Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron jatkokurssi Timo Siikonen

Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron jatkokurssi Timo Siikonen c 2014 by Aalto University School of Engineering Department of Applied Mechanics Sähkömiehentie 4 FIN-00076 Aalto Finland

1 Sisällys 1 Johdanto 5 1.1 Taustaa................................ 5 1.2 Virtausyhtälöt............................. 7 1.3 Virtausyhtälöiden yksinkertaistettuja muotoja............ 10 1.4 Yhtälöiden ratkaisu.......................... 13 1.4.1 Tiheyspohjainen ratkaisu................... 13 1.4.2 Painepohjainen ratkaisu................... 15 1.5 Menetelmien tarkastelua....................... 18 1.6 Kurssin sisällöstä........................... 20 1.7 Käytetyt yhtälöt............................ 23 2 Virtausyhtälöiden ominaisuuksia 30 2.1 Navier Stokes-yhtälöt......................... 30 2.2 Primitiivimuodot ja vuovektorin Jacobin matriisi.......... 31 2.3 Muunnokset konservatiivisten ja primitiivisuureiden välillä..... 35 2.4 Ominaisvektorit ja Jacobin matriisin diagonalisointi......... 36 2.5 Karakteristiset suureet ja niiden merkitys............... 39 2.6 Karakteristikat ja reunaehdot..................... 42 2.7 Implisiittinen menetelmä Eulerin yhtälöillä............. 47 2.8 Ajan suhteen tarkka laskenta..................... 53 2.9 Eulerin yhtälöiden tarkastelua.................... 55 3 Ratkaisumenetelmien kertaus kontrollitilavuusmenetelmällä 59 4 Yksidimensioinen painekorjausmenetelmä 60 4.1 Taustaa................................ 60

2 4.2 Valmistava esimerkki......................... 61 4.3 Painekorjausyhtälön ominaisuuksia.................. 66 4.4 Skalaariyhtälön ratkaisu ja Patankarin säännöt............ 69 4.5 Yksidimensioiset virtausyhtälöt.................... 73 4.6 Painekorjaus limitetyllä hilalla.................... 76 5 Painekorjausmenetelmä tavanomaisella hilalla 87 5.1 Limitetyn hilan etuja......................... 87 5.2 Konvektionopeuden interpolointitavat................ 89 5.3 Pintanopeuden tarkastelua...................... 94 5.4 Yksidimensioinen menetelmä tavallisella hilalla........... 96 5.5 Reunaehtojen käsittely........................ 103 5.6 Yksinkertaistettu vaimennustermi.................. 105 6 Monidimensioinen painekorjausmenetelmä 107 6.1 Yhtälöiden diskretointi........................ 107 6.2 Fysikaaliset reunaehdot........................ 117 6.3 Reunaehtojen käsittely........................ 119 6.4 Alirelaksointitavat........................... 123 7 Lineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät 127 7.1 Yhtälöiden ratkaisutarve....................... 127 7.2 Fysikaalisen probleeman ratkaisu................... 128 7.3 Suorat ratkaisutavat.......................... 131 7.3.1 Gaussin eliminaatio...................... 131 7.3.2 LU-hajotelma......................... 132 7.3.3 Tridiagonaaliset yhtälöt.................... 133 7.4 Iteratiiviset menetelmät........................ 134 7.4.1 Peruskäsitteitä........................ 134 7.4.2 Konvergenssi ja spektraalisäde................ 135 7.4.3 Perusmenetelmiä....................... 137 7.4.4 Epätäydellinen LU-hajotelma: Stonen menetelmä...... 138 7.4.5 ADI ja muut ositusmenetelmät................ 139 7.4.6 Konjugaattigradienttimenetelmät............... 140

3 7.5 Monihila-algoritmi.......................... 142 7.5.1 Peruskäsitteitä........................ 142 7.5.2 Yksinkertainen esimerkki.................. 144 7.5.3 Algebrallinen monihila-algoritmi yhtälöryhmille...... 146 7.6 Laskentaesimerkkejä......................... 150 7.7 Loppupäätelmiä............................ 154 8 Virtausratkaisun tehostaminen 158 8.1 Rinnakkaistaminen.......................... 158 8.1.1 Rinnakkaistamistavat rakenteellisella ja rakenteettomalla hilalla158 8.1.2 Lohkorakenne........................ 159 8.1.3 Laskennan tehostaminen rinnakkaistamalla......... 161 8.1.4 Rinnakkaistaminen käyttäen viestinvälitystä......... 164 8.1.5 Hilan jako osa-alueisiin.................... 166 8.1.6 Rinnakkaistamisesta saavutetun hyödyn arviointi...... 168 8.2 Monihilamenetelmän käyttö..................... 171 8.3 Ratkaisun adaptiivisuus........................ 177 9 Käyräviivainen laskentahila 183 9.1 Hilatyypit............................... 183 9.2 Hilangenerointi............................ 185 9.3 Nopeuskomponenttien valinta ja koordinaatistomuunnos...... 186 9.4 Kontrollitilavuusmenetelmä käyräviivaisella hilalla......... 188 9.5 Painekorjaus käyräviivaisella hilalla................. 198 9.6 Ohutkerrosapproksimaatio ja kiinteät pinnat............. 202 10 Ajan suhteen tarkka laskenta 206 11 Turbulentin virtauksen laskenta 207 12 Virtauslaskennassa esille tulevia käsitteitä 208 12.1 Johdanto................................ 208 12.2 Geometristen suureiden laskenta................... 208 12.2.1 Laskentatilavuuksien pinta-alavektoreiden laskeminen... 209 12.2.2 Tilavuuksien laskenta..................... 210

4 12.2.3 Tarkkuus........................... 211 12.3 Voimien ja momentin laskenta.................... 211 12.4 Paine- ja kitkakerroin......................... 215 12.5 Liikkuva laskentahila......................... 217 12.6 Pyörimisliike............................. 220 12.7 Nopeus- ja pyörteisyyskomponenttien sekä jännitystensorin peilaaminen221 13 Muita ratkaisumenetelmiä 227 13.1 Historiaa................................ 227 13.2 Painekorjausyhtälön luonne...................... 228 13.3 Painekorjausmenetelmät....................... 229 13.4 Viivästetyn korjauksen periaate.................... 232 13.5 Implisiittinen Rhie-Chow interpolointi................ 233 13.6 Virtafunktio-pyörteisyys -menetelmä................. 234 13.7 Näennäispuristuvuuskeino...................... 235 13.8 Tiheyspohjaiset menetelmät...................... 238 13.9 Muita lähestymistapoja........................ 238 13.9.1 Epäjatkuva Galerkinin keino (discontinuos Galerkin method) 238 13.9.2 Hila-Boltzmann -menetelmät................. 238 13.9.3 Sileä partikkelihydrodynamiikka (smoothed particle hydrodynamics)238 14 Virtausratkaisijat 240 14.1 Historiaa................................ 240 14.2 Simulointiohjelman rakenne..................... 242 14.3 Katsaus ohjelmiin........................... 243 14.3.1 PHOENICS.......................... 243 14.3.2 CFX.............................. 244 14.3.3 FLUENT........................... 245 14.4 Lopuksi................................ 245 Hakemisto 246

5 1 Johdanto 1.1 Taustaa Laskennallisen virtausmekaniikan perusteissa on perehdytty kontrollitilavuusmenetelmän perusteisiin. Kurssilla on ollut esillä konvektio-diffuusioyhtälön T t + VT = α T +q T (1.1) ratkaisu eri muodoissaan. Sopivilla nopeuden V = u i+v j+w k ja diffuusiokertoimen α sekä dimensioiden valinnalla saatiin esille erilaisia numeeriseen laskentaan liittyviä ongelmia. Lukuunottamatta yhtälöiden luokittelua varsinaiseen virtausyhtälöiden ratkaisuun ei paneuduttu ja paineen käsite ei ollut esillä. Tällä jatkokurssilla on tarkoitus tuoda esille varsinaisten virtausyhtälöiden ratkaisu painekorjausmenetelmällä. Virtausyhtälöiden ratkaisutavat voidaan jakaa paineja tiheyspohjaisiin menetelmiin, painekorjaus kuuluu painepohjaisiin. Kurssilla käsitellään myös hieman tiheyspohjaisia ratkaisuja luvuissa 2.7 ja 13.7. Perusteissa oli esillä myös seuraava tärkeä periaate {numeriikka} T = {f ysiikka} (1.2) jossa f ysiikka -osa sisältää yhtälöiden diskretoinnin ja numeriikka -osa diskreettien yhtälöiden ratkaisun (fysiikalla ei tarkoiteta tässä yhteydessä ainoastaan turbulenssin tai muiden ilmiöiden mallintamista, vaan etupäässä yhtälöiden diskretointia). Peruskurssin avulla malliyhtälöön (1.1) liittyvä fysiikka on kohtalaisen hyvin hallittavissa. Numeriikasta oli esillä likimääräinen ositus, jolla voidaan tehokkaasti ratkaista monidimensioisia diskretoituja yhtälöitä, mutta joka ei ole ainoa vaihtoehto. Ainoa olennainen puuttuva seikka on juuri paineen lisääminen tuntemattomien joukkoon ja paineen ratkaiseminen. Paine voidaan ottaa huomioon numeriikkapuolella usealla tavalla, joista seuraavassa tullaan siis tarkemmin käymään läpi painekorjausmenetelmä, mutta myös muita vaihtoehtoja käsitellään lyhyesti.

1.1. TAUSTAA 6 Tällä kurssilla tullaan käyttämään etupäässä samantyyppisiä merkintöjä kuin peruskurssilla. Tästä seuraa kuitenkin eräitä ongelmia, kuten myöhemmin tullaan havaitsemaan. Pääsyynä on se, etteivät virtausmekaniikkaan liittyvät merkinnät ja käsitteistöt ole täysin standardeja. Nyt esillä tulevat olemaan virtausyhtälöt kokonaisuudessaan, jolloin suuret kuvaa erityisesti lämpötilaa, ei esimerkiksi konsentraatiota. Myös malliyhtälö (1.1) on approksimatiivinen ja edellyttää, probleemasta riippuen, erinäisiä seikkoja. Lämmönjohtavuusyhtälön tapauksessa tiheyden ρ ja ominaislämpökapasiteetin c p tulisi olla vakioita, jotta yhtälö (1.1) pätisi. Parempi muoto yleiselle skalaarisuureen φ säilymisyhtälölle on ρφ t + ρ Vφ = α φ+q φ (1.3) Yhtälö on säilymismuodossa, mikä on numeerisessa ratkaisussa edellytys kyseisen suureen φ globaalille säilymiselle. Mikäli yhtälössä purettaisiin derivaattoja auki, päädyttäisiin primitiivimuotoon. Differentiaaliyhtälö (1.3) voidaan integroida mielivaltaisen kokoisen tasealueen yli, jolloin saadaan integraalimuotoinen yhtälö ρφdv + ρ n t VφdS = α φ nds + q φ dv (1.4) V S S V missä S = ns on tilavuutta rajaava pinta ja n = n x i+n y j+n z k on pinnan normaali. Tähän yhtälöön perustuu kontrollitilavuusmenetelmä. Kuten peruskurssilla todettiin, voidaan integraali lausua mielivaltaisen muotoisen tasealueen yli, jolloin menetelmä sallii monimutkaisten kappaleiden ohi tapahtuvan virtauksen kuvaamisen. Tasetilavuudet voivat myös olla muodoltaan esimerkiksi kolmioita (2D) tai tetraedrejä ja prismoja (3D). Viimeksi mainitut ovat yleistymässä virtausyhtälöiden ratkaisussa. Edellä mainitusta voidaan myös ajatella kontrollitilavuusdiskretoinnin muodostavan eräässä mielessä enemmän eräänlaisen strategian kuin varsinaisen menetelmän. Erimuotoisilla tasetilavuuksilla eri diskretoinneilla päädytään hyvinkin erilaisiin ratkaisualgoritmeihin. Yhteinen piirre kaikille on globaali säilymisperiaate V tot φ = t(f sis F ulos ) (1.5) missä F on suureen φ virta alueen pinnan läpi. Suure muuttuu siis aikayksikössä tasealueessa V tot sen pinnan läpi siirtyvän määrän. Tasealue voi olla yksi laskentakoppi, koko laskenta-alue tai osa siitä. Virtausyhtälöt ovat epälineaarisia, joten tarvitaan yhtälön (1.2) mukaiseen linearisointiin perustuva iteraatio ennen kuin yhtälö

1.2. VIRTAUSYHTÄLÖT 7 (1.4) ja sen kautta tase (1.5) toteutuvat. Periaate on fysikaalisesti mielekäs ja käytännössä on havaittu juuri säilymisominaisuus useissa tapauksissa välttämättömäksi, jotta mielekäs numeerinen ratkaisu ylipäätänsä saavutettaisiin. Tälläkin kurssilla nojaudutaan kontrollitilavuusperiaatteeseen vaikka geometria olisikin yksinkertainen. Huomautettakoon vielä tässäkin yhteydessä, että on myös olemassa toimivia numeerisia menetelmiä, jotka eivät ole säilymismuotoisia. 1.2 Virtausyhtälöt Virtausmekaniikan kirjoissa esitetään virtausta kuvaavien yhtälöiden, jotka kuvaavat massan, liikemäärän ja energian säilymistä, johtotapoja. Yhtälöiden johtoon ei tarkasti puututa tässä yhteydessä. Todetaan vain, että syvälliseltä kannalta katsottuna johto on yllättävän hankala ja usein, erityisesti liikemääräyhtälön johtamisessa on joskus jopa suoranaisia virheitä tai oikaisuja, joiden kautta kuitenkin päädytään oikeaan lopputulokseen. Yhtälöt voidaan johtaa usealla tavalla. Kontrollitilavuus voi olla kiinteä tai nestepartikkelien mukana liikkuva (kts. kuva 1.1). Se voi olla myös äärellinen, jolloin päädytään integraalimuotoon tai infinitesimaalisen pieni, jolloin saadaan tuloksena differentiaaliyhtälö. Kaikilla eri tavoilla päädytään kuitenkin samaan lopputulokseen. Massan säilymisyhtälö on varsin helppo johtaa yleisestä säilymisperiaatteesta tilavuusalkiolle dv ρdv + ρ n t VdS = 0 (1.6) V S Soveltamalla Gaussin lausetta toiseen suuntaan kuin yhtälölle (1.3) tehtiin, saadaan massan säilymiselle myös differentiaaliyhtälö ρ t + ρ V = 0 (1.7) On syytä jälleen todeta, ettei differentiaalimuotoa diskretointiprosessissa kontrollitilavuusperiaatteella tarvita, vaan diskretointi pohjautuu yhtälöön (1.6). Massan säilymisyhtälö voidaan myös johtaa differentiaaliselle alkiolle, jolloin päädytään ensin yhtälöön (1.7). Liikemääräyhtälön johto on varsin hankala. Selkeä esitystapa kaikkien virtausyhtälöiden johtamisesta löytyy John D. Andersonin kirjasta Computational Fluid

1.2. VIRTAUSYHTÄLÖT 8 Kontrollipinta S S Kontrollitilavuus V V (a) Tilavuus Vd dv (b) Kuva 1.1: Virtauksen mallinnus. (a) äärellinen kontrollitilavuus, (b) infinitesimaalisen pieni kontrollitilavuus. Vasemmalla tasetilavuudet ovat kiinteitä, oikealla virtauksen mukana liikkuvia. Dynamics. Kyseisessä kirjassa ei kuitenkaan puututa kitkatermin johtamiseen, joka löytyy puolestaan esimerkiksi Whiten Viscous Fluid Flow-kirjasta. Liikemäärän säilymisestä päädytään seuraavaan yhtälöön: ρ t VdV + ρv V nds = f (1.8) V S missä oikealla puolella ovat tilavuusalkioon kohdistuvat voimat. Nämä voivat olla pintavoimia ja tilavuusvoimia. Edellisiä kuvaa jännitystensori T ij = (p+ 2 3 µ u k x k )δ ij +2µD ij (1.9) missä p on paine, µ dynaaminen viskositeetti, δ ij on Kroneckerin deltasymboli ja venymänopeustensori on D ij = 1 2 ( u i x j + u j x i ) (1.10) Yleensä venymänopeustensoria merkitään kirjallisuudessa ǫ ij :llä tai S ij :llä ja vastaavasti jännitystensoriaτ ij :llä taiσ ij :llä, tässä on noudatettu Ferziger-Pericin tapaa. Venymänopeustensori ja pyörteisyystensori Ω ij = 1 2 ( u i x j u j x i ) (1.11) ovat usein käytössä olevia käsitteitä esimerkiksi turbulenssimallien yhteydessä.

