MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 1 Sarjat / 20
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voidaan muodostaa sen osasummien jono (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a 1 + a 2 + + a n = a k. Määritelmä Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R, niin sanotaan, että jonosta (a k ) muodostettu sarja suppenee eli konvergoi, ja sen summa on s. Tällöin merkitään a 1 + a 2 + = a k = lim n n a k = s. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 2 Sarjat / 20
Indeksöinti Osasummat kannattaa indeksöidä samalla tavalla kuin jono (a k ); esim. jonon (a k ) k=0 osasummat ovat s 0 = a 0, s 1 = a 0 + a 1 jne. Suppenevaan sarjaan voidaan tehdä summausindeksin siirtoja: esim. Konkreettisesti: a k = a k+1 = k=0 a k 1. k=2 1 k 2 = 1 + 1 4 + 1 9 + = 1 (k + 1) 2. k=0 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 3 Sarjat / 20
Sarjan hajaantuminen I Jos sarja ei suppene, niin se hajaantuu eli divergoi. Kuten jonoilla yleensä, hajaantuminen voi tapahtua kolmella eri tavalla: (i) osasummat lähestyvät ääretöntä; (ii) osasummat lähestyvät miinus-ääretöntä; (iii) osasummien jono heilahtelee niin, ettei raja-arvoa ole. Hajaantuvan sarjan tapauksessa merkintä a k ei tarkoita mitään, erityisesti ei mitään reaalilukua. Jos kuitenkin lim n s n = ±, voidaan kirjoittaa a k = ±. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 4 Sarjat / 20
Sarjan hajaantuminen II Monet sarjoihin liittyvät kummallisuudet johtuvat siitä, että sarjan summaaminen tulkitaan virheellisesti operaatioksi, jossa kaikki jonon alkiot lasketaan yhteen samalla kertaa kuten äärellisen monen termin summa..... kun tosiasiassa sarjan summa lasketaan osasummien raja-arvona annetussa järjestyksessä, aloittaen termien alkupäästä. Tämän vuoksi osa äärellisten summien laskusäännöistä ei enää päde sarjoille. Joissakin tapauksissa esimerkiksi sarjan summa voi muuttua, jos sen äärettömän monen termin keskinäistä järjestystä vaihdetaan. Esimerkiksi vuorotteleva sarja ( 1) k+1 = ln 2 0.693147180559945... k voidaan termien järjestystä muuttamalla saada suppenemaan mihin tahansa reaalilukuun. Tauluesimerkki! Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 5 Sarjat / 20
Geometrinen sarja I Lause Geometrinen sarja n aq k k=0 suppenee, jos q < 1 (tai a = 0), jolloin sen summa on a 1 q. Jos q 1, niin sarja hajaantuu. n Sarjan osasummille pätee aq k = a(1 qn+1 ) (tauluesimerkki), josta 1 q k=0 väite seuraa. Samalla lähestymistavalla saadaan aq k = k=i aqi 1 q sarjan 1. termi =, kun q < 1. 1 q Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 6 Sarjat / 20
Geometrinen sarja II Esimerkki Laske sarjan summa. 3 4 k+1 Ratkaisu: Koska 3 4 k+1 = 3 4 ( ) 1 k, 4 niin kyseessä on geometrinen sarja. Sen summaksi saadaan 3 4 1/4 1 1/4 = 1 4. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 7 Sarjat / 20
Laskusääntöjä I Lause Suppenevien sarjojen ominaisuuksia: (a k + b k ) = a k + b k (c a k ) = c a k, kun c R on vakio Perustelu: Sarjan summa on sen osasummien muodostaman jonon raja-arvo. Tähän voidaan soveltaa jonon raja-arvon laskusääntöjä edelliseltä luennolta. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 8 Sarjat / 20
Laskusääntöjä II Lause Jos a k suppenee, niin lim a k = 0. k Kääntäen: Jos lim k a k 0, niin sarja a k hajaantuu. Perustelu: Jos sarjan summa on s, niin a k = s k s k 1 s s = 0. Huom: Vaikka olisikin lim k a k = 0, niin tämän perusteella ei voida päätellä sarjan suppenevan. Tämä ilmenee seuraavista esimerkeistä. (Lyhyt ekskursio implikaation ja ekvivalenssin ihmeelliseen maailmaan.) Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 1 2017 Luento 2: 9 Sarjat / 20
Laskusääntöjä III Esimerkki Tutki sarjan suppenemista. k k + 1 = 1 2 + 2 3 + 3 4 +... Ratkaisu: Sarjan yleisen termin raja-arvo lim k ei ole nolla, joten sarja hajaantuu. k k + 1 = 1 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 10 Sarjat / 20
Harmoninen sarja Esimerkki Harmoninen sarja 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 +... hajaantuu, vaikka sen yleisen termin a k = 1/k raja-arvo on nolla. Ratkaisu: Tehdään tämä taululla osoittamalla ensin, että osasummien jono toteuttaa s 2n > s n + 1/2. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 11 Sarjat / 20
Positiiviset sarjat I Sarjan summan laskeminen on usein hankalaa tai mahdotonta (muuten kuin numeerisena likiarvona). Monissa tilanteissa on kuitenkin tärkeintä tietää, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja. Määritelmä Sarja p k on positiivinen (tai positiiviterminen), jos p k 0 kaikilla k. Positiivisille sarjoille suppenemisen tutkiminen on suoraviivaista: Lause Positiivinen sarja suppenee täsmälleen silloin, kun sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu. Syy: Positiivisen sarjan osasummien jono on nouseva... reaalilukujen täydellisyysaksiooma. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 12 Sarjat / 20
Positiiviset sarjat II Esimerkki Osoita, että yliharmonisen sarjan osasummille on voimassa s n < 2 kaikilla n, joten sarja suppenee. Ratkaisu: Perustuu kaavaan 1 k 2 1 k 2 < 1 k(k 1) = 1 k 1 1 k, kun k 2. Lasketaan teleskooppisummauksella taululla. Leonhard Euler keksi v. 1735 sin-funktion tulokehitelmän avulla, että yliharmonisen sarjan summa on π 2 /6. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 13 Sarjat / 20
Itseinen suppeneminen I Määritelmä Sarja a k suppenee itseisesti, jos positiivinen sarja a k suppenee. Lause Itseisesti suppeneva sarja suppenee, ja tällöin a k a k. Perustelun idea: Tutkitaan erikseen positiivista ja negatiivista osaa: Olkoon b k = max(a k, 0) 0 ja c k = min(a k, 0) 0. Koska b k, c k a k, niin positiiviset sarjat b k ja c k suppenevat aikaisemman lauseen perusteella. Lisäksi a k = b k c k, joten a k on suppenevien sarjojen erotuksena suppeneva. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 14 Sarjat / 20
Itseinen suppeneminen II Esimerkki Tutki vuorottelevan sarjan ( 1) k+1 k 2 = 1 1 4 + 1 9... suppenemista. Ratkaisu: Koska ( 1) k+1 k 2 = 1 ja yliharmoninen sarja k2 suppenee, niin tutkittava sarja suppenee itseisesti. Näin ollen se suppenee myös tavallisessa mielessä. 1 k 2 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 15 Sarjat / 20
Vuorotteleva harmoninen sarja I Itseinen suppeneminen ja (tavallinen) suppeneminen ovat kuitenkin eri käsitteitä: Esimerkki Vuorotteleva harmoninen sarja ( 1) k+1 k = 1 1 2 + 1 3 1 4 +... suppenee, mutta ei itseisesti (vrt. harmoninen sarja). Ratkaisu: (Idea) Piirretään osasummien jonon (s n ) kuvaaja (seuraava sivu) ja tutkitaan erikseen parillisten ja parittomien indeksien osasummia s 2n ja s 2n+1. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 16 Sarjat / 20
Vuorotteleva harmoninen sarja II 100 ensimmäistä osasummaa (pisteet yhdistetty janoilla) Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 17 Sarjat / 20
Majorantti ja minorantti I Lause Majoranttiperiaate: Jos a k p k kaikilla k ja p k suppenee, niin myös a k suppenee. Minoranttiperiaate: Jos 0 p k a k kaikilla k ja p k hajaantuu, niin myös a k hajaantuu. Majorantin perustelu: Selvästi a k suppenee, koska sen kaikki osasummat ovat pienempiä kuin sarjan p k vastaavat osasummat. Koska a k = a k ( a k a k ) ja 0 a k a k 2 a k, niin sarja a k suppenee kahden suppenevan positiivisen sarjan erotuksena. Minorantin perustelu: Sarjan a k osasummat hajaantuvat kohti ääretöntä, koska hajaantuvan positiivisen sarjan p k termit p k vänkäävät a k :t kauemmaksi nollasta. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 18 Sarjat / 20
Suhdetesti Käytännössä tärkein tapa suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, jossa sarjan termejä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan: Lause Jos jostakin indeksistä k alkaen on voimassa a k+1 a k Q < 1, niin sarja a k suppenee. Perustelu: Sarjan alku ei vaikuta sen suppenemiseen, joten epäyhtälö voidaan olettaa kaikille indekseille. Tästä seuraa a k Q a k 1 Q 2 a k 2 Q k a 0, joten sarjalle saadaan suppeneva geometrinen majorantti. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 19 Sarjat / 20
Suhdetestin raja-arvomuoto I Lause Jos on olemassa raja-arvo lim a k+1 k a k = q, niin sarja a k suppenee, jos 0 q < 1, hajaantuu, jos q > 1, voi olla suppeneva tai hajaantuva, jos q = 1. Perustelu: Jos 0 q < 1, niin jostain indeksistä k eteenpäin < q + 1 q 2 = Q < 1. a k+1 a k Jos q > 1, niin jostain indeksistä k eteenpäin a k+1 a k > q q 1 2 = Q > 1. Pekka Alestalo, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto, MS-A010{3,4,5} Matematiikan ja (ELEC*, systeemianalyysin ENG*) Differentiaali- laitos) ja integraalilaskenta September 13, 12017 Luento 2: 20 Sarjat / 20