1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m T multilineaarikuvaus, jolle reachφ = T. Jos pari (T, Φ) toteuttaa UFP:n, vektoriavaruutta T kutsutaan vektoriavaruuksien V 1, V 2,, V m tensorituloksi ja merkitään T = V 1 V 2 V m. Multilineaarikuvausta Φ kutsutaan hajottavaksi tensoriksi (decomposable tensor). Olkoon V i vektoriavaruus, jonka dimensio on n i, 1 i m. Oletetaan, että mielivaltaisen vektoriavaruuden U dimensio on n 1 n 2. Olkoon T kiinteä, mutta mielivaltainen, kääntyvä lineaarimuunnos V 1 V 2 V m U (onto) ja määritellään Ψ := T Φ. Jos W on vektoriavaruus, ja f : V 1 V 2 V m W m-lineaarinen funktio, niin on olemassa lineaarimuunnos k : U W s.e. f = kψ, nimittäin k = ht 1, missä hφ = f. On siis olemassa Ψ, U ja k s.e kuvan 1 kaavio kommutoi jokaisella f. Siispä pari (U, Ψ) toteuttaa UFP:n kirjaääritelmän 5.7 mukaan. Lisäksi tämä universaalipari on isomornen kirjan lauseen 5.9 nojalla. Koska Ψ:n kuva-avaruus on U, niin Ψ:n ulottuvuus reachψ = U kirjaääritelmän 5.6 mukaan, joten U oalli tensoritulolle. Selvästi m dim(v 1 V 2 V m ) = n i, mutta dim(v 1 V 2 V m ) = i=1 n i. Multilineaarikuvaus Ψ on siis hajoittava tensori kirjaääritelmän 5.10 mukaan. Sillä on täydennetty rakenne, sillä multilineaarikuvaus itsessään on kirjan lauseen 5.4 mukainen laajennus. Näiääriteltyinä tensoriavaruuksien tensoritulo on olemassa ja se on isomorsuuden nojalla (kirjan lause 5.9) yksikäsitteinen. Tämä lähestymistapa on kuitenkin hieman liian abstrakti, ja siksipä on syytä konstruoida konkreettisempi malli. Määritelmä 1.2 Olkoon V 1, V 2,, V m kompleksisia vektoriavaruuksia. M(V 1, V 2,, V m ) tarkoittaa m-lineaaristen funktioiden f : V 1 V 2 V m C joukkoa. Paikallisesti summa ja skalaarilla kertominen eli i=1 (cf + dg)(v 1, v 2,, v m ) = cf(v 1, v 2,, v m ) + dg(v 1, v 2,, v m ) (1) pätee, joten M on vektoriavaruus. Seuraavassa M tarkoittaa M:n duaaliavaruutta. Palautetaaieleen kirjan lause 2.2: (1) Russell M. Multilinear algebra, 1997, 332 p.
Ψ V 1 V 2 V m Φ V 1 V 2 V m T U f h k Figure 1: Kommutaatiokaavio. W Lause 1.3 Olkoon u V ja kuvaus û : V C, joka määritellään û(f) = f(u), f V (2) Silloin û on V :n lineaarinen funktionaali. Lisäksi kuvaus Ψ : V (V ), joka määritellään Ψ(u) = û, u V on vektoriavaruuksien välinen isomorsmi. Olkoon v i V i, i i m ja kuvaus v 1 v 2 v m : M C määriteltynä (vrt. yhtälö 