Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014
Sisältö Johdanto Sironnan sähkömagneettinen mallinnus Analyyttinen sirontateoria Sironta ei-pallomaisista hiukkasista
Johdanto
Taivaan värit
Pilvet Cumulus congestus
Every once in a blue moon
Tähtien välinen pöly Kääpiögalaksi NGC 1569
Plasmoniset nanohiukkaset Lycurguksen kuppi
Lisää plasmonisia nanohiukkasia Notre Damen lasimaalaukset
Mitat ja mallinnusmenetelmät Valon aallonpituus 400 nm 700 nm Atomi 0,1 nm Nanohiukkaset 10 1000 nm Vesipisara 1 20 µm Isot kappaleet
Sironnan sähkömagneettinen mallinnus
Sironta ja absorptio E 0, H 0 E s, H s ɛ, µ Virittävä kenttä + häiriö väliaineessa Sironnut valo + absorptio Ekstinktio = sironta + absorptio Sirontakuvio F (θ, φ) Polarisaatio
Maxwell-yhtälöt Yhtälöt makroskooppisille kentille E = t B H = J + t D D = ρ B = 0
Väliainerelaatiot Relaatio vuolle (pinnat) ja kentälle (polut) D R E B R H Tyypillisesti D(r, ω) = ɛ(r, ω)e(r, ω), D(r, t) = t 0 ɛ(r, t t )Ẽ(r, t )dt
Miten löytää ɛ? Mittaamalla (ellipsometria) Yksinkertaistetut mallit, kuten Drude-malli ɛ(ω)/ɛ 0 = ɛ ω 2 p ω(ω + iγ) Kvanttiteoria: ɛ/ɛ 0 = 1 + N ψ µ ψ
Kulta ja hopea 20 0 I(ɛ) ɛ 20 40 R(ɛ) - kulta - hopea 2 4 6 8 10 Taajuus ω (PHz)
Epälineaarisuus Hooken laki: F = kx+hx 2 +... e paraabeli todellinen mẍ + kx hx 2 = ee Polarisaatio P = Nex Seuraus: taajuus ei säily, esim. ω 2ω Ilmiöt heikkoja, mutta herkkiä E:n vaihteluille
Reuna-arvotehtävät Yksikäsitteinen ratkaisu, joka toteuttaa Maxwellin yhtälöt? Reunaehdot Geometria Sirontatehtävä: tunnetaan E 0, ratkaise E = E 0 + E s s.e. E k 2 E = 0 lim E s r ik r E s = 0 r
Vuorovaikutusalat S Vuorovaikutusala C, [C] = m 2 Sironta: C s = 1 I 0 S E s H s nds Absorptio: C a = 1 I 0 S E H nds Ekstinktio C e = C s + C a Detektori (ala A) mittaa tehon U = I 0 (A C e ) 0 C e (λ)dλ 4π 3 a 3 (summasääntö) λ
Analyyttinen sirontateoria
Pistelähde p
Säteilevä dipoli Dipolikenttä: E = ω 2 µg p ( G = I + ) e ikr k 2 4πR Säteilytehon aikakeskiarvo ω 4 Rayleigh: taivaan värit
Dipolin polaroituvuus Polaroituvuus α: p = ɛ 0 αe 0 Miten löytää α? Esim. pieni pallohiukkanen (säde a): α = 4πa 3 ɛ ɛ 0 ɛ + 2ɛ 0 Entä jos ɛ = 2ɛ 0? Plasmoniresonanssi
Pallohiukkanen ɛ 2 ɛ 1
Mie-teoria (Gustav Mie 1869 1957) E 0, H 0 ɛ 2 ɛ 1 E 2, H 2 E s, H s E s k 2 1E s = 0 E 2 k2e 2 2 = 0 n (E s + E 0 ) = n E 2 n (H s + H 0 ) = n H 2 lim E s r ik 1 r E s = 0 r
Palloharmoniset Skalaarifunktioita Y lm (θ, φ) Kanta pallopinnan yli määritellyille funktioille f = l a lm Y lm l=0 m= l Ortogonaalisuus Y l1 m 1, Y l2 m 2 = δ l1 l 2 δ m1 m 2
Vektoriharmoniset Kulmaliikemääräoperaattori L = ir Vektoriharmoniset N lm (r, θ, φ) = f l (r)ly lm (θ, φ) Esitys kentille: l E = η a lm N lm i k b lm N lm l=1 H = m= l l=1 m= l l b lm N lm + i k a lm N lm
Hyödyllistä matematiikkaa Vetyatomi ψ = a nlm R nl (r)y lm Mie-teoria E n = a lm h l (kr)y lm R nl : Laguerren liittofunktiot h l : Pallo-Hankel-funktiot
R(hl) Rnl Etäisyys
Vesipisara Säde 2 µm Interferenssi- ja värerakenne 3 2 Q ext häviötön häviöllinen 1 Q abs 400 600 800 1000 1200 Aallonpituus (nm)
Sironnan suuntariippuvuus Vesipisara, λ = 650 nm Irradianssi (W/m 2 ) 10 12 10 16 10 20 0,1 µm 1 2 0,5 0 30 60 90 120 150 180 Kulma θ (astetta)
Kultainen nanopallo Säde 100 nm Plasmoniresonanssit 4 tarkka Qext 2 dipoli b 1 kvadrupoli b 2 0 400 600 800 1000 1200 Aallonpituus (nm)
Taajuuden kahdennus pallopinnalla P s = ɛ 0 δχ (2) : EE ɛ 2 ɛ 1 Rajapintaehdot a lm, b lm l 1 l 2 m 1 m 2 c l1 m 1 c l2 m 2 Y lm, Y l1 m 1 Y l2 m 2 Clebsch Gordan-ongelma Valintasäännöt: l 2 l 1 l l 1 + l 2, m = m 1 + m 2
Taajuuskahdennettu säteily 50 nm 100 nm 150 nm 200 nm
Sironta ei-pallomaisista hiukkasista
Ekvivalentti virrantiheys ɛ ɛ 0 ɛ 0, J ɛ 0 Ampere-Maxwell: H = iωɛe Ekvivalenttilähde J = iω(ɛ ɛ 0 )E H = J iωɛ 0 E Helmholtz E k0e 2 = iωµ 0 J
Tilavuusintegraaliyhtälöt 1/2 Helmholtz E k0e 2 = iωµ 0 J Dipolisäteilijä: G k0g 2 = δi ( E k 2 0E) G E ( G k 2 0G) = iωµ 0 J G δe Integrointi koko avaruuden yli Green: E G E GdV V = ( E G + E G) nds = 0 V
Tilavuusintegraaliyhtälöt 2/2 ɛ ɛ 0 ɛ 0, J ɛ 0 Tehtävän muotoilu: E = E 0 + iωµ 0 GJdV E = E 0 + ω 2 µ 0 V v (ɛ ɛ 0 )GEdV Tehtävän määrittely äärellisessä alueessa v V
Numeeriset menetelmät Etsi E alueessa v Likiarvoesitys E = N a n f n n=1 Variaatiomenetelmät lineaarinen yhtälöryhmä Greenin funktio G 1 R 3 kun R 0
Yhteenveto Valon sironta arkipäiväisten ilmiöiden taustalla Sähkömagneettinen teoria hyvä mallinnuslähtökohta Väliaine Reuna-arvotehtävä Dipolisäteilijä: yksinkertainen malli ja teoreettinen työkalu Pallohiukkanen: muuttujien separointi puree Ei-pallomaiset hiukkaset: integraalimenetelmät mielekkäitä
Kiitos.