3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010
Sisältö Johdattelua Klassinen action Kvanttimekaaninen todennäköisyysamplitudi Schrödingerin aaltoyhtälö Häiriöteoriaa
Kaksoisrakokoe kokeellisesti havaitaan todennäköisyysjakauma vastaa aallon intensiteetille ominaista interferenssikuviota, kun molemmat raot ovat auki erikseen mitattuna samaa interferenssikuviota ei saada todennäköisyyksien summana eli P P 1 + P 2 interferenssikuvio = P(x) = φ(x) 2, missä φ(x) on todennäköisyysamplitudi (kompleksiluku). siis, kaksoisrakokoe φ(x):n avulla on φ(x) = φ 1 (x) + φ 2 (x) = P(x) = φ(x) 2 = φ 1 (x) 2 + φ 2 (x) 2 + φ 1 (x)φ 2(x) + φ 2 (x)φ 1(x)
Beyond kaksoisrakokoe lisätään kalvoon kolmaskin rako tällöin todennäköisyysamplitudi on φ(x) = φ 1(x) + φ 2(x) + φ 3(x) lisätään lähteen ja detektorin väliin toinen kalvo, jossa on N kappaletta rakoja = φ(x) = 3 i=1 j=1 N φ ij (x) laitetaan lähteen ja detektorin väliin M kappaletta kalvoja, joissa on N reikää = φ(x) = N N... i 1=1 i 2=1 N φ i1i 2...i M (x) i M=1
Beyond kaksoisrakokoe Feynmanin polut annetaan kalvojen ja rakojen lukumäärän lähestyä ääretöntä = φ(x) = lim N N... N,M i 1=1 i 2=1 = paths φ paths (x) N φ i1i 2...i M (x) i M=1 siis, todennäköisyys päätyä lähteestä (L) dektektorin pisteeseen x tyhjän tilan läpi on P(L x) = φ paths (x) paths 2
Klassinen action Klassisessa mekaniikassa kappaleen liikeyhtälöt voidaan johtaa tarkastelemalla suureen S ( action ) minimiä (tai yleisemmin ääriarvoa) action eli vuorovaikutusintegraali määritellään Lagrangen function L = T V avulla S = tb t a L(ẋ, x, t)dt siis, olettamalla δx(t a ) = δx(t b ) = 0 ja tarkastelemalla actionin ääriarvoa δs = S[x + δx] S[x] = 0 saadaan Euler Lagrangen liikeyhtälö d dt joka määrää klassisen trajektorin ( ) L L ẋ x = 0,
Kvanttimekaaninen todennäköisyysamplitudi kvanttimekaniikassa kaikki polut otetaan huomioon samalla painolla, mutta poluilla on eri vaihetekijät polun vaihetekijä on S/ siis, todennäköisyys sille, että hiukkanen siirtyy paikasta (x a, t a ) paikkaan (x b, t b ) on P(b, a) = K(b, a) 2, missä todennäköisyysamplitudi K(b, a) = = paths from a to b paths from a to b φ[x(t)] Ae i S[x(t)] kyseisestä kvanttimekaniikan amplitudista seuraa klassinen mekaniikka rajalla 0
Integraali kaikkien mahdollisten polkujen yli jaetaan aikaväli t b t a N:n yhtä suureen osaan eli Nǫ = t b t a, jolloin ǫ = t j+1 t j (ja ǫ 0, kun N ) lisäksi t 0 = t a, x 0 = x a, t N = t b ja x N = x b tällöin todennäköisyysamplitudi voidaan esittää muodossa K(b, a) = φ[x(t)]dx 1 dx 2 dx N 1 siis, etenemme paikasta (x 0, t 0) paikkaan (x 1, t 1), missä x 1 voi olla missä tahansa, jne. näin ollen voidaan kirjoittaa N 1 Y φ[x(t)] = lim K(j + 1, j), ǫ 0 j=0 missä ««i i K(j + 1, j) = A exp S[j + 1, j] A exp ǫl
Polkuintegraali (Path integral) notaation lyhentämiseksi edellinen kirjoitetaan usein muodossa missä K(b, a) = b a e (i/ )S[b,a] Dx(t), Dx(t) = lim N AN dx 1 dx 2 dx N 1 siis, K(b, a) = K(x b, t b ; x a, t a ) on todennäköisyysamplitudi löytymiselle pisteestä b sillä ehdolla, että alussa ollaan pisteessä a näin ollen K(b, a) on propagaattori
Aaltofunktio usein on (mahdollisesti) hyödyllisempää määritellä amplitudi ψ(x, t), joka ei riipu mistään tietystä aikaisemmasta systeemin tilasta kutsutaan tätä (kokonais-) amplitudia aaltofunktioksi ψ(x 2, t 2 ) = K(x 2, t 2 ; x 3, t 3 )ψ(x 3, t 3 )dx 3 tällöin todennäköisyys löytyä paikasta x hetkellä t on P(x, t) = ψ(x, t) 2
