Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa satunnaisilmiöiden tapahtumista joukko-opin säännöillä johdettujen uusien tapahtumien todennäköisyyksien määräämistä. Säännöt tehdään ilmeisiksi ns. Venn-diagrammien ja esimerkkien avulla. Tarkastelemme lisäksi ehdollisen todennäköisyyden määrittelemistä. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavaa lukua: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 4 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Lisätiedot Todennäköisyyslaskentaa aksiomaattisena matemaattisena järjestelmänä ja todennäköisyyslaskennan peruslaskusääntöjen todistamista tarkastellaan luvussa Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyslaskennan peruslaskusääntöjen havainnollistamista puumaisten verkkojen avulla tarkastellaan liitteessä Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt >> TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 6

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 7 vainsanat lkeistapahtuma lkio Ehdollinen todennäköisyys Erotustapahtuma Joukko Joukko-opin operaatiot erotus komplementti leikkaus yhdiste eli unioni Joukko-opin relaatiot kuulua joukkoon osajoukko Joukko-oppi Komplementtitapahtuma Osajoukko Perusjoukko Tapahtuma Tyhjä joukko Uusien tapahtumien muodostaminen Venn-diagrammi Yhdistetyt tapahtumat Todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimitukset ja -säännöt Todennäköisyyslaskennalla tarkoitetaan usein sellaisten laskutoimitusten ja laskusääntöjen kokoelmaa, joiden avulla voidaan määrätä jonkin satunnaisilmiön tapahtumista joukko-opin operaatioiden avulla johdettujen uusien tapahtumien todennäköisyydet. Laskusääntöjä ei tässä kappaleessa todisteta, mutta säännöt tehdään ilmeisiksi Venn-diagrammien ja esimerkkien avulla. Laskusääntöjen todistaminen: ks. lukua Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 8 Johdetut tapahtumat Todennäköisyyslaskenta ja joukko-oppi Olkoot ja B johonkin satunnaisilmiöön liittyviä tapahtumia. Tarkastelemme seuraavia tapahtumista ja B johdettuja tapahtumia: (i) Tapahtuma eisatu. (ii) Tapahtuma taibsattuu: Tapahtuma sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat. (iii) Tapahtuma sattuu ja tapahtuma B sattuu. (iv) Tapahtuma sattuu, mutta tapahtuma Beisatu. Todennäköisyyslaskennan historian tärkeimpiä teoreettisia oivalluksia on ollut se, että satunnaisilmiöiden tapahtumia voidaan käsitellä joukkoina. Siksi seuraavassa esitetään joukko-opin peruskäsitteet. Lisätietoja: ks. liitettä Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 10 Joukko-oppia: Joukko ja sen alkiot Joukko on kokoelma olioita, joita kutsutaan joukon alkioiksi. Joukko on hyvin määritelty, jos sen alkiot tunnetaan. Merkitään joukon ja sen alkioiden välistä relaatiota seuraavasti: (i) s on joukon alkio eli s kuuluu joukkoon : s (ii) s ei ole joukon alkio eli s ei kuulu joukkoon : s Joukko-oppia: Osajoukko Olkoot ja B kaksi joukkoa. Jos jokaiselle joukon B alkiolle s pätee, että s B s niin sanomme, että joukko B on joukon osajoukko tai, että joukko B sisältyy joukkoon. Merkintä: Joukko B on joukon osajoukko: B tai B TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 12

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 13 Joukko-oppia: Tyhjä joukko Joukko on tyhjä, jos siihen ei kuulu yhtään alkiota. Tyhjää joukkoa merkitään symbolilla Jos joukko on tyhjä, ei ole olemassa oliota s, jolle s Tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko eli mielivaltaiselle joukolle pätee: Otosavaruus ja alkeistapahtumat Satunnaisilmiön kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen joukkoa kutsutaan otosavaruudeksi. Otosavaruuden alkioita kutsutaan alkeistapahtumiksi. Merkinnät: (i) Otosavaruutta (engl. sample space) merkitään tavallisesti isolla kirjaimella S. (ii) Otosavaruuden S alkiota merkitään usein vastaavalla pienellä kirjaimella s. Jos siis alkeistapahtuma s kuuluu otosavaruuteen S, merkitään: s S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 14 Otosavaruus ja alkeistapahtumat: Kommentteja Otosavaruus muodostaa sen perusjoukon, jossa satunnaisilmiön tulosvaihtoja tarkastellaan. Otosavaruuden alkiot ovat tarkasteltavan satunnaisilmiön alkeistapahtumia siinä mielessä, että satunnaisilmiötä ei voida purkaa alkeistapahtumia alkeellisempiin tulosvaihtoehtoihin. Tapahtuma 1/2 S otosavaruus eli tarkasteltavan satunnaisilmiön kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen joukko. Tarkasteltavan satunnaisilmiön tapahtumat ovat otosavaruuden S alkeistapahtumien muodostamia joukkoja. Siten tapahtumat ovat tarkasteltavaan satunnaisilmiöön liittyvän otosavaruuden S osajoukkoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 15 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 16 Tapahtuma 2/2 Jos siis on jokin otosavaruuden S tapahtuma, niin S eli s s S jossa s on tapahtumaan kuuluva alkeistapahtuma. Kun sanomme, että tapahtuma sattuu, tarkoitamme sitä, että jokin tapahtumaan kuuluva alkeistapahtuma s sattuu. Uusien tapahtumien muodostaminen ja joukko-opin operaatiot 1/2 Olkoot ja B otosavaruuden Jokaista operaatiota, jolla tapahtumista ja B johdetaan uusia tapahtumia, vastaa jokin joukko-opin operaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 17 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 18

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 19 Uusien tapahtumien muodostaminen ja joukko-opin operaatiot 2/2 Uuden tapahtuman Vastaava joukko-opin muodostamisoperaatio operaatio eisatu Komplementti: c {s S s } taibsattuu tai Yhdiste eli unioni: molemmat sattuvat B {s S s tais B} jabsattuvat Leikkaus: B {s S s jas B} sattuu, Erotus: mutta B ei satu \B { s S s jas B} Venn-diagrammit 1/2 Joukko-opin operaatioita ja todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä voidaan havainnollistaa Venndiagrammien avulla: (i) Otosavaruutta S kuvataan suorakaiteella, jonka pinta-ala vastaa otosavaruuden todennäköisyyttä Pr(S) 1 (ii) Tapahtumaa S kuvataan suorakaiteen osaalueella, jonka pinta-ala ala vastaa tapahtuman todennäköisyyttä Pr() TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 20 Venn-diagrammit 2/2 Venn-diagrammit: Kommentteja 1/2 Otosavaruutta eli perusjoukkoa S kuvaa suorakaide. Suorakaiteen pinta-ala vastaa otosavaruuden S todennäköisyyttä Pr(S) 1. Tapahtumaa S kuvaa suorakaiteen varjostettu osaalue. Osa-alueen pinta-ala vastaa tapahtuman todennäköisyyttä Pr(). S Todennäköisyyttä sanotaan usein tapahtumien sattumisen mahdollisuuden mitaksi. Venn-diagrammien käyttö todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistuksissa perustuu juuri tähän kuvaan todennäköisyydestä mittana. Todennäköisyys käyttäytyy mittana samalla tavalla kuin pinta-ala paitsi, että todennäköisyysmitalla on ylärajana varman tapahtuman todennäköisyys 1. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 21 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 22 Venn-diagrammit: Kommentteja 2/2 Tapahtuman komplementti On syytä huomata, että todennäköisyyslaskennan laskusäännön havainnollistus Venn-diagrammin avulla ei ole säännön todistus. Todennäköisyyslaskennan laskusäännöt voidaan todistaa Kolmogorovin aksioomajärjestelmässä. Ks. lukua Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä voidaan havainnollistaa myös ns. puudiagrammeilla. Ks. liitettä Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. S otosavaruuden S tapahtuma. Tapahtuman komplementtitapahtuma c ei satu ei- on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka eivät kuulu joukkoon : c {s S s } c S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 23 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 24

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 25 Tapahtumien ja B yhdiste Tapahtumien ja B leikkaus Olkoot S ja B S otosavaruuden Yhdistetty tapahtuma B sattuu tai B sattuu tai molemmat sattuvat on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka kuuluvat joukkoon taijoukkoon B tai molempiin: B {s S s tai s B} B B Olkoot S ja B S otosavaruuden Yhdistetty tapahtuma B ja B sattuvat on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka kuuluvat joukkoon jajoukkoon B: B {s S s ja s B} TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 26 Tapahtumien ja B erotus Esimerkkiaineisto 1: Eduskunnan kokoonpano 1/3 Olkoot S ja B S otosavaruuden Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä havainnollistetaan Yhdistetty tapahtuma \B sattuu, tässä kappaleessa useilla esimerkeillä, joissa yksi tai useampia kansanedustajia valitaan satunnaisesti kaikkien kansanedustajien joukosta. Esimerkeissä eduskunnan kokoonpano on vuoden 1999 eduskuntavaalien tuloksen mukainen. mutta B ei satu Edustajan satunnaista valintaa voidaan kuvata arvontana, joka on niiden alkeistapahtumien voidaan toteuttaa esim. seuraavalla tavalla: joukko, jotka kuuluvat joukkoon, mutta eivät kuulu joukkoon B: \B {s S s ja s B} B c (1) (2) (3) (4) setetaan jokaista edustajaa vastaamaan arpalippu. Pannaan arpaliput uurnaan. Sekoitetaan uurnan sisältö huolellisesti. Nostetaan uurnasta arpalippu, jota vastaava edustaja valitaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 28 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 27 Esimerkkiaineisto 1: Eduskunnan kokoonpano 2/3 rvonta voidaan toistaa kahdella eri tavalla: (i) rpalippu palautetaan noston jälkeen uurnaan ja uurnan sisältö sekoitetaan huolellisesti. Tällöin sama edustaja voi tulla valituksi uudelleen. (ii) rpalippua ei palauteta noston jälkeen uurnaan. Tällöin sama edustaja ei voi tulla valituksi kuin kerran. rvontamenetelmää (i) kutsutaan otoksen poimimiseksi takaisinpanolla. rvontamenetelmää (ii) kutsutaan otoksen poimimiseksi ilman takaisinpanoa. Esimerkki: Lottoarvonnassa sovelletaan otantaa ilman takaisinpanoa. Esimerkkiaineisto 1: Eduskunnan kokoonpano 3/3 Edustajapaikkojen jakautuminen vuoden 1999 vaaleissa: Puolue Paikat Miehet Naiset SDP 51 29 22 Kesk 48 35 13 Kok 46 29 17 Vas 20 14 6 RKP 12 9 3 Vihr 11 2 9 SKL 10 7 3 PS 1 1 0 Rem 1 1 0 Yhteensä 200 127 73 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 29 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 30

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 31 Esimerkkiaineisto 2: Korttipakka Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä havainnollistetaan tässä kappaleessa useilla esimerkeillä, joissa pelikortteja poimitaan satunnaisesti hyvin sekoitetusta korttipakasta. Korttipakassa on 52 korttia (ilman jokereita). Korttipakka jakautuu 4:ään maahan: pata, hertta, ruutu, risti Jokaisessa maassa on 13 korttia:, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 Kortit ässä (kortti numero 1) K kuningas Q kuningatar J sotilas ovat ns. kuvakortteja. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Uusien tapahtumien muodostaminen >> TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 32 Todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimitukset vainsanat Erotustapahtuman todennäköisyys Komplementtitapahtuman todennäköisyys Leikkausjoukon todennäköisyys Osajoukon todennäköisyys Riippumattomuus Todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimitukset Toisensa poissulkevat tapahtumat Tulosääntö riippumattomille tapahtumille Yhdisteen todennäköisyys Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille Yleinen tulosääntö Yleinen yhteenlaskusääntö Yleistetty tulosääntö riippumattomille tapahtumille Yleistetty yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille Yhdistetyt tapahtumat Oletetaan, että tunnemme tapahtumien ja B todennäköisyydet. Tehtävänä on määrätä seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: (i) Mikä on todennäköisyys sille, että eisatu? (ii) Mikä on todennäköisyys sille, että taibsattuu: Mikä on todennäköisyys sille, että sattuu tai B sattuu tai molemmat sattuvat? (iii) Mikä on todennäköisyys sille, että jabsattuvat? (iv) Mikä on todennäköisyys sille, että sattuu, mutta B ei satu? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 33 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 34 Komplementtitapahtuman todennäköisyys 1/2 Komplementtitapahtuman todennäköisyys 2/2 S otosavaruuden S tapahtuma. c ei satu {s S s } tapahtuman komplementtitapahtuma. c tapahtuman todennäköisyys Pr(). Tällöin tapahtuman komplementtitapahtuman c Pr( c ) 1 Pr() c S S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 36

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 37 Komplementtitapahtuman todennäköisyys: Esimerkki eduskunnasta Vuoden 1999 eduskunnassa: n Sosialistit n SDP + n Vas 51 + 20 71 n Ei-sosialistit 200 n Sosialistit 200 71 129 Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja oli ei-sosialisti: Pr(Ei-sosialisti) 1 Pr(Sosialisti) 71 1 200 129 200 0.645 Toisensa poissulkevat tapahtumat 1/2 Olkoot S ja B S otosavaruuden B ja B sattuvat {s S s ja s B} tapahtumien ja B leikkaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 38 Toisensa poissulkevat tapahtumat 2/2 Toisensa poissulkevat tapahtumat: Esimerkki eduskunnasta ja B ovat toisensa poissulkevia, jos ja B eivät voi sattua samanaikaisesti. ja B ovat toisensa poissulkevia, jos ne ovat otosavaruuden S osajoukkoina pistevieraita eli B B S Kansanedustaja ei voi olla kahden puolueen jäsen. Edustaja kuuluu vasemmistoliittoon B Edustaja kuuluu kokoomukseen Tällöin tapahtumat ja B ovat toisensa poissulkevia, koska yksikään kansanedustaja ei voi olla kahden puolueen jäsen, mikä merkitsee sitä, että joukot ja B ovat pistevieraita: B. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 40 Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 1/3 Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 2/3 Olkoot S ja B S otosavaruuden B tai B sattuu {s S s tai s B} tapahtumien ja B yhdiste. B B Olkoot tapahtumat ja B toisensa poissulkevia. Tällöin ja B ovat otosavaruuden S osajoukkoina pistevieraita eli B B S TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 41 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 42

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 43 Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 3/3 Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille: Esimerkki eduskunnasta tapahtuman todennäköisyys Pr(). tapahtuman B todennäköisyys Pr(B). Jos ja B ovat toisensa poissulkevia, yhdisteen B tai B sattuu Pr( B) Pr() + Pr(B) B S Vuoden 1999 eduskunnassa: n Sosialistit n SDP + n Vas 51 + 20 71 Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja oli sosialisti: Pr(Sosialisti) Pr(SDP) + Pr(Vas) 51 20 + 200 200 71 200 0.355. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 44 Komplementtitapahtuman todennäköisyys: Perustelu Yleistetty yhteenlaskusääntö pareittain toisensa poissulkeville tapahtumille Tapahtuma ja sen komplementtitapahtuma c ovat toisensa poissulkevia: c Lisäksi otosavaruudelle S pätee aina: S c Siten toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan Pr(S) 1 Pr() + Pr( c ) Siten komplementtitapahtuman c todennäköisyydeksi saadaan: Pr( c ) 1 Pr() c S Olkoot 1, 2,, k pareittain toisensa poissulkevia. Tällöin i j, kun i j. tapahtuman i todennäköisyys Pr( i ), i 1, 2,, k. Tällöin yhdisteen 1 tai 2 tai tai k sattuu Pr( 1 2 k ) Pr( 1 ) + Pr( 2 ) + + Pr( k ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 45 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 46 Yhteenlaskusäännön yleistäminen tapahtumille, jotka eivät ole toisensa poissulkevia Yhteenlaskusääntö voidaan yleistää tapahtumille, jotka eivät ole toisensa poissulkevia. Tällöin yhdistetyn tapahtuman B tai B sattuu todennäköisyyttä määrättäessä joudutaan tapahtumien ja B todennäköisyyksien lisäksi ottamaan huomioon yhdistetyn tapahtuman B ja B sattuvat todennäköisyys. Tarkastelemme yleistä yhteenlaskusääntöä myöhemmin. Riippumattomuus Tapahtuma on riippumaton tapahtumasta B, jos B:n tapahtuminen (tai tapahtumatta jääminen) ei vaikuta :n tapahtumisen todennäköisyyteen. Riippumattomuus on symmetrinen ominaisuus: Jos on riippumaton B:stä, niin B on riippumaton :sta. Riippumattomuuden symmetrisyyden takia sanomme yksinkertaisesti, että ja B ovat riippumattomia. Merkitään tapahtumien ja B riippumattomuutta: B Riippumattomuuden käsite saa lisävalaistusta ehdollisen todennäköisyyden käsitteestä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 47 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 48

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 49 Riippumattomuus: Esimerkit rahanheitosta ja arvonnasta Rahanheitto: Heitetään toistuvasti rahaa. Tällöin on järkevää olettaa, että heittojen tulokset eivät riipu aikaisemmin tehtyjen heittojen tuloksista. rvonta: Nostetaan uurnasta toistuvasti arpalippuja niin, että jokaisen noston jälkeen nostettu lippu palautetaan uurnaan ja uurnan sisältö sekoitetaan huolellisesti (otanta takaisinpanolla). Tällöin on järkevää olettaa, että nostojen tulokset eivät riipu aikaisemmin tehtyjen nostojen tuloksista. Riippumattomuus vs riippuvuus Tapahtumien riippumattomuus on oletus, jota voidaan testata tilastollisesti. lkeistilastotieteen esityksissä oletetaan tavallisesti, että havainnot ovat toisistaan riippumattomia. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa joudutaan usein luopumaan oletuksesta havaintojen riippumattomuudesta. Esimerkiksi stokastisia eli satunnaisprosesseja ja aikasarjoja analysoitaessa tarkastellaan toisistaan riippuvia havaintoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 50 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille 1/2 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille 2/2 Olkoot S ja B S otosavaruuden B ja B sattuvat {s S s ja s B} tapahtumien ja B leikkaus. tapahtuman todennäköisyys Pr(). tapahtuman B todennäköisyys Pr(B). ja B riippumattomia, jos ja vain jos leikkauksen B ja B sattuvat todennäköisyydelle pätee: Pr( B) Pr()Pr(B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 51 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 52 Tulosäännön intuitiivinen perustelu: Esimerkki laadunvalvonnasta 1/2 Tarkastellaan TV-vastaanottimien valmistusta ja niiden laadunvalvontaa. Oletetaan, että valmistetuissa TV-vastaanottimissa voi esiintyä kaksi erilaista vikaa: Kuvaputki ei toimi B Vahvistin ei toimi Vika on 5 %:ssa TV-vastaanottimia. Vika B on 3 %:ssa TV-vastaanottimia. Oletetaan, että viat syntyvät toisistaan riippumatta. Tulosäännön intuitiivinen perustelu: Esimerkki laadunvalvonnasta 2/2 Vikojen riippumattomuuden takia: (i) 3 %:ssa niistä TV-vastaanottimia, joissa on vika, on myös vika B. (ii) 5 %:ssa niistä TV-vastaanottimia, joissa on vika B, on myös vika. Niiden TV-vastaanottimien osuus, joissa on sekä vika että vika B: 0.03 0.05 0.0015 0.15 % TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 54

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 55 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille: Esimerkki rahanheitosta Heitetään rahaa kaksi kertaa. Pr(Kruuna) Pr(Klaava) 1/2 Saadaan kruuna 1. heitolla B Saadaan kruuna 2. heitolla Voidaan olettaa, että ja B ovat riippumattomia. Tällöin 1 1 1 Pr( jab ) 0.25 2 2 4 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille: Esimerkki korttipakasta 1/2 Satunnaisesti korttipakasta valittu kortti on pata Pr() 13/52 1/4 B Satunnaisesti korttipakasta valittu kortti on ässä Pr(B) 4/52 1/13 B Satunnaisesti korttipakasta valittu kortti on pataässä Tällöin Pr( B) Pr( ) Pr( B) 1 1 4 13 1 52 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 56 Tulosääntö riippumattomille tapahtumille: Esimerkki korttipakasta 2/2 Intuitiivinen perustelu tulosäännön käytölle: Korttipakan korteista 1/4 on patoja. Korttipakan korteista 1/13 on ässiä. Myös niistä korteista, jotka ovat patoja 1/13 on ässiä. Siten pataässien osuus korttipakan korteista on 1 1 1 13 4 52 Koska pataässiä on korttipakassa täsmälleen yksi, saadaan myös suoraan Pr(Satunnaisesti valittu kortti on pataässä) 1/52 Yleistetty tulosääntö riippumattomille tapahtumille 1/2 tapahtuman i todennäköisyys Pr( i ), i 1,2,, k 1, 2,, k ovat riippumattomia, jos ja vain jos kaikille leikkauksille i 1 i 2 im joissa { i1, i2,, im} { 1,2,, k} pätee: Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) i1 i2 im i1 i2 im TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 57 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 58 Yleistetty tulosääntö riippumattomille tapahtumille 2/2 Merkitään tapahtumien 1, 2,, k riippumattomuutta: 1, 2,, k Yleistetty tulosääntö riippumattomille tapahtumille: Esimerkki rahanheitosta Heitetään rahaa 10 kertaa. Pr(Kruuna) 1/2. Tällöin Pr(10 kruunaa) Pr(Kruuna 1. heitolla) Pr(Kruuna 10. heitolla) 1 1 1 1 10 2 2 2 1024 10 kappaletta 0.000977 Todennäköisyyden frekvenssitulkinnasta seuraa: Jos suuresta joukosta ihmisiä jokainen pannaan heittämään rahaa 10 kertaa, on odotettavissa, että suunnilleen 1/1000 heittäjistä saa tulokseksi 10 kruunaa! TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 59 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 60

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 61 Tulosäännön yleistäminen tapahtumille, jotka eivät ole riippumattomia Tulosääntö voidaan yleistää tapahtumille, jotka eivät ole riippumattomia. Tällöin yhdistetyn tapahtuman B ja B sattuvat todennäköisyyttä määrättäessä tapahtumien ja B todennäköisyyksien tunteminen ei riitä, vaan lisäksi on otettava huomioon joko tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että B on tapahtunut tai tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että on tapahtunut. Tarkastelemme yleistä tulosääntöä ja ehdollisia todennäköisyyksiä myöhemmin. Yleinen yhteenlaskusääntö 1/3 Olkoot S ja B S otosavaruuden B tai B sattuu {s S s tai s B} tapahtumien ja B yhdiste. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 62 Yleinen yhteenlaskusääntö 2/3 Yleinen yhteenlaskusääntö 3/3 Olkoot S ja B S otosavaruuden B ja B sattuvat {s S s ja s B} tapahtumien ja B leikkaus. Olkoot tapahtumien, B, B todennäköisyydet Pr(), Pr(B), Pr( B) Tällöin yhdisteen B tai B sattuu Pr( B) Pr() + Pr(B) Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 63 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 64 Yleinen yhteenlaskusääntö: Esimerkki uskonnoista Japanissa Tilastojen mukaan 80 % japanilaisista on shintolaisia ja 80 % japanilaisista on buddhalaisia. Onko 160 % japanilaisista shintolaisia tai buddhalaisia? Ei, koska suuri osa japanilaisista noudattaa kummankin uskonnon menoja: Häät pidetään tavallisesti shintolaisten menojen mukaan, hautajaiset järjestetään tavallisesti buddhalaisten menojen mukaan. nnetuista tiedoista voidaan päätellä: 80-100 % japanilaisista on joko shintolaisia tai buddhalaisia, 60-80 % japanilaisista on sekä shintolaisia että buddhalaisia. Yleinen yhteenlaskusääntö: Esimerkki levikkitutkimuksesta Levikkitutkimuksessa saatiin selville, että erään kunnan asukkaat lukevat Seuraa ja pua seuraavasti: Seura 20 % pu 16 % Seura ja pu 1 % Tällöin Pr(Seura tai pu) Pr(Seura) + Pr(pu) Pr(Seura ja pu) 20 16 1 + 100 100 100 35 100 0.35 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 65 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 66

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 67 Erotustapahtuman todennäköisyys 1/2 Erotustapahtuman todennäköisyys 2/2 Olkoot S ja B S otosavaruuden \B sattuu, mutta B ei satu {s S s ja s B} B c tapahtumien ja B erotus. tapahtuman todennäköisyys Pr(). tapahtuman B todennäköisyys Pr( B). Tällöin erotustapahtuman \B sattuu, mutta B ei satu Pr(\B) Pr( B c ) Pr() Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 68 Erotustapahtuman todennäköisyys: Esimerkki korttipakasta 1/2 52:n kortin pakassa on 16 kuvakorttia ja 13 patakorttia, joista 4 on kuvakortteja. Satunnaisesti valittu kortti on pata B Satunnaisesti valittu kortti on kuva Tällöin \B Satunnaisesti valittu kortti on pata, mutta ei ole kuvakortti Erotustapahtuman todennäköisyys: Esimerkki korttipakasta 2/2 Tällöin Pr( \ B) Pr( ) Pr( B) 13 4 52 52 9 52 Tulos on tietysti selvä muutenkin, koska patoja, jotka eivät ole kuvia on 9 kpl eli kortit 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 69 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 70 Tapahtuman B sattumisesta seuraa tapahtuman sattuminen Olkoot S ja B S otosavaruuden Oletetaan, että jos B sattuu, niin sattuu. Tällöin B. Olkoot tapahtumien ja B todennäköisyydet Pr() ja Pr(B). Tällöin: Pr() Pr(B) Erotustapahtuman todennäköisyys, kun B:n sattumisesta seuraa :n sattuminen Olkoot S ja B S otosavaruuden B. Olkoot tapahtumien ja B todennäköisyydet Pr() ja Pr(B). Tällöin erotustapahtuman \B sattuu, mutta B ei satu Pr(\B) Pr() Pr(B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 71 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 72

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 73 Yhdisteen B todennäköisyys: Vaihtoehtoisia laskusääntöjä 1/2 Olkoot S ja B S otosavaruuden Yhdistetyn tapahtuman B tai B sattuu todennäköisyys voidaan aina esittää seuraavalla kalvolla esitetyissä muodoissa. Yhdisteen B todennäköisyys: Vaihtoehtoisia laskusääntöjä 2/2 Yhdisteen B tai B sattuu Pr( B) Pr() + Pr(B) Pr( B) Pr() + Pr(B\) Pr(B) + Pr(\B) Pr(\B) + Pr(B\) + Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 74 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Uusien tapahtumien muodostaminen >> vainsanat Ehdollinen todennäköisyys suhteellinen frekvenssi Ehtotapahtuma Informaatio Riippumattomuus Todennäköisyys Yleinen tulosääntö Yleistetty yleinen tulosääntö TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 75 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 76 Ehdollinen todennäköisyys tapahtuman ja B sattuvat todennäköisyys Pr( B). tapahtuman B todennäköisyys Pr(B) 0. Tällöin tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut on Pr( B) Pr( B) Pr( B) Ehdollinen todennäköisyys: Kommentteja Tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut, saadaan määräämällä tapahtuman B jabsattuvat todennäköisyyden Pr( B) suhde tapahtuman B todennäköisyyteen Pr(B). Tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut voidaan siis ymmärtää niin, että tapahtumaan liittyviä alkeistapahtumia tarkastellaan rajoitettuna tapahtuman B indusoimaan otosavaruuteen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 77 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 78

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 79 suhteellinen frekvenssi 1/3 Ehdollisen todennäköisyyden määritelmää voidaan havainnollistaa seuraavassa esitettävällä tavalla. Tarkastellaan toistuvaa satunnaisilmiötä. Olkoot ja B ko. satunnaisilmiöön liittyviä tapahtumia. Kun satunnaisilmiö toistuu, jokaisessa toistossa sattuu joko tapahtuma tai ei- c ja joko tapahtuma B tai ei-b B c. suhteellinen frekvenssi 2/3 Oletetaan, että ko. satunnaisilmiön toistuessa tuloksena on seuraava tapahtumaparien jono: c c c c c c c c B B B B B B B Tapahtuman todennäköisyys tässä tapahtumajonossa on 2 Pr( ) 7 Muodostetaan ko. tapahtumaparien jonosta karsittu jono, johon otetaan vain ne tapahtumaparit, joissa B on sattunut: c c c B B B B TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 80 suhteellinen frekvenssi 3/3 Tapahtuman todennäköisyys karsitussa jonossa on 1/4. Toisaalta ehdollisen todennäköisyyden kaavan mukaan Pr( B) Pr( B) Pr( B) 17 47 1 4 Siten tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että B on sattunut, on tapahtuman todennäköisyys karsitussa jonossa, johon on mukaan otettu vain ne tapahtumaparit, joissa B on sattunut. Ehdollinen todennäköisyys: Esimerkki eduskunnasta 1/3 Vuoden 1999 eduskunnan 200 kansanedustajasta 73 oli naisia. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja oli nainen? Merkitään Edustaja oli nainen Tällöin 73 Pr( ) 200 0.365 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 81 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 82 Ehdollinen todennäköisyys: Esimerkki eduskunnasta 2/3 SDP:lla oli 51 kansanedustajaa, 29 miestä, 22 naista. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja, joka kuului SDP:n ryhmään, oli nainen? Tällöin ehdollinen todennäköisyys Pr(Nainen ja SDP) Pr(Nainen SDP) Pr(SDP) 22 / 200 22 0.431 > 0.365 Pr(Nainen) 51/ 200 51 Johtopäätös: SDP:n ryhmässä oli keskimääräistä enemmän naisia. Tässä tapauksessa tieto siitä, että satunnaisesti valittu kansanedustaja oli SDP:stä muuttaa todennäköisyyttä, että hän oli nainen. Ehdollinen todennäköisyys: Esimerkki eduskunnasta 3/3 RKP:lla oli 12 kansanedustajaa, 9 miestä, 3 naista. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja, joka kuului RKP:en ryhmään, oli nainen? Tällöin ehdollinen todennäköisyys Pr(Nainen ja RKP) Pr(Nainen RKP) Pr(RKP) 3/ 200 3 0.25 < 0.365 Pr(Nainen) 12 / 200 12 Johtopäätös: RKP:n ryhmässä oli keskimääräistä vähemmän naisia. Tässä tapauksessa tieto siitä, että satunnaisesti valittu kansanedustaja oli RKP:stä muuttaa todennäköisyyttä, että hän oli nainen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 83 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 84

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 85 Tapahtuman todennäköisyys ja tapahtuman ehdollinen todennäköisyys Tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut voi olla pienempi, yhtä suuri tai suurempi kuin tapahtuman todennäköisyys; ks. edellistä esimerkkiä. Siten mikä tahansa seuraavista vaihtoehdoista on mahdollinen: (i) Pr( B) > Pr() (ii) Pr( B) Pr() (iii) Pr( B) < Pr() ehtotapahtuman sisältämä informaatio 1/2 Jos Pr( B) Pr( ) tieto siitä, että tapahtuma B on sattunut, sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi tapahtuman todennäköisyyttä määrättäessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 86 ehtotapahtuman sisältämä informaatio 2/2 Jos Pr( B) Pr( ) tieto siitä, että tapahtuma B on sattunut, ei sisällä informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi tapahtuman todennäköisyyttä määrättäessä. Voidaan osoittaa, että tämä on totta täsmälleen silloin, kun tapahtumat ja B ovat riippumattomia. riippumattomuus tapahtuman todennäköisyys Pr(). tapahtuman todennäköisyys ehdolla, että B on sattunut Pr( B). Tällöin tapahtumat ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos Pr( B) Pr( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 87 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 88 riippumattomuus: Perustelu 1/2 Oletetaan, että tapahtumat ja B ovat riippumattomia ja todistetaan, että Pr( B) Pr( ) Riippumattomuuden määritelmän mukaan tällöin Pr( B) Pr( )Pr( B) (1) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut, on Pr( B) Pr( B) (2) Pr( B) Sijoittamalla kaava (1) kaavaan (2) saadaan todistettava yhtälö Pr( B) Pr( ) riippumattomuus: Perustelu 2/2 Oletetaan, että Pr( B) Pr( ) ja todistetaan, että tapahtumat ja B ovat riippumattomia. Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtumien ja B leikkauksen todennäköisyys voidaan kirjoittaa muotoon Pr( B) Pr( B) Pr( B) Siten oletuksesta seuraa suoraan, että Pr( B) Pr( ) Pr( B) joten tapahtumat ja B ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 89 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 90

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 91 riippumattomuus: Esimerkki 1/3 Rutenian tasavallassa on 2 puoluetta: repijät ja säilyttäjät. Paikkajakauma 200-paikkaisessa parlamentissa: Puolue Miehet Naiset Paikat Repijät 20 30 50 Säilyttäjät 60 90 150 Yhteensä 80 120 200 riippumattomuus: Esimerkki 2/3 Satunnaisesti valittu edustaja on mies B Satunnaisesti valittu edustaja on repijä Tällöin 80 Pr( ) 0.4 200 20 Pr( B) 0.4 50 Koska Pr( B) Pr(), tapahtumat ja B ovat riippumattomia. Huomaa, että myös tapahtumaparit ja B c, c ja B sekä c ja B c ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 92 riippumattomuus: Esimerkki 3/3 Edustajapaikkojen jakaumasta nähdään, että 20 Pr( B) 200 50 Pr( B) 200 Siten myös ehdollisen todennäköisyyden kaavan mukaan Pr( B) 20 200 20 Pr( B) 0.4 Pr( B) 50 200 50 Riippumattomuuden yhtäpitävät ehdot Edellä esitetyn perusteella tapahtumat ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos mikä tahansa seuraavista riippumattomuuden yhtäpitävistä ehdoista pätee: (i) (ii) (iii) Pr( B) Pr( )Pr( B) Pr( B) Pr( ) Pr( B) Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 93 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 94 Riippumattomuuden seurauksia Yleinen tulosääntö Oletetaan, että tapahtumat ja B ovat riippumattomia. Tällöin: (i) ja B c ovat riippumattomia. (ii) c ja B ovat riippumattomia. (iii) c ja B c ovat riippumattomia. Kahden tapahtuman riippumattomuus siis säteilee riippumattomuuden myös niiden komplementtitapahtumiin. Ks. edellä esitettyä esimerkkiä Rutenian parlamentista. tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut Pr( B). tapahtuman B todennäköisyys Pr(B) 0. Tällöin leikkauksen B ja B sattuvat Pr( B) Pr( B) Pr( B) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 95 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 96

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 97 Yleistetty yleinen tulosääntö Tarkastellaan tapahtumia 1, 2,, k. Tällöin leikkauksen 1 2 k 1 ja 2 ja ja k sattuvat Pr( 1 2 k ) Pr( 1) Pr( 2 1) Pr( 3 1 2) Pr( k 1 2 k 1) Yleistetty yleinen tulosääntö: Perustelu Perustellaan yleistetty yleinen tulosääntö tapauksessa k 3. Leikkauksen 1 2 3 1 ja 2 ja 3 sattuvat Pr( 1 2 3) Pr(( 1 2) 3) Pr( 1 2) Pr( 3 1 2) Pr( ) Pr( ) Pr( ) 1 2 1 3 1 2 Yleinen tapaus voidaan todistaa induktiolla. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 98 Yleistetty yleinen tulosääntö: Esimerkki korttipakasta Nostetaan korttipakasta peräkkäin 3 korttia. Mikä on todennäköisyys, että ne ovat kaikki patoja? tapahtuma i i. kortti on pata, i 1, 2, 3. Koska korttipakassa on 52 korttia, joista 13 on patoja, leikkauksen 1 ja 2 ja 3 sattuvat Pr( ) Pr( )Pr( )Pr( ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 13 12 11 33 52 51 50 2550 0.0129 Huomautus: Korttien nosto toteutettiin ilman takaisinpanoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 99