2) Koska (v 1 v 2 v m )(f) = f(v 1, v 2,, v m ) (3) (v 1 v 2 v m )(cf + dg) = (cf + dg)(v 1, v 2,, v m ) = cf(v 1, v 2,, v m ) + dg(v 1, v 2,, v m ) = c(v 1 v 2 v m )(f) + d(v 1 v 2 v m )(g), v 1 v 2 v m on lineaarinen. Ts. lauseen 1.3 nojalla f, g M ja yo. tuloksen perusteella nämä funktionaalit virittävät M. Lause 1.4 Olkoon B i = {e ij : 1 j n i, 1 i m} vektoriavaruuden V i :n kanta. Silloin B = {e 1j1 e 2j2 e mjm : 1 j i n i, 1 i m} (4) on M(V 1, V 2,, V m ):n duaaliavaruuden M kanta. Todistus Olkoon {f ij : 1 j n i } vektoriavaruuden (sis. lineaarisia funktionaaleja) L(V i, C) kanta, joka on B i :n duaali. Silloin f ij määritellään laajentamalla lauseen 2.1 tulos (f i (e j ) = δ i,j ) eli f ij (e ik ) = δ j,k. (5) Olkoon f tjt M(V 1, V 2,, V m )
duaaliavaruude-lineaarinen funktionaali, joka määritellään ( m f tjt )(v 1, v 2,, v m ) = f tjt (v t ). Nyt väitetään, että { m } f tjt : 1 j t n t, 1 t m on M = M(V 1, V 2,, V m ) kanta. Jos g M, niin seultilineaarilaajennus (vrt. lineaarilaajennus, kirjan yhtälö 2.2), g(v 1, v 2,, v m ) = n 1 n 2 i 1 =1 i 2 =1 i m =1 g(e 1i1, e 2i2,, e mim ) (6) f tit (7) Tämä nähdään todeksi laskemalla molemmat puolet e pjp, 1 p m, kun huomataan vielä, että oikea puoli o-lineaaristen funktioiden lineaarikombinaatio ja siis m-lineaarinen. Saadaan g(e 1j1, e 2j2,, e mjm ) = n 1 n 2 i 1 =1 i 2 =1 i m =1 g(e 1i1, e 2i2,, e mim ) f tit (e tjt ). Koska ko. funktionaaliääritelmän (5) mukaan m f ti t (e tjt ) = 0 ellei i t = j t, 1 t m, yhtälön oikea puoli kumoaa vasemman puolen. Koska kaikki funktionaalit voidaan esittää muodossa (vrt. kirjan yhtälö (2.2)) g = i j g(e ij)g ij, ja nyt g ij = m f tj t (e tjt ), 1 t m toteuttaa tämän (ts. saatiin g = g), m f tj t (e tjt ) on M:n kanta. Edelleen oletuksen mukaan (kirjan lauseen 2.1 laajennuksessa oletetaan) sen duaalikanta on kuten yhtälö (4) Lemma 1.5 Asetetaan T = M (M:n duaali), M = M(V 1, V 2,, V m ), ja määritellään Φ : V 1 V 2 V m T s.e. Φ(v 1, v 2,, v m ) = v 1 v 2 v m. Jos f M, niin Φ on m-lineaarinen. Todistus i th {}}{ (v 1 v 2 [cu + dw] v m )(f) = f(v 1, v 2,, [cu + dw],, v m ) Eq. (3) = cf(v 1, v 2,, u,, v m ) + df(v 1, v 2,, w,, v m ) Multilin., Määr. 5.2 = c(v 1 v 2 u v m )(f) + d(v 1 v 2 w v m )(f), Koska f oielivaltainen, Φ on siis m-lineaarinen (v 1 v 2 [cu + dw] v m ) = c(v 1 v 2 u v m ) + d(v 1 v 2 w v m ).