1.2. VIRTAUSYHTÄLÖT 9 Tilavuusvoimia voivat olla esimerkiksi gravitaatio- tai sähkömagneettiset voimat. Joskus myös koordinaatistomuunnoksesta aiheutuu voiman kaltaisia termejä kuten keskipakovoima ja Coriolisvoima. Merkitsemällä tilavuusvoimaa b:llä saadaan liikemääräyhtälöksi ρ t VdV + ρv V nds = T nds + ρ bdv (1.12) V S S V mikä voidaan Gaussin lauseen avulla muuttaa differentiaaliyhtälöksi ρ V t + ρ V V = T+ρ b (1.13) Yhtälö on saanut nimensä kehittäjiensä Navierin (1785-1836) ja Stokesin (1819-1903) mukaan. Se on vektorimuotoinen, joten oikeanpuolen divergenssioperaattorin ja tensorin T tulosta tulee vektori. Yhdelle karteesiselle nopeuskomponentille u i saadaan yhtälöstä (1.12) missä ρu i dv + ρu iv nds = t i nds + ρb i dv (1.14) t V S S V t i = µ( u i x j + u j x i ) i j (p+ 2 3 µ u k x k ) i i (1.15) ja i i on karteesinen yksikkövektori (= i, j, k kun alaindeksi i = 1,2,3). Yleensä paine erotetaan viskooseista jännityksistä. Esimerkiksix-suuntaiselle liikemäärälle saadaan yhtälö S ρudv + ρu t V nds + pn x ds = V S S u µ(2n x x +n u y y +n v y x +n u z z +n w z x 2 3 n x V)dS + ρb x dv V Kuten havaitaan on kitkatermi varsin pitkä ja sisältää nopeuksien derivaattoja tasealueen reunoilla. Näiden numeeriseen määritykseen palataan jatkossa. Yhtälö on lausuttu karteesisten nopeuskomponenttien avulla. Numeerisessa laskennassa ei ole tarvetta muunlaisten nopeuskomponenttien käyttöön eikä geometrisiin koordinaatistomuunnoksiin (usein kannattaa kuitenkin tarkastella asioita liikkuvassa karteesisessa koordinaatistossa). (1.16)

1.3. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN YKSINKERTAISTETTUJA MUOTOJA 10 Energiayhtälön johtaminen tarkasti on yhtä hankalaa kuin liikemääräyhtälönkin. Vaikeutena on lisäksi se, että energiayhtälön termit saattavat olla hyvinkin eri suuruisia eri tilanteissa ja usein kannattaa laskentatarkkuuden parantamiseksi pudottaa turhia pieniä termejä pois. Integraalimuotoinen yhtälö on ρedv + ρe t V nds = k T nds+ T V nds+ V S S S V (ρ b V +q )dv (1.17) Tässä E = e + V 2 /2 on kokonaisenergia, e ominaissisäenergia, k lämmönjohtavuus jaq tilavuutta kohden kehittyvä lämpö. Yhtälön oikean puolen termit kuvaavat lämmönjohtumista, pintavoimien tekemää työtä sekä tilavuusvoimien tekemää työtä ja lämmönkehitystä. Kokoonpuristumattomalla virtauksella kineettinen energia ρv 2 /2 on yleensä pieni ja saatetaan jättää pois taseesta. Toisaalta aidosti kokoonpuristumattomassa tapauksessa (joka on tietysti idealisointi), sisäenergia ei ole määritelty ja vain kineettinen energia on jäljellä. Tällöin energiayhtälö redusoituu kineettisen energian yhtälöksi, joka ei ole itsenäinen yhtälö, vaan on johdettavissa liikemääräyhtälön avulla. Vastaava muista yhtälöistä riippuva yhtälö on johdettavissa kulmaliikemäärälle, tosin vain integraalimuodossa. Yleensä paine erotetaan tässäkin muista pintavoimista ja yhdistetään energian konvektiovuohon ρedv + ρh t V nds = k T nds+ τ V nds+ (ρ b V +q )dv V S S S V (1.18) missä H = E + p/ρ on kokonaisentalpia. Tässä on Ferziger-Pericistä poiketen merkitty viskooseja jännityksiä kuvaavaa tensoria τ:lla, mikä on ehkä kaikkein yleisin tapa. Nyt siist ij = τ ij pδ ij. Usein varsinkin painekorjausmenetelmän yhteydessä myös aikaderivaatta kirjoitetaan kokonaisentalpian tai entalpian avulla, jolloin yhtälön oikealle puolelle lisätään paineen derivaatta ajan suhteen. Energiayhtälö sisältää myös uuden muuttujan, lämpötilan, joka tulee iteroiduksi tilayhtälön kautta. Edellyttäen, että kineettinen energia on pieni ja ominaislämpökapasiteetti vakio, saadaan lämpötilalle suoraan kirjoitetuksi konvektio-diffuusioyhtälö, mikä tietysti helpottaa laskenta-algoritmin laadintaa. 1.3 Virtausyhtälöiden yksinkertaistettuja muotoja Virtausyhtälöitä voidaan useissa tapauksissa yksinkertaistaa, jolloin niiden matemaattinen luonne muuttuu. Täydelliset yhtälöt muodostavat vaillinaisesti paraboli-

1.3. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN YKSINKERTAISTETTUJA MUOTOJA 11 sen ryhmän. Jatkuvuusyhtälö on hyperbolinen, liikemäärä- ja energiayhtälöt parabolista tyyppiä. Tasapainotilan virtauksen tyyppi riippuu nopeusalueesta. Voidaan toisaalta todeta, että tasapainotilan virtaus esiintyy periaatteessa vain laminaarissa tilanteessa ja käytännön virtaukset ovat enemmän tai vähemmän turbulentteja s.o. ajasta riippuvia. Virtausyhtälöiden eri termien merkitsevyydestä saa paremman kuvan kirjoittamalla yhtälöt dimensiottomaan muotoon (kts. Ferziger-Peric). Tässä yhteydessä tärkein approksimaatio on ρ = vakio. Tällöin jatkuvuusyhtälöstä seuraa V = 0 (1.19) Tämä yhteys on muista yhtälöistä poikkeava. Aikaderivaattaa ei esiinny ollenkaan ja nopeus ei ole samassa asemassa kuin muiden yhtälöiden vuo. Yhteys (1.19) onkin sanan varsinaisessa merkityksessä jatkuvuusyhtälö. Tähän muotoon perustuvassa numeerisessa ratkaisussa yhtälöllä on muista yhtälöistä poikkeava merkitys. Se on enemmän side-ehto (constraint) kuin varsinainen yhtälö. Muita yhtälöitä siis ratkaistaan siten, että ehto (1.19) on voimassa. Liikemääräyhtälön jännitystermistä (1.15) putoaa termi u j / x j = V pois. Yhtälöä voidaan vielä yksinkertaistaa olettamalla virtaus isotermiseksi, jolloin viskositeetti on likimain vakio (viskositeetti riippuu etupäässä lämpötilasta). Tällöin saadaan yhtälön (1.16) oikean puolen integraalista u µ(2n x S x +n u y y +n v y x +n u z z +n w z x )ds = u µ(n x S x +n u y y +n u z z S )ds + u µ(n x x +n v y x +n w z x )ds = u j µ u nds +µ i S S x j nds = µ u nds +µ u j i S V x j dv = u j µ u nds +µ S V x j x dv = u j µ u nds +µ dv = S V x x j } {{ } µ u nds = µ =0 2 udv (1.20) S V missä oletustenµ = vakio ja V = u j / x j = 0 lisäksi käytettiin Gaussin lausetta ja vaihdettiin derivoimisjärjestys. Sijoittamalla tämä yhtälöön (1.16) ja jakamalla

1.3. VIRTAUSYHTÄLÖIDEN YKSINKERTAISTETTUJA MUOTOJA 12 vakiotiheydellä saadaan x-suuntaisen liikemäärän yhtälöksi udv + V t V Su nds + 1 pn x ds = ρ S u ν (n x S x +n u y y +n u z z V )ds + b x dv (1.21) missä ν = µ/ρ on kinemaattinen viskositeetti. Soveltamalla jälleen Gaussin lausetta yhtälössä (1.21) ja vastaavasti muille liikemääräyhtälön komponenteille saadaan vektorimuotoinen differentiaaliyhtälö D V Dt + 1 ρ p = b+ν 2 V (1.22) Tämä on liikemääräyhtälö kirjoitettuna yksinkertaisimmassa muodossaan. Yllä merkintäd/dt on materiaali- eli substantiaaliderivaatta, joka määritellään Dφ Dt = φ t + V φ (1.23) Materiaaliderivaatta on muodollisesti sama kuin suureen φ(x i,t) kokonaisderivaatta ajan suhteen. Todetaan jälleen kerran, että yhtälö (1.22) on primitiivimuodossa eikä siihen perustuva diskretointi ilman erikoistoimenpiteitä säilyttäisi liikemäärää. Tämän vuoksi numeerinen ratkaisu jatkossa perustuukin yhtälöön (1.21) tai sen hieman monimutkaisempaan versioon, jossa oletetaan, että ρ vakio. Kitkatermiä voidaan näet joskus approksimoida yllä olevalla tavalla vaikka neste ei olisikaan täysin kokoonpuristumatonta ja isotermistä. Tämä johtuu siitä, että termit joihin sisältyy V, ja jotka pudotettiin pois yhtälöstä (1.21), ovat kokemuksen mukaan pieniä verrattuina muihin termeihin silloinkin, kun V 0. Erot tulevat merkittävämmiksi, kun virtaukseen liittyvä Machin lukuma = V /c, missäcon äänen nopeus, kasvaa. Tällöin virtaus muuttuu kokoonpuristuvaksi ja paine, nopeus ja tiheys riippuvat toisistaan monimutkaisemmalla tavalla kuin alhaisella nopeudella. Virtauksen fysikaalinen luonne ei siis muutu, vaikka tiheys lämpötilariippuvuuden vuoksi olisikin muuttuva. Selkeä muutos tapahtuu vasta, kun Ma kasvaa tienoille 0,1...0,3. Tämä raja on epämääräinen ja riippuu tapauksesta. Ns. klassisena rajana virtausmekaniikan kirjoissa pidetään arvoa Ma 0,3, mutta puristuvuusefektit saattavat nousta merkittäviksi jo tätä pienemmillä Machin luvun arvoilla. Kuitenkin, kun ollaan tietyn rajan alapuolella, edellä esitetty virtausyhtälöiden approksimaatio pätee hyvin. Ilmalla meren pinnan tasolla c 340 m/s ja vedellä c 1,3 km/s, joten

1.4. YHTÄLÖIDEN RATKAISU 13 yhtälöiden (1.19) ja (1.22) tarkkuus on riittävä moniin käytännön virtaustehtäviin. Poikkeuksen muodostavat aerodynamiikka ja eräät ajasta riippuvat tilanteet. Joskus yhtälöitä voidaan yksinkertaistaa myös pudottamalla koko kitkatermi pois. Usein näitä kitkattoman virtauksen ns. Eulerin yhtälöitä käytetään juuri aerodynamiikassa, mutta alhaisella nopeusalueella voidaan vielä tehdä lisäoletusρ = vakio. Kitkattoman virtauksen approksimaatio on sitä parempi, mitä suurempi on tilanteeseen liittyvä globaali Reynoldsin luku. Tämä nähdään hyvin dimensiottomista yhtälöistä. Toinen ääritapaus on Re << 1, jolloin liikemääräyhtälöstä voidaan konvektiotermi pudottaa muihin termeihin verrattuna pienenä pois. Jos lisäksi tiheys ja viskositeetti ovat vakioita, saadaan ns. Stokesin yhtälöt, joiden ratkaiseminen on suhteellisen helppoa. Tämä aiheutuu siitä, että numeeriselta kannalta suurin ongelma liittyy konvektiotermin aiheuttamaan liikemääräyhtälön epälineaarisuuteen. Muita usein käytettyjä virtausyhtälöiden approksimaatioita ovat nopeuspotentiaalin käyttö ja rajakerrosyhtälöt. 1.4 Yhtälöiden ratkaisu 1.4.1 Tiheyspohjainen ratkaisu Virtausyhtälöiden ratkaiseminen on erittäin hankala tehtävä. Edellä on esitetty yhteensä viisi yhtälöä. Massansäilymisyhtälö, liikemääräyhtälö, jolla on kolme komponenttia ja energiayhtälö. Yhtälöissä on kuitenkin yhdeksän tuntematonta suuretta ρ,p,e,t,u,v,w, µ,k. Näistä viskositeetti ja lämmönjohtavuus ovat virtaavan aineen materiaaliominaisuuksia. Tarvitaan siis vielä kaksi yhtälöä, jotta yhtälöryhmä ratkeaisi. Lisäehdot saadaan termodynamiikan avulla, josta tiedetään kahden tilasuureen määräävän minkä tahansa kolmannen suureen arvon. Yhteyttä nimitetään tilayhtälöksi ja suoraviivaisin - vaikkei aina paras - valinta on p = p(ρ,e) T = T(ρ,e) (1.24) Jos virtauksessa tapahtuu kemiallisia reaktioita, tilayhtälöstä tulee monimutkaisempi. Palauttamalla mieleen edellisessä kappaleessa esitetyt yhtälöt, on mahdollista konstruoida niiden suoraviivainen ratkaisu: Integroidaan ajan suhteen aika-askel

1.4. YHTÄLÖIDEN RATKAISU 14 kerrallaan kaikkia viittä yhtälöä, jolloin saadaan ratkaistuksi ρ,ρ V ja ρe. Jakamalla liikemäärä tiheydellä saadaan nopeuskomponentit ja pienellä manipuloinnilla ominaissisäenergia e. Tämän jälkeen tilayhtälön avulla voidaan paine ja lämpötila ratkaista ja edetä seuraavalle ajanhetkelle. Käyttämällä implisiittistä menetelmää ja peruskurssilla opittuja tapoja, ratkaisua saadaan huomattavasti nopeutetuksi eksplisiittisestä aikaintegroinnista. Tasapainotila, mikäli sellainen löytyy, saavutetaan integroimalla yhtälöitä ajan suhteen. Ratkaisutapaa nimitetään tiheyspohjaiseksi. Edellä kuvattu suoraviivainen ratkaisu toimii, jos virtaus on kokoonpuristuvaa, ts. Machin luku on ainakin suurempi kuin 0,1. Kokemus on osoittanut, että kun nopeus pienenee, menetelmän konvergenssi alkaa huonontua ja hitaille virtauksille ei konvergoitunutta tulosta yleensä saada ollenkaan. Selkeää syytä konvergenssin huononemiseen ei ole esitetty. Kun Ma 0, tiheyden muutokset myös pienenevät ja paineen määritys tilayhtälön kautta tulee epätarkaksi. Periaatteessa tämä pitäisi olla korjattavissa käyttämällä laskennassa kaksinkertaista tarkkuutta, mutta tilanne ei sillä korjaannu. Viime aikoina on esitetty paljonkin menetelmiä alhaisen Machin luvun virtaukselle. Ainakin yksidimensioisessa tapauksessa on osoitettu, että muotoilemalla reunaehdot sopivasti, aikaintegrointimenettely toimii hyvinkin alhaiselle Machin luvulle. Konvergenssin heikkenemisellä on selvästi jotain tekemistä karakterististen nopeuksien, joihin palataan myöhemmin, sekä sisään- ja ulosvirtausreunojen keskinäisellä vuorovaikutuksella. Tähän vuorovaikutukseen karakteristiset nopeudet vaikuttavat. Nyrkkisääntönä voidaan pitää, että kun suurimman ja pienimmän karakteristisen nopeuden suhde on yli kymmenen, aikaintegrointimenetelmän konvergenssi huononee. Varma tapa parantaa konvergenssia on karakterististen nopeuksien manipuloiminen. Tämä voidaan tehdä pohjustamalla (preconditioning) virtausyhtälöitä. Nämä voidaan kirjoittaa vektorimuotoon U t + F x + G y + H z = 0 (1.25) missä U = (ρ,ρu,ρv,ρw,ρe) T on ratkaistavien konservatiivisten suureiden muodostama vektori ja F, G, H ovat vuovektoreita x, y, z-suunnissa. Erityisesti kokoonpuristumattoman virtauksen tapauksessa käytetään ratkaisualgoritmissa primitiivisuureita, jotka voidaan valita usealla tavalla. Yleisimmin käytetty valinta on ehkä u = (p, u, v, w, T). Ominaisarvojen manipulointiin riittää lisätä yhtälöön näennäi-

