Matematiikan tukikurssi

Transkriptio

1 Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Integrointi Integrointi on erivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) erivaatta on f (x), niin funktion f (x) integraali on F(x). Täten, koska esimerkiksi funktion x 2 + e 2x erivaatta on 2x + 2e 2x, niin tämän funktion 2x + 2e 2x integraali on x 2 + e 2x. Tätä merkitään seuraavasti: 2x + 2e 2x x = x 2 + e 2x. Tässä ( )x tarkoittaa yksinkertaisesti että lauseke ( ) integroiaan. Se on yhtenäinen merkintä, jonka osat ja x eivät tarkoita yksinään varsinaisesti mitään, joskin x kertoo, että integrointi suoritetaan x:n suhteen. Vastaavasti ( )y tarkoittaa integrointia y:n suhteen. Vastaavasti huomataan esimerkiksi, että x 5 x = 6 x6, koska x 6 x6 = x 5. Integrointi on siis helppoa, jos osaat arvata, minkä funktion erivaatta tietty funktio on. Tavallaan siis osaat jo integroia, jos osaat erivoia. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen: myös funktio /6x on funktion x 5 integraalifunktio, koska funktion /6x erivaatta on x 5. Itse asiassa jos F(x) on funktion f (x) integraalifunktio eli x F(x) = f (x), niin myös funktio F(x) + C on funktion f (x) integraalifunktio millä tahansa vakion C arvolla, koska (F(x) + C) = f (x) + 0 = f (x). x Kun nyt puhutaan integroinnista, tarkoitetaan määräämättömän integraalin laskemista. Lisäksi on olemassa määrätty integraali. Näien kahen välinen ero selviää aikanaan.

2 Esimerkki (. Funktion ) 4x 2 kaikki integraalifunktiot ovat muotoa 4 3 x3 + C, koska x 43 x 3 + C = 4x 2. Koska integrointi on erivoinnin käänteistoimitus, niin jokaista erivoimissääntöä vastaa käänteinen integroimissääntö. Otetaan näistä esimerkkejä. Esimerkki 2. Potenssifunktion x n erivaatta on nx n. Täten x n x = n + xn+ + C. Eli koska potenssin erivoimissääntö kertoo, että potenssi tulee eteen kertoimeksi ja potenssi vähenee yhellä, kertoo vastaava integrointisääntö että potenssi kasvaa yhellä ja tämän yhellä kasvaneen potenssin käänteisluku tulee eteen kertoimeksi. Tästä seuraa esimerkiksi, että x 325 x = 326 x326 + C. Esimerkki 3. Tunnetusti logaritmin ln x erivaatta on /x. Täten x = ln x + C, x kun x > 0. Tähän mennessä käsitellyt integroinnit ovat olleet käytännössä melko suoraviivaisia. Hankalampia tehtäviä ovat usein erivoinnin ketjusääntöön perustuvat integroinnit. Derivoinnin ketjusääntöhän kertoo, että yhistetyn funktion f (g(x)) erivaatta on f (g(x))g (x). Eli ulkofunktion erivaatta (arvolla sisäfunktio g(x)) kertaa sisäfunktion erivaatta. Täten tämä sääntö kertoo meille esimerkiksi, että x (x2 + 6x) 20 = 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6). Täten luonnollisesti 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6)x = (x 2 + 6x) 20 + C, eli käytännössä tässäkään integroimissäännössä ei ole mitään uutta: se kertoo ainoastaan että f (g(x))g (x)x = f (g(x)) + C. Käytännössä vaikeaa on huomata, että lauseke 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6) on muotoa f (g(x))g (x). 2

3 Esimerkki 4. (3x 2 + 2)e x3 +2x+5 x = e x3 +2x+5 + C. Matemaattisen analyysin kurssilta muistuu mieleen myös, että logaritmin erivoimissääntöä ja ketjusääntöä voi yhistää erivoitaessa funktion f (x) logaritmia: x ln f (x) = f (x) f (x). Tässä pitää muistaa, että logaritmi on määritelty ainoastaan, kun f (x) > 0. Toisaalta jos f (x) < 0, niin silloin puolestaan ln( f (x)) on määritelty (koska tällöin f (x) > 0) ja x ln( f (x)) = f (x) f (x) = f (x) f (x). Täten funktion f (x) integrointi tuottaa tuloksen ln f (x) + C, jos f (x) on f (x) positiivinen, ja tuloksen ln( f (x)) + C, jos f (x) on negatiivinen. Nämä kaksi tapausta voi yhistää kätevästi kirjoittamalla, että f (x) x = ln f (x) + C, f (x) jossa f (x) voi olla negatiivinen tai positiivinen, kunhan f (x) = 0. Koska esimerkiksi x ln(x2 + 5x + ) = 2x + 5 x 2 + 5x +, niin vastaava integrointi kertoo täten, että 2x + 5 x 2 + 5x + x = ln x2 + 5x + + C. Eli jos tunnistat integroitavan funktion olevan muotoa f (x), niin integrointitehtävän vastaus on yksinkertaisesti ln f (x) + f (x) C. Esimerkki 5. Integroiaan nyt funktio 2x x 3 + x. 3

4 Tämä ei itse asiassa ole muotoa f (x)/ f (x), mutta sen huomataan olevan muotoa 4 f (x)/ f (x). Koska integrointi on lineaarinen operaatio 2, tämän lausekkeen integrointi voiaan suorittaa helposti siirtämällä kerroin 4 eteen: 2x x 3 + x x = 4 3x 2 + x 3 + x x = 4 ln x 3 + x. Tässä vaaitaan täyellisyyen vuoksi vielä ehto x 3 + x = 0. Huomaa, että integraalifunktio F(x) on aina erivoituva, koska määritelmän mukaan F (x) = f (x). Analyysin peruskurssilla osoitettiin, että erivoituva funktio on aina jatkuva. Tästä seuraa, että integraalifunktio on aina jatkuva. Tästä tuloksesta on apua, kun haetaan paloittain määriteltyjen funktioien integraaleja, kuten alla olevassa tehtävässä: Esimerkki 6. Etsitään funktion f (x) = { x 2, kun x 0 x, kun x < 0 integraalifunktio. Aluksi integroiaan funktio paloittain: funktion x 2 integraalifunktiot ovat muotoa 3 x3 + C ja funktion x integraalifunktiot ovat muotoa 2 x2 + C 2. Täten funkion f (x) integraalifunktiot F(x) ovat muotoa { 3 x 3 + C, kun x 0 F(x) = 2 x2 + C 2, kun x < 0. Tämän integraalifunktion pitää kuitenkin olla jatkuva, koska integraalifunktiot ovat aina jatkuvia. Tämä rajoittaa vakioien C ja C 2 arvoja. Jotta tuo integraalifunktio olisi jatkuva, on oltava että pisteessä x = 0 nuo kaksi palasta yhtyvät, eli 3 x3 + C = 2 x2 + C 2, kun x = 0. Tästä seuraa, että on oltava C = C 2. Täten halutut integraalifunktiot voiaan ilmaista muoossa: { 3 x 3 + C, kun x 0 F(x) = 2 x2 + C, kun x < 0. 2 Tämä tarkoittaa, että (a f (x) + bg(x))x = a f (x)x + b g(x)x. 4

5 Tässäkin esimerkissä tuloksena oli siis joukko integraalifunktioita: yksi integraalifunktio jokaista vakion C arvoa kohen. Käytännössä saaaan vain yksi ratkaisu, jos rajoitetaan funktion arvoa tietyssä pisteessä. Jos yllä olevassa esimerkissä vaaittaisiin vaikkapa, että F(3) = 0, niin silloin C = 0 eli C = 9. Tällöin saataisiin yksikäsitteinen integraalifunktio: F(x) = { 3 x 3 9, kun x 0 2 x 2 9, kun x < 0. Tämä ehto F(3) = 0 on esimerkki alkuarvosta, joita tullaan tapaamaan lisää esimerkiksi ifferentiaaliyhtälöien yhteyessä. 2 Osittaisintegrointi Matemaattisen analyysin peruskurssilla erivoitiin funktioita, jotka olivat kahen funktion tuloja: esimerkiksi funktio (2x 2 + 3x + )(e x + 4x) on funktioien 2x 2 + 3x + ja e x + 4x tulo. Tällainen funktio erivoitiin tulosäännöllä, joka menee seuraavasti: (2.) x ( f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Tällä kaavalla voiaan laskea esimerkiksi yllä olevan funktion erivaatta: ( ) (2x 2 + 3x + )(e x + 4x) = (4x + 3)(e x + 4x) + (2x 2 + 3x + )(e x + 4). x Derivoinnin tulosääntö eli yhtälö (2.) voiaan luonnollisesti integroia kummaltakin puolelta: x ( f (x)g(x)) x = f (x)g(x)x + f (x)g (x)x. Koska integrointi ja erivointi ovat toistensa käänteistoimituksia, yllä olevan yhtälön vasemmalla puolella nämä kaksi toimitusta kumoavat toisensa ja koko yhtälö saaaan seuraavaan muotoon: f (x)g(x) = f (x)g(x)x + f (x)g (x)x. Tästä yhtälöstä voiaan nyt vähentää kummaltakin puolelta termi f (x)g(x)x, 5

6 jolloin saaaan osittaisintegroinnin kaava: (2.2) f (x)g (x) = f (x)g(x) f (x)g(x)x. Eli: haluamme integroia funktion f (x)g (x). Jos tämä integrointi ei onnistu suoraan (esimerkiksi kappaleessa esitetyllä tavalla), voiaan kokeilla osittaisintegrointia. Tällöin lasketaan ensin funktion f (x) erivaatta f (x) ja funktion g (x) integraali g(x). Lopuksi lasketaan integraali f (x)g(x)x, minkä jälkeen haluttu integraali saaaan kaavasta (2.2). Esimerkki 7. Lasketaan integraali xe x x käyttämällä osittaisintegrointia. Ensinnä luonnollisesti laskettavan integraalin on oltava muotoa f (x)g (x)x. Esimerkin lauseke on tätä muotoa, kun xe x = f (x)g (x). Käytännössä saamme aina valita, kumpi osista x ja e x on f (x) ja kumpi on g (x). Tämä tehtävä ratkeaa ainoastaan, jos valitsemme nämä seuraavasti: f (x) = x g (x) = e x. Seuraava vaihe osittaisintegroinnissa on aina laskea funktiot f (x) ja g(x). Nämä on tällä kertaa helppo laskea: f (x) = g(x) = e x. Tällöin termi f (x)g(x) on yhtä kuin xe x. Tämän tehtävään sovellettuna osittaisintegroinnin kaava kertoo siis seuraavaa: f (x)g (x)x = f (x)g(x) f (x)g(x) xe x x = xe x e x x. 6

7 Koska tuo viimeinen termi e x x on yhtä kuin e x, on tehtävän ratkaisu seuraava: xe x x = xe x e x. Tämä on vielä hyvä varmistaa erivoimalla yllä olevan yhtälön oikea puoli (käytetään erivoinnin tulosääntöä): Eli tehtävän tulos pätee. x (xex e x ) = e x + xe x e x = xe x. Tässä esimerkissä huomasimme osittaisintegroinnin päävaiheet:. Valitaan kumpi integroitavan lausekkeen osista on f (x) ja kumpi on g (x). 2. Lasketaan f (x) ja g(x). 3. Lasketaan integraali f (x)g(x)x 4. Käytetään osittaisintegroinnin kaavaa. Tämä oli yksinkertainen osittaisintegrointitehtävä ja kaikki nämä vaiheet sujuivat vaivatta. Seuraavassa esimerkissä kohta 3 ei toimi suoraan, vaan osittaisintegrointia jouutaan soveltamaan useaan kertaan. Esimerkki 8. Lasketaan seuraavaksi integraali x 2 e x x. Valitaan funktiot seuraavasti: f (x) = x 2 ja g (x) = e x, jolloin f (x) = 2x ja g(x) = e x. Tällöin saaaan osittaisintegroinnin kaavaa käyttäen: x 2 e x x = x 2 e x 2xe x x. Tässä integraali 2xe x x 7

8 ei ole laskettavissa suoraan, mutta sekin voiaan laskea osittaisintegroinnilla, mikä oikeastaan tehtiinkin jo (vakiota 2 vaille) eellisessä esimerkissä: 2xe x x = 2 xe x x = 2(xe x e x ). x 2 e x x = x 2 e x 2xe x x = x 2 e x 2(xe x e x )x = x 2 e x 2xe x + 2e x x. Tämän esimerkin opetus on siis, että joskus osittaisintegrointia pitää soveltaa useamman kerran samassa tehtävässä. Seuraava esimerkki puolestaan kertoo, että joskus osittaisintegrointi vaatii hieman luovuutta funktioien f (x) ja g (x) valinnassa. Esimerkki 9. Lasketaan integraali ln xx. Tässä funktiot f (x) ja g (x) tuntuvat aluksi mahottomilta muoostaa, koska integraalin sisässä näyttää olevan vain yksi funktio: ln x. Pienellä luovuuella huomaamme kuitenkin että tämäkin lauseke voiaan esittää kahen funktion tulona: muoossa ln xx, jolloin voiaan valita f (x) = ln x ja g (x) =. Nyt f (x)g(x) = x ln x ja f (x)g(x)x = x x = x, x jolloin ln xx = x ln x x. Alla olevassa esimerkissä esiintyy kolmas tapaus, joka kohataan usein osittaisintegroitaessa: integrointi ei varsinaisesti tuota tulosta, mutta lopulta saaaan lauseke, josta integraali saaaan pääteltyä. 8

9 Esimerkki 0. Integroiaan nyt osittaisintegroinnilla e 2x sin xx. Valitaan f (x) = e 2x ja g (x) = sin x. Täten f (x) = 2e 2x ja g(x) = cos x (koska kosiinifunktion erivaatta on sin x), joten e 2x sin xx = e 2x cos x 2e 2x ( cos x) = e 2x cos x + 2 e 2x cos x Sovelletaan nyt osittaisintegrointia toiseen kertaan: nyt tuohon jälkimmäisen integraaliin e 2x cos x. Valitaan tässä f (x) = e 2x ja g (x) = cos x. Täten f (x) = 2e 2x ja g(x) = sin x ja yllä oleva lauseke saaaan seuraavaan muotoon: ( ) e 2x cos x + 2 e 2x cos xx = e 2x cos x + 2 e 2x sin x sin x(2e 2x x) = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 sin xe 2x x. Nyt huomataan, että tähän asti saatu tulos kertoo itse asiassa seuraavaa: e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 sin xe 2x x Tässä integraali yhtälön vasemmalla puolella on sama kuin yhtälön oikean puolen viimeinen termi, joten ne voiaan siirtää samalle puolelle. Tämän jälkeen integraali ratkeaa helposti: 5 e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x e 2x sin xx = ( ) e 2x cos x + 2e 2x sin x 5 sin xe 2x x Tiivisteenä: osittaisintegrointi on erivoinnin tulosäännön käänteistoimitus 3. Sitä kannattaa soveltaa silloin, kun f (x)g (x)x 3 Jos et muista tentissä osittaisintegroinnin kaavaa ulkoa, riittää että muistat tulon erivoimissäännön, jolloin voit johtaa osittaisintegraalin kaavan tästä. 9

10 on vaikea laskea, mutta f (x)g(x)x on helppo laskea. Kuten aina integroitaessa, voi osittaisintegroinninkin tuloksen tarkistaa erivoimalla saatu lauseke. 3 Osamurtohajotelma Usein integroitavana on rationaalifunktio eli funktio, joka on muotoa P(x) Q(x), jossa P(x) ja Q(x) ovat polynomeja. Tällainen rationaalifunktio on esimerkiksi x 5 + 3x + x 3 + 2x 2. Tässä kannattaa kiinnittää aluksi huomiota polynomien asteisiin: yllä osoittajan aste on 5 ja nimittäjän aste on 3. Polynomin aste on siis sen korkeimman potenssin aste. Rationaalifunktioien integraaleja laskettaessa on oleellista huomata ensiksi, onko osoittajan aste suurempi kuin nimittäjän aste. Yllä osoittajan aste on suurempi, kun taas funktion x 2 + 4x x 7 + 5x nimittäjän aste (eli 7) on suurempi kuin osoittajan aste (eli 2). Se onko osoittajan vai nimittäjän aste suurempi ratkaisee miten näitä integraaleja kannattaa laskea. Aluksi käsittelemme tapauksen, jossa nimittäjän