Lemma 1.6 Pari (T, Φ) on universaali. Todistus Olkoon W vektoriavaruus. Oletetaan, että g : v 1 v 2 v m W on m-lineaarinen. Olkoon B lauseen 1.4 mukainen T:n kanta, ja määritellään h : T W s.e. h(e 1j1 e 2j2 e mjm ) = g(e 1j1, e 2j2,, e mjm ), 1 j i n i, 1 i m, ja lineaarinen laajennus (sehän on olemassa edellisen esityksen, lemman 1.7 mukaan). Silloi-lineaariset funktiot hφ ja g määräytyvät samoista kuvista ja kirjaultilineaarikuvaukseääritelmän 5.2 mukaan hφ oultilineaarinen ja multilineaarilaajennuslauseen nojalla (T, Φ) on universaali pari Koska Φ:n kuva on T, sen ulottuvuus kirjaääritelmän 5.6 mukaan on reachφ = T. Ts. T = V 1 V 2 V m. Käytetään notaatiota v 1 v 2 v m multilineaaristen funktionaalieallista abstraktia määrittelyä varten. Edelleen listaerkinnän [e 1j1, e 2j2,, e mjm ] sijaaerkitään e 1j1 e 2j2 e mjm Näin siksi, että Φ(v 1, v 2,, v m ) = v 1 v 2 v m, joten symbolia Φ ei ole enää mitään tarvetta käyttää. Seuraavaksi voimmekin jo määritellä tensorin Määritelmä 1.7 Yleinen, abstrakti, hajoittava tensori tarkoittaa v 1 v 2 v m. voidaan käsittää myös M(V 1, V 2,, V m ):n lineaariseksi funktionaaliksi. Korostettakoon vielä, että V 1 V 2 V m {v 1 v 2 v m : v i V i, i i m}. Se Lause 1.8 Olkoon {e ij : 1 j n i } V i :n kanta 1 i m. Jos niin v 1 v 2 v m = n i v i = a ij e ij, 1 i m, j=1 n 1 n 2 j 2 =1 j m=1 (e 1j1 e 2j2 e mjm ) Todistus Nyt siis Φ(v 1, v 2,, v m ) = v 1 v 2 v m. Samalla tavalla kuin edellä lauseen 4 todistuksessa asetetaan M:n kanta m a tj t. Käyttämällä kirjan yhtälön 5.2 mukaista multileaarilaajennusta suoraan laskemalla saadaan v 1 v 2 v m = n 1 n 2 j 2 =1 j m =1 (e 1j1 e 2j2 e mjm ) a tjt a tjt
Lause 1.9 Olkoon v i V i, 1 i m. Silloin v 1 v 2 v m = 0 joss v i = 0 jollakin i. Todistus (epäsuora todistus) Oletetaan, että v i 0 jollakin i. Tällöin kirjan lauseen 2.1 mukaan on olemassa lineaarinen funktionaali f i L(V i, C) s.e. f i (v i ) = δ i,i = 1, 1 i m. Olkoon f = f i M(V 1, V 2,, V m ). Silloin (v 1 v 2 v m )(f) = f(v 1, v 2,, v m ) = f i (v i ) = 1. Ts. v 1 v 2 v m ei ole nolla-funktionaali, ja tästä seuraa väite. 0 = v 1 v 2 v m 0 = (v 1 v 2 v m )(f) = f(v 1, v 2,, v m ) = f i (v i ) v i = 0 jollakin i i=1 Lause 1.10 Oletetaan, että v i, w i V i, missä w i 0, 1 i m. Silloin v 1 v 2 v m = w 1 w 2 w m joss on olemassa m kompleksista kerrointa c 1, c 2,, c m s.e. v i = c i w i, 1 i m, ja niiden tulo c 1 c 2 c m = 1. Todistus sivuutetaan, sillä lause ei ole jatkon kannalta mitenkään oleellinen (ei tarvita luvussa 5 jne.). Lemma 1.11 (Harjoitustehtävä 10) Olkoon B i = {e i1, e i2,, e ini } vektoriavaruuden V i, 1 i m kanta. Oletetaan, että 1 k m. Määritellään s.e. Ψ : (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ) V 1 V 2 V m Ψ((e 1j1 e kjk ), (e (k+1)jk+1 e mjm )) = e 1j1 e 2j2 e mjm ja funktiolla Ψ oultilineaarilaajennus (MLE). Tällöin