1.4. YHTÄLÖIDEN RATKAISU 15 saikaderivaattatermi u A p τ + U(u) + F(u) t x + G(u) + H(u) y z = 0 (1.26) missä τ on näennäisaika ja A p on sopivasti valittu Jacobin matriisi. Tässä tavassa varsinainen aikaderivaatta, mikäli sitä edes tarvitaan, käsitellään lähdeterminä ja integrointi tapahtuu suuren τ suhteen. Uudella Jacobin matriisilla manipuloidaan karakteristisia nopeuksia ja saavutetaan hyvä konvergenssi. Menetelmä on kuvattu hyvin Tannehill-Anderson-Pletcherin kirjassa. Yllä kuvattu konvergenssin parannuskeino on melko uusi eikä se ole kovin laajalle levinnyt. Menetelmää nimitetään tiheyspohjaiseksi, vaikka siinä tiheys voikin olla vakio eikä jatkuvuusyhtälö olen ilman lisätermiä integroitavissa ajan suhteen. 1.4.2 Painepohjainen ratkaisu Numeeristen ratkaisujen kehityshistorian aamuhämärissä alhaisen Machin luvun virtauksen simulointi ryhdyttiin perustamaan täydellisten yhtälöiden sijaan yhtälöihin (1.19) ja (1.22), siis oletukseen ρ = vakio. Paitsi, että yhtälöt näyttävät yksinkertaisemmilta, niihin liittyy erityisesti eksplisiittisessä ratkaisumaailmassa selkeä etu. Karakteristisia nopeuksia on vain yksi λ = u (yksidimensioisessa tilanteessa). Täydellisillä virtausyhtälöillä näitä nopeuksia on kolmeλ 1 = u jaλ 2,3 = u±c. Kun virtausnopeus pienenee äänen nopeuteen verrattuna, nähdään edellä mainittu ominaisarvojen suhteiden epäedullinen kehitys. Lisäksi eksplisiittisellä aikaintegroinnilla Courantin kriteeri, joka määrittää aika-askeleen pituuden on t λ max x 1 (1.27) Peruskurssin yhteydessä konvektioyhtälöllä ominaisarvo λ oli aina nopeus. Nyt oletuksella ρ = vakio päästään tähän samaan ominaisarvoon, joka esimerkiksi vedellä saattaa olla kaksi dekadia pienempi kuin täydellisiin yhtälöihin perustuva ominaisarvo, joka sisältää äänen nopeuden. Tällä seikalla oli huomattava merkitys aikana, jolloin ratkaisut olivat käytännössä aina eksplisiittisiä. Ratkaisumenetelmiä ryhdyttiin kehittämään yhtälöille (1.19) ja (1.22) ja samalla eri nopeusalueiden ratkaisumaailmat erkanivat toisistaan niin paljon, että niiden asiantuntijatkaan eivät tunnu täysin puhuvan samaa kieltä. Useat merkintätavat ja nimitykset ovat erilaistuneet.

1.4. YHTÄLÖIDEN RATKAISU 16 Esimerkkinä voidaan mainita malliyhtälö (1.3), jossa Ferziger-Peric systemaattisesti käyttää diffuusiokertoimena Γ:aa. Peruskurssilla oli puhetta laskentatilavuuteen referoidusta Reynoldsin luvusta, joka malliyhtälön tapauksessa itse asiassa onkin Peclet:n luku. Virtausratkaisussa tärkein yhtälö on liikemääräyhtälö, jolloin diffuusiota kuvaava dimensioton suure on nimetty Reynoldsin mukaan. Tällä kurssilla käytetään CFD-kirjoista (Fletcher, Hirsch, Tannehill-Anderson-Pletcher) peräisin olevia merkintöjä ja annetaan niille rinnakkaistapa Ferziger-Peric:in mukaan. Eräissä kohden käytetään painekorjausmenetelmän yhteydessä täysin vakiintuneita merkintöjä, kuten ns. ilmansuuntia. Ongelmaksi alhaisella Machin luvulla tulee paineen määritys. Liikemääräyhtälöistä voitaisiin periaatteessa ratkaista nopeudet, jos paine tunnettaisiin. Tilayhtälöä ei voida käyttää, koska sellaista ei aina edes ole. Ainoaksi mahdollisuudeksi jää siis jatkuvuusyhtälön V käyttö, mikä ei ole täysin triviaalia. Vuosien varrella menetelmiä on kuitenkin esitetty useita ja niiden perusteet tulevat tällä kurssilla esille. Ilmeisesti ensimmäinen todella toimiva tapa oli eliminoida paine pois yhtälöistä (1.19) ja (1.21). Tämä käy päinsä uusien muuttujien virtafunktion ψ ja pyörteisyyden Ω = V (1.28) avulla (usein pyörteisyyttä merkitään myös pienellä omegalla). Pyörteisyysvektori määrittelee myös pyörteisyystensorin (1.11) komponentit. Kaksidimensioisessa tapauksessa on helppo jatkuvuus- ja liikemääräyhtälöiden avulla johtaa ajasta ja paikasta riippuva yhtälö pyörteisyyden itseisarvolle ja toinen ns. Poisson-yhtälö virtafunktiolle. Virtafunktion avulla saadaan nopeuskomponentit. Paine ei ratkaisussa esiinny ollenkaan. Jos sitä tarvitaan, voidaan sille laatia erillinen, suhteellisen hankalasti ratkaistava yhtälö. Virtafunktio-pyörteisyysmenetelmä oli aikaisemmin niin yleinen, että 70-luvun alussa ilmestyneessä Roachen klassisessa Computational Fluid Dynamics-kirjassa pyörteisyysyhtälöä käytetään malliyhtälönä, jolle erilaisia diskretointeja esitetään. Menetelmää käytetään ja kehitetään edelleen, vaikka se on hankala kolmidimensioisessa tapauksessa. Viime vuosisadan lopulla yleistyi myös ns. näennäispuristuvuuskeinon (artificial compressibility method) käyttö. Siinä jatkuvuusyhtälöön lisätään aikaderi-

1.4. YHTÄLÖIDEN RATKAISU 17 vaatta 1 p β τ + V = 0 (1.29) Tällä tavoin jatkuvuusyhtälö muuttuu oikeaksi yhtälöksi, josta paine voidaan integroida yhdessä liikemääräyhtälöiden nopeuksien kanssa. Temppu on sallittua tasapainotilan virtaukselle, koska tasapainotilassa aikaderivaattatermi häviää ja ratkaisuksi tulee kokoonpuristumattoman virtauksen yhtälöt. Ajasta riippuva tilanne voidaan ratkaista lisäämällä oikea aikaderivaatta lähdeterminä ja pseudointegroimalla aika-askeleen sisällä. Menetelmä on selvästikin läheistä sukua matriisin pohjustamiskeinolle (1.26). Itse asiassa ero tulee vain siitä, että yhtälössä (1.26) oletetaan käytettäväksi täydellisiä virtausyhtälöitä. Soveltamalla näennäispuristuvuusmenetelmää tapaukselle ρ vakio, päädytään varsin samanlaiseen formalismiin kuin matriisin pohjustamis -menettelyllä, joka on itse asiassa huomattavasti vähemmän käytetty. Näennäispuristuvuuskeinon esitti Chorin jo vuonna 1968, mutta sekin yleistyi vasta viime vuosituhannen lopulla. Motivaationa oli saada erityisesti aerodynaamisiin sovelluksiin kehitettyjä ohjelmia toimimaan myös kokoonpuristumattomassa tapauksessa tai alhaisella Machin luvulla. Näennäispuristuvuuskeino on tavallaan tiheyspohjainen menetelmä, mutta kuten myöhemmin tulee esille, se voidaan tulkita myös yksinkertaiseksi painekorjausmenetelmäksi. Chorinin menetelmä on painekorjausmenetelmistä poikkeava esimerkki varhaisesta primitiivisuureiden käytöstä. Tässä yhteydessä primitiivisuureilla viitataan erityisesti paineeseen ja nopeuksiin, kun aiemmin ns. standardiratkaisu pohjautui virtafunktioon ja pyörteisyyteen. Paineen määräytyminen primitiivisuureiden avulla säilyi pitkään ongelmana, kunnes hieman Chorinia aiemmin, vuonna 1965, Harlow ja Welch Los Alamosin laboratoriosta esittivät marker and cell -menetelmän (MAC), jota voidaan pitää kaikkien varsinaisten painepohjaisten menetelmien esikuvana. Menetelmässä otettiin käyttöön ns. limitetty hila ja paine ratkaistiin Poissonyhtälöstä. Painepohjaisissa menetelmissä voidaan ratkaista joko suoraan painetta tai paineen muutosta, tehdään siis paienkorjaus. Tällä kurssilla keskitytään painekorjausmenetelmän ominaisuuksiin. Muihin ratkaisumenetelmiin palataan vielä luvussa 13.

1.5. MENETELMIEN TARKASTELUA 18 1.5 Menetelmien tarkastelua Limitetyn hilan myötä eri nopeusalueiden ratkaisumenetelmät lähtivät primitiivisuureillakin eri teilleen. Implisiittisen menetelmän sisällä yleensä käytetään sopivasti valittuja primitiivisuureita, mutta lopullinen ratkaisuvektorin muutos on aina konservatiivisten suureiden avulla muodossa U. Paine ratkaistaan tämän jälkeen tilayhtälöstä. Painepohjaisilla menetelmillä ratkaistaan yleensä primitiivisuureita, joskus liikemäärän osalta myös konservatiivisia. On syytä muistaa, että ratkaistavien suureiden valinnalla ei ole mitään tekemistä säilymisominaisuuden kanssa. Säilymisominaisuus pohjautuu yhtälön (1.2) oikean puolen diskretointiin. Vasemmalla puolella numeriikka-osassa voidaan käyttää mitä tahansa sopivia muuttujia. Kuten aiemmin todettiin eri kehityssuunnat ovat aikaansaaneet tiettyjä eroja yhtälöiden esittämisformalismissa ja myös menetelmien kehityshistoriassa. Aerodynamiikassa pyritään laskemaan kappaleeseen kohdistuvia voimia ja niiden osalta on oleellisen tärkeää, että kappaleen muoto on oikein. Tällöin on aluksi luovuttiin Navier Stokes-yhtälöiden käytöstä ja sovellettiin kitkattoman virtauksen teoriaa ja siihen liittyviä ns. paneelimenetelmiä. Analyysiin voidaan yhdistää joko erikseen tai kiinteänä osana rajakerrosyhtälöiden ratkaisu, jolloin saadaan myös kappaleeseen vaikuttava kitkavoima. Tämä laskentatapa on edelleen käytössä lentokoneiden suunnittelussa nopeutensa vuoksi. Navier Stokes-yhtälöiden käyttö oli huomattavan suppeaa eikä niitä aiemmin käytetty suunnittelussa. Vasta ns. supertietokoneiden (Cray-1 vuonna 1976) myötä laskentaresurssit olivat sillä tasolla, että Navier Stokes-pohjaiseen virtausratkaisuun ryhdyttiin kiinnittämään enemmän huomiota. Ratkaisumenetelmät kehittyivät implisiittisiksi (Beam ja Warming 1978) ja niiden tehoa edelleen parannettiin monihila-algoritmin avulla (A. Jameson 1984). Myöhemmin otettiin käyttöön länsimaissa uusi vuon laskentatapa, josta käytetään nimitystä vuovektorin ositusmenetelmä (flux-vector splitting, Bram van Leer 1982) ja sille läheistä sukua oleva approksimatiivinen Riemann-ratkaisu (myös flux-difference splitting, P. Roe 1981). Kummatkin menettelyt pohjautuvat venäläisen S. K. Godunovin 1959 esittämään Riemann-ratkaisuun perustuvaan vuon laskentaan. Uusien menetelmien ja jatkuvasti kehittyvien supertietokoneiden myötä arveltiin virtausratkaisun 80-luvun taitteessa olevan hyvinkin pian suunnittelussa vaa-

1.5. MENETELMIEN TARKASTELUA 19 ditulla tasolla. Käytännön virtauksia ei voida kuitenkaan vielä ratkoa turbulentissa tapauksessa ajan suhteen tarkasti, vaan käytetään ns. Reynolds-keskiarvotettuja yhtälöitä, joita varten tarvitaan turbulenssin kuvausta varten erillinen turbulenssimalli. Aerodynaamisissa sovelluksissa ajatuksena oli käyttää aiemmin rajakerrosyhtälöiden yhteydessä käytettyjä yksinkertaisia ns. algebrallisia malleja. Vähitellen selvisi, ettei virtaus ole ratkaistavissa pelkällä numeron murskauksella, ainakaan nykyisellä tietokoneiden teholla. Algebralliset mallit eivät toimineetkaan monimutkaisissa tilanteissa ja erityisen heikosti ne toimivat tapauksissa, joissa virtaus irtoaa pinnalta. CFD:n perusongelma onkin siirtynyt lähinnä turbulenssin kuvaamisen tutkimiseen. Myöhemmin aerodynamiikassakin on otettu käyttöön monimutkaisempia malleja, joista tunnetuin on k ǫ-malli. Lisäksi sinänsä tehokkaita koodeja on modifioitu aiemmin esitetyillä tavoilla kokoonpuristumattomien virtauksien laskentaan. Unelma turbulenssin kuvauksen selvittämisestä numeron murskauksella on kokemassa renessanssia tietokoneiden lähes käsittämättömän kapasiteetin kasvun myötä. Suurimpia toiveita asetetaan ns. isojen pyörteiden menetelmään, jossa osa turbulenssin spektristä kuvataan ajasta riippuvana ja vain osa mallinnetaan. Myös Navier Stokes yhtälöiden suoraa ratkaisua ilman keskiarvottamista voidaan käyttää alhaisilla Reynoldsin luvuilla (Re < 10 5 ). Kokoonpuristumattoman virtauksen ratkaisuja ryhdyttiin soveltamaan erilaisten teollisuusprosessien kuvaukseen ja tärkeä osa-alue oli lämmönsiirto. Ratkaisumenetelmien raportoinnissa keskeinen foorumi on ollut Numerical Heat Transfer -lehti. CFD-termi on tällä alueella yleistynyt vasta 90-luvulla, sen liityttyä aiemmin lähinnä supertietokoneilla tehtyihin aerodynaamisiin simulointeihin. Yleensä teollisuusprosessien simuloinnissa tavoitteena ei ole ollut saada selville rakenteisiin vaikuttavia voimia, vaan virtausjakautuma ja virtauksen linkittyminen erilaisiin prosesseihin lähinnä turbulenssin aika- ja pituusskaalojen kautta. Tämän vuoksi heti aluksi kiinnitettiin erityistä huomiota turbulenssin mallinnukseen. Ns. kaksi-yhtälömalleja oli esitetty jo aiemmin (Kolmogorov 1942), mutta virtaussimulointien yhteydessä ne tulivat esille 60-luvun lopulla (Harlow ja Nakayama 1968). Standardi k ǫ-malli on puolestaan esitetty hieman myöhemmin ja se on ollut alku sekä teollisuusprosessien virtaussimuloinneille että kaupallisille virtausratkaisijoille (Jones ja Launder 1972). MAC-menetelmästä kehitettiin tehokkaampi versio (SIMPLE, Patankar ja Spalding 1972), mutta yhtälöiden diskretointitarkkuudesta tai kappaleiden muo-

