9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Järjestellään yhtälöä hieman: f'(x)g(x)=f(x)g(x) f(x)g'(x) Osi+aisintegroin3 perustuu siihen e+ä derivoin3 on helpompaa kuin integroin3. Osi+aisintegroinnin idea on määritellä funk3ot f(x) ja g(x) siten e+ä saadaan: f'(x)g(x)=f(x)g(x) f(x)g'(x) Integraali, joka halu+aisiin laskea (mu+a ei osata) Integraali, joka osataan laskea Oleellista osi+aisintegroinnin onnistumiselle on funk3oiden valinta siten, e+ä f(x)g'(x) osataan laskea!
9//3 Osi+aisintegroin3tapauksia. Polynomi (esim x, x jne.) kertaa trigonometrinen funk3o tai eksponenkfunk3o. Osi+aisintegroin3a voidaan käy+ää polynomin asteen 3pu+amiseen, kunnes integraali osataan laskea. Saatetaan joutua osi+aisintegroimaan useammin kuin kerran.... Osi+aisintegroin3 (kerran tai useammin) tuo+aa alkuperäisen integraalin plus muita (laske+avissa tai integroitavissa olevia) termejä, alkuperäinen integraali voidaan näin ollen ratkaista yhtälöstä. Osi+aisintegroin3: esimerkkejä Esim.. x sin(x) asetetaan: f'(x) = sin x, jolloin f(x) = cos x Tarkistus: f'(x)g(x) = f(x)g(x) - f(x)g'(x) g(x) = x, jolloin g'(x)= x sin(x) = x cos(x) cos(x) = x cos(x) + sin(x) + C d ( x cos(x) + sin(x) + C) = - cos(x) + x sin(x) + cos(x) + = x sin(x)
9//3 f'(t)g(t)dt = f(t)g(t) - f(t)g'(t)dt Esim.. te t dt asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t g(t) = t, jolloin g'(t)= Huom: vaikka tätä lauseke+a ei integroida, te t pitää määrätyssä dt = te t e t dt osi+aisintegroinnissa sil3 sijoi+aa integroin3rajat! = te t e t lim = a ( a te t a e t ) = = lim a ( ae a e e a e ) lim a ( ae a e a +)=++ = Määrä+yä integraalia ei voi tarkistaa derivoimalla (tulos on numero eikä yhtälö), mu+a tarkistetaan e+ä itse integroin3vaihe meni oikein. Äsken saa3in: te t dt = te t e t + C Tarkistetaan derivoimalla: d ( te t e t + C) = - e t te t e t + = e t + te t + e t = te t Oikein meni. Kanna$aa aina tarkistaa integroin.tulos derivoimalla! 3
9//3 f'(t)g(t)dt=f(t)g(t) f(t)g'(t)dt Esim. 3. t e t dt asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t t e t dt = t e t -te t dt = t e t + te t dt g(t) = t, jolloin g'(t)=t Lasketaan te t dt osi+aisintegroimalla uudestaan. asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t g(t) = t, jolloin g'(t) = te t dt = te t e t dt = te t e t + C Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, saadaan: t e t dt = t e t + te t dt = t e t te t e t + C Tarkistetaan derivoimalla: d ( t e t te t e t + C) = te t t e t e t te t e t + = te t + t e t e t + te t + e t = t e t Yleises3 o+aen: funk3ot muotoa x n e x, x n sin(x), x n cos(x) jne voidaan integroida osi$aisintegroimalla n kertaa. (Käytännössä nämä integraalit löytyvät myös taulukkokirjoista.) 4
9//3 f'(t)g(t)dt=f(t)g(t) f(t)g'(t)dt Esim. 4. sin(x)cos(x) asetetaan: f'(x) = sin x, jolloin f(x) = cos x g(x) = cos x, jolloin g'(x) = sin x sin(x)cos(x) = cos(x) cos(x) (-cos(x))( sin(x) sin(x)cos(x) = cos (x) cos(x)sin(x) sin(x)cos(x) = cos (x)+c Älä unohda lisätä sin(x)cos(x) = cos (x)+c integroin3vakiota, vaikka tässä ei eksplisiikses3 laske+ukaan auki yhtään Tarkistus: d ( cos (x) + C) = - integraalia cos(x) sin(x) = sin(x)cos(x) Trigonometristen funk3oiden integraalit Äskeinen tehtävä olisi voitu ratkaista myös toisella tavalla, esim käy+ämällä muunnoskaavaa: sin(x)cos(x) = = sin(x) = 4 sin(x)cos(x) sin(x) = 4 cos(x)+ C = 4 (cos (x) )+C = cos (x)+ 4 +C = cos (x)+c Huom: kaikki vakiotermit voidaan aina "imaista" integroin3vakioon C 5
9//3 Trigonometristen funk3oiden integraalit Jos integroitavana on trigonometristen funk3oiden kaksin- tai kolminkertaisia kulmia, puolikkaita kulmia tai trigonometristen funk3oiden potensseja, muunnoskaavoista voi olla apua è taulukkokirja. Esim: cos (x) = ( + cos(x)) = + cos(x) 4 = x + sin(x) + C 4 Muunnoskaavojen käy+ö voi hieman hankaloi+aa derivoimalla tarkistamista... 6
9//3 7
9//3 Trigonometristen funk3oiden integraalit Huom: kaikki integraalit eivät ratkea (ainakaan helpoiten) muunnoskaavoilla, älä unohda myöskään helpompia kikkoja! Esim: cos(x)sin 3 (x) = sin 4 (x) + C 4 3 f' (x)f(x) 8
9//3 Sijoitusmene+ely eli mu+ujan vaihto Esim: Tehdään muu+ujanvaihto: u = (x 4) jolloin saadaan x(x 4) du = d (x 4) = x huom: tämä muoto pitää tapauskohtaisesi keksiä, ei ole mitään yleistä sääntöä miten muu+ujanvaihto kanna+aa tehdä du = x = du x myös integroimisrajat pitää laskea u:n suhteen: x = è u = 4; x = è u = Seuraavaksi sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin: (x 4) korvataa u:lla korvataan du/x:llä x:n integroin3rajat korvataan u:n integroin3rajoilla x(x du 4) = x u = 4 x udu 4 = 4 4 u = ( 4 4 ( 4) ) = 4 Tässä huomakin valitun muu+ujavaihdon "kikka": alkuperäisen muu+ujan x sisältävät termit hävisivät, kun u ja siten du valikin sopivas3 Ylläolevan integraalin olisi toki voinut laskea muutenkin, mu+a kohta nähdään vähän vaa3vampia esimerkkejä 9
9//3 Muu+ujanvaihdossa 3 askelta. Valitaan u = u(x). lasketaan du/, tästä saadaan lauseke, jolla voidaan korvata du:lla 3. Lasketaan x:n integroimisrajat u:n suhteen (mikäli kyseessä on määrä+y integraali; muutoin tämä vaihe 3etys3 ohitetaan) Näiden jälkeen sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin, ja lasketaan. Muu+ujanvaihtoesimerkki. Sijoitetaan: e x = u e x = u du = d ex = e x du = e x =e x du=u du e x + e = u du = x u + u = arctan(u)+ C = arctan(e x )+ C du u + e x + e x Taulukkointegraali, löytyy esim. MAOL:ista Huom! Lopullinen vastaus annetaan alkuperäisen muu+ujan avulla.
9//3 Muu+ujanvaihtoesimerkki. Sijoitetaan: a x x = a sin(u) sin(u) = x a u = arcsin(x a ) = a cos(u) = a cos(u) du du a x = a cos(u) a a sin (u) du = a cos(u) = a cos (u) du = cos(u) cos(u) = arcsin( x a ) + C du = du a cos(u) a ( sin (u)) du = u + C Vihjeitä muu+ujanvaihtoon Vaikka yleistä sääntöä muu+ujanvaihdosta ei ole, on muutamia tyypillisiä tapauksia jotka on hyvä tunnistaa, esimerkiksi:. Integraali muotoa f(x)f'(x) tai kokeile vaihtoa u = f(x) f'(x) f(x). Integraali jossa esiintyy a x kokeile vaihtoa x = a sin(u) tai a x (a vakio)