3. Differen/aalilaskenta
|
|
- Arttu Timo-Pekka Tamminen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3. Differen/aalilaskenta Differen/aali "hyvin pieni muutos" Keskeinen käsite: derivaaba (kuvaa muutosnopeuba). Ennen derivaatan käsibelyä tarvitaan tärkeä työkalu: raja- arvo eli limes (merkitään lim ). Funk/on raja- arvo kuvaa funk/on käybäytymistä kun se lähestyy /ebyä pistebä (tai äärentöntä). Yhden muubujan funk/on f(x) raja- arvo kun x lähestyy arvoa k merkintään: lim x k f (x) Jos funk/olla f(x) on hyvin määritelty arvo pisteessä x=k, on raja- arvon laskeminen sangen helppoa. Esim: lim x 2 x2 = 2 2 = 4 lim x e ln(x) = ln(e) = Usein ollaan kuitenkin kiinnostuneita raja- arvoista sellaisten pisteiden kohdalla joissa funk/on arvo on määribelemätön, tyypillises/ nollalla jakamisen tai äärebömyyden takia. Esim: lim x 2 x 2
2 Raja- arvojen yhteydessä esiintyy usein ääretön, merkitään. Joskus halutaan /etää miten funk/o käybäytyy kun sen muubujaa kasvatetaan äärebömän suureksi. Esim: lim x x = 0 koska mitä suuremmaksi x kasvaa, sitä lähemmäksi nollaa funk/on /x arvo menee. Myös raja- arvo voi olla ääretön, esim: lim x 0 x 2 = koska mitä lähempänä nollaa x on, sitä suuremman arvon /x 2 saa. (/x on hankalampi tapaus koska sen raja- arvo on - jos nollaa lähestytään vasemmalta ja + jos nollaa lähestytään oikealta.) Matemaa/kot ovat kehibäneet suuren määrän työkaluja, joilla voidaan laskea funk/oiden raja- arvoja sellaisissa pisteissä missä funk/ot ovat määribelemäbömiä. Luonnon/eteissä yleisimmät määribelemäbömyyden tapaukset ovat 0/0, / tai -. Joskus raja- arvo voidaan laskea yksinkertaisella murtolausekkeen sievennyksellä: lim x x 2 x = lim x (x )(x +) x = lim x (x +) =+= 2 2
3 Vaikeammissa tapauksissa tarvitaan järeämpiä matemaazsia työkaluja (esim. L'Hôpitalin sääntö missä derivoidaan murtolausekkeen molemmat puolet), muba niitä ei tällä kurssilla käsitellä. Oleellisempaa on ymmärtää itse raja- arvon käsite. Käytännössä raja- arvoa voi yribää arvioida laskemalla (laskimella tai /etokoneella) arvoja yhä lähempänä kiinnostuksen kohteena olevaa pistebä. Tämä ei /etys/ kelpaa matemaazseksi todistukseksi raja- arvolle, muba on kemis/lle usein kätevää. Luonnon/eteellisissä sovelluksissa raja- arvot usein lasketaan sovi*amalla ja ekstrapoloimalla. Kemiallinen esimerkki (kiitos Lauri Partanen) Ideaalikaasulaki pv=nrt lienee tubu. Ideaalikaasulaki on vain likimääräinen kuvaus kaasun käytöksestä, ja pätee tarkas/ vain silloin kun paine on äärebömän pieni. Tätä /etoa käybäen voidaan periaabeessa määribää yleisen kaasuvakion R tarkka arvo: R = lim p 0 pv nt Voitaisiin siis obaa tunnebu ainemäärä n mitä tahansa kaasua, pitää se vakiolämpö/lassa T, laskea paineba p ja mitata kaasun /lavuus V kullakin paineen arvolla. 3
4 Mahdollinen koejärjestely Kammio jossa säädeltävä paine p ja vakiolämpö/la T p = 00 kpa Ilmapallo jossa n mol kaasua V = 0.70 L AGA N 2 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 00 kpa V = 0.70 L AGA N 2 4
5 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 90 kpa V = 0.78 L AGA N 2 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 80 kpa V = 0.88 L AGA N 2 5
6 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 70 kpa V = 0.99 L AGA N 2 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 60 kpa V =.7 L AGA N 2 6
7 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 50 kpa V =.4 L AGA N 2 Mitä tapahtuisi kun p = 0? AGA N 2 7
8 Täydellistä tyhjiötä ei voida tuobaa. Lisäksi ilmapallon /lavuus lähestyisi tällöin ääretöntä, ja äärebömän kokoiset mibauskammiot ovat kalliita. Kaasvuvakio R joudutaan siis määribelemään raja- arvon avulla. Mitataan siis p,v pareja aina matalammassa ja matalammassa paineessa, ja katsotaan mitä arvoa pv/nt lähestyy, kun p lähestyy nollaa. Tarkka arvo R:lle voidaan laskea esimerkiksi sovibamalla dataan suora (tai muu sopiva funk/o), ja ekstrapoloimalla pv/nt lausekkeen arvo kun p = 0. gramman näybeelle happikaasua (O 2 ) lämpö/lassa T = 273,5 K mitazin kuvatunkaltaisella koejärjestelyllä seuraavat /lavuudet: Paine, kpa 25,33 50,66 75,99 0,3 V, dm 3 2,803,4003 0, ,69998 O 2 :n moolimassa on 3,999 g/mol, joten ainemäärä n = (/3,999) mol = 0,0325 mol. nt on siis mol K. Lasketaan jokaista paineba vastaava pv/nt - arvo: Paine, kpa 25,33 50,66 75,99 0,3 pv/nt, J/K mol 8,325 8,304 8,3088 8,3067 Huomataan ebä paineen laskiessa lähestytään oikeaksi /edebyä R:n arvoa 8
9 Suoran sovitus ja ekstrapoloin/ (kuva: Lauri Partanen) DerivaaBa DerivaaBa kuvaa funk/on muutosnopeuba Esim. kertaluvun kemiallinen reak/o A B Reak/on nopeus on A:n tai B:n konsentraa/on muutosnopeus. Reak/on hetkellinen nopeus on v = d[ A] = d[ B] dt dt Muita derivaatan merkintätapoja: df(x) = f'(x) = f () (x) = D x f(x) = Df(x) 9
10 df(x) = f'(x) = f () (x) = D x f(x) = Df(x) Kaikissa näissä derivoidaan x:n suhteen. Jos funk/o f riippuu myös muista muubujista, ja halutaan erikseen korostaa ebä derivoidaan (vain ja ainoastaan) x:n suhteen, käytetään osibaisderivaatan merkintää: f(x) x = ( f(x) x ) y,z,... nämä pidetään vakiona osibaisderivaabaa laskebaessa Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h 0
11 Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h 0/0 tyyppinen raja- arvo f(x) f(x+h) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h
12 Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h 2
13 Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h 3
14 Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h 4
15 Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h 5
16 Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x+h) f'(x) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f'(x) 6
17 DerivaaBa kohdassa x = funk/on kulmakerroin, voidaan kuvata tangenzviivalla Esim: Vetyjodidin hajoamisreaak/o 2HI(g) H 2 (g) + I 2 (g) Etenemistä voi seurata mibaamalla HI:n konsentraa/ota ajan funk/ona. MiBaustulokset 50 C lämpö/lassa: [HI],mol/L t,s Mikä on vetyjodidin hetkellinen hajoamisnopeus kun t = 70 s? 7
18 Ratkaisu: piirretään tangenz t = 70 s kohdalle [HI],mol/L t,s Ratkaisu: piirretään tangenz t = 70 s kohdalle [HI],mol/L Δ[HI] Δt t,s 8
19 Ratkaisu: piirretään tangenz t = 70 s Kohdalle [HI],mol/L Δ[HI] Δt Nyt voidaan arvioida muutosnopeus t,s d [ HI] dt Δ [ HI ] 0,24 mol/l 0,0033 mol/ls Δt 72 s Alkeisfunk/oiden derivaatat Vakio D x a = 0 Esim D x 8 = 0 Potenssifunk/o D x x n = nx n Esim. D x x 7 = 7x 7 = 7x 6 D x x 2 = 2x 3 D x x = D x x = x 0 = D x (/x 3 ) = D x x 3 = 3x 4 D y y ab+2 = (ab+2)y ab+ 9
20 Missä sin(x) muubuu nopeiten? Entä vähiten? Missä cos(x) muubuu nopeiten ja vähiten? cos(x) sin(x) Alkeisfunk/oiden derivaatat Trigonometriset funk/ot D x sin x = cos x D x cos x = sin x EksponenZfunk/o D x e x = e x Logaritmifunk/o D x ln x = /x 20
21 Derivoin/säännöt Vakiokertoimen käsibely (tässä k = vakio) D x k = 0 D x [kf(x)] = kd x f(x) =kf'(x) Esim. D x (5e x ) = 5D x e x = 5e x Summa ja erotus D x [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x) Esim. D x [3x 2 4x +2] = D x 3x 2 + D x ( 4x) + D x (2) = 3 2x x + 0 = 6x 4 Derivoin/säännöt Tulo D x [f(x) g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Esim. D x [x sin(x)] = D x (x) sin x + x D x (sin x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x Esim. D x [(x 2 )e x cos(x)] = 2x e x cos(x) +(x 2 )e x cos(x) (x 2 )e x sin(x) 2
22 Osamäärä Esim. D x f(x) g(x) Derivoin/säännöt = f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x) [ ] 2 d e x d x x = D x (ex ) x - e x D x (x) x 2 = xex e x x 2 Toinen tapa: d e x d x x = d (e x x ) = D x (e x ) x + e x D x (x ) d x = e x x + e x ( x 2 ) = e x (x x 2 ) = ex x ex x 2 = xex e x x 2 Osamäärä Esim. D x f(x) g(x) Derivoin/säännöt = f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x) [ ] 2 d x d x x + = D x(x ) (x+) D x (x+)(x ) (x +) 2 = (x+) (x ) x+ x+ 2 = = (x +) 2 (x +) 2 (x +) 2 22
23 Yhdistetyn funk/on derivaaba Funk/o f jossa muubujana on funk/o g: f(g(x)) Esim f(x) = e x ulkofunk/o g(x) = x 2 sisäfunk/o f(g(x)) = e x2 yhdisteby funk/o D x f(g(x)) = df(u) du dg(x) u=g(x) D x e x2 = deu 2 du u=x 2 = e u u=x 2 2x = e x2 2x Ketjusääntö ( chain rule ) Äsken näh/in tulos D x f(g(x)) = df(u) du Tämä on esimerkki yleisemmästä ns. ketjusäännöstä: df = df du du dg(x) u=g(x) Esimerkissä u = g(x), muba sääntö pätee yleises/ mille tahansa muubujalle u. Säännön avulla saadaan helpos/ johdebua monia derivaaboja. 23
24 Tavallisia esimerkkejä yhdistetyistä funk/oista : D x [f(x) n ] = n f(x) n f'(x) Esim. D x (sin 3 x) = D x (sin x) 3 = 3 sin 2 x cos x D x cos[f(x)] = sin[f(x)] f'(x) D x sin[f(x)] = cos[f(x)] f'(x) Esim. D x [cos(2x)] = sin(2x) 2 D x [sin(x 2 )] = cos(x 2 ) 2x D x [e f(x) ] = e f(x) f'(x) Esim. D x (e x2 ) = e x2 2x Tavallisia esimerkkejä yhdistetyistä funk/oista 2: D x ln[ f(x) ] = f'(x) f'(x) = f(x) f(x) Esim D x ln(x+) Esim D x ln(cos(x)) = /(x+) D x (x+) = /(x+) = /(x+) = /(cos(x)) D x cos(x) = /(cos(x)) sin(x) = sin(x)/cos(x) = tan(x) 24
25 Derivoimiskaavoja Näitä löytyy MAOLin taulukoista, muista taulukkokirjoista, ne/stä, jnpp... Useimmat kaavat johdebavissa melko helpos/ edellä esitebyjen sääntöjen perusteella, kunhan alkeisfunk/oiden derivaatat muistaa Esim D x (tan x) = D x (sin x / cos x) = (cos x cos x sin x sin x)/(cos 2 x) = (cos 2 x + sin 2 x )/cos 2 x = /cos 2 x OpeBele ymmärtämään ja käybämään; älä opebele ulkoa pitkää listaa kaavoja... d DERIVATIVE RULES n n#! x " $ nx! sin x" $ cos x! cos x" d a a d d d $# sin x x x 2 2! " $ ln %a! tan x" $ sec x! cot x" $# csc! f ( x) % g( x) " $ f( x) % g& ( x) ' g( x) % f& ( x)! sec x" $ sec x tan x! " d d d d csc x $# csc xcot x x d ( f( x) ) g( x) % f& ( x) # f( x) % g& ( x) * + $, g( x) - gx ( )! " 2 d! arcsin x" $ 2 # x d $ ' x! arctan x" 2 d d d x x #! f ( gx ( ))" $ f& ( gx ( ))% g& ( x)! arcsec x" $ 2 x! ln x" $! sinh x" $ cosh x! cosh x" d d $ sinh x 25
26 Esimerkki: d/dt[e t t 2 + (2t cos(3t) ) 8 e t ] =D t [e t t 2 ] + D t [(2t cos(3t) ) 8 e t ] =D t (e t ) t 2 + e t D t [t 2 ] + D t [(2t cos(3t) ) 8 ] e t + (2t cos(3t) ) 8 D t (e t ) = e t t 2 + e t 2 t + 8 (2t cos(3t) ) 7 D t [2t cos(3t) ] e t + (2t cos(3t) ) 8 e t = t 2 e t + 2te t + 8 (2t cos(3t) ) 7 (D t [2t cos(3t)] D t ()) e t + (2t cos(3t) ) 8 e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) ) 8 e t + 8 (2t cos(3t) ) 7 [D t (2t) cos(3t) + 2t D t (cos(3t)) 0)] e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) ) 8 e t + 8 (2t cos(3t) ) 7 [2cos(3t) + 2t 3 sin(3t)] e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) ) 8 e t + 8 (2t cos(3t) ) 7 (2cos(3t) 6tsin(3t)) e t 26
27 Derivaatan käybö kemiassa Muutosnopeuden laskeminen Esim. reak/onopeus = konsentraa/on muutosnopeus Minimi- ja maksimiarvojen löytäminen Jatkuva funk/on saavubaa minimi- ja maksimiarvonsa joko määribelyalueen rajoilla tai derivaatan nollakohdissa. Jos funk/o ei ole jatkuva, ääriarvo voi löytyä myös yksibäisestä pisteestä (näitä tapauksia ei käsitellä tässä). KvanZkemian operaaboreissa usein mukana derivaaba Tarvitaan esim. aaltofunk/oiden ratkaisemiseen. Esimerkki: Hückelin approksimaa/on avulla kuvataan konjugoituneen hiiliketjun (muotoa - C=C- C=C- C=) omaavan molekyylin orbitaalienergioita. Teorian mukaan eteenin C 2 H 4 pi- elektronien orbitaalienergiat (ε) ovat ε = α + 2c( c 2 ) 0.5 β α ja β ovat Hückelin parametrit ja c on muubuja. Sta/onääririssä pisteissä dε/dc = 0. Laske ε:n mahdolliset arvot. Ratkaisu: aloitetaan laskemalla ne c:n arvot joilla dε/dc = 0. dε & dc = 0 + 2β D c( c( c2 ) '(,. & = 2β - D c (c) ( c 2 ) 2 + c D c (( c 2 ) /. '( 2 ) + * + 2 ) 0. + *
28 % ' = 2β ( c 2 ) 2 + c 2 ( c2 ) ) & 2 ' ( 2c)) * (' +' % ' = 2β &( c 2 ) ' ( 2 c 2 ( c 2 ) 2 ) ' * ' + dε dc = 0 ( c2 ) ( c 2 ) - c 2 = 0 2c 2 = 0 2 c 2 2 ( c 2 ) = 0 ( c) 2 c = ± 2 = ± 2 Sijoitetaan nyt lasketut c:n arvot alkuperäiseen yhtälöön: c = + 2 ε = α (- ( 2 )2 ) 2 β = α (- 2 ) 2 β = α β = α + β c = 2 ε = α (- ( 2 )2 ) = α (- 2 ) 2 β 2 β = α β = α β 28
29 DerivaaBa ja ääriarvot Funk/on derivaabaa /etyssä pisteessä kuvataan tangenzviivalla. DerivaaBa ja ääriarvot Funk/on derivaabaa /etyssä pisteessä kuvataan tangenzviivalla. 29
30 DerivaaBa ja ääriarvot Funk/on derivaabaa /etyssä pisteessä kuvataan tangenzviivalla. Missä kohdissa derivaaba (tangen/n kulmakerroin) on nolla? DerivaaBa ja ääriarvot Funk/on derivaabaa /etyssä pisteessä kuvataan tangenzviivalla. Missä kohdissa derivaaba (tangen/n kulmakerroin) on nolla? Vastaus: funk/on ääriarvokohdissa 30
31 Derivaatan nollakohdat f'(x) = 0 voi merkitä f(x):n maksimia f'(x) = 0 f(x):n minimiä ei kumpaakaan (engl. saddle point") f'(x) = 0 f'(x) = 0 Derivaatan etumerkki Jos f'(x) > 0, funk/o on kasvava Jos f'(x) < 0, funk/o on pienenevä f'(x)=0: kasvuvauh/ on nolla f'(x) = 0 f'(x) = 0 f'(x) > 0 funk/o kasvaa f'(x) < 0 funk/o pienenee f'(x) > 0 funk/o kasvaa 3
32 Ääriarvotehtävät Funk/on ääriarvokohdat voivat löytyä: Derivaatan nollakohdista MääriBelyalueen rajoilta Derivaatan nollakohdan luonne (maksimi, minimi vai ei kumpaakaan) selviää tarkastelemalla derivaatan etumerkkiä nollakohdan molemmin puolin f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 Funk/on maksimikohdassa derivaatan f'(x) etumerkki on posi/ivinen sen nollakohdan vasemmalla (pienempi x) puolella ja nega/ivinen sen oikealla (suurempi x puolella) Funk/on minimikohdassa derivaatan f'(x) etumerkki on nega/ivinen sen nollakohdan vasemmalla (pienempi x) puolella ja posii/ivinen sen oikealla (suurempi x puolella) Jos derivaatan etumerkki on sama nollakohdan molemmin puolin, kyseessä ei ole funk/on minimi- tai maksimikohta. f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 32
33 Toimintastrategia ääriarvotehtävissä ("löydä funk/on pienin/suurin arvo") ) Selvitä f(x) määribelyjoukko Joskus tämä on selkeäs/ annebu tehtävässä, joskus taas se täytyy itse päätellä. Kemialliset ja fysikaaliset perustelut käyvät hyvin, esim "konsentraa/o tai massa ei voi olla nega/ivinen => yksi raja on c=0 tai m=0". 2) Derivoi f(x) 3)Etsi derivaatan f'(x) nollakohdat 4)Selvitä f'(x):n etumerkin avulla onko kyseessä minimi vai maksimi 5)Laske f(x) arvo derivaatan nollakohdissa sekä määribelyalueen rajoilla Esim: mikä on funk/on f(x) = x 2 3x + 2 suurin ja pienin arvo välillä [ 5,+5]? Ratkaisu: )MääriBelyjoukko on annebu; välillä [ 5,+5] 2)f'(x) = 2x 3 3)f'(x)=0 => 2x 3 = 0 => x = 3/2 =,5 4) kyseessä on minimi f'(x) + 5) f( 5) = 42 f(.5) = 0,25 f(5) = 2 esim. f () = x=,5 è pienin arvo on 0,25 ja suurin arvo 42. esim. f (2) = 33
34 Esimerkki: Lennard- Jones - poten/aali Molekyylien välistä poten/aalienergiaa V(r) kuvataan usein Lennard Jones poten/aalienergiafunk/olla! V(r) = 4ε ( δ r )2 - ( δ $ " # r )6 % & missä r on molekyylien etäisyys toisistaan, ε on vuorovaikutuksen voimakkuuba kuvaava parametri ja δ on etäisyys jolla V(r) = 0. Selvitä poten/aalienergiafunk/on minimin paikka ja arvo. 34
35 Ratkaisu: )MääriBelyjoukkoa ei ole erikseen annebu, muba etäisyys ei voi olla nega/ivinen: määribelyjoukko on siis ]0, [ 2)Derivoidaan:! V(r) = 4ε ( δ r )2 - ( δ $ " # r )6 % & = 4ε(δ2 r 2 δ 6 r 6 ) V '(r) = 4ε(δ 2 ( 2) r 3 δ 6 ( 6) r 7 ) = 4ε( 2δ 2 r 3 + 6δ 6 r 7 ) 3)Lasketaan derivaatan nollakohdat: V '(r) = 4ε( 2δ 2 r 3 + 6δ 6 r 7 ) = 0 2δ 2 r 3 + 6δ 6 r 7 = 0 2δ 6 r 3 + r 7 = 0 2δ 6 r 3 + r 7 = 0 2δ 6 r 6 += 0 2δ 6 r 6 = r 6 = r 6 = 2δ 6 r 6 = 2δ 6 6 r = 2δ 4)Onko kyseessä minimi vai maksimi? V'(r) + esim. V (δ) = 24εδ r=(2) /6 δ Huom: :edetään e?ä ε,δ > 0. esim. V (2δ) =24ε( ) δ 0.8εδ 35
36 5)Lasketaan V((2) /6 δ)! V(r) = 4ε ( δ 6 2δ )2 - ( δ $ 6 " # 2δ )6 % &! δ 2 = 4ε ( )-( δ 6 $ # )& 2 6 # " 2 6 δ & δ 6 %! = 4ε ( " # 4 )-( 2 ) $ % & = 4ε 4 = ε V(0) ei ole määritelty (tosin helpos/ huomataan ebä V(r) kun r 0, ja V(r) 0 kun r ). LöydeBy derivaatan nollakohta r = (2) /6 δ on siis poten/aalienergian minimikohta, jonka arvo on ε. V(r) V=0 r=(2) /6 δ V= ε 36
37 Esimerkki: Maxwell- Boltzmann jakauma Todennäköisyys ebä m- massaisen hiukkasen nopeus lämpö/lassa T on v saadaan Maxwell Boltzmannin jakaumasta: 3 m f (v) = 4π ( 2πkT ) 2 v 2 e 2 mv2 kt missä k on Boltzmannin vakio. Määritä molekyylin todennäköisin nopeus. Ratkaisu: )MääriBelyjoukkoa ei ole erikseen annebu, muba nopeus ei voi olla nega/ivinen: määribelyjoykko on siis ]0, [ 2)Derivoidaan: 3 m f '(v) = 4π ( 2πkT ) 2 D v (v 2 e mv2 2 kt ) 3 m = 4π ( 2πkT ) 2 # D v (v 2 ) e 2 mv2 kt + v 2 D v (e 2 mv2 kt $% ) & '( 3 m = 4π ( 2πkT ) 2 # 2v e 2 mv2 kt + v 2 e 2 mv2 kt D ( v mv2 ) & 2kT $% '( 3 m = 4π ( 2πkT ) 3 m = 4π ( 2πkT ) # 2 kt 2v + v 2 2mv & $ % 2kT ' ( 2 e mv2 2 e mv2 2 kt v(2 mv2 kt ) 37
38 3)Lasketaan derivaatan nollakohdat: 3 m 4π ( 2πkT ) 2 e mv2 2 kt v(2 mv2 kt ) = 0 tulo on nolla jos joku sen tekijöistä on nolla, eli e mv 2 2 kt = 0 tai v=0 tai (2 mv2 kt ) = 0 v = ± 2kT m EksponenZfunk/o on aina nollaa suurempi, ja nega/ivinen nopeus (2kT/m) 0.5 on määribelyalueen ulkopuolella. Jää siis kaksi nollakohtaa: v=0 ja v=(2kt/m) 0.5 4) Tarkastellaan f'(v) etumerkkiä: f'(v) + 3 m f '(v) = 4π ( 2πkT ) v=0 v=(2kt/m) e mv2 2 kt v(2 mv2 kt ) = 0 Huom: koska vakio ja eksponenzosa ovat aina > 0, ja määribelyjoukko on v > 0, etumerkin laskemiseksi tarvitsee laskea ainoastaan tekijän (2 mv 2 /kt) etumerkki. 5) v = (2kT/m) 0.5 vastaa siis f(v) maksimiarvoa, ja vastaus on: molekyylin todennäköisin nopeus on (2kT/m) 0.5 (huom: f(v) arvoa ei kysy?y joten sitä ei tarvitse laskea) 38
3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
Lisätiedot3. Differen-aalilaskenta
//. Differen-aalilaskenta Differen-aali "yvin pieni uutos" Derivaa
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotOsi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)
/9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotOsi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:
9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x)
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotSivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi
Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotOsa 5. lukujonot ja sarjat.
Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
LisätiedotMapusta. Viikon aiheet
Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle,
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotMuuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
Lisätiedot763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotTrigonometriset funk4ot
Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio sin() = a c cos() = b c hypotenuusa c tan() = sin() cos() = a b kulma b katee= a katee= a = c sin() b = c cos() cot() = cos() sin() = b a Trigonometriset funk4ot
LisätiedotLisä,etopake3 2: ra,onaalifunk,on integroin,
9/20/ Lisä,etopake 2: ra,onaalifunk,on integroin, Ra,onaalifunk,o: kahden polynomin P(x) ja Q(x) osamäärä. Esim. x 2 x + 2 tai x5 +6x x- Ra,onaalifunk,o voidaan aina integroida, ja tähän löytyy kajava
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotTrigonometriset funk/ot
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a Trigonometriset
Lisätiedot8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011
Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden
LisätiedotRautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011
Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011 Yhteenlasku sin x + cos x Yhteenlasku sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
Lisätiedot