iduktiolla ähdää, että yleisesti fa k ) a k. Samoi iduktiolla ähdää, että fka) kfa) kaikilla positiiviisilla kokoaisluvuilla k. Osoitetaa yt, että itse asiassa fka) ka kaikilla k. Todistetaa epäsuorasti: oletetaa, että jollai m o fma) ma t>0. Jos yt o sellaie kokoaisluku, että t > a, ii fma) fma) ma + t > ma + a. Koska a>1, o olemassa sellaie kokoaisluku p, että a p >m. Silloi a p+1 fa p+1 ) f a p a) f a p m)a + ma) f a p m)a)+fma) > a p m)a + ma + a a a p )+1), eli a p > a p +1. Tämä ei ole mahdollista, jote vastaoletus oli virheellie. Siis fka) ka kaikilla positiivisilla kokoaisluvuilla k. 4
Koska a o ratioaaliluku, a p joillai positiivisilla kokoaisluvuilla p ja q. Josk q, q ii fp) f k p ) fka) ka p. Toisaalta fp) pf). Siis f). q Koska, ii kui alussa huomautettii, f), ooltavaf) kaikilla positiivisilla kokoaisluvuilla. Oletetaa sitte, että jollai ratioaaliluvulla x olisi fx) x u>0. Jos o sellaie kokoaisluku, että x o kokoaisluku, o x fx) fx) > x + u. Ristiriita; siis maiitulaista ratioaalilukua x ei ole olemassa, jote fx) x kaikilla x. O vielä torjuttava mahdollisuus fy) <yjollai ratioaaliluvulla y. Jos o sellaie kokoaisluku, että y o kokoaisluku, ii y fy) f)fy) fy) < y. Ristiriita taas. Todistus o valmis. 6. Olkoo 3 kokoaisluku. Tarkastellaa ympyrää, jolle o merkitty +1 pistettä tasaisi välei. Tarkastellaa pisteide kaikkia mahdollisia imeämisiä luvuilla 0, 1,...,, missä kutaki lukua käytetää täsmällee kerra; tällaisia imeämisiä pidetää samoia, jos e voidaa saada toisistaa ympyrä kierrolla. Nimeämistä kutsutaa kauiiksi, jos a:ksi ja d:ksi imettyje pisteide välie jäe ei leikkaa b:ksi ja c:ksi imettyje pisteide välistä jäettä, ku eljälle imelle a<b<c<dpätee a + d b + c. Olkoo M kauiide imeämiste lukumäärä, ja olkoo N iide positiiviste kokoaislukuje järjestettyje parie x, y) lukumäärä, joille x + y ja s.y.t.x, y) 1.Todista, että M N +1. 5 Ratkaisu. Puhutaa imeämise sijaa umeroiista. Sellaisia lukupareja x, y), joilla s.y.t.x, y) 1jax + y o tasa yhtä mota kui sellaisia lukupareja z, y), missä 1 y<z. Väite tulee todistetuksi, ku osoitetaa, ettäyhtä lukuuottamatta jokaie kauis umeroiti vastaa yksikäsitteisesti tällaista lukuparia. Kostruoidaa siis jokaista paria z, y) kohde kauis umeroiti ja osoitetaa, että äi sytyvät kaikki kauiit umeroiit. Olkoo S {0, 1,,..., } ja olkoot pisteide umerot myötäpäivää a 0 0, a 1,..., a. Olkoo kaikilla k S fk) se yksikäsitteie luku, jolle a fk) k; saomme, että fk) ok: ideksi. Merkitä i j tarkoittaa samaa kui fi) <fj); tällöi siis i o ee j:tä. Numeroiti o kauis, jos ja vai jos aia ku a b c d, o a + d b + c. Huomataa, että josa 1 1, ii a j j kaikilla j. Ellei äi olisi, olisi i +1 i jollai i ja siis 0 1 i +1 i ja 0 + i +1)1+i. Oletetaa sitte, että a 1 1. Tehtävä väite tulee todistetuksi, ku osoitetaa, että kaikki muut kauiit umeroiit saadaa seuraavasti. Olkoo z, y) sellaie järjestetty lukupari, että1 y < z ja s.y.t.x, y) 1. Kaikilla i 0, 1,,..., z 1 asetetaa E i {k 0 k ja k yi mod z}. Tämä jälkee aetaa pisteille esi E 0 : umerot suuruusjärjestyksessä, sitte E 1 : je. Todetaa, että aiaa 0 0jaa 1 z. [Jos esimerkiksi y 3,z 5, 3,
