Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava
SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7 Otava asiakaspalvelu Puh. 8 77 asiakaspalvelu@otava.fi Tilaukset Kirjavälitys Oy Puh. 5 5 Faksi 5 5 kvtilaus@kirjavalitys.fi. paios Toimittaja: Mare Herlevi Taitto: Jukka Otteli Kuvat: Marja Veäläie 8 Tarmo Hautajärvi, Jukka Otteli, Leea Walli-Jaakkola ja Kustausosakeyhtiö Otava ISBN 978-95--5-5 Kopioitiehdot Tämä teos o opettaja opas. Teos o suojattu tekijäoikeuslailla (/6). Teokse valokopioimie o kielletty ellei valokopioitii ole hakittu lupaa. Tarkista oko oppilaitoksellae voimassaoleva valokopioitilupa. Lisätietoja luvista ja iide sisällöstä ataa Kopiosto ry www.kopiosto.fi. Sidota: KEURUSKOPIO Paiopaikka: Otava Kirjapaio Oy, Keuruu 8
RATKAISUT KIRJAN TEHTÄVIIN Testaa lähtötaitosi. 5+ 6 ( )( ) lim lim lim( ) Vastaus:. Lukujoo peräkkäiste termie erotus ) + + a a,5 (,5 ) + Vastaus: +. + + + + + + [( ) 6 ( ) ] 66 + 6( ) 6( ) + 6( ) 6( ) + 6( ) 6( ) + 6( ) 6( ) + 6( ) 6( ) 6[ ( ) ] ( ), 5 6 7 8 9 Vastaus:,. Jatkuvuusehto lim f( ) f( a) a lim( ) a 5a a a a 5a a 6a aa ( 6) a tai a 6 a ± Vastaus: a tai a ±
5. f( ) + +,75 Kuvaaja o ylöspäi aukeava paraabeli, jote fuktio saa pieimmä arvosa derivaata ollakohdassa. Derivaatta f '( ) + +,5 Piei arvo f(,5) + +,75,5 Vastaus:,5 6. f () si f '() cos, koska cos Jote fuktio f () si o aidosti väheevä. 7. sisäfuktio s ( ) +, s'( ) 5 d ( + ) d 5 5 ( + ) ulkofuktio f( ) ( ) 5 d + ( )(+ ) + C + C 8( + ) Vastaus: + C 8( + ) 8. sisäfuktio s ( ) 5+, s'( ) 5 d (5 + ) d 5 + ulkofuktio f( ) 7 7 Vastaus: 8 7 5(5+ ) 5 7 /(5 ) d + 5 8 ( 5 7 + 5 + ) 5 8
9. P(X 5,) F(5,) 5, +,9 8 Vastaus:,9. Kertymäfuktio ilmaisee tiheysfuktio ja -akseli rajaama aluee pita-ala kohda vasemmalla puolella. +, ku < < Tiheysfuktio f( ) 5 5, muulloi. Ku, tiheysfuktio o vakiofuktio, jote kertymäfuktio o F( ). Ku < < Kertymäfuktio F( ) P( < X ) f( t) dt ( t+ ) dt /( t + t) + [ ( ) ] + + 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Koska f() o tiheysfuktio o F(), ku, ku Vastaus: Kertymäfuktio o F( ) + +, ku <. 5 5 5, ku >. Lukujoot. a),,,... Erotusta a a ei saa kuika pieeksi tahasa, jote joo hajaatuu i b),, 8, 6,... Lukujoo luvut kasvavat rajatta, jote joo hajaatuu. c),,,,... 9 6 Lukujoo raja-arvo o, koska ai ai saadaa kuika pieeksi tahasa i i valitsemalla riittävä suuri i. Joo suppeee. Vastaus: a) hajaatuu b) hajaatuu c) suppeee. 5
. a) cos π Lukujoo o,,... Erotusta a a ei saa kuika pieeksi tahasa, jote joo hajaatuu i b) () Lukujoo o,,... Erotusta a a ei saa kuika pieeksi tahasa, jote joo hajaatuu c) ( ) i Lukujoo o,,,... i ( ) Lukujoo raja-arvo o, koska ai ai saadaa kuika pieeksi tahasa i i valitsemalla riittävä suuri i. Joo suppeee. Vastaus: a) hajaatuu b) hajaatuu c) suppeee.. a) a 5 Koska lim lim, o joolla raja-arvo ja se suppeee. 5 5 5 b) a Koska lim lim, o joolla raja-arvo ja se suppeee. Vastaus: Raja-arvo a) 5 b).. a) lim( ) b) lim lim + + 6
c) 8 + + + + 8 lim lim + + Vastaus: a) b) c) 5. 5 5 5 + + + + lim( + + ) + + 5 a) lim lim lim + 6 6 6 6 + + lim( + ) + 8 + 8 8 b) lim lim lim + c) lim( 9) lim lim + + laveetaa lausekkeella ( + + 9)( + + + 9) + + + 9 + ( + 9) + + + 9 9 lim + + + 9 9 lim 9 + + + + + + 5 Vastaus: a) b) c) 5 6. 7 + a) lim( ) lim(7 + ) 7 b) lim lim + 5 + 5 5 + + + 9 7
c) 6 5 + 5 6+ lim lim 5 Vastaus: a) 7 b) 5 c) 5 7. 5 5 5 + + lim ( + ) + 5 a) lim lim lim lim( ) 6 6 8 9 8 9 b) lim lim 6 6 c) lim( ) lim + laveetaa lausekkeella ( + )(+ + ) + + ( + ) lim + + lim + + lim + + + + Vastaus: a) b) c) 8. a) lim( ) laveetaa lausekkeella ( )( + ) lim + ( ) lim + + 8
lim + lim + b) lim( 6 8 ) lim lim lim lim + laveetaa lausekkeella ( + 6 8 )( + 6 + 8 ) + 6 ( 8 ) + 6 + 8 + + 6 8 6 8 + + + 6 + 8 + 6 + 8 7 Vastaus: a) b) 7 9. a) cos π Lukujoo o,,,,,... Erotusta a a ei saa kuika pieeksi tahasa, jote joo hajaatuu b) cos π i Koska lim π, o lukujoo raja-arvo cos ja joo suppeee. Vastaus: a) hajaatuu b) suppeee. 9
. a) lim( + ( ) ) + + b) lim[( ) ( )] lim( ) lim( ) 9 Vastaus: b) 9. 5 + 5 + a) lim lim 5 5 5 5 5 5 ( ) b) lim lim lim + + ( ) + Vastaus: a) b). π cos( ) π + cos( ) + lim lim +. -kulmio keskuskulma π vierekkäiste sivuje välise kulma puolikas Keskuskolmio kulmie summa π + + π π π π lim( π ) π Vastaus: π
. A r O r h B h d P Pallokaloti korkeus h Kolmiot AOP ja BOA ovat yhdemuotoiset (kk, suorakulma ja yhteie kulma O), jote saadaa verrato r r h d + r r r dr dh+ r rh dr h d + r Aloje suhde dr π r A π rh d r d d 5d + % %, jote kalotti Apallo πr πr ( d + r) ( d + r) d + r 5d 5d 5 prd (, ) ja lim lim 5 d + r d d + r d r + d 5 5 Satelliitista äkyvä maapallo osa p(6 7,5),6 5 + 6 7 5d Vastaus: prd (, ) ja lim prd (, ) 5 sekä,6 % d + r d 5. Lukujoo jäseet a + a + 7 a + a 5 + 7,,,,,... 5 6
5 a5 6 5+ Lukujoo :s jäse a,,,,... + Lukujoo raja-arvo lim lim, + + sillä ja, ku. Koska ( + ) a+ a >, sillä >, + + ( + )( + ) ii lukujoo o aidosti kasvava. Poikkeama raja-arvosta + ) <, + <, + 5 <, + 5 + <, > +, + > 5 + > 5 tai + < 5 > 999 <5 Ei käy, koska > Koska > 999, ii lukujoo 5. jäse poikkeaa raja-arvosta itseisarvoltaa vähemmä kui,. Vastaus: Lukujoo :s jäse o a,,,,.... Lukujoo raja-arvo o ja + joo 5. jäse poikkeaa raja-arvosta itseisarvoltaa vähemmä kui,
6. + + lim lim ) ) +, < 6 + 6 + 9 5 9, 9 5, 5, 9, ku 9 5, 9, > 9 5 > Nollakohdat 9 5 <, < > <, < 5 ± ± 5,7... 9 Merkkikaavio 5,7 f () f() Merkkikaavio perusteella 6 Vastaus: a, 6 7. lim lim + +
+ + ) < +, <, 5 <, + 5 <, + 5 <, +,, >,999 > 999 Vastaus: 5 8. + + lim lim lim + + + f ( ) + + f ( ) + +, ku + f( ), ku < y f f
y f Jaetaa jakokulmassa + + + ± + + + I d + d + + d + + + ( ) [ ( ) ] /[ ( ) l ] + + + + + + + + + + + + + + + lim I lim[ + l( + )] lim[ + l( + )] + + + lim[ + l( + )] + log lim[ + ( + + ) l( + )] taulukkokirjasta lim a + [ ( ) l ] [ ( ) l ] l( ), ku Vastaus: f( ), ku < + + l( + ) ja lim I, I. 5
9. + + >, ku, jote a < + + + + ) + ) ( + ) + + + + + + ( + ) >, ku, jote a + > a + + + + lim lim + + Vastaus: lim a. F H Lavetamalla + + :llä saadaa I K + lim ( + ) lim lim lim + + + + + + + > aia, ku R. + < + < + ( ), > 6 + < + + > 99, 9995 Vastaus: 5. + + f ( ) lim lim, + + + f ( ) lim + 6
, f( ), y 9 8 7 6 5 y 9 8 7 6 5 5 6 7 8 9 (, ) 5 6 7 8 9. A B P AB + AP AB + lim lim lim BP Vastaus:. Erilaisia raja-arvoja. a) lim ja lim+ jote lim 7
b) lim lim + ei määritelty c) 6 lim Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim ( 6) 6 ja lim ( 6) 6 + Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim ( ) ja lim ( ) + Nimittäjä ( ) saa olla lähellä vasemmalta lähestyttäessä egatiivisia arvoja ja oikealta lähestyttäessä positiivisia arvoja. Osoittaja saa olla lähellä vai egatiivisia arvoja, jote 6 6 lim ja lim + 6 Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret raja-arvoa lim ei ole. d) lim + Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim ( + ) ja lim ( + ) + Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim ja lim + Nimittäjä saa olla lähellä vasemmalta lähestyttäessä egatiivisia arvoja ja oikealta lähestyttäessä positiivisia arvoja. Osoittaja saa vai positiivisia arvoja, jote + + lim ja lim+ + Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret raja-arvoa lim ei ole. 8
e) ( + ) + lim + lim lim Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim ( + ) ja lim ( + ) + Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim ja lim + Nimittäjä saa vai positiivisia arvoja. Osoittaja saa olla lähellä vai positiivisia arvoja, jote lim + ja lim + + Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret raja-arvo o lim +. Vastaus: a) b) lim, vasemmapuoleista raja-arvoa ei ole c) ei raja-arvoa, + toispuoleiset raja-arvot ja d) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja e). a) lim ( ) Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim( ) ja lim( ) + Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim( ) ja lim( ) + Nimittäjä saa vai positiivisia arvoja. Osoittaja saa luvu lähellä vai positiivisia arvoja, jote lim ja lim ( ) ( ) Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret raja-arvo o lim ( ) b) lim ( + ) Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim ( ) ja lim ( ) + 9
Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim ( + ) ja lim ( + ) + Nimittäjä saa luvu lähellä vasemmalta lähestyttäessä egatiivisia arvoja ja oikealta lähestyttäessä positiivisia arvoja. Osoittaja saa luvu lähellä vai egatiivisia arvoja, jote ja lim ( + ) + lim ( + ) Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret raja-arvoa lim ei ole. ( + ) Vastaus: a) b) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja 5. a) lim e e ( ) e lim e + e ei raja-arvoa b) lim l ei määritelty lim l + c) lim si lim + si ei raja-arvoa d) lim ( cos ) cos lim ( cos ) + raja-arvo e) lim(si ) lim ja lim + Siifuktiolla ei jaksollisea fuktioa ole raja-arvoa äärettömyydessä.
Vastaus: a) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja b) lim l, vasemmapuoleista raja-arvoa ei ole c) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja d) e) ei raja-arvoa 6. 5 5 5 lim lim 5 + + Vastaus: e 5 5 5 + 5 lim 5 + sijoitus t, t, ku 5 t lim + t t 5 e 7. si a) lim b) lim 6 + 6 + 7 si si si c) lim lim( ) Vastaus: a) b) 7 c) 8. a) si 6 si 6 lim lim 6 5 5 6 6 si6 lim sijoitetaa t 6, jolloi t, ku 5 6 6 sit lim 5 t t 6 5
b) si si lim( ) lim( ) lim( ) lim( ) lim( ) cot cos cos cos si Vastaus: a) 6 5 b) 9. si si si a) lim lim( ) lim( ) si si si b) lim lim( ) lim( ) Vastaus: a) b). si a) lim cos b) lim Vastaus: a) b). lim lim lim + + + e. Koska 7 lim( 8) lim( 8), voidaa käyttää l'hospitali säätöä 8 7 8 7 6 lim lim 7 Vastaus: 7
. Koska lim(l ) lim( ), voidaa käyttää l'hospitali säätöä l lim lim lim Vastaus:. Koska lim( e ) lim si, voidaa käyttää l'hospitali säätöä e e lim lim si cos Vastaus: 5. l t Ala At () lt+ π t lt + πt Raja-arvo lim limbl πtg l. t t t lt + πt Vastaus: At () lt+ π t, lim l, kuva t t 6. + e y-koordiaattie erotus l( + e ) l( + e ) l e l l( e + ), ku e, sillä e. 7. a) lim f( ) lim b) Fuktio g(), ku tai si( / ) eli π, josta, missä π Z,. c) Fuktio g() saa arvot g ( ), koska si jokaisessa jaksossa. Ku < <, ii jakso pituus o korkeitaa useita jaksoja., π, jote välillä < <, o
d) lim h ( ) lim( si ), sillä y si ja lim.,,,, y h(),,,,,,,,,, e) O, koska lim h ( ) h().,, f( si ), π f) Fuktio f( h( )) f( g( )). Jos f(),,, π lähestytää ollaa pitki pistejooa, jolloi ( ( )) π lim f( h( )) lim f( h( )) lim. Jos lähestytää ollaa pitki toista f h aia, ku. Tällöi pistejooa, ii f ( h( )) aia, ku Z. Tällöi ( + ) π lim f( h( )) lim f( h( )) lim. Raja-arvo ei ole olemassa, koska lähestyttäessä ollaa eri jooja pitki päädytää eri raja-arvoo. 8. Koska lim( ) lim( ) 9 lim lim + Vastaus: +, voidaa käyttää l'hospitali säätöä. Sarjat 9. a) +
lim lim jote ei suppee + + b) ( ) + lim lim lim + + + ( ) jote ei suppee Vastaus: a) ei suppee b) ei suppee. a) 6 + 5... q 6 < q < 6 S ( ) 5 b) + ( ) + ( ) +... 6 6 6 ( ) 6 q 6 6 < q < 6 6 S 5 6 c) + +... q < q < 9 S + ( ) Vastaus: a) b) 6 5 c) 9 + 5
. a) i,8 i geometrie sarja i,8 q,8 i,8 < q <,8 S,8 i b) 7( ) i geometrie sarja i 7( ) q i 7( ) < q < S 7 8 i ( 5) c) i i 8 geometrie sarja i ( 5) i 8 5 q i ( 5) 8 i 8 < q < 8 S 5 ( ) 8 d) i i i geometrie sarja ( i+ ) ( i+ ) i i q i i i i < q < 6
S Vastaus: a) b) 8 c) 8 d). a) i i i geometrie sarja i+ i+ q i i suppeevuusehto < < < < S b) i ( 5) i geometrie sarja i+ ( 5) q 5 i ( 5) suppeevuusehto < 5< + 5 < < 6 5 5 S ( 5) 6 c) 6 i i i geometrie sarja i+ i+ 6 q 6 i i 6 suppeevuusehto 7
< 6 < :6 < < 6 6 6 S 6 Vastaus: a) < < ja b) < < 6 ja 5 6 c) < < ja 6 6 6 6. i ( + ) a) i i geometrie sarja i+ ( + ) i+ + q i ( + ) i suppeevuusehto + < < < + < 7< < + + S + i + b) i geometrie sarja + i+ ( ) + q + i ( ) suppeevuusehto < q < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli 8
+ < + < + + < + < ollakohdat + merkkikaavio + merkkikaaviosta ähdää, että + <, ku < tai > kaksoisepäyhtälö vasepuoli + > + + > + + > > ollakohdat merkkikaavio 9
merkkikaaviosta ähdää, että >, ku < tai > suppeevuusehdo yhteeveto < tai > S + Vastaus: a) 7< < ja + b) < tai > ja. i a) i + geometrie sarja i+ ( ) q + i ( ) + + suppeevuusehto < q < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli < + < + < + + < + ollakohdat + ei juuria + ei juuria ( ) ( ) ± () ± 6
Osoittaja ja imittäjä ovat erimerkkiset, jote + < + toteutuu kaikilla. kaksoisepäyhtälö vasepuoli > + + > + + + > + + + > + ollakohdat + + ± ± 6 ei juuria + ei juuria Osoittaja ja imittäjä ovat positiiviset, jote + + > + toteutuu kaikilla. suppeevuusehdo yhteeveto Sarja suppeee kaikilla. + S + + b) ( ) i i e geometrie sarja i+ ( ) q e i ( ) e e suppeevuusehto
< e < e >, jote kaksoisepäyhtälö vasepuoli toteutuu kaikilla < e e < e l() < > S e e e c) i (l ) i geometrie sarja i+ (l ) q l i (l ) suppeevuusehto < l < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli l < l < l e l aidosti kasvava < e kaksoisepäyhtälö vasepuoli l > l > l e > e > e suppeevuusehdo yhteeveto e e < < l S l
+ Vastaus: a) Sarja suppeee kaikilla ja + l l b) > ja e c) e e < < ja 5. a) i i ( ) ( ) i geometrie sarja i+ ( i+ ) ( ) ( ) q ( ) ( ) 9 i i ( ) ( ) suppeevuusehto < 9 < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli toteutuu kaikilla, koska 9 < kaksoisepäyhtälö vasepuoli 9 > 9 + > ollakohdat 9 + ± 9 ± Kuvaaja o alaspäi aukeava paraabeli, jote suppeevuusehdo yhteeveto < < S ( 9 ) + 9 9 + >, ku < < + b) i geometrie sarja + i+ ( ) + q + i ( ) i
suppeevuusehto + < < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli + < + < + + < + < ollakohdat + merkkikaavio + merkkikaaviosta ähdää, että + <, ku < tai > kaksoisepäyhtälö vasepuoli + > + + > + + > 5 > ollakohdat 5 merkkikaavio
5 merkkikaaviosta ähdää, että 5 >, ku < tai > suppeevuusehdo yhteeveto < tai > S + Vastaus: a) < < ja + 9 b) < tai > ja 6. a) + + + + +... geometrie sarja q suppeevuusehto < < S b) + + 9 + 7 +... geometrie sarja q suppeevuusehto < < : < < S c) + +... + + geometrie sarja q suppeevuusehto 5
< < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli < < < osoittaja ollakohta imittäjä ollakohta merkkikaaviosta ähdää, että <, ku < tai > kaksoisepäyhtälö vasepuoli > + > + > osoittaja ollakohta + imittäjä ollakohta + Merkkikaaviosta ähdää, että + >, ku < tai > Kaksoisepäyhtälö yhteeveto < tai > S d) ( )+ ( ) ( ) +... geometrie sarja 6
( ) q suppeevuusehto < < < < S ( ) Vastaus: a) < < ja < < ja b) < < ja c) < tai > ja d) 7.,..., +, +, +..., +, +, 6 +..., Kyseessä o suppeeva geometrie sarja, koska q <, a S a,; q q,, S 999 999 Vastaus: 999 8. + 6 + 9 +... Yhtälö vasepuoli o geometrie sarja 6 q suppeevuusehto < <, kuutiojuuri o aidosti kasvava fuktio < < S + 6 + 9 +... 7
( ), < < Vastaus: 9. a) Väheemiskerroi,5,65 Puoliitumiskertoja 9 8 Lääkeaiee määrä i puoliitumisaja kuluttua k i k,65 + 5 k, 65(, 65 + 5) + 5, 65 +, 65 5 + 5 k, 65(, 65 +, 65 5 + 5) + 5, 65 +, 65 5 +, 65 5 + 5... 9 8 7 k9,65 +,65 5 +,65 5 +... +,65 5 + 5 9 8 7 q, 65 + 5 (, 65 +, 65 +... +, 65 + ) S a, a, q, 65, 9 q geometrie summa 9,65 9,65 5,65 + 7,98... 9 eli vuorokaude kuluttua juuri lääkeaokse ottamise jälkee elimistössä o 8 mg lääkeaietta. b) Lääkeaiee määrä i puoliitumisaja kuluttua k i i i i ki,65 +,65 5 +,65 5 +... +,65 5 + 5 i i i i,65 + 5 (,65 +,65 +,65 +... +,65 + ) geometrie summa i+ i,65,65 + 5,65 Lasketaa lääkeaiee määrä, ku i kasvaa rajatta. 8
i+ i,65 lim ki lim(, 65 + 5 ) + 5 8, 57... 9 i i,65,65 7 eli pysyväislääkityksessä juuri lääkeaokse ottamise jälkee elimistössä o 9 mg lääkeaietta. Vastaus: a) 8 mg b) 9 mg 5. Väheemiskerroi,,9 Puide määrä i vuode kuluttua k i k 5, 9 + 8 k,9(5,9 + 8) + 8,9 5 +,9 8 + 8 k, 9(, 9 5 +, 9 8 + 8) + 8, 9 5 +, 9 8 +, 9 8 + 8... i i i ki, 9 5 +, 9 8 +, 9 8 +... +, 9 8 + 8 i i i i,9 5+ 8 (,9 +,9 +,9 +... +,9+ ) geometrie summa i+ i,9,9 5 + 8,9 Lasketaa puumäärä, ku i kasvaa rajatta. i+ i,9 lim ki lim(, 9 5 + 8 ) + 8 8 i i,9,9 eli puita o ajamittaa 8. Vastaus: 8 5. ( + ) ( ) ( ) i i + + i i i i + i + i i i i i i i i geometrie sarja i i ( i+ ) q < 9 i Sarja o suppeeva. 9 S 8 9 9
geometrie sarja ( ) i i i i+ i+ q < i i Sarja o suppeeva. S geometrie sarja i i ( i+ ) q < 6 i Sarja o suppeeva. 6 S 5 6 9 6 577 + + + + + 8 5 ( ) ( ) i i i i i i i i i i Vastaus: 577 5. a) i i+ + l l + l + l +... + l + l i l( +... ) l( + ) i + l lim l( + ) i i Sarja ei suppee.
b) 5 5 5 5 ( + ) ( ) i + i i i i+ i i i+ i 5 5 5 5 5 5 5 5 ( ) + +... + i i i+ 5 5 5 ( ) lim(5 ) 5 i i i + + geometrie sarja i i i+ q < i Sarja o suppeeva. S 5 5 5 + + 5 5 5 5 ( + ) ( ) + 5+ 6 i i i+ i i+ i i i i Vastaus: a) ei suppee b) suppeee, summa o 6 5. i si i geometrie sarja i+ si q si i si suppeevuusehto < si < π + π S si Vastaus: π + π ja si
5. a) k + + (k + ) + (k + ) +... geometrie sarja ( k + ) q k + k + suppeevuusehto < k+ < k < < k k + k + S ( k + ) k b) k+ + + + +... k+ ( k+ ) geometrie sarja q k + suppeevuusehto < k+ < Kaksoisepäyhtälö oikeapuoli < k+ < k + k < k+ ollakohdat k k k + k merkkikaavio k k + k k merkkikaaviosta ähdää, että k <, ku < k tai > k k + Kaksoisepäyhtälö vasepuoli
> k + + > k + + k + > k+ ollakohdat + k + k k + k merkkikaavio + k + k + k k merkkikaaviosta ähdää, että + k+ >, ku < k tai > k k + Suppeevuusehdo yhteeveto < k tai > k k+ k + ( k+ ) S k + k+ k + k + k+ Vastaus: a) k < < k ja k b) < k tai > k ja ( k+ ) k + 55. + + + +... 5 5 5 i 5 i i Verrataa sarja termejä sarja termeihi. 5 i i Koska kaikilla i: arvoilla ja sarja i i suppeee, myös sarja i 5 5 5 i i 5 i i i suppeee. Vastaus: suppeee 56. + + +... l l l l i i
Verrataa sarja termejä harmoise sarja termeihi. i Koska l i < i, ku i > ja harmoie sarja hajaatuu, myös sarja Vastaus: sarja hajaatuu i hajaatuu. l i i 57. Teoriaosuudessa o osoitettu,että Koska + +,5, luku e o lukuje!! e + + + +... <!!! i! ja välissä. i 58. Ratkaistaa q yhtälöparista a+ aq+ aq 5 a + aq + aq + aq + aq + aq a+ aq+ aq + + + + +, josta sijoitetaa alempaa a aq aq q ( a aq aq ) + q q S a aq aq aq aq aq q a aq aq 5 6 7 8 6 6 9 + +... + + + + + ( + + ) + ( ) 9 Koska q > ei vastaava geometrie sarja suppee. Vastaus: S 9 9 ja vastaava sarja ei suppee. 59. Lukujoo ( a k ) suppeee, jos ja vai jos lim a k lim a. k k k a. Sarja Suppeeva lukujoo,,,... ja sitä vastaava sarja esimerkiksi, että k. Lukujoo,,, suppeee, koska lim. k Vastaava sarja hajaatuu, koska lim. k k k k a k hajaatuu, jos hajaatuu, ku valitaa
Jos sarja suppeee, ii lim a lim( a a ) lima, jolloi vastaava lukujoo k k k k ( ak ) suppeee. Siis ei voi olla mahdollista, että joo hajaatuu, ku vastaava sarja suppeee. Vastaus: Lukujoo,,, ja ei ole mahdollista, että joo hajaatuu, ku vastaava sarja suppeee. 6. Sarja i a + + + +... 5 7 9 a + 5 + 7 + a + Yleie termi a +, ku + Raja-arvo lim a lim lim + + Koska lim a, ii sarja ei suppee. Vastaus: Yleie termi o a +, ku +. Sarja ei suppee. 6. Geometrie sarja suppeee, jos ja vai jo q <, missä q o sarja suhdeluku. Esimmäie termi a + Toie termi a + Sarja suhdeluku a q a 5
Suppeemisehdosta q < saadaa epäyhtälö a q < q a + + + + < + < +, koska aia < + + + > ( ) + < + < + Saadaa kaksi epäyhtälöä, joide pitää olla samaaikaisesti voimassa. < + + < + ja < + + < + ja < < ja Epäyhtälö < ratkaisu o <. Määritetää epäyhtälö < ratkaisu hakemalla vastaava yhtälö ratkaisut. ( ) ( ) ( ) ± () ± + Päätellää epäyhtälö ratkaisu merkkikaavio avulla. Epäyhtälöryhmä < ja < ratkaisu 6
Epäyhtälöryhmä ratkaisu o Vastaus: Sarja suppeee, ku < tai < < < tai < < 6. q suppeeva geometrise sarja suhdeluku, a suppeeva geometrise sarja. termi a 5 Summa o q. Termie eliöide muodostama sarja suhdeluku o q ja.termi o a a 5 ja summa o. Saadaa yhtälöpari q 6 R a 5 5 a q q eli b g sijoitetaa alempaa S a 5 q 6 T b 5 q q b g g 5 6 q b + qgbqg 6 6 b qg b + qg q 5 Sijoittamalla saadaa a. Jote termie kuutioide muodostama suppeeva a 8 geometrise sarja summa o 8 q 5 Vastaus: 8 6. b cos geometrie sarja g 7
+ ( cos ) q cos ( cos ) suppeevuusehto < cos < < cos < :( ) < cos < π π + kπ < < + k π, kπ S (cos ) cos π π Vastaus: + kπ < < + k π, kπ ja 6. a) i i f ( ) lim P ( ) geometrie sarja i+ q i suppeevuusehto < q < eli < < cos Sarja summa i f( ) i b) i i ( ) P ( ) f( ) i i + + P ( ) f( ) + + 8
c) P (,5) f(,5), +,5, (, 5),5, 5 +, +, 5, 5 l() + l,5 l,5 ( + ) l,5 l,5 : l,5 < l,5 + l,5 + 6,58... 5,58... 6 Vastaus: a) Täyttää geometrise sarja suppeevuusehdo, f( ) b) 6 65. k k + 7 k k lim lim k, jote sarja hajaatuu. k k + 7 k 7 + k. Fuktioide jatkuvuus ja derivoituvuus + c), ku 66. Fuktio f( ), ku Fuktio o jatkuva, ku. Tutkitaa jatkuvuutta kohdassa. Fuktio arvo f() ( ) ( + ) Fuktio raja-arvo lim f( ) lim lim + Koska fuktio raja-arvo o sama kui fuktio arvo kohdassa, o fuktio jatkuva tässä kohdassa. Täte fuktio o jatkuva kaikkialla. 9
si, ku 67. Fuktio f( ), ku Fuktio o jatkuva, ku. Tutkitaa jatkuvuutta kohdassa. Fuktio arvo f() si Fuktio raja-arvo lim f( ) lim Koska fuktio raja-arvo o sama kui fuktio arvo kohdassa, o fuktio jatkuva tässä kohdassa. Täte fuktio o jatkuva kaikkialla. cos, ku < 68. Fuktio f( ) a + si, ku Fuktio o jatkuva, ku. Tutkitaa jatkuvuutta kohdassa. Fuktio o jatkuva, ku fuktio arvo o sama kui fuktio raja-arvo. f () lim f ( ) lim f ( ) + a+ si( ) a+ si( ) cos a Vastaus: Fuktio o jatkuva kaikkialla, ku a. 69. Fuktio Fuktio o jatkuva, ku Osoittaja ollakohdat 5 Fuktio raja-arvo 5, ku f( ) + a, ku lim f( ) f( ) ( 5) ± ( 5) ( ) 5 8 5+ 8 7 5 lim f( ) lim lim + Fuktio o jatkuva, ku ( + ) ( 7) + f( ) a lim f( ) 9 Vastaus: Fuktio o jatkuva, ku a 9. 7 9 5
+, ku < 7. a) Fuktio f( ) +, ku, ku < Derivaatta f (), ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) + h lim lim lim h h h h h f( + h) f() ( + h) + lim lim h h + h+ h + h( + h) lim lim + h h + h + + h h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat yhtä suuret, ii f (), ku < Derivaatta f (), ku h 5+ 6, ku < b) Fuktio f( ) +, ku 5, ku < Derivaatta f () +, ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f( + h) f( ) 5( + h) + 6 5 h lim lim lim h h h h h f( + h) f( ) ( + h) + ( + h) ( ) f + () lim lim + + h h h h + h h + h + h+ h(5 h+ h ) lim lim 5 h + h h + h Koska toispuoleiset derivaatat ovat yhtä suuret, ii f () 5 5, ku < Derivaatta f () +, ku h 5 Vastaus: a) f (), ku <, ku 5, ku < b) f () +, ku 5
7. a) Fuktio +, ku < f( ) +, ku, ku < Derivaatta f () 6+, ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f( + h) f( ) ( + h) + h lim lim lim h h h h h f( + h) f( ) ( + h) + ( + h) f + () lim lim + + h h h h 6h+ h + h h( + h) lim lim h + h h + h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, ii f () ei ole olemassa., ku < Derivaatta f () ei ole olemassa, ku 6+, ku > b) Fuktio, ku <, ku < f( ) + +, ku ( ), ku ( ), ku, ku < < Derivaatta f () ( )( + ), ku >, ku > ( + ) Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () + h) f( + h) f( ) ( + h) h lim lim lim h h ( + h) h h h h lim f( + h) f( ) ( + h) + lim h h + + h h ) h h+ ) h lim h h+ h + h lim + + h h ( h h h+ ) 5
lim h ( h + ) ( h h+ ) h + h 9 Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, ii f () ei ole olemassa., ku < Derivaatta f () ei ole olemassa, ku, ku > ( + ), ku < Vastaus: a) f () ei ole olemassa, ku 6+, ku >, ku < b) f () ei ole olemassa, ku, ku > ( + ) +, ku < 7. a) Fuktio f() +, ku, ku < Derivaatta f (), ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) + h lim lim lim h h h h h f( + h) f() ( + h) h lim lim lim + h + h h h h h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, ii f () ei ole olemassa., ku < Derivaatta f () ei ole olemassa, ku, ku >, ku < b) Fuktio f() + +, ku 5
, ku < Derivaatta f (), ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) h lim lim lim h h h h h f( + h) f( ) ( + h) + h lim lim lim + h + h + h h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, ii f () ei ole olemassa., ku < Derivaatta f () ei ole olemassa, ku, ku >, ku < Vastaus: a) f () ei ole olemassa, ku, ku >, ku < b) f () ei ole olemassa, ku, ku >, ku < 7. Fuktio f( ) a + b, ku Derivoituva fuktio o jatkuva. Fuktio o jatkuva, ku fuktio arvo o sama kui fuktio raja-arvo. f () lim f ( ) lim f ( ) + h h a+ b a+ b a+ b Fuktio o derivoituva, ku toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat yhtä suuret. f () f + () lim ( + ) ( ) ( + lim ) + lim lim h h h h f h f h h h h( h + ) h h h h f( + h) f() a( + h) + b ( a+ b) a h lim lim lim + h + h + h h h h a Merkitsemällä toispuoleiset derivaatat kohdassa yhtä suuriksi saadaa a. Sijoittamalla tämä jatkuvuusehtoo saadaa a + b a + b 5
b Vastaus: Vakiot ovat a ja b., ku < 7. Fuktio f( ) a + b, ku Derivoituva fuktio o jatkuva. Fuktio o jatkuva, ku fuktio arvo o sama kui fuktio raja-arvo. f () lim f( ) lim f( ) + a+ b a+ b lim ( ) ( + ) a+ b lim a+ b Fuktio o derivoituva, ku toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat yhtä suuret. Osafuktiota g() ei ole määritelty kohdassa, jote sillä ei ole vasemmapuoleista derivaattaa tässä kohdassa. Täte osafuktio g derivaata vasemmapuoleise raja-arvo tulee olla sama kui fuktio f oikeapuoleie derivaatta ( ) ( ) + ( ) Osafuktio g derivaatta g () ( ) ( ) ( ) Raja-arvo lim g'( ) lim Oikeapuoleie derivaatta f + () f( + h) f() a( + h) + b ( a+ b) a h lim lim lim + h + h + h h h h a Merkitsemällä edelliset lausekkeet kohdassa yhtä suuriksi saadaa a. Sijoittamalla tämä jatkuvuusehtoo saadaa a + b a + b b Vastaus: Vakiot ovat a ja b. 75. Fuktio f() suuri ja piei arvo suljetulla välillä [ 5,]. ( + ), ku <, ku < Fuktio f() ( ), ku, ku Suljetulla välillä jatkuva fuktio saa suurimme ja pieimmä arvosa väli päätepisteessä, derivaata ollakohdassa tai kohdassa, jossa derivaattaa ei ole olemassa. Väli päätepisteet f(5) (5) f() 55
Derivaata ollakohdat, ku < Derivaatta f (), ku > Derivaatta o olla, ku >. Tällöi fuktio arvo o. Kohdat, joissa derivaattaa ei ole olemassa f() Vastaus: Fuktio suuri arvo o ja piei. 76. Fuktio f() + suuri ja piei arvo suljetulla välillä [,]. + ( + ), ku < +, ku < Fuktio f() + + (), ku +, ku Suljetulla välillä jatkuva fuktio saa suurimme ja pieimmä arvosa väli päätepisteessä, derivaata ollakohdassa tai kohdassa, jossa derivaattaa ei ole olemassa. Väli päätepisteet f() () () + 8 f() + Derivaata ollakohdat, ku < Derivaatta f (), ku + > Derivaata ollakohdat Ku < Ku > + Ei käy Fuktio arvo derivaata ollakohdassa f() + Kohdat, joissa derivaattaa ei ole olemassa f( ) 9 + Vastaus: Fuktio suuri arvo o 8 ja piei. 56
77. Osoitetaa, että fuktiolla f() + 5 + 5 o täsmällee yksi ollakohta. Fuktio f() + 5 + 5 o polyomifuktioa jatkuva kaikkialla. f() + 5 + 5 5 > f( ) ( ) + 5 ( ) + 5 < Koska fuktio arvot väli [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, fuktiolla o Bolzao, aiaki yksi ollakohta. lausee perusteella välillä ] [ Fuktio f() + 5 + 5 o polyomifuktioa derivoituva kaikkialla Derivaatta f () + 5 + 5 > Fuktio o aidosti kasvava, jote fuktiolla f() + 5 + 5 o korkeitaa yksi ollakohta. Kohdista ja seuraa, että fuktiolla f() + 5 + 5 o täsmällee yksi ollakohta. 78. Osoitetaa, että fuktiolla f() e + o täsmällee yksi ollakohta. Fuktio f() e + o polyomifuktioa jatkuva kaikkialla. f() e + > f( ) e + ( ) e,86 < Koska fuktio arvot väli [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, fuktiolla o Bolzao, aiaki yksi ollakohta. lausee perusteella välillä ] [ Fuktio f() e + o derivoituva kaikkialla Derivaatta f () e + + > Fuktio o aidosti kasvava, jote fuktiolla f() e + o korkeitaa yksi ollakohta. Kohdista ja seuraa, että fuktiolla f() e + o täsmällee yksi ollakohta. + 79. a) Fuktio f( ) pystysuorat asymptootit + + + Koska + ja +, ku, ii vio asymptootti o y. + b) Fuktio g ( ) pystysuorat asymptootit + Koska + + ja, ku, o vio asymptootti y. c) Fuktio + h ( ) pystysuorat asymptootit 57
Koska + + + ja, ku, o vio asymptootti y. + d) Fuktio g ( ) pystysuorat asymptootit Koska + + + ja, ku, o vio asymptootti y. Vastaus: Asymptootit ovat a) ja y b) ja y c) ja y d) ja y. 8. a) Fuktio f( ) ± pystysuorat asymptootit Koska + ja, ku, ii vio asymptootti o y. 7 + b) Fuktio g ( ) pystysuorat asymptootit + + Yhtälöllä ei ole ratkaisua, jote pystysuoria asymptootteja ei ole. 7 7 + 7 + Koska + + + ja 7 +, ku, ii vio asymptootti + + o y. + c) Fuktio h ( ) pystysuorat asymptootit ( ) tai Vio asymptootti saadaa jakolaskulla 58
+ + ± + ± + + + Koska + + ja asymptootti o y +. + +, ku, ii vio + d) Fuktio h ( ) pystysuorat asymptootit 6 6 ( ) ± ( ) ( 6) 5 + 5 Vio asymptootti saadaa jakolaskulla + 6 6 + ± ± 6 + 6 + 6 + 6 ± 6± 6 5 + 7 + 5+ 7 Koska ja 6 6 vio asymptootti o y + 6. 7 5 + 5 + 7, ku, ii 6 6 Vastaus: Asymptootit ovat a), ja y b) y c), ja y + d), ja y + 6. 59
8. Fuktio f( ) + + ( + + ) (+ ) + Derivaatta f () ( + + ) ( + + ) Nollakohdat f () + ± Nimittäjällä ei ole ollakohtia. Kulkukaavio f () f () mi ma Koska lim f( ) lim lim + + + + lim f( ) lim lim + + + + ii fuktio suuri arvo o f () + + ja piei arvo o f ( ) ( ) + ja Fuktio ollakohta f() + + Asymptootit Pystysuoria asymptootteja ei ole. Vio asymptootti y Piirretää fuktio kuvaaja. y 6 5 5 6 Vastaus: Suuri arvo o ja piei. 6
8. Fuktio f( ) +, (+ ) + 6 Derivaatta f () (+ ) (+ ) Nollakohdat f () + 6 ( + 6) tai Kulkukaavio f () f () ma mi Fuktio f( ) + maksimi ( ) f ( ) () + Miimi f () + Fuktio ollakohta f() + Asymptootit Pystysuorat asymptootit + Vio asymptootti saadaa jakolaskulla 6
+ 9 ± ± 9 9 Koska + + (+ ) o y. Raja-arvot lim f( ) lim + lim f( ) lim + + + Piirretää fuktio kuvaaja. y ja 9, ku, ii vio asymptootti ( + ) 6 5 5 6 Vastaus: Paikallie maksimi o ja miimi. 6
8. Fuktio f( ), + Derivaatta f () ( + ) + ( + ) ( + ) Nollakohdat f () + ( + ) tai Kulkukaavio f () f () ma mi Fuktio f( ) maksimi + Miimi f () + ( ) f ( ) + Fuktio ollakohta f() + Asymptootit Pystysuorat asymptootit + Vio asymptootti saadaa jakolaskulla + Koska Raja-arvot ± ± + + + ja, ku, ii vio asymptootti o y. + 6
lim f( ) lim + lim f( ) lim + + + Piirretää fuktio kuvaaja. y 6 5 5 6 5 6 7 + 5, ku 8. Fuktio f( ) a, ku Fuktio o jatkuva, ku Fuktio o jatkuva kohdassa, ku Suoritetaa jakolasku + 5+ ± lim f ( ) f() 5 ± + ± Fuktio raja-arvo 5+ ( ) ( + ) lim f( ) lim lim + 7 6
Fuktio o jatkuva, ku f() a lim f( ) 7 Vastaus: Fuktio o jatkuva, ku a 7. + + 5 a, ku 85. Fuktio f( ) + b, ku Fuktio o jatkuva, ku Fuktio o jatkuva kohdassa, ku Suoritetaa jakolasku + + + 5 + a + a ± ± lim f( ) f( ) a + Fuktiolla f() o raja-arvo, ku a + eli a Fuktio raja-arvo + 5 ( + ) ( + ) lim f( ) lim lim () + () + + Fuktio o jatkuva, ku f() b lim f( ) Vastaus: Fuktio o jatkuva, ku a ja b. 86. Fuktio f() Erotusosamäärä kohdassa Δf f( ) f( ) Δ Δ f Derivaatta lim lim Δ Δ f Vastaus: Erotusosamäärä o ja derivaatta f (). Δ 87. Derivoi fuktio f() +. Fuktio f() + 65
Poistetaa itseisarvot. Polyomifuktio y kuvaaja o laskeva suora ja se ollakohta o. Polyomifuktio y kuvaaja o ouseva suora ja se ollakohta o., ku < +, ku < Fuktio f() + +, ku <, ku <, ku + +, ku, ku < Derivaatta f (), ku < <, ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f( + h) f() h+ h f ' () lim lim lim h h h h h h f( + h) f() f ' + () lim lim lim h + h h h h Koska toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat eri suuret derivaatta ei ole olemassa kohdassa. Toispuoleiset derivaatat kohdassa f( + h) f() f ' () lim lim lim h h h h h f( + h) f() h ( ) h f ' + () lim lim lim h + h h + h h + h Koska toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat eri suuret derivaatta ei ole olemassa kohdassa., ku < Vastaus: Derivaatta f (), ku < < ja fuktio ei ole derivoituva, ku, ku > tai. 88. Määritä fuktio f( ) arvojoukko. Piirrä fuktio kuvaaja. + Fuktio f( ) + ( + ) Derivaatta f () ( + ) ( + ) Nollakohdat f () Kulkukaavio 66
f () f() mi Fuktio f( ) + miimi f () + Fuktio ollakohta f() + Asymptootit Pystysuoria asymptootteja ei ole, koska + > Vio asymptootti saadaa jakolaskulla + Koska + + ja, ku, ii vio asymptootti o y. + Raja-arvot äärettömyydessä lim f( ) lim lim + + lim f( ) lim lim + + Piirretää fuktio kuvaaja. y 6 5 5 6 Vastaus: Arvojoukko o y < 67
+ 89. Fuktio f() + ( + ) ( + ) + + Derivaatta f () ( + ) ( + ) ( + ) Derivaata ollakohdat f () + ( + ) + ( ) + Kulkukaavio ± ( ) 8, + 8 + +, f () f() mi ma + Fuktio f() miimi + ) f ( ) + ( ) + + + + Fuktio f() + +, 7 6 8 8 maksimi + ) + f ( + ) + ( + ) + + + + +, 7 6 8 8 + + Raja-arvot äärettömyydessä lim lim + + Täte myös asymptoottia o suora y. 68
Fuktio saa arvot y +. Piirretää kuvaaja. y y + + 6 5 5 6 Vastaus: Fuktio saa arvot y +. + + 9. Fuktio f(), + (+ ) (+ ) ( + + ) Derivaatta f () ( + ) + + + 6 + (+ ) (+ ) Derivaata ollakohdat f () + ( + ) + : + Kulkukaavio f () f () ma ± ( ) 9 + 9 mi 69
Fuktio f() + + + + miimi f() + + ( ) + ( ) + Maksimi f() () + Fuktio ollakohdat f() + + + + + ± 8 Ei ollakohtia Pystysuoraa asymptoottia o suora. Vio asymptootti saadaa jakolaskulla + + + + + Koska + + + + Raja-arvot äärettömyydessä lim + + + + + lim + Raja-arvot kohdassa lim + + +, ii vio asymptootti o y +. 7
lim + + + + Piirretää kuvaaja y f() + + + 6 5 5 6 Vastaus: Fuktio saa arvot y tai y. Maksimi o ja miimi. + a 9. Fuktio y +, Fuktio ääriarvot ovat derivaata ollakohdissa. (+ ) ( + a) + a Derivaatta y ' (+ ) (+ ) Derivaata ollakohtaa o, ku + a + a a Derivaata ollakohdat y ' + a a ( + ) + : + 7
Kulkukaavio ± ( ) 9 + 9 f () f () ma mi + Ääriarvo, ku o miimi f() + ( ) + Ääriarvo, ku o maksimi f( ) () + Fuktio ollakohdat f() + + + Ei ollakohtia Pystysuoraa asymptoottia o suora. Vio asymptootti saadaa jakolaskulla + + + Koska + 7 + + 7 + + ja, ku, ii vio asymptootti + (+ ) 7
o y +. Raja-arvot äärettömyydessä + lim + + lim + Raja-arvot kohdassa + lim + + + lim + Piirretää kuvaaja y 6 5 5 6 Vastaus: Vakio a. Ääriarvo, ku o miimi. Ääriarvo, ku o maksimi f( ). + + 9. Fuktio f() + ( + ) ( + ) ( + + ) Derivaatta f () ( + ) + + + + ( + ) ( + ) Derivaata ollakohdat f () 7
+ ( + ) + ± Kulkukaavio f () f() mi ma + + ( ) + ( ) + Fuktio f() miimi f() + ( ) + + + Maksimi f() + Fuktio ollakohdat f() + + + + + ± Ei ollakohtia Pystysuoraa asymptoottia ei ole koska + >. Vio asymptootti saadaa jakolaskulla + + + + + Koska +, ii vio asymptootti o y. + + Raja-arvot äärettömyydessä + + + + lim lim + + 7
+ + + + lim lim + + Piirretää kuvaaja y 6 5 5 6 Vastaus: Fuktio maksimiarvo o ja miimiarvo. 9. Fuktio f() f ( ) f( ) Derivaata määritelmä f '( ) lim Derivaatta kohdassa f( ) f() f '() lim f( ) ( ) + f '() lim lim lim lim Vastaus: Derivaatta kohdassa o f (). +, ku < 9. Fuktio f() +, ku +, ku < Derivaatta f (), ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa 75
( + h) + h h + + h f( + h) f() f ' () lim lim lim h h h h h h h h + lim h h ( + h) + h h + f( + h) f() f ' () lim lim + lim h + h h h h Koska toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat eri suuret derivaatta ei ole olemassa kohdassa. Derivaata kuvaaja y h 6 5 5 6 Vastaus: Derivaatta o f () +, ku <,, ku >. Derivaattaa ei ole olemassa, ku. 95. Esimerkki fuktiosta f y R bg S T +, ku <, ku < +, ku 6 5 5 6 76
Fuktio ei ole jatkuva, ku, koska f () lim f( ) lim f( ). + Ei derivaattaa kohdassa, koska f ei ole jatkuva tässä pisteessä, eikä myöskää ' ' kohdassa, koska f f bg + bg. 96. Fuktio f o kasvava: Jos <, ii f ( ) f ( ). R Esimerkki epäjatkuvasta kasvavasta fuktiosta fbg S T, +, > Fuktio o kasvava, koska f 'bg>, ku ja epäjatkuva, koska lim f ( ) lim f( ) f(). + y 6 5 5 6 Esimerkki kasvavasta fuktiosta, joka o origossa jatkuva mutta ei derivoituva,, f( ), >. Fuktio o jatkuva, koska lim f ( ) lim f( ) f() mutta ei derivoituva, koska ( ) f ( ) f ' '. + y + 6 5 5 6 77
97. Fuktio (+ ), ku <, ku < f() + + + (+ ), ku < +, ku < + (+ ), ku +, ku Fuktio o jatkuva fuktio itseisarvofuktioa jatkuva. Kaikkialla jatkuva fuktio saavuttaa ääriarvosa derivaata ollakohdissa tai kohdissa, joissa derivaatta ei ole olemassa., ku < Derivaatta f (), ku < <, ku > Derivaatalla ei ole ollakohtia. Kohdat, joissa derivaatta ei mahdollisesti ole olemassa ovat kohdat, joissa paloittai määritelly fuktio lauseke vaihtuu. f + f() + Fuktio kuvaaja y 6 5 5 6 Kuvaaja perusteella fuktiolla o miimi Vastaus: Miimi o. f 78
5. Korkeammat derivaatat 98. Fuktio f() 5. derivaatta f () 5 Derivaata arvo f ( ) ( ) 5. derivaatta f () 6 Derivaata arvo f ( ) 6 ( ) 6. derivaatta f () 6 Derivaata arvo f ( ) 6 Vastaus: f ( ), f ( ) 6 ja f ( ) 6 99. Fuktio f() 6. derivaatta f () 6 5 8. derivaatta f (). derivaatta f () 8. derivaatta f () () 6 8 Derivaata arvo f () ( ) 6 ( ) 8 Vastaus: Derivaatta o f () ( ).. Fuktio f() cos. derivaatta f () si. derivaatta f () cos. derivaatta f () si. derivaatta f () () cos 5. derivaatta f (5) () si Derivaata arvo f (5) (π) si π Vastaus: Derivaatta o f (5) (π) si π.. Fuktio f() 6 +. derivaatta f () 8 + 8. derivaatta f () 96 + 8. derivaata ollakohdat f () 96 + 8 : 8 + 7 ( 8) ± ( 8) 7 8 6 8+ 6 7 Vastaus:. derivaata ollakohdat ovat ja 7.. Fuktio yleie derivaatta a) Fuktio f() e 79
. derivaatta f () e. derivaatta f () e :s derivaatta f () () e b) Fuktio f() e. derivaatta f () e. derivaatta f () e e. derivaatta f () e e :s derivaatta f () () e Vastaus: a) f () () e b) f () () e. Määritetää fuktio yleie derivaatta. a) Fuktio f() si. derivaatta f () cos. derivaatta f () si. derivaatta f () cos. derivaatta f () () si 5. derivaatta f (5) () cos 6. derivaatta f (6) () si 7. derivaatta f (7) () cos 8. derivaatta f (8) () si 9. derivaatta f (9) () cos cos, ku k + :s derivaatta f () si, ku k + () cos, ku k + si, ku k + ku k,,, b) Fuktio f() si. derivaatta f () cos. derivaatta f () si si. derivaatta f () cos. derivaatta f () () si 5. derivaatta f (5) () 5 cos 6. derivaatta f (6) () 6 si 7. derivaatta f (7) () 7 cos 8. derivaatta f (8) () 8 si 9. derivaatta f (9) () 9 cos cos, ku k + :s derivaatta f () si, ku k + () cos, ku k + si, ku k + ku k,,, 8
cos, ku k + Vastaus: Yleie derivaatta o a) f () si, ku k + () cos, ku k + si, ku k + cos, ku k + b) f () si, ku k + () ku k,,,. cos, ku k + si, ku k +. Käyrä y. derivaatta y () 6. derivaatta y () Kuperuus a) y ( ) ( ) ( ) > kupera alaspäi b) y () < kupera ylöspäi c) y () < kupera ylöspäi Vastaus: a) kupera alaspäi b) kupera ylöspäi c) kupera ylöspäi 5. a) Fuktio f() 5 + + 9. derivaatta f () 5 + + 9. derivaatta f () +. derivaata ollakohdat f () + : Kuperuuskaavio f () f () Kohdassa o kääepiste. Pistee y-koordiaatti y () 5 + () + 9 () Kääepiste o (,). b) Fuktio f() 8 + + 5. derivaatta f () 6 +. derivaatta f () 6. derivaata ollakohdat f () 6 : 8
Kuperuuskaavio f () f () ( ) ± ( ) ( ) 6 + 6 Kohdassa o kääepiste. Pistee y-koordiaatti y () () 8 () + () + 5 7 Kohdassa o kääepiste. Pistee y-koordiaatti y 8 + + 5 9 Kääepisteet ovat (,7) ja (, 9). Vastaus: Kääepisteet ovat a) (,) b) (,7) ja (, 9). 6. Määritä fuktio f() kuvaaja kuperuussuuat ja kääepisteet. Fuktio f(). derivaatta f (). derivaatta f () 6. derivaata ollakohdat f () 6 6 :6 Kuperuuskaavio f () f () Fuktio o kupera ylöspäi, ku < ja kupera alaspäi, ku >. Kohdassa o kääepiste. Vastaus: Fuktio o kupera ylöspäi, ku < ja kupera alaspäi, ku >. Kohdassa o kääepiste. 8
7. Fuktio f(). derivaatta f (). derivaatta f (). derivaata ollakohdat f () : 6 ± Kuperuuskaavio 6 f () f () 6 6 Fuktio o kupera ylöspäi, ku < tai > ja kupera alaspäi, 6 6 ku < < 6 6. Kohdissa ja o kääepisteet. 6 6 Vastaus: Fuktio o kupera ylöspäi, ku < tai > ja kupera alaspäi, 6 6 ku < < 6 6. Kohdissa ja o kääepisteet. 6 6 8. a) Fuktio f() + 6 + 9. derivaatta f () + + 9. derivaata ollakohdat f () + + 9 : + + ± +. derivaatta f () 6 +. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa f ( ) 6 ( ) + 6 maksimikohta f ( ) 6 ( ) + 6 miimikohta 8
b) Fuktio g(). derivaatta g (). derivaata ollakohdat g () :. derivaatta g () 6. derivaata arvot. derivaata ollakohdassa g () 6 Koska. derivaata arvo o olla, joudutaa ääriarvo laatu tutkimaa kulkukaavio avulla. Kulkukaavio g () g() Fuktiolla g ei ole ääriarvokohtia. Vastaus: a) Maksimikohta o ja miimikohta b) Fuktiolla ei ole ääriarvokohtia. 9. a) Fuktio f() cos + si. derivaatta f () ( si ) + cos si + cos. derivaata ollakohdat f () si + cos si si cos si cos + cos cos ( si + ) cos tai si + cos si cos cos π ± π + π si si 6 π 6 π + π tai π 6 π + π 5 π + π 6. derivaatta f () cos + ( si ) cos si. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa f ( π + π) cos [( π + π)] si( π + π) miimikohta f ( π + π) cos [( π + π)] si( π + π) 6 miimikohta 8
π π π f ( + π) cos [( + π)] si( + π) maksimikohta 6 6 6 f ( 5 π 5π 5π + π) cos [( + π)] si( + π) maksimikohta 6 6 6 π π π Miimikohdat ovat + π ja + π sekä maksimikohdat + π 6 ja 5 π + π, missä. 6 cos cos b) Fuktio f() cot cos cos, π si si si cos si cos cos si cos cos. derivaatta f () si si ( cos ) cos cos cos cos cos cos cos si si si. derivaata ollakohdat f () cos cos si cos cos cos (cos ) cos tai cos cos cos π cos cos cos ± ± π + π Ei ratkaisua, koska cos. derivaatta cos cos si cos si (cos cos ) cos si f () si si cos si cos si + cos si si si ( cos si cos + cos ) si cos ( cos ) cos + cos si cos + cos cos + cos cos + cos si si 85
. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa π π cos π + π + cos + π f ( + π) π si + π π π cos π + π + cos + π f ( + π) π si + π Koska. derivaata arvo. derivaata ollakohdassa o olla, ii ääriarvoje laatu pitää tutkia kulkukaavio avulla. Kulkukaavio välillä ], π [ g () g() π π π π ma mi Miimikohta o kohdassa π + π, ja maksimikohta, ku π + π, missä. y 7,85 6,8,7,,57,57,,7 6,8 7,85 Vastaus: a) Miimikohdat ovat π + π ja π + π ja maksimikohdat 86
π 5π π + π ja + π, missä b) Miimikohta o kohdassa + π, ja 6 6 π maksimikohta, ku + π, missä.. Fuktio f() l. derivaatta f (). derivaatta f (). derivaatta f (). derivaatta f () () 6 5. derivaatta f (5) () 5 6. derivaatta f (6) 6 () 6 Vastaus: f (6) () 6. Fuktio yleie derivaatta a) Fuktio f() l. derivaatta f (). derivaatta f (). derivaatta f () ( ). derivaatta f () () 6 ( ) ( ) ( )! 5 5 5 5. derivaatta f (5) () ( ) ( ) ( ) ( )! :s derivaatta f () () ( ) ( )! b) Fuktio f(). derivaatta f (). derivaatta f () ( ). derivaatta f () ( )( ). derivaatta f () ( )( )( ) :s derivaatta f () () ( )( )( ) ( ( ))! c) Fuktio f() l. derivaatta f () l + l+. derivaatta f (). derivaatta f () 87
. derivaatta f () () ( ) 5. derivaatta f (5) () 6 ( ) ( ) ( )! 5 5 5 6. derivaatta f (6) () ( ) ( ) ( ) ( )! :s derivaatta f () () + ( ) ( )! Vastaus: :s derivaatta o a) f () () ( ) ( )! b) f () ()! c) f () l +, f () () ( ) ( )! +, ku e. a) Fuktio f( ) e e e ( ). derivaatta f (). derivaata ollakohdat f () e ( ) e ( ) e tai Ei ratkaisua [ e ( ) + e ] e ( ) e e + e. derivaatta f () e ( + ) e ( + ). derivaata arvot. derivaata ollakohdissa e ( + ) f () e miimikohta e Fuktio f( ) paikallie miimi f() Miimipiste o (, e). e e b) Fuktio kääepisteet sijaitsevat toise derivaata ollakohdissa. e ( + ). derivaatta f (). derivaata ollakohdat f () e ( + ) e tai + 88
Ei ratkaisua Fuktiolla ei ole kääepisteitä. Fuktio kuvaaja y ± Ei ratkaisua ± ( ) ( ) y e 6 5 5 6 Vastaus: a) Miimipiste o (, e). b) Fuktiolla ei ole kääepisteitä.. Ratkaisu y Asi k + Bcos k. derivaatta y Akcos k Bksi k. derivaatta y Ak si k Bk cos k Sijoitetaa yhtälöö y k y. Ak si k Bk cos k k (Asi k + Bcos k) k Asi k k Bcos k Täte y Asi k + Bcos k toteuttaa yhtälö y k y.. Ratkaisu y Ae k + Be k. derivaatta y kae k kbe k. derivaatta y k Ae k + k Be k Sijoitetaa yhtälöö y k y. k Ae k + k Be k k (Ae k + Be k ) k Ae k + k Be k Täte y Asi k + Bcos k toteuttaa yhtälö y k y. 5. Käyrä y + a + b. derivaatta y + a. derivaatta y. derivaata ollakohdat y () 89
Kuperuuskaavio y () y() Käyrällä ei ole kääepisteitä, koska kuperuude suuta ei muutu. Vastaus: Käyrällä ei ole kääepisteitä. 6. Käyrä y f() a + b + c + d Käyrä kulkee pistee, kautta. f() a + b + c + d 8a + 9b + c + d a + 6b + c + d Käyrä kulkee pistee (,5) kautta. f() 5 a + b + c + d 5 6a + b + c + d 5 Fuktio. derivaatta f () a + b + c Piste, o miimipiste, jote f () a + b + c 8a + 6b + c Fuktio. derivaatta f () a + b Piste (,5) o kääepiste, jote f () a + b 8a + b Saadaa yhtälöryhmä a+ 6b+ c+ d 6a+ b+ c+ d 5 8a+ 6b+ c 8a+ b Alimmasta yhtälöstä saadaa b a. Sijoitetaa muihi yhtälöihi. 9
a 86a+ c+ d 6a 96a+ c+ d 5 8a a+ c 5a+ c+ d 8a + c + d 5 6a + c Alimmasta yhtälöstä saadaa c 6a. Sijoitetaa muihi yhtälöihi. 5a+ a+ d 8a + 7a + d 5 8a+ d 8a + d 5 Alimmasta yhtälöstä saadaa d 5 + 8a. Sijoitetaa ylempää yhtälöö. 8a + + a 76a 9 a Lasketaa muut vakiot. b a 6 c 6a 6 9 d 5 + 8a 5+ 8 7 Fuktio f() 6 + 9 + 7. derivaatta f () + 9. derivaata yksi ollakohta o, jote derivaata tekijää o. Suoritetaa jakolasku + + 9 ± ± 9 + 9 ± 9. derivaata muut ollakohdat + 9
± ( ), 79 +,79. derivaatta f (). derivaata arvot. derivaata ollakohdissa 9+ 8 + 9+ 8 f, miimikohta + + 9 8 + 98 f, maksimikohta Vastaus: Vakiot ovat a, b 6, c 9 ja d 7. Miimikohta o ja + maksimikohta. 7. Fuktio f() a + b Fuktio kuvaaja kulkee pistee (, ) kautta. f() a + b a + b Fuktio. derivaatta f () a + b Ääriarvo l, ku l, jote f () a + b a + b Saadaa yhtälöpari a+ b a+ b Alemmasta yhtälöstä saadaa b a. Sijoitetaa ylempää yhtälöö. a a a Lasketaa muut vakiot. b a Fuktio f() Fuktio ollakohdat f() 9
( ) tai tai ±. derivaatta f (). derivaatta f (). derivaata ollakohdat f () : ± Kuperuuskaavio f () f () Fuktio f() o kupera alaspäi, ku tai ja kupera ylöspäi, ku. Fuktio f() kääepisteet Ku, ii Ku, ii f 5 9 9 f 5 9 9 5 Kääepisteet ovat, 9 ja 5, 9. Fuktio kuvaaja 9
y 5 5 Vastaus: Vakiot ovat a ja b. Nollakohdat ovat tai ±. Kääepisteet 5 ovat, 9 ja 5, 9 8. Fuktio f() si + si, < < π. derivaatta f () cos + cos. derivaata ollakohdat f () cos + cos : cos + cos cos cos cos + cos Sijoitetaa cos t. t + t ± ( ) t 9 t + 9 t Sijoitetaa t cos. cos tai cos cos cos( π) ±π + π cos cos π ± π + π Välille ] [ π 5π, π kuuluvat. derivaata ollakohdat ovat, π ja.. derivaatta f () ( si ) + ( si ) si si. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa π π π f ( ) si [( )] si( ) maksimikohta f (π) si π si π ei tietoa 9
f ( 5 π 5π 5π ) si [( )] si( ) miimikohta Kulkukaavio kohda π ympäristössä f () f() π Ei ääriarvoa kohdassa π. Fuktio f() si + si ääriarvot π π π Maksimi f( ) si [( )] + si +,6 Miimi f( 5 π 5π 5π ) si [( )] + si +,6 Piirretää fuktio kuvaaja. y,57,,7 6,8 7,85 Vastaus: Fuktio maksimi o ja miimi. 9. Fuktio f() cos α cos (+ α), α vakio. derivaatta f () + si (+ α) si (+ α). derivaatta f () cos (+ α). derivaata ollakohdat f () cos (+ α) : π cos (+ α) cos 95
π + α ± + π π α ± + π : α π ± + π, Fuktio arvo. derivaata ollakohdissa α π α π π f ± + π cosα cos π α cosα cos α π α ± + + ± + + π cosα cos ± + π cosα Arvo o vakio, koska α o vakio.. Fuktio f() A + e. derivaatta f () A e. derivaata ollakohdat f () A e e A Koska e >, yhtälöllä o ratkaisu aioastaa, ku A >. Täte fuktiolla ei ole laikaa ääriarvokohtia, jos A. Ku A > saadaa. derivaata ollakohdaksi e A l A l A. derivaatta f () e. derivaata arvo. derivaata ollakohdassa f (A) e (l A) A > miimikohta Täte fuktiolla A + e o yksi miimikohta, jos A >, mutta ei laikaa ääriarvokohtia, jos A.. Fuktio f() si + cos. derivaatta f () cos si. derivaata ollakohdat f () cos si cos si :cos ta ta ta,7,7 + π 96
. derivaatta f () si cos. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa f (,7 + π) si(,7 + π) cos(,7 + π), maksimikohta f (,7 + π + π) si(,7 + π + π) cos(,7 + π + π), miimikohta Fuktio f() si + cos ääriarvot Maksimi f(,7 + π) si (,7 + π) + cos(,7 + π), Miimi f(,7 + π + π) si (,7 + π + π) + cos(,7 + π + π), Vastaus: Fuktio maksimi o, ja miimi,. Testaa hyvät taitosi 6. Fuktio f() 5 5. derivaatta f () 5. derivaatta f (). derivaatta f () 8. derivaata arvo f 8 Vastaus: Kolmae derivaata arvo o f.. Sarja + ( + ) + ( + ) + o geometrie, sillä riippumato :stä. Geometrie sarja suppeee, ku < q < < + < < < Vastaus: Sarja suppeee, ku < <. + a+ ( + ) q + a ( + ) o. Fuktio f() + o jatkuva välillä [, ] ja derivoituva välillä ], [. Suljetulla välillä jatkuva fuktio saavuttaa suurimma ja pieimmä arvosa tällä välillä. Koska fuktio o derivoituva, suuri ja piei arvo sijaitsevat joko väli päätepisteissä tai derivaata ollakohdissa. Väli päätepisteet Fuktio f() + arvot väli päätepisteissä. f() + f() + Derivaata ollakohdat Fuktio f() + 97
Derivaatta f () Derivaata ollakohdat f () : Fuktio f() + arvo derivaata ollakohdassa f() + Vastaus: Fuktio suuri arvo välillä [, ] o ja piei. ) si si. Raja-arvo lim lim. Vastaus: Raja-arvo o. 5. Lasketaa raja-arvo. 5 5 ) 5 5 lim + lim lim + + e 5 5 Vastaus: Raja-arvo o e 5. 5 5 6. Geometrie sarja 5 + + +... 6 6 5 a 5 Suhdeluku q 6 a 5 6 5 6 a 5 5 6 Summa S 5 6 q 5 5 6 6 Vastaus: Sarja summa o 6. 7. Osoitetaa, että fuktiolla f() 5 + o täsmällee yksi ollakohta. Fuktio f() 5 + o polyomifuktioa jatkuva kaikkialla. f() 5 + < f() 5 + > Koska fuktio arvot väli [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, fuktiolla o Bolzao lausee perusteella välillä ], [ aiaki yksi ollakohta. Fuktio f() 5 + o polyomifuktioa derivoituva kaikkialla Derivaatta f () + 9 Derivaata ollakohdat f () + 9 5 98
( + 9) tai + 9 Ei ollakohtia Koska ja + 9 >, ii f () + 9. Fuktio o aidosti kasvava, jote fuktiolla f() + + 8 o korkeitaa yksi ollakohta. Kohdista ja seuraa, että fuktiolla f() + + 8 o täsmällee yksi ollakohta. 8. Määritetää raja-arvo 6 6 6 lim lim 8 Vastaus: Raja-arvo o 8. 9. Raja-arvo lim Määritetää toispuoleiset raja-arvot lim lim lim ( ), koska, jolloi + lim lim, koska, jolloi + + Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, raja-arvoa ei ole olemassa. Vastaus: Raja-arvoa ei ole olemassa. 7. Osoitetaa, että fuktio f() ei saa arvoa. Määritetää fuktio ääriarvot ja fuktio kulku. 7 Fuktio f(), ± ( ) ( 7) Derivaatta f () ( ) ( ) Derivaata ollakohdat f () ( ) : Kulkukaavio + 99
f () f () mi 7 Fuktio f() miimi f() saa arvoa. 7 7 Koska lim lim 7, jote välillä < < fuktio ei ja fuktio o kasvava, ku >, ii f() <, ku >. 7 7 Koska lim lim ja fuktio o väheevä, ku <, ii f() <, ku <. 7 Fuktio f() saa arvot f() < tai f(), jote fuktio f() ei saa arvoa. 6. Aalyysi peruslause. Käyrä y ja -akseli välii jäävä aluee pita-ala likiarvo välillä [,] Osaväli pituus Δ 5 5 a) Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Osaväli Osaväli alaraja Fuktio arvo alarajalla Osaväli ala,,,,,,8,,6,,6,,6,8,6,6,7,8,,8,6,8 Ala,
b) Taulukoidaa osavälie pitaaloje arvot. Osaväli Osaväli yläraja Fuktio arvo ylärajalla Osaväli ala,,,,8,,,,6,,,6,6,6,7,6,8,8,6,8,8,, Ala, Vastaus: Ala o a), b),. Fuktio f() l a) Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Osaväli Osaväli alaraja Fuktio arvo alarajalla Osaväli ala,,,,,,95,95,,,,8,8,,,,66,66,,5,,67,67,5,6,5,565,57,6,7,6,7,7,7,8,7,568,56,8,9,8,587787,58779,9,,9,685,685 Ala,5 b) Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Osaväli Osaväli yläraja Fuktio arvo ylärajalla Osaväli ala,,,,95,95,,,,8,8,,,,66,66,,,,67,67,,5,5,565,57,5,6,6,7,7,6,7,7,568,56,7,8,8,587787,58779
,8,9,9,685,685,9,,697,695 Ala,55 Vastaus: Ala o a),5 b),55.. Pita-ala likiarvo välillä [,] jakamalla väli yhdeksää suorakulmioo Fuktio f() o aidosti väheevä. a) Koska fuktio o aidosti väheevä, jokaise osaväli piei arvo o osaväli ylärajalla. Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Osaväli Osaväli yläraja Fuktio arvo ylärajalla Osaväli ala,5,5,,,5,5 5 5,, 56 6,66667,66667 67 7,857,857 78 8,5,5 89 9,, 9,,,98968 b) Koska fuktio o aidosti väheevä, jokaise osaväli suuri arvo o osaväli alarajalla. Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Fuktio Osaväli Osaväli alaraja arvo alarajalla Osaväli ala,5,5,, 5,5,5 56 5,, 67 6,66667,66667 78 7,857,857 89 8,5,5 9 9,, Ala,88968 Vastaus: Ala o a),98968 b),88968.
5. Käyrä y Jaetaa väli [,] :ää yhtä leveää osavälii. Osaväli pituus Δ Osaväli Muuttuja arvo väli alarajalla Muuttuja arvo väli ylärajalla i i ( i ) i i a) Koska fuktio f() derivaatta f () o ei-egatiivie, fuktio f() o aidosti kasvava ja jokaise osaväli piei arvo saadaa väli alarajalla. Lasketaa pita-ala rajaarvo käyttäe osaväli alarajoja. i i Suorakulmio korkeus osaväli alarajalla f i i i Osaväli pita-ala f Δ Koko aluee ala i i i s f Δ i i i ( + ) i Taulukkokirjasta i i i i ) ( + ) +, ku b) Fuktio o aidosti kasvava ja jokaise osaväli suuri arvo saadaa väli ylärajalla. Lasketaa pita-ala raja-arvo käyttäe osaväli ylärajoja.