Ψ((v 1 v 2 v k ), (v k+1 v k+2 v m )) = v 1 v 2 v m v i V i, 1 i m. Todistus Olkoon v i = i a ije ij mielivaltainen, mutta kiinteä avaruuden V i vektori. Tällöin Ψ((v 1 v 2 v k ), (v k+1 v k+2 v m )) = n 1 n k n k+1 Ψ(( a 1j1 e 1j1 a kjk e kjk ), ( a (k+1)jk+1 e (k+1)jk+1 n 1 (( a 1j1 n k j k =1 n 1 = ( a 1j1 n k j k =1 a kjk )( a kjk j k =1 n k+1 j k+1 =1 n k+1 j k+1 =1 a (k+1)jk+1 a (k+1)jk+1 j k+1 =1 j m=1 j m =1 i=1 j m =1 a mjm e mjm )) = MLE a mjm ))Ψ((e 1j1 e kjk ), (e (k+1)jk+1 e mjm )) a mjm )e 1j1 e 2j2 e mjm = v 1 v 2 v m v i V i 1 i m
Lause 1.12 Oletetaan, että 1 k m. Silloin V 1 V 2 V m oalli tensoritulolle (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ), missä (liitäntäominaisuus) (u 1 u 2 u k ) (w 1 w 2 w m k ) = u 1 u 2 u k w 1 w 2 w m k. Todistus Näytetään, että on olemassa lineaarineuunnos s.e T : ((V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m )) V 1 V 2 V m T ((v 1 v 2 v k ) (v k+1 v k+2 v m )) = v 1 v 2 v m, kaikilla v i V i, 1 i m. Koska {v 1 v 2 v m : v i V i } virittää V 1 V 2 V m, jokainen yo. muunnos on surjektiivinen (onto). Koska dim((v 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m )) = dim(v 1 V 2 V m ), muunnos oyös injektiivinen (one-to-one). Olkoon sitten Ψ yksikäsitteinen bilineaarinen funktio, jolle pätee lemman 1.11 mukaan Ψ(v 1 v k, v k+1 v m ) = v 1 v 2 v m, kaikilla v i V i, 1 i m. Merkitään vielä (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ) =: A, (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ) =: C, V 1 V 2 V m =: B. Ts. A, B, C ovat vektoriavaruuksia. Merkitääultilineaarikuvausta Φ : C A. Nyt siis jokaista multilineaarikuvausta Ψ kohti on olemassa lineaarikuvaus T L(A, B) s.e. Ψ = T Φ, joten pari (A, Φ) on universaali (kuva 2). Universaleja pareja koskevan olemassaololemman (ks. esitys 5.2-07) T on olemassa. Koska T on bijektio, parit (A, Φ) ja (B, Ψ) ovat myös isomorsia. Koska reach(t ) = V 1 V 2 V m, niin V 1 V 2 V m oalli tensoritulolle (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ) (V 1 V k ) (V k+1 V m ) (V 1 V k ) (V k+1 V m ) T (V 1 V 2 V m ) Figure 2:
Esimerkki 1.13 Olkoo = 3, k = 2. Silloin lauseen 1.12 nojalla Toisaalta, jos k = 1, Siten (V 1 V 2 ) V 3 = V1 (V 2 V 3 ). (V 1 V 2 ) V 3 = V1 V 2 V 3. V 1 (V 2 V 3 ) = V 1 V 2 V 3. Kun V 1 = V 2 = = V m, lause 1.12 on tensorialgebran teorian perusta. Aiheesta enempi [Bourbaki (1948)], [Greub (1967)] tai [Marcus (1973)]. Esimerkki 1.14 Oletetaan, että V 1 = C 1,n ja V 2 = C 1,k. Olkoon Φ : V 1 V 2 C n,k bilineaarinen funktio, jolle Φ(X, Y ) = X t Y. Olkoon E j 1 k matriisi, jonka ainoa nollasta eroava alkio on 1 sarakkeessa j, ja E i 1 atriisi, jonka ainoa nolasta eroava alkio on 1 sarakkeessa i. Silloin Φ(E i, E j ) = E ij, n k matriisi, jonka ainoa nollasta eroava alkio on 1 kohdassa (i, j) (vertaa kirjan Esim. 5.5): E 11 E 12 E 1k 1 1 1 k n k n 2 Φ(E j1, E j 2 ) = g tjt (E tit )E j1 j 2 = E 21 E 22 E 2k = 1 1 1 (8) j 2 =1 j 2 =1 E n1 E n2 E nk 1 1 1 Samalla tavalla kuin esimerkiksi lauseen 1.4 todistuksessa (yhtälö (6)) 2 g tj t (E tit ) = 2 c td jt = δ jt,i t = E j1,j 2, {E i,j : 1 i n, 1 j k} on C n,k :n kanta. Silloin ulottuvuus reachφ = C n,k. Olkoon W on vektoriavaruus ja f : V 1 V 2 W bilineaarinen funktio. Määritellään h : C n,k W s.e. h(e ij ) = f(e i, E j ), 1 i n, 1 j k ja (bi)lineaarinen laajennus kuten yhtälö (8), kuerkitään Φ = f. Kirjan lauseesta 5.7 (UFP) seuraa, että f = h Φ, ja C n,k oyös malli tensoritulolle V 1 V 2, sillä reachφ = C n,k. Silloin Φ = X Y = X t Y oääritelmän 1.1 (kirja, Määr. 5.12) hajottava tensori. Tästä voidaan jatkaa induktiolla, sillä Lauseen 1.12 mukaan t = 1 : t = 2 : lineaarialgebra, esim. yllä, t = 3 : (V 1 V 2 ) V 3 = V1 V 2 V 3, t = 4 : (V 1 V 2 V 3 ) V 4 = V1 V 2 V 3 V 4, t = m : (V 1 V 2 V m 1 ) V m = V1 V 2 V m. Vastaavasti (X Y ) Z = X Y Z, (X Y Z 1 ) Z 2 = X Y Z1 Z 2,,(X Y Z m 3 ) Z m 2 = X Y Zm 2 = T (X, Y,, Z m 2 ), missä T : V 1 V 2 V m T = C n1,n 2,, on hajottava tensori. Kannattaa huomata, että ylläolevassa konstruktiossa multilineaariset funktiot korvataan tensorituloilla (sis. hajottavat tensorit).
Olkoon V 1, V 2,, V m ja W 1, W 2,, W m vektoriavaruuksia, ja oletetaan, että on olemassa lineaariset funktiot T i L(V i, W i ), 1 i m. Silloin Ψ : V 1 V 2 V m W 1 W 2 W m s.e. Ψ(v 1, v 2,, v m ) = T 1 (v 1 ) T 2 (v 2 ) T m (v m ) o-lineaarinen (ei välttämättä bijektio). Tämä nähdään, kun sovelletaan ensin lemmaa 1.5, jolloin huomataan, että v 1 v 2 v m ja kuvaus v 1 v 2 v m v 1 v 2 v m ovat m-lineaarisia ja sovelletaan sitten kirjan esimerkkiä 5.3 (v). Kirjan UFP-lauseen 5.7 ja olemassaololemman (lemma 1.7 esityksessä 6.2-07 luvun 5 alusta) mukaan on olemassa lineaarimuunnos h : V 1 V 2 V m W 1 W 2 W m s.e. h(v 1 v 2 v m ) = T 1 (v 1 ) T 2 (v 2 ) T m (v m ), v i V i, 1 i m. Ts. on olemassa Φ : V 1 V 2 V m V 1 V 2 V m, V 1 V 2 V m ja h s.e kaavio kommutoi jokaisella Ψ. Koska {T 1 (v 1 ) T 2 (v 2 ) T m (v m ), T i (v i ) L(V i, W i ), 1 i m} virittää tensoritulon W 1 W 2 W m, muunnos h on surjektiivinen. Olkoon {e 1j1 e 2j2,, e mjm : 1 j i n i, 1 i m} V 1 V 2 V m kanta ja v i = j a ije ij V i kiinteä, mutta mielivaltainen. Koska n 1 h(v 1 v 2 v m ) = h( a 1j1 e 1j1 n 1 = ( a 1j1 j m =1 j m=1 a mjm e mjm ) a mjm )h(e 1j1 e 2j2 e mjm ), h määräytyy kokonaan kannan kuvista. Toisaalta jokaiselle m-lineaariselle funktiolle g, joka määräytyy samoista kannan kuvista, välttämättä g = h. Ts. kuvaus on yksikäsitteinen siinä mielessä, että se määräytyy samoista kannan kuvista. Määritelmä 1.15 Olkoon T L(V i, W i ), 1 i m ja h L(V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) kuten yllä. Silloin T 1, T 2,, T m indusoi h:n ja merkitään h = T 1 T 2 T m.