Schrödingerin aaltoyhtälö: vapaa hiukkanen (1/3) tarkastellaan vapaan hiukkasen aaltofunktiota ψ(x, t + ǫ), missä ǫ on infinitesimaalisen pieni: ψ(x, t + ǫ) = K(x, t + ǫ; y, t)ψ(y, t)dy ( ) i Aexp ǫl ψ(y, t)dy ( i m(x y) 2 ) = Aexp ψ(y, t)dy 2ǫ ( i mη 2 ) = Aexp ψ(x + η, t)dη 2ǫ lisäksi ψ(x, t) ψ(x, t + ǫ) ψ(x, t) + ǫ t ja ψ(x, t) ψ(x + η, t) ψ(x, t) + η + 1 x 2 η2 2 ψ(x, t) x 2
Schrödingerin aaltoyhtälö: vapaa hiukkanen (2/3) tarkastelemalla molempien puolien ensimmäisiä termejä voidaan normeeraustekijä A ratkaista eli ( i mη 2 ) ψ(x, t) = Aexp ψ(x, t)dη 2ǫ ( i mη 2 ) = ψ(x, t)a exp dη 2ǫ ( ) 1/2 2πi ǫ = ψ(x, t)a m rajalla ǫ 0 täytyy A valita siten, että A «1/2 2πi ǫ = 1 = A = m «1/2 2πi ǫ m
Schrödingerin aaltoyhtälö: vapaa hiukkanen (3/3) oikean puolen muita termejä sieventäessä on hyvä muistaa ja ( i Aexp Aexp ( i mη 2 ) ηdη = 0 2ǫ mη 2 ) η 2 dη = i ǫ 2ǫ m siis, hieman sieventämällä saadaan alkuperäinen yhtälö muotoon ψ(x, t) ψ(x, t) + ǫ + O(ǫ 2 ) = ψ(x, t) + i ǫ 2 ψ(x, t) t 2m x 2 + O(ǫ 2 ) joten rajalla ǫ 0 saadaan ψ(x, t) i = 2 2 ψ(x, t) t 2m x 2
Häiriöteoriaa (1/4) tarkastellaan actionia S = S 0 + σ, missä S 0 on jonkin tunnetun systeemin action (tai muuten helposti ratkaistavissa) ja σ = R V [x(s), s]ds on jokin pieni häiriö b K(b, a) = e i S Dx(t) a b = e i S0 e i σ Dx(t) a b a e i S0 [ 1 + i σ ] Dx(t) = K 0 (b, a) + i = K 0 (b, a) + i = K 0 (b, a) + i b e i S0 σdx(t) a tb b t a tb t a a F(s)ds e i S0 V [x(s), s]dx(t) ds
Häiriöteoriaa (2/4) polkuintegraalin F(s) tulkinta se on summa kaikkien amplitudien exp ` i S0 yli siten, että jokaista polkua painotetaan häiriöpotentiaalilla V [x(s), s], joka vaikuttaa ainoastaan ajanhetkellä t = s eli ennen ja jälkeen ajanhetken t = s polkuintegraalin F(s) polut ovat actionin S 0 määräämiä siis, F(s) voidaan kirjoittaa muotoon F(t c ) = merkitään K(b, a) K 0 (b, a) + K 1 (b, a) K 0 (b, c)v (x c, t c )K 0 (c, a)dx c = K 1 (b, a) = i = i tb F(t c )dt c t a tb t a Millainen on termi K 2 (b, a)? K 0 (b, c)v (x c, t c )K 0 (c, a)dx c dt c
ESIMERKKI: transitioamplitudi Häiriöteoriaa (3/4) alkutilaa kuvaa aaltofunktio ψ(x 1, t 1 ), joka kehittyy myöhemmän hetken t 2 tilaksi φ(x 2, t 2 ) Millä todennäköisyydellä systeemi löydetään tilalta χ(x 2, t 2 ) hetkellä t 2? vastaus: P = χ φ 2, missä χ φ = χ x 2 x 2 φ dx 2 = χ (x 2, t 2 )φ(x 2, t 2 )dx 2 = χ (x 2, t 2 )K(2, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1 χ (x 2, t 2 )[K 0 (2, 1) + K 1 (2, 1)]ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1 = χ φ + χ (x 2, t 2 )K 1 (2, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1
Häiriöteoriaa (4/4) χ ja φ ortogonaaliset, joten ensimmäiseen kertalukuun χ φ = χ (x 2, t 2 )K 1 (2, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1 [ i t2 = χ (x 2, t 2 ) K 0 (2, 3)V (3)K 0 (3, 1)dx 3 dt 3 ]ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1 t 1 = i t2 χ (x 2, t 2 )K 0 (2, 3)V (3)K 0 (3, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 3 dt 3 dx 2 dx 1 t 1 = i t2 [ ] [ ] χ (x 2, t 2 )K 0 (2, 3)dx 2 V (3) K 0 (3, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 1 dx 3 dt 3 t 1 t2 = i t 1 χ (3)V (3)ψ(3)dx 3 dt 3 Millainen on toisen kertaluvun termi?