umeroiti o 0, 5, 10, 15, 0, 3, 8, 13, 18, 3, 1, 6, 11, 16, 1, 4, 9, 14, 19,, 7, 1, 17,.] Osoitetaa, että äi sytyvät umeroiit ovat kauiita. Ellei äi olisi, löytyisi luvut a, b, c, d ii, että a b c d ja a + c b + d. Tällöi a E i1, b E i, c E i3 ja d E i4, missä 0 i 1 i i 3 i 4 < z. Koska s.y.t.y, z) 1, tästä seuraa i 1 +i 3 i +i 4 mod z. Mutta i +i 4 ) i 1 +i 3 )i 4 i 1 i 3 i ) i 4 i 1 z 1, jote i 1 + i 3 i + i 4.Tämä o mahdollista vai, jos i 1 i ja i 3 i 4. Koska umeroiissa o oudatettu suuruusjärjestystä E i1 :ssäjae i3 :ssa, o a<bja c<d, jote oki a+c <b+d. Ristiriita osoittaa, että jokaie kuvatulla tavalla syytetty umeroiti o kauis. Osoitetaa sitte, että kaikki kauiit umeroiit o tuotettu kuvatulla tavalla. Tehdää iduktio : suhtee. Ku 3, mahdolliset parit z, y) ovat3, 1), 3, ) ja, 1). Ne tuottavat triviaalia umeroitia lukuu ottamatta kaikki kauiit umeroiit, 0, 3, 1,, 0, 3,, 1ja0,, 1, 3. Oletetaa yt, että meetelmä tuottaa kaikki k: pistee kauiit umeroiit, ku k. Tarkastellaa jotai + 1): pistee umeroitia a 0 0,a 1,..., a, missä a 1 > 1. Olkoo a 1 z. Tarkastellaa eriksee tapauksia a 1 ja a 1 <. Olkoo siis a 1 z. Asetetaa y a. Osoitetaa, että a k+1 ky mod z. Väitetää, että josäi ei olisi, olisi olemassa i ja j ii, että y i j ja i j y mod. Silloi olisi joko i j y tai j i y. Koska0 y i j, edellie vaihtoehto ei käy, koska y i j, jälkimmäie vaihtoehtokaa ei käy. Todistetaa yt esitetty väite. Jos s.y.t.y, z) 1,väite o triviaalisti tosi, koska lukuje ky jakojääökset mod z ovat kaikki eri suuria. Jos taas s.y.t.y, z) > 1eikäväittee mukaisia lukuja i ja j ole olemassa, ii 1 1+y 1+y... luvut mod z) Joo palaa jossai vaiheessa 1:ee, mikä o ristiriita. Tarkastellaa sitte sellaisia umeroiteja, joissa a 1. Poistetaa piste, jolla o umero. Iduktio-oletukse mukaa o olemassa joki : pistee kauis umeroiti, joka oudattaa esitettyä kostruktiota joillai z, y). Pyritää osoittamaa, että tällaisee umeroitii voidaa liittää piste, joka umero o vai yhdellä tavalla ii, että umeroiti o kauis ja sellaie, joka perustuu parii z, y) yllä kuvatulla tavalla, ja jossa siis a 1 z. Olkoo ky mod z, 0 k<z. Osoitetaa, että o sijoitettava lukuje z ja jouko E k+1 pieimmä alkio v välii. Huomataa, että v + y mod z. Osoitetaa esi, että ooltava z. Koskaa 0 0jaa 1 z, oz. Jos z, ei voi olla z [0, ]ja[z, z] leikkaisivat). Jos z, sekä että z ovat ympyrä kehällä 0:jaz: jälkee, ja z: o edellettävä :ää. Osoitetaa sitte, että o sijoitettava välittömästi : jälkee. Käsitellää eri mahdollisuudet. Jos k z 1, ii z z 1)y mod z o E z 1 : suuri alkio ja siis umeroii viimeie; silloi voidaa sijoittaa vai z: ja 0: välii. Jos sitte k 0eli 0modz, ii tz ja t. Nyt v y. Koska t 1)z y y z + y, ii o sijoitettava t 1)z: ja z + y: välii. :ää ei kuitekaa voi sijoittaa y: jälkee, koska y E z 1 ja äi sekä y että ovat 0: ja y): välissä. Oletetaa sitte, että tz + u, misstä t 1ja 0 <u<z;myös 0 <v<z. Edellä tehdystä huomautuksesta seuraa, että jokov u + y tai v + z u + y. Jos v u + y, ii tz y v, koska y seuraa heti tz:aa). Jos v + z u + y, ii z v v + z, jote o sijoitettava z): ja v + z): välii. Koska v t +1)z y, ii v o umeroii viimeie. Siis 0, v v, jote o oltava v. 6
Iduktioaskel o yt otettu, ja väite todistettu. 7