1.6. KURSSIN SISÄLLÖSTÄ 20 doista ei välitetty käytännössä juuri mitään. Itse asiassa tarkkuus eräissä laskentakoulukunnissa vain aleni. MAC-menetelmässä käytetään keskeisdifferenssiä, jolla on toisen kertaluvun tarkkuus. SIMPLE-menetelmän yhteydessä ryhdyttiin soveltamaan ensimmäisen kertaluvun ylävirtadiskretointia, jolla on globaalia Reynoldsin lukua tuhoisasti alentava vaikutus, kuten peruskurssilla on esitetty. Laskentahilat olivat suorakulmaisia ja vinot seinät kuvattiin sahalaitoina, jolloin mistään tarkkuudesta seinien lähellä ei kannattanut puhua. Vasta tultaessa 90-luvulle kokoonpuristumattoman virtauksen yhteydessä käytetyt menetelmät ja myös runsaslukuisesti markkinoilla olevat kaupalliset koodit alkoivat nopeasti kehittyä. Merkittävä virstanpylväs on ollut limitetystä hilasta luopuminen (Rhie ja Chow 1983). Sekin yleistyi melko hitaasti ja vasta 90-luvulle tultaessa erilaiset menetelmän modifikaatioehdotukset ovat täyttäneet mm. Numerical Heat Transfer-lehden. Näistä on tehty varsin kattava kirjallisuustutkimus (A. Miettinen, muistio CFD/TERMO-24-97). Limitetystä hilasta luopuminen on oleellisen tärkeä edistysaskel siirryttäessä käyräviivaiseen laskentahilaan, sovellettaessa monihila-algoritmia jne. Myös tarkemmat diskretointimenetelmät ovat lopulta yleistyneet, mukaan lukien TVD-menetelmät, joita käsiteltiin peruskurssilla. Viime aikoina ovat myös uudenlaiset hilatyypit (tetraedrit, prismat) nopeasti vallanneet alaa. Painepohjaisiin menetelmiin on yhdistetty myös piirteitä, joilla ne saadaan toimimaan suurella Machin luvulla, vastaavasti todettiin aikaintegrointipohjaisten algoritmien vuosituhannen lopulla laajentuneen alhaiselle nopeusalueelle. Kehityksen myötä on nähtävissä, että erilaiset virtausyhtälöiden ratkaisutavat ovat hitaasti konvergoitumassa yhdeksi laajemmaksi kokonaisuudeksi. 1.6 Kurssin sisällöstä Edellä on usein viitattu Ferziger-Pericin kirjaan Computational Methods for Fluid Dynamics, jota käytetään kurssilla pohjana. Teos on ensimmäinen laajempi esitys painekorjausmenetelmästä sitten S. V. Patankarin klassisen kirjan Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Tuskin mikään yksittäinen kirja on yhtä paljon referoitu ja vaikuttanut niin suuresti tieteenhaaraansa kuin Patankarin kirja. Pääsyynä lienee teoksen poikkeuksellisen selkeä ja ytimekäs esitystapa, jolla vaikeatkin asiat on saatu näyttämään helpoilta. Pedagogisessa mielessä Patankarin kirja on edelleen

1.6. KURSSIN SISÄLLÖSTÄ 21 ylittämätön, mutta itse sisällön kannalta se oli jo ilmestyessään osittain vanhentunut ja erityisesti diskretointivirheen tarkastelun kannalta liian suppea. Kirjaa voi ja kannattaa käyttää edelleen, jos haluaa selkeää kuvausta painekorjausmenetelmän ideoista ja taustoista, mutta itse menetelmän kuvauksessa se on vanhentunut. Painekorjauksesta on ilmestynyt joitakin kirjoja, jotka lähinnä on tarkoitettu oppaaksi kaupallisten ohjelmien käyttäjille manuaalien rinnalla. Vasta Ferziger-Pericin kirja on jossain määrin vakava yritys alan kurssikirjaksi. Valitettavasti se ei nouse tyyliltään edeltäjänsä tasolle eikä sisällöltään läheskään vastaa monia laajempia CFD-kirjoja (Hirsch, Fletcher, Tannehill-Anderson-Pletcher). Pelkästään Ferziger- Pericin varassa alasta ei saa kunnollista kuvaa. Kirjasta puuttuu esimerkiksi TVDmenetelmät kokonaan. Eräissä kohdin kirjoittajien mielipiteet eivät myöskään vastaa CFD-yhteisössä vallitsevaa käsitystä asioista. Esimerkkinä voidaan mainita keskeisdifferenssin käyttö aina oletusarvodiskretointina. Käsitys on siinä mielessä puhdasoppinen, että kuten peruskurssin pohjalta muistetaan, ylävirtapainotteinen menetelmä lisää aina numeerista vaimennusta ratkaisuun. Vaikka ylävirtamenetelmän kertalukua kuinka kasvatettaisiin, mitä monidimensioisessa tapauksessa ei käytännössä pystytä tekemään toista kertalukua pitemmälle, modifioituun yhtälöön jää parillisia derivaattoja, jotka ovat vaimentavia. Keskeisdifferenssillä vaimennus tulee vain fysikaalisesta diffuusiosta, vaikka käytännössä yleensä joudutaankin lisäämään ns. Jameson-tyyppinen 4. kertaluvun vaimennustermi. Riittävän tiheällä diskretoinnilla voidaan kuitenkin väittää keskeisdifferenssin tarkkuuden olevan ylävirtamenetelmiä parempi. Ferziger-Pericin lähtökohtana on, että tämä hilatiheys on myös käytännössä vaadittava. Valitettavasti käytännön simulointitehtäviltä vaaditaan varmatoimisuutta ( robustisuutta ), missä ylävirtamenetelmät ovat ylivoimaisia. Niiden tarkkuus kokoonpuristuvan virtauksen yhteydessä sovellettavien Riemann-ratkaisijoiden yhteydessä on myös selkeästi keskeisdifferenssipohjaisia tapoja parempi, koska tarkkuuden saavuttaminen epäjatkuvuuskohdan lähellä ei tällöin riipu keinotekoisesti lisätystä vaimennuksesta. Tällä kurssilla oletetaan konvektiotermi diskretoitavaksi MUSCL-kaavalla, mikä ei sinänsä sulje pois valintaa κ = 1, mikä vastaa keskeisdifferenssiä. Mainittakoon, että MUSCL-kaavaakaan ei Ferziger-Pericissä ole, vaikka siihen pohjautuvia diskretointitapoja esitetäänkin. Kirjan puutteet eivät ole katastrofaalisia, koska varsinaiset diskretointiasiat ovat tulleet esillä peruskurssilla ja ne oletetaan tässä yh-

1.6. KURSSIN SISÄLLÖSTÄ 22 teydessä tunnetuiksi esitiedoiksi. Puutteita poistamaan on kirjoitettu tämä moniste, jonka käsillä olevassa johdanto-osassa tuodaan esille käytetty yhtälöjärjestelmä ja painekorjausmenetelmän taustaa. Tätä seuraa katsaus Navier Stokes-yhtälöiden ominaisuuksiin, jotka ovat tärkeämpiä kokoonpuristuvan virtausratkaisun yhteydessä, mutta toimivat taustana myös painekorjausmenetelmälle. Kolmannessa luvussa käydään läpi kertauksena peruskurssin sisältö. Tarkoituksena on lähinnä verrata aiemmin opittua Ferziger-Pericin esitystyyliin sekä merkintöihin ja nimityksiin. Viimeksi mainituista saatetaan, kuten aiemmin jo todettiin, käyttää erilaista esitystapaa. Painekorjaus, joka sekin on enemmän eräänlainen strategia, kuin yksittäinen menetelmä, tuodaan esille hieman Ferziger-Pericistä poikkeavasti, mutta mitään suurta ristiriitaa ei ole. Ristiriitoja saattaa enemmän löytyä kirjan ja monille tutuiksi tulleiden kaupallisten ohjelmien ajatusmaailman välillä. Viimeksi mainituista on tarkoitus tuoda pääkohtia esille kurssin lopuksi. Ferziger-Pericistä käsitellään suoraan luku 6, joka käsittelee ajan suhteen tarkkoja menetelmiä. Myös luku 9 turbulenssista käsitellään sinällään ja luku 8 monimutkaisista geometrioista ehkä hieman täydennettynä. Luku 10 laskennan tehostamisesta on myös mukana täydennettynä. Kurssin sisältö on likimain seuraava: 1. Johdanto ja käytettävät yhtälöt 2. Virtausyhtälöiden ominaisuuksia 3. Diskretointimenetelmien kertaus (FP sivulle 84) 4. 1D painekorjaus limitetyllä hilalla, putkiverkot 5. Tavanomainen hila 6. Navier Stokes yhtälöiden ratkaisu 7. Yhtälöryhmien ratkaisu (FP luku 5) 8. Ratkaisun tehostaminen (FP luku 11) 9. Monimutkainen geometria (FP luku 8) 10. Ajasta riippuvat tilanteet (FP luku 6) 11. Turbulenssi (FP luku 9)

1.7. KÄYTETYT YHTÄLÖT 23 12. Virtaussimulointeihin liittyvää käsitteistöä (FP taustamateriaalina) 13. Muut ratkaisumenetelmät 14. Virtaussimuloinneista ja kaupallisista ohjelmista Totuttuun tapaan tähänkin kurssiin liittyy 12 kappaletta harjoitustehtäviä. Nämä seuraavat löyhästi luentoja, koska harjoitustehtävissä keskitytään ainoastaan painekorjausalgoritmin rakentamiseen. Tämä on jaettu kahteentoista osatehtävään. Asioiden esittäminen luennolla ei kestä yhtä kauan ja jäljellä oleva aika käytetään muun virtauslaskentaan liittyvän tiedon esittämiseen. Esimerkiksi turbulenssin mallinnukseen käytetään kaksi tuntia. Tämä ei tietenkään korvaa varsinaista turbulenssikoulutusta, mutta antaa kuitenkin jonkinlaisen kokonaiskuvan siitä, mitä elementtejä tällä hetkellä numeeriseen virtaussimulointiin kuuluu. Tarve edes jossain määrin linkittää luentoja harjoitustehtävissä esillä olevaan asiaan, on puolestaan aikaansaanut Ferziger-Pericistä poikkeavan asioiden esilletulojärjestyksen. 1.7 Käytetyt yhtälöt Matemaattisessa mielessä kurssilla käsitellään tehtävää, jossa ratkaistaan yhtälöt (1.19) ja (1.22). Ne ovat uudelleenkirjoitettuna: V = 0 DV Dt + 1 ρ p = b+ν 2 V (1.30) Numeriikassa emme kuitenkaan käsittele liikemääräyhtälöä näin, vaan sovellamme säilymismuotoa (1.21) ρudv + ρu t V nds + pn x ds = V S S u µ (n x S x +n u y y +n u z z V )ds + ρb x dv (1.31) missä myös tiheys on mukana vuotermeissä ja liikemäärässä. Tekstiosuudessa tuodaan muoto (1.30) esille usein paitsi lyhyyden vuoksi, myös korostamaan sitä seikkaa, että ratkaisumenetelmä toimii nimenomaan vakiotiheydellä, ja että jatkuvuusyhtälö määrittelee liikemääräyhtälöissä esiintyvän painekentän eikä suinkaan tilayhtälö. Juuri tämä seikka on painekorjausmetodin ydin. Käytännössä ei ole mikään

1.7. KÄYTETYT YHTÄLÖT 24 ongelma lisätä menetelmään erilaisia piirteitä, esimerkiksi tiheyden riippuvuus paineesta ja lämpötilasta. Edellä esitetty tilayhtälö (1.24) tulee tällöin käyttöön, mutta muodossa ρ = ρ(p,e) tai ρ = ρ(p,t) (1.32) Yhtälö (1.31) on käytössä sekä yksi- että kaksidimensioisessa muodossa. Varsinainen virtausratkaisija tehdään kaksidimensioisena, jolloin kaikki kolmidimensioisessa tapauksessa esille tulevat piirteet saadaan jo esille. Painekorjaus voidaan kuitenkin suorittaa jo yksidimensioisilla yhtälöillä, jotka ovat alussa paljon helpommin käsiteltäviä. Yhtälön (1.31) yksidimensioinen muoto on ρudv + ρu 2 ds + pn x ds = t V S S u µ S x V ds + ρb x dv (1.33) p n i Tämän diskretointi kontrollitilavuusmenetelmällä on suoraviivaista. Ainoa huox S i 1/2 p n S i +1/2 Kuva 1.2: Yksidimensioinen putkielementti, jossa nähdään paineesta aiheutuva voima putken seinämällä. mionarvoinen asia on painetermi, johon on otettava myös putken pinnalla vallitseva paine mukaan (kts. kuva 1.2). Yksidimensioisessa tapauksessa putken pinnan x-suuntainen komponentti on tilavuutta rajaavien x-suuntaisten pinta-alojen erotus S i+1/2 S i 1/2. Muilla kuin painetermillä pintaintegraalit ovat nollasta poikkeavia vain pinnoillas i+1/2 jas i 1/2 eikä niissä pinnan normaalinx-komponenttian x = 1 ole merkitty eksplisiittisesti näkyviin. Mikäli putken poikkipinta on vakio, kyseinen painekomponenttikin häviää. Tällöin voidaan kitkattomalle ja lähdetermittömälle virtaukselle kirjoittaa yhtälö ρudv + t V S ρu 2 ds + pds = 0 (1.34) S

1.7. KÄYTETYT YHTÄLÖT 25 mistä saadaan yksidimensioinen differentiaaliyhtälö ρu t + ρu2 x + p x = 0 (1.35) Jo peruskurssissa tuotiin esille epälineaarisuuteen liittyviä ongelmia. Tämä asia tulee hyvin esille vakiotiheydellä, koska useat muut hankaluudet on vältetty. Edellä olevan yhtälön ominaisuuksien tutkiminen voidaan aloittaa olettamalla painegradientti nollaksi. Derivoimalla saadaan tällöin u ρ t +ρ u t +ρu u x +u ρu x = 0 (1.36) Massan säilymisen perusteella ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhdessä = 0. Virtausyhtälöitä muutettaessa erilaisiin primitiivimuotoihin (primitiivisuureet voidaan valita usealla tavalla), on usein käytetty temppu identifioida yhtälöistä termi: suure jatkuvuusyhtälö, joka on identtisesti nolla. Yllä oleva yhtälö redusoituu siis lopulta Burgersin yhtälöksi, joka on primitiivimuodossa u t +u u x = 0 (1.37) Koska epälineaarisuutensa Burgersin yhtälö on hyvä aloituskohta painekorjausratkaisijan tekemiselle, tarkastellaan seuraavassa eräitä yhtälön ominaisuuksia. Säilymismuotoisen yhtälön vuoksi saadaan siis f = u 2 /2. Burgersin yhtälöllä on yksi karakteristika dx dt = u (1.38) jota pitkin ratkaisu u pysyy vakiona. Burgersin yhtälöllä ratkaisussa esiintyy epäjatkuvuuskohtia, joiksi mikä tahansa kulkusuuntaan vähenevä jakautuma tiivistyy. Epäjatkuvuuskohdan nopeudeksi C saadaan ns. yleisten yksidimensioisten Rankine- Hugoniot ehtojen F = C U (1.39) avulla saadaan Burgersin yhtälöllec = (u L +u R )/2. Yllä F = F L F R on vuoarvojen erotus epäjatkuvuuskohdan kahden puolen ja U vastaava erotus ratkaistavien suureiden muodostamalle vektorille. Epäjatkuvuuskohdan ratkaisu on esitetty kuvassa 1.3 Jos tarkastellaan alunperin jatkuvaa jakautumaa, kuten kuvan 1.4 siniaaltoa, se lopulta terävöityy kuten kuvassa on esitetty. Terävöitymisen jälkeen aallon nopeus on C = u 0 t+ Bt (1.40)

1.7. KÄYTETYT YHTÄLÖT 26 u u = u L u L t t = 0 x = 0 u = u R u R (u L + u R ) t/2 x Kuva 1.3: Burgersin yhtälön ratkaisu shokkiaallolle A g(x) u 0 t = 0 t C B/t x 0 L u 0 t u 0 t + Bt ja sen korkeus on muutu, koska tilanne on häviötön. Kuva 1.4: Burgersin yhtälön ratkaisu siniaallolle B/t, missä B/2 on siniaallon pinta-ala. Aallon pinta-ala ei Jos suureen arvo on menosuunnassa kasvava, karakteristikat suuntautuvat x, t- tasossa, kuten kuvassa 1.5 on esitetty. Ilmiötä sanotaan ekspansioviuhkaksi (expansion fan) ja se johtaa aallon loivenemiseen edelleen. Ratkaisu on saman kuvan yläosassa ja se voidaan esittää muodossa u 1 x/t < u 1 u(x,t) = x/t u 1 < x/t < u 2 (1.41) u 2 x/t > u 2 Periaatteessa ratkaisu voisi olla myös epäjatkuva (expansion shock), mikä olisi epäfysikaalista. Tarvitaan entropiaehto, josta peruskurssilla oli puhetta, jonka avulla epäfysikaaliset ratkaisut voidaan matemaattisessa mielessä sulkea pois. Entropiaehdon toteuttavat ratkaisut voidaan löytää myös raja-arvona diffuusiotermin sisältävästä Burgersin yhtälön ratkaisusta antamalla diffuusiokertoimen lähestyä nollaa. Burgersin yhtälön numeerisesta ratkaisusta oli myös puhetta peruskurssilla. Mi-