Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi Lähestymistavat tukevat tukevat toisiaan toisiaan ylläpito malli
Identifiointi Mallin rakentaminen järjestelmälle mittausten avulla Epäparametriset menetelmät (tuloksena malli joka ei perustu parametreille): transienttianalyysi: impulssivaste, askelvaste korrelaatioanalyysi: päätellään impulssivaste sisäänmenon ja ulostulon ristikorrelaatiosta systeemin vaste syötteeseen Asinωt eri ω:lla => taajuusvaste siirtofunktion päättely sisäänmenon ja ulostulon spektrien avulla =>spektraalianalyysi Parametriset menetelmät mallirakenteen valinta, parametrien estimointi PNS- tai vastaavalla keinolla sovituksen hyvyytenä usein mallin ennustuskyky tärkeä ongelma koesuunnittelu
Mallin validointi & ylläpito VVA verifiointi: kuvaako malli haluttua asiaa validointi: kuvaako malli asian oikein akkreditointi: mallin käyttöönotto Ylläpito päivitykset, muutokset järjestelmässä tarkistukset
Transienttianalyysi - impulssivaste Lineaaristen mallien superpositioperiaate: Lineaarisille malleille pätee: L(αu 1 +βu 2 )=αl(u 1 )+βl(u 2 )=> määrätään systeemin vaste (jollekin) standardisyötteelle: impulssi, askel,sini,... lausutaan ohjaus u standardifunktioiden avulla kokonaisvaste saadaan summaamalla u:n komponenttien vasteet standardisyöte mieliv. ohjaus standardisyötteinä u(t) lineaarinen systeemi y(t) standardisyötteen vaste kokonaisvaste
Impulssivaste Tark. diskreettiaikaisia järjestelmiä Standardisyöte = impulssi => {u}= 1,0,0,0,... vastaava ulostulo = {y} = {h} = h(0),h(1),h(2),... Yleinen sisäänmeno {u}=u(0),u(1),u(2),... => vaste u(0)h(0), u(0)h(1)+u(1)h(0),u(0)h(2)+u(1)h(1)+u(2)h(0),... => y( t) = t k= 0 h( t k) u( k), t h(k) on systeemin impulssivaste eli painofunktio (weighting function) impulssivaste on eräs systeemin malli FIR (Finite Impulse Response): h(k)=0 kun k>m 0
Impulssivaste Mieliv. ohjaus u(0),u(1),... => vaste y(0),y(1),... T mittausta:y(0)=u(0)h(0) y(1)=u(1)h(0)+u(0)h(1) y(2)=u(2)h(0)+u(1)h(1)+u(0)h(2)... y(t)=u(t)h(0)+...+u(0)h(t) y=uh h^=u -1 y; kohinaa => PNS
Askelvaste Yksikköaskel: u(t) 0,t<0 ja 1, kun t>=1 =>ulostulo y(0)=h(0), y(1)=h(0)+h(1),y(2)=h(0)+h(1)+h(2),... Askelvaste on impulssivasteen summa Impulssivaste on askelvasteen differenssi Selvä myös superpositiomielessä: askel on impulssin summa (integraali) => askelvaste on impulssivasteen summa (integraali) Impulssivaste on askelvasteen derivaatta huom. kohina
Jatkuva-aikaiset systeemit Ajattelu kuten diskreettiaikaisissa järjestelmissä jako standardisyötteisiin (esim. paloittain vakio approksimaatio) t-> 0 => yksikköimpulssi δ ( t) = 0 t 0, δ ( t) dt = 1 käytännössä t ei ole nolla =>? δ(t) lineaarinen systeemi h(t)
Yhteys siirtofunktioon Kun systeemin painofunktio tunnetaan, vaste mielivaltaiselle ohjaukselle u(t) on konvoluutio t y( t) = h( t τ ) u( τ ) dτ, t 0 Konvoluution Laplace-muunnos on tulo (ja impulssivasteen ykkönen)=> Impulssivaste saadaan Laplace-käänteismuuntamalla siirtofunktio ja päinvastoin 0
Identifiointi & impulssi- ja askelvaste Käytännössä kvalitatiivinen malli Käyttö identifioinnin alkuvaiheessa: merkittävät sisäänmenot, syy-seuraus -suhteet systeemin aikavakiot (aikaskaalat) Vertailu mallin validointivaiheessa staattiset vahvistukset vasteen kvalitatiivinen luonne ( värähtelevä, vaimennettu, vakio,...) Eniten teollisuudessa käytetty menetelmä (esim. viipymäaikajakaumat) Häiriöt, mittausvirheet =>hankalaa tuottaa kvantitatiivisia malleja impulssin tuottaminen? impulssin vaikutus systeemiin?
Korrelaatioanalyysi Tarkastellaan systeemiä, jonka painofunktio on g k Tällöin (vrt. edellä!) y( t) = k= 1 g k u( t k) + v( t), t Olkoon u(t) nollakeskiarvoinen stokastisen prosessin realisaatio kovarianssifunktiolla R u (τ) Oletetaan että u(t) ja v(t) riippumattomia => Wiener- Hopfin yhtälö R yu ( τ ) = k= 1 Huom. kun u(t) on valkoista kohinaa, on R yu (τ)= λg τ g k R u ( τ k) 0
Käytännön laskutoimitukset Stationaarisille ergodisille prosesseille Rˆ t= 1 ja edelleen (kun u(t) valkoista kohinaa) Yleensä u(t) ei ole valkoista kohinaa N yu ( τ ) voidaan laskea R u (τ) ja ratkaista impulssivaste Wiener-Hopfin yhtälöstä => u valittava sopivasti parempi tapa on valkaisusuodatus gˆ = 1 N N τ = N 1 Rˆ λ y( t) u( t τ ) N yu
Valkaisusuodatus (prewhitening) Suodatetaan y(t) ja u(t) mielivaltaisella suotimella L(q): y F (t)=l(q)y(t); u F (t)=l(q)u(t) Lineaarisuus => sama impulssivaste=> y F ( t) = k= 1 g k u Valitaan L(q) siten että u F (t) on niin valkoista kuin mahdollista F usein käytetään yksinkertaista AR-mallia L(q)u(t)=e(t), kertaluku 4-8, ja PNS-sovitusta ( t k) + v F ( t), t 0
Korrelaatioanalyysialgoritmi CRA 1. Kerää y(t) ja u(t) 2. Nollakeskiarvoista vähentämällä estimoidut keskiarvot 3. Valitse valkaisusuodin L(q) ja muodosta y F (t) ja u F (t) 4. Laske u F (t):n varianssin ja y F (t):n ristikovarianssin estimaatit 5. Muodosta impulssivasteen estimaatti
Yhteenveto Tavoitteena painofunktio => lopputuloksena lähinnä kvalitatiivista tietoa aikavakiot, aikaskaalat Ei vaadi erityisiä ohjauksia (vrt. impulssivaste määritelmän mukaan laskettuna!) Huono signaali-kohina suhde voidaan kompensoida kasvattamalla mittausaikoja