Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa sijoittamalla h = x x 0 : tällöin x = x 0 + h, joten erivaatan määritelmä saa muoon: h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h Tämä on siis sama määritelmä erivaatalle kuin aikaisemmin: teimme ainoastaan sijoituksen h = x x 0. Kuvana tämä näyttää tällä uuella notaatiolla seuraavalta: y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x
Jos luku h on lähes nolla, pätee approksimaatio f (x 0 + h) f (x 0 ) h f (x 0 ) eli f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x 0 )h. Toisin sanottuna kun tutkitaan funktion f muutosta pienellä välillä [x 0, x 0 + h], niin tätä muutosta voi approksimoia luvulla f (x 0 )h eli erivaatalla, joka on kerrottu välin pituuella. Samoin yllä olevasta lausekkeesta saaaan suoraan arvio: f (x 0 + h) f (x 0 ) + f (x 0 )h. Eli jos funktio saa vaikkapa pisteessä x 0 arvon ja f (x) = 3, niin funktion arvo pisteessä x 0 + h on kutakuinkin f (x 0 ) + f (x 0 )h = + 3h. Tämä arvio pätee sitä paremmin mitä pienempi h on. Funktion f ifferentiaalikehitelmä pisteessä x 0 on f (x 0 + h) f (x 0 ) = f (x 0 )h + hɛ(h) Tämä ei enää ole arvio vaan virhetermi hɛ(h) varmistaa että yhtäsuuruus pätee. Huomaa että ɛ(h) on h:sta riippuva korjaus: tälle pätee, että kun h lähestyy nollaa, niin ɛ(h) lähestyy nollaa. Esimerkki. (Differentiaalikehitelmä) Määrittele funktion f (x) = x 2 ifferentiaalikehitelmä pisteessä x 0 =. Ratkaisu. Erotus f (x 0 + h) f (x 0 ) on pisteessä x 0 = seuraava: f ( + h) f () = ( + h) 2 = + 2h + h 2 = 2h + h 2 Tästä nähään heti, että termi 2h on yhtä kuin termi f (x 0 )h, jolloin hɛ(h) = h 2 ɛ(h) = h. 2 Derivoimissääntöjä Kuten yllä toettiin, erivaatan voi tunnetusti laskea erotusosamäärän raja-arvona f f (x) f (x (x 0 ) = 0 ). x x0 x x 0 Tämä on kuitenkin usein turhan työläs tapa laskea funktion erivaattaa. Ilmenee, että on olemassa erivoimissääntöjä, joilla tietyntyyppisten funktioien erivaatat voi laskea helposti ja turvautumatta erotusosamäärän 2
laskemiseen. Nämä säännöt ovat varmaankin jo lukiosta tuttuja. On kuitenkin hyvä muistaa, että ne ovat kaikki toistettavissa käyttämällä yllä olevaa erivaatan määritelmää. Esimerkiksi sääntö, jonka mukaan vakiofunktion erivaatta on nolla, toistetaan seuraavasti: Olkoon f (x) = c. Täten sen erotusosamäärä on f (x) f (x 0 ) x x 0 x x 0 = x x0 c c x x 0 = 0. Eli vakiofunktion erivaatta on nolla. Kyseinen erivoimissääntö oli helppo toistaa, eikä muissakaan säännöissä ole kovin suuria hankaluuksia. Ne ovat kuitenkin laskennallisesti usein melko raskaita, joten niitä ei tässä esitetä. On syytä kuitenkin muistaa, että nämä säännöt toistetaan samalla tavalla kuin vakion erivoimissääntö yllä: laskemalla erotusosamäärän raja-arvo. Potenssisääntö, tulosääntö, osamääräsääntö ja ketjusääntö Lause 2.. Derivoinnin potenssisääntö kertoo, että x xn = nx n Esimerkiksi /x(x 455 ) = 455x 454 ja /x(5x 7 ) = 35x 6. Hieman vaikeampi sääntö on tulon erivoimissääntö: Lause 2.2. Funktion f (x)g(x) erivaatta on f (x)g(x) + f (x)g (x). Esimerkki 2. (Tulosääntö) Laske funktion F(x) = (5x 2 + 8x)(e x + 0x) erivaatta. { f (x) = 5x 2 + 8x Ratkaisu. F(x) on selvästi kahen funktion tulo. Olkoon g(x) = e x + 0x. { f (x) = 0x + 8 Tällöin g (x) = e x + 0. Tulon erivoimissääntö kertoo, että F (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x), joten F (x) = (0x + 8) (e x + 0x) + (5x 2 + 8x) (e x + 0) }{{}}{{}}{{}}{{} f (x) g(x) f (x) g (x) 3
Lause 2.3. Osamäärän erivoimissääntö: ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) x g(x) g(x) 2 Täten esimerkiksi ( 3x 2 ) + 5x x 8x 2 x = (6x + 5)(8x2 x) (3x 2 + 5x)(6x ) (8x 2 x) 2 Lause 2.4. Ketjusääntö: Yhistetyn funktion f g = f (g(x)) erivaatta on muotoa f (g(x))g (x). Esimerkki 2.2 (Ketjusääntö) Olkoon f (x) = 5x 2 ja g(x) = 6x 7. Laske yhistetyn funktion f g erivaatta. Ratkaisu. f (x) = 0x, joten f (g(x)) = 0(6x 7 ). Toisaalta g (x) = 42x 5. Täten x ( f g) = f (g(x))g (x) = (0(6x 7 ))(42x 5 ) Käänteisfunktion erivaatta Alla vielä yksi sääntö: käänteisfunktion erivoimissääntö: Lause 2.5. Funktion f käänteisfunktion f (x) erivaatta on f ( f (x)). Toistus. Määritelmän mukaisesti käänteisfunktiolle f pätee ( ) f f (x) = x. Kyseessä on ientiteetti, joka pätee kaikilla x:n arvoilla. Mikäli käänteisfunktion erivaatta on olemassa, se saaaan erivoimalla kyseisen yhtälön kumpikin puoli ketjusäännön avulla: ( ) f f (x) x f (x) = x f (x) = 4 f ( f (x))
Käänteisfunktion f erivaatan pisteessä x 0 voi siis laskea kun tietää. Käänteisfunktion arvon tässä pisteessä eli arvon f (x 0 ) 2. Funktion f erivaattafunktion. Näitä ieoita käytetään alla olevassa esimerkissä: Esimerkki 2.3 (Käänteisfunktion erivaatta) Laske ( f ) (), kun f (x) = x 5 + 4. Ratkaisu. Ensinnä f :n erivaatta on f (x) = 5x 4. Seuraavaksi pitää laskea f (). Tämä tarkoittaa, että f () = x f (x) = x 5 + 4 = x = ( 3) /5. Täten f ( f ()) = f (( 3) /5 ) = 5( 3) 4/5 = 5 8 /5 ja ( f ) () = f ( f ()) = 5 8 /5 Esimerkkejä Derivoimissääntöjä on erittäin tärkeää oppia käyttämään hyvin. Oppiminen tapahtuu tässä tapauksessa runsaasti tehtäviä tekemällä. Alla muutama alkuun. Esimerkki 2.4 (Tulosääntö) Olkoon f (x) = x 2 e x. Laske f (x). Ratkaisu. f (x) = 2xe x + x 2 e x (tulosääntö). Esimerkki 2.5 (Tulosääntö) Kokeile tulosäännön toimivuutta funktioon f (x) = x 2 = x x. Ratkaisu. f (x) = x + x = 2x. Esimerkki 2.6 (Tulosääntö) Olkoon f (x) = x /7 e 2x. Laske f (x). Ratkaisu. f (x) = /7x 6/7 e 2x + x /7 2e 2x. Esimerkki 2.7 (Osamääräsääntö) Olkoon f (x) = (5x 2 )/(6e x + 7x). Laske f (x). Ratkaisu. f (x) = 0x(6ex + 7x) 5x 2 (6e x + 7) (6e x + 7x) 2 (osamääräsääntö). 5
Esimerkki 2.8 (Osamääräsääntö) Olkoon f (x) = (2x 5 + 3)/(e x + 7). Laske f (x). Ratkaisu. f (x) = 60x4 (e x + 7) (2x 5 + 3)e x (e x + 7) 2. Esimerkki 2.9 (Ketjusääntö) Olkoon f (x) = 5x 6 ja g(x) = 6e 2x. Laske erivaatat funktioista f g ja g f ketjusäännön avulla. Ratkaisu. f (x) = 30x 5 ja g (x) = 2e 2x, joten ja x f (g(x)) = 30(6e2x ) 5 2e 2x x g( f (x)) = 2e0x6 30x 5 3 Korkeamman asteen erivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki erivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista erivaattaa pisteessä x merkitään f (x). Vastaavasti funktion n:ttä erivaattaa merkitään f (n) (x). Joskus funktion n:lle erivaatalle on mahollista löytää eksplisiittinen kaava. Tämä kaava löyetään erivoimalla funktio aluksi muutamaan kertaan, minkä jälkeen n:nen erivaatan kaavan voi usein arvata. Tämä arvaus sitten toistetaan inuktiolla, kuten alla olevassa esimerkissä: Esimerkki 3. (Korkeamman asteen erivaatan löytäminen) Toistetaan inuktiolla, että funktiolle e 0x pätee f (n) (x) = 0 n e 0x :. Väite pätee arvolla n =, koska f (x) = 0e 0x. 2. Oletetaan, että väite pätee arvolla n. Toistetaan inuktiolla, että tällöin se pätee myös arvolla n + : Inuktio-oletus on siis f n (x) = 0 n e 0x. Kun tämän erivoi kerran, saaaan f n+ (x) = 0 0 n e 0x = 0 n+ e 0x. Täten väite on tosi kaikilla n. 6