Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ja B = (B1, B 2, B 3 pistetulo on A B = A1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 Pistetulo tuottaa luvun (skalaarin. Edellisestä seuraa CDH: Luvut 7.3.2-7.6. (vektorit, 8.7 (determinantti, 13-13.2 (integraali Prujut2016: Luvut 1.3-2 (vektorit, 4-4.2.1 (integraali Prujut2008: s. v9 - v20 (vektorit, 89-92 (integraali A B = B A A ( B + C = A B + A C n ( A B = ( n A B = A ( n B Pistetulo (skalaaritulo 1 Pistetulo (skalaaritulo 2 Pistetulon geometrinen tulkinta: Vektorin A projektio (skalaariprojektio vektorin B suuntaan on A B = AB cos θ A ˆB missä θ on vektoreiden välinen kulma. (Todistus HT Tästä seuraa, että kahden kohtisuoran vektorin pistetulo on nolla. Esim. kahden standardiyksikkövektorin pistetulo: î ĵ = (1, 0, 0 (0, 1, 0 = 0 + 0 + 0 = 0 Kahden vektorin välinen kulma saadaan Tuloksena on vektorin A komponentin suuruus, joka on B:n suuntainen. A:n vektoriprojektio B:n suuntaan tuottaa B:n suuntaisen vektorin A = ( A ˆB ˆB cos θ = A B AB Tämän avulla vektori A voidaan jakaa toisen vektorin suuntaiseen ( ja sitä vastaan kohtisuoraan ( komponenttiin. (laskarit 3 4
Ristitulo (vektoritulo Ristitulo (vektoritulo Vektorien A = (A1, A 2, A 3 ja B = (B1, B 2, B 3 ristitulo on C = A B = (A2 B 3 A 3 B 2, A 3 B 1 A 1 B 3, A 1 B 2 A 2 B 1 Tuloksena on vektori! Ristitulon komponenttien muistaminen helpottuu kun se kirjoitetaan muotoon C = î ĵ ˆk A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 Tätä kutsutaan 3x3 determinantiksi. 2x2 determinantti on lyhennysmerkintä a b c d = ad cb 3x3 determinantti voidaan kehittää auki 2x2 alideterminanttien avulla seuraavasti: A B C p q r s t u = A q r t u B p r s u + C p q s t Ristitulo (vektoritulo 5 Ristitulo (vektoritulo 6 Askel askeleelta determinantin laskeminen menee seuraavasti: Valitaan ensimmäinen kerroin, tässä A. Pyyhitään pois kertoimen kautta kulkevat rivi ja sarake. Jäljelle jäävistä muodostetaan alideterminantti: A B C p q r s t u Seuraava kerroin on B: A B C p q r s t u = A q t = B p s r u r u Viimeinen osa on C: A B C p q r s t u = C p s Kertoimien merkki vaihtuu joka askeleella: + + + + + q t Determinanttien ominaisuuksista lisää myöhemmin matriisilaskennan yhteydessä. Miinusmerkkiin palataan seuraavalla kalvolla. 7 8
Ristitulo (vektoritulo Ristitulo (vektoritulo Ristitulon määritelmästä seuraa A B = B A Ristitulo ei ole vaihdannainen (kommutatiivinen A A = 0 A ( B + C = A B + A C Kahden standardiyksikkövektorin ristitulo, esim. î = (1, 0, 0 ja ĵ = (0, 1, 0 î ĵ ˆk î ĵ = 1 0 0 0 1 0 = ˆk Yllä: Pidä vektoreiden järjestys ennallaan sulkujen aukikertomisessa! n ( A B = ( n A B = A ( n B Samoin saadaan ĵ ˆk = î ˆk î = ĵ Kahden yksikkövektorin ristitulo tuottaa kolmannen, näitä vasten kohtisuoran yksikkövektorin, jonka suunta saadaan oikean käden säännöllä: Ristitulo (vektoritulo 9 Ristitulo (vektoritulo 10 Käsisääntö antaa suunnan oikein, vaikkei tulon vektorit olisi yksikkövektoreita: A = 2î B = 2î + 2ĵ A B = î ĵ ˆk 2 0 0 2 2 0 = 4ˆk î ĵ = ˆk ĵ ˆk = î ˆk î = ĵ Käsisäännöllä voidaan todeta, että A B pitäisi tosiaan olla ˆk:n suuntainen. 11 12
Ristitulo (vektoritulo Vektoreiden A ja B ristitulo tuottaa vektorin, joka on kohtisuorassa kumpaakin vastaan. Tämä nähdään esim. laskemalla ( A A B = (A1, A 2, A 3 = 0 (HT î ĵ ˆk A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 Ristitulo (vektoritulo Ristitulossa saadun vektorin pituus on C = A B = AB sin θ missä θ on vektoreiden välinen terävä kulma. (todistus HT Vertaa seuraavia: Siis A ( A B ja B ( A B A 1 B = AB sin θ Ala = ab sin θ Ala = ab sin θ 2 Geometrisesti ristitulon pituus vastaa vektoreiden virittämän suunnikkaan pinta-alaa. Skalaarikolmitulo Skalaarikolmitulon tuloksena on skalaari. Se voidaan kirjoittaa determinantin avulla ( A 1 A 2 A 3 A B C = B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 13 Skalaarikolmitulo Geometrisesti skalaarikolmitulon itseisarvo A ( B C vastaa yo. vektoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuutta. 14 Skalarikolmitulon suuruus ei muutu jos kaikkia tekijöitä siirretään syklisesti: A ( B C = C ( A B = B ( C A Jos vain kaksi tekijää vaihtaa paikkaa, muuttuu skalaarikolmitulon merkki A ( B C = B ( A C 15 16
Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus C:n sanotaan olevan lineaarisesti riippumaton vektoreista A ja B, jos C = n A + m B C:tä ei siis pysty em. kahden vektorin lineaarikombinaationa. Kolmiulotteisen avaruuden vektoreiden esittämiseen tarvitaan kanta, jonka kantavektorit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia. Skalaarikolmitulolla tämä voidaan testata. Esim. standardiyksikkövektoreille Geometrisesti tämä tarkoittaa, että C:llä on oltava komponentti, joka on kohtisuora A:n ja B:n virittämälle tasolle. Tällöin skalaarikolmitulo C ( A B = 0 î (ĵ ˆk = î î = 1 Koska skalaarikolmitulo on nollasta eroava voitaneen em. yksikkövektoreita käyttää kantavektoreina. Vektorikolmitulo 17 Vektorikolmitulo 18 Vektorikolmiotulon tuloksena on vektori A ( B C = B ( A C C ( A B Muistisääntönä esim. bac-cab. Huomaa, että vektorikolmitulossa suluilla on merkitystä! Jos ylläolevassa sulut olisikin ( A B C = C ( A B = A ( C B + B ( C A = A ( B C Vektorikolmituloa voidaan käyttää esim. tilanteessa jossa yhtälöstä a = b c pitäisi ratkaista b kun vektorit a ja c tunnetaan. Tällöin kannattaa laskea yhtälön molempien puolien ristitulo vektorin c:n kanssa. (laskarit 19 20
Integraalifunktio Integraalifunktio Jos d F(x = f (x niin F(x on f (x:n integraalifunktio. Tämä merkitään F(x = f (x = f (x x on integroimismuuttuja ja f (x on integrandi tai integroitava. Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, sillä jos siihen lisätään mikä tahansa vakio C Tämän takia yleisesti d ( d F(x + C = F(x = f (x f (x = F(x + C Integraalifunktio 21 Integraalifunktio 22 Funktion infinitesimaalinen muutos voidaan lausua df = f (x df = f (x = (df df on funktion F(x differentiaali. Integraalin määritelmän mukaan F(x = f (x = ( df Funktion derivoiminen ja sitten integroiminen tuottaa (vakiota vaille saman funktion. Viimeinen kohta voidaan vielä kirjoittaa muotoon F(x = df Edelleen d F(x = d f (x = f (x Derivoimalla funktion integraali saadaan taas alkuperäinen funktio. 23 24
Integraalifunktio Integraalifunktio Integraalifunktion ratkaiseminen perustuu siihen, että osataan derivoida. Esim. x n = 1 n + 1 xn+1 + C joka voidaan tarkistaa derivoimalla yhtälön molemmat puolet. Alkeisfunktioiden integraaleja löytyy mm. CDH: taulukko 13.1. Useat monimutkaisen näköiset integrandit voidaan sieventämällä palauttaa alkeisfunktioksi, joka sitten on integroitavissa Laskarit... cos 3 x 1 sin 2 x = cos x = sin x + C Integraalifunktio yhdistetty funktio 25 Integraalifunktio yhdistetty funktio, esim1 26 Yhdistetyn funktion derivaatan avulla voidaan kirjoittaa Homma selvenee ehkä paremmin esimerkkien kautta: cos x sin 4 x f ( g(x d = f ( g(x = ( df dg (dg Tässä cos x on sin x:n derivaatta. Toisaalta sin 4 x saadaan derivoimalla sin 5 x:ää. Ilmeisesti siis Joskus integrandissa nähdään jonkun funktion derivaatta kertaa sisäfunktion derivaatta. Silloin tämä integroituu yhdistetyksi funktioksi. g(x = sin x Tällöin integraali on siis muodossa f (g = 1 5 g5 = 1 5 sin5 x ( d sin x ( d 1 dg 5 g5 27 28
Integraalifunktio yhdistetty funktio, esim1 Nyt integroitavana on yhdistetyn funktion sin 5 x derivaatta. Näin ollen cos x sin 4 x = sin 5 x + C 29 Integraalifunktio yhdistetty funktio, esim2 Toisena esimerkkinä lasketaan x2 x 3 + 2 Nimittäjän derivaatta on vakiota vaille osoittaja. Valitaan siis g(x = (x 3 + 2. Integraali on nyt muodossa 1 3 (dg 1 g Tuo 1/g pitäisi vielä kirjoittaa derivaattaana. Tämä onnistuu logaritmin avulla, valitaan siis f (g = ln g. Päästään muotoon 1 3 (dg df ( dg Integrandi on siis yhdistetyn funktion ln ( x 3 + 2 derivaatta. Joten x2 x 3 + 2 = 1 ( d 3 ln ( x 3 + 2 = 1 3 ln ( x 3 + 2 + C 30