Mallien perusteet. Tavoittena on valottaa (kontinuumi)mallien yleistä rakennetta säilymislakien ja systeemiajattelun pohjalta.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Mallien perusteet. Tavoittena on valottaa (kontinuumi)mallien yleistä rakennetta säilymislakien ja systeemiajattelun pohjalta."

Eija Turunen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Mallien perusteet Tavoittena on valottaa (kontinuumi)mallien yleistä rakennetta säilymislakien ja systeemiajattelun pohjalta. Pyrkimys erottaa mallien yleispätevät ja tapauskohtaiset piirteet. Sisältö: systeemiajattelua, säilymisperiaate, esimerkkejä tavallisimmista mallikohtaisista laeista. 0

Pyrkimys erottaa mallien yleispätevät ja tapauskohtaiset piirteet.

2 Systeemit Systeemi on rajattu kokonaisuus, jonka tila voidaan määritellä ja joka kommunikoi ympäristön kanssa syötteiden ja vasteiden välityksellä. Malli koostuu yleensä osasysteemeistä ja näiden välisistä syöte-vaste kytkennöistä. diskreetit systeemit (äärellinen määrä tiloja, diskreetti aika) (jonot, varastot) jatkuva-aika systeemit (ääretön määrä tiloja, jatkuvaaika, äärellinen määrä osasysteemejä), (massapistemekaniikka) kontinuumisysteemit (ääretön määrä osasysteemejä) 1

Malli koostuu yleensä osasysteemeistä ja näiden välisistä syöte-vaste kytkennöistä.

3 Systeemit ja säilymisperiaate Systeemin tilan muutosta säätelee yksinkertainen periaate: Tilan muutos = (tuotto poisto) + (sisäänvirtaus ulosvirtaus) Tuotto ja poisto liittyvät systeemin tilan sisäisiin muutoksiin, virtaustermit systeemin kommunikointiin ympäristön kanssa. 2

(sisäänvirtaus ulosvirtaus) Tuotto ja poisto liittyvät systeemin

4 Esimerkki: Jono Jonon tila = jonossa olevien lukumäärä. Sisään- ja ulosvirtaus, jonoon tulevat ja lähtevät (osamallin ulkopuolelta). (Jonon kannalta annettuja suureita.) Huom., karkea malli, joka huomioi vain massataseen, ei sisäistä rakennetta (FIFO, LIFO, HEAP,...). 3

ulkopuolelta). (Jonon kannalta annettuja suureita.) Huom.

5 Esimerkki: Radioaktiivisuus Pieni radioaktiivinen näyte Tila R = radioaktiivisten hiukkasten lukumäärä (normeerattu) Hiukkasten vuo = 0, tuotto = 0, poisto = cr, missä c karakterisoi radioaktiivisen hajoamisen nopeuden. R t = cr 4

(normeerattu) Hiukkasten vuo = 0, tuotto = 0, poisto =

6 Radioaktiivisuus 2 Tarkennus: huomioidaan reaktiotuotteet. R = A + B + n missä A ja B reaktiotuotteita, n syntyvät neutronit (jotka poistuvat välittömästi). R t A t B t = cr = cr = cr Neutronivuo (radioaktiivisuus) N = cr. (0 = n t = cr N). Entä jos A tai B myös radioaktiivisia? 5

7 1-ulotteinen säilymislaki Säilyvä suure a, lähdetermi b, vuotermi c, (tiheys ρ). (Liikkumaton) systeemi rajoittuu välille [A, B]. B ( ρa) t = A B A ρb + c(a) c(b) Laki pätee myös mielivaltaiselle osasysteemille [α, β]. Tällöin myös ρa t = ρb + c x x (A, B) 6

8 Yleinen 1D säilymislaki Jos systeemi liikkuu, myös ρ, A ja B ajan funktioita B(t) ( ρ(x, t)a(x, t)dx) t = A(t) Nyt (A(t) t = v(a)) B(t) A(t) ρ(x, t)b(x, t)dx+c(a(t), t) c(b(t), t) Joten B(t) ( ρ(x, t)a(x, t)dx) t = A(t) B(t) A(t) (ρa) t + (ρav) x (ρa) t + (ρav) x = ρb + c x x (A, B) 7

9 Yleinen 3-ulotteinen tapaus Tilan muutos ( Lähde = Ω ρb Ω(t) ρadx) t = Ω(t) (ρa) t + (ρav) Vuo Ω c nds = Ω cdx (ρa) t + (ρav) ρb c = 0 8

10 (Fysiikan) säilymislait Massa a = 1, b = 0, c = 0 (yhden aineen systeemi). Sovellettaessa osamassoille (konsentraatioille) usean ainesosan systeemeissä b tulee reaktiotermeistä, c ainesten keskinäisestä diffuusiosta. ρ t + (ρv) x = 0 9

11 Liikemäärä a = v, b = g (ulkoinen massavoima (yleensä gravitaatio)) c = τ (jännitystensori). (ρv) t + (ρvv) x = ρg + τ x Kulmaliikemäärä a = v x, b = g x, c = τ x (missä x paikkamuuttuja ja ristitulo). 10

12 Energia a = E + v 2 /2, E sisäinen energia. b = g v + h, h sisäinen energialähde. c = τ v + q, q energiavuo. (ρ(e + v 2 /2)) t + (ρv(e + v 2 /2)) x = ρ(gv + h) + (τv + q) x 11

13 Säilymislait - yhteenveto Merkitään Da Dt = a t + v a (materiaaliderivaatta). ρ DE Dt Dρ Dt + ρ v = 0 ρ Dv Dt τ ρg = 0 τ τ t = 0 q τ : v ρh = n yhtälöä (+ τ:n symmetria). Miten esitetään (esim.) τ, q (ja g ja h) ρ:n, E:n ja v:n avulla. 12

14 Lähdetermit Yleensä massavoima g tulee annettuna (gravitaatio, magneettiset voimat). Samoin energialähde h (sähkömagneettinen säteily tai induktio). Reaktioiden energiataseet on yleensä sisällytettävä malliin. Sähkömagnetismia mallitetaan Maxwellin yhtälöillä, jotka esitettävissä säilymislakimuodossa (varauksen ja magneettisten monopolien s.l.). Johtaminen vakiintuneesta muodosta työläs (sivuutetaan). 13

Reaktioiden energiataseet on yleensä sisällytettävä malliin.

15 Clausius-Duhem Kaikkien riippuvuuksien oltava yhteensopivia termodynamiikan II pääsäännön kanssa (ns. Clausius-Duhem epäyhtälö). D(ρS) + ρs v (q/t ) ρh/t 0 Dt S entropia, T absoluuttinen lämpötila. Clausius-Duhem rajaa vahvasti mahdollisten mallien ominaisuuksia. 14

16 Energiavuo Energiavuo on yleensä q = k T k voi riippua mm lämpötilasta, tiheydestä,... k on aina positiivinen (C-D) (0 ) (q/t ) = 1/T ( q + q T (1/T )) 15

17 Jännitys Liikemäärän vuo τ = τ( ɛ(u), ɛ(v)) missä u on siirtymä (u t = v). ɛ(v) = ( v + ( v) t )/2. ɛ(u) = ɛ(u) + u( u) t /2 (venymätensori). Kiinteillä aineilla τ = τ( ɛ(u)), fluideilla (virtaavilla aineilla) τ = τ(ɛ(v), P ) (P paine). (C-D) = oltava τ : ɛ(v) 0 (rajoituksia virtaaville aineille). Kaikille aineille on (ns. vapaa) energia A(ɛ(u),...), A = E ST. Kiinteillä aineilla on oltava τ = A ɛ. 16

Kiinteillä aineilla τ = τ( ɛ(u)), fluideilla (virtaavilla aineilla) τ = τ(ɛ(v), P ) (P paine).

18 Lämpöyhtälö Energiatase 1-ulotteisessa kappaleessa (tasaisen seinämän läpi). Oletetaan v = 0, h = 0 (liikkumaton, ei sisäisiä lämmönlähteitä) B ρe t = q(b) q(a) A q = kt x, E = ct (+ vakio). k lämmönjohtavuus, c lämpökapasitetti (materiaaliriippuvia). ρe t q x = 0 cρt t (kt x ) x = 0 Tarvitaan alkuehto (T reunalla. hetkellä 0). Entä ehdot systeemin 17

= kt x, E = ct (+ vakio). k lämmönjohtavuus, c lämpökapasitetti (materiaaliriippuvia).

19 Rajapinnat: Kahdesta materiaalista koostuva kappale, [A, R[ ja ]R, B] eri ainetta. Osille pätee. R ρe t A B = q(r ) q(a) R ρe t = q(b) q(r + ) Koko systeemin energiataseesta q(r ) = q(r + ). Lisäksi Clausius- Duhemista q/t jatkuva = T jatkuva R:ssä. Systeemin pinnalla valittava ehto on systeemin ympäristön malli (usein vaikein mallitettava koko ongelmassa). Yleensä kiinnitetään T jos ympäristö hyvin johtavaa, q jos ympäristö hyvin eristävää (suhteessa systeemiin). Muuten tarvitaan T :n ja q:n yhdistävä ehto (lämmönjohtokerroin). 18

Lisäksi Clausius- Duhemista q/t jatkuva = T jatkuva R:ssä.

20 Yksiulotteinen kimmoyhtälö Tarkastellaan 1D kiinteää objektia (lanka pituussuuntaan, levy poikkisuuntaan) Liikemäärän s.l. ρv t τ x = ρg Oletetaan g, v (ja u) x:n suuntaisiksi. Kimmoisalle aineelle τ = Ku x (K kimmomoduli, jota yleensä merkitään E:llä!) ρu tt Ku xx = ρg Lisäksi tarvitaan ehdot reunalla sekä alkuehdot (siirtymälle u ja liikemäärälle = v). 19

Kimmoisalle aineelle τ = Ku x (K kimmomoduli, jota yleensä merkitään E:llä!

21 Paineaalto kaasussa Tarkastellaan 1D paineaaltoa (esim. putkessa). Massan ja liikemäärän s.l. ρ t + (ρv) x = 0 (ρv) t + (ρvv) x τ x = 0 Kaasulle τ = P + µv x. Pienillä nopeuksilla kitkatermi µv x pieni. Paine P riippuu tiheydestä. ρ t + vρ x + ρv x = 0 ρv t + P ρ ρ x + ρvv x = ρg Merkitään y = (ρ, v). Jakamalla ρ:lla saamme y t + Ay x = G. Missä ( ) v ρ A = P ρ /ρ v A:n ominaisarvot ovat v + c ja v c, missä c = (P ρ ) 1/2 on äänennopeus. 20

22 Reaktiomalleista Tarkastellaan reaktiota A + 2B C. Merkitään c A, jne ainesosien konsentraatiota (osatiheyttä). A:n säilymislaki on (v = 0) (c A ) t (j A ) x = r A j A on A:n diffusiovuo, yleensä j A = D A (c A ) x (Fickin laki, D A diffuusiokerroin). r A on reaktion nettovaikutus A:n määrään (reaktionopeus R kertaa A:n osuus). R riippuu reaktion tyypistä, konsentraatioista, lämpötilasta,... (kemiaa). (c A ) t (D A (c A ) x ) x = R (c B ) t (D B (c B ) x ) x = 2R (c C ) t (D C (c C ) x ) x = R Lisäksi mahdollisesti lämpöyhtälö (lähdetermi, jossa R) ja virtauskenttä (v näkyviin y.o. yhtälöissä). 21

23 Yleistä kontinuumimekaniikan malleista Ajasta riippuvissa malleissa yleensä yksi derivaatta ajan suhteen (säilymislaista). Kimmoisan systeemin liikeyhtälöissä toinen aikaderivaatta, koska siirtymä (ei nopeus) primääri tuntematon. Paikkaderivaattoja yleensä kaksi - toinen säilymislaista, toinen vuotermistä (lämpövuo, jännitys, diffuusio). Poikkeus: yhtälöt joissa ei vuotermiä (massan s.l., ei lämpövuota tai viskoottista jännitystä (yksinkertaiset virtausmallit)). Näissä yleensä useamman lain yhteisvaikutus oleellinen (ns. säilymislakisysteemi) 22

Samankaltaiset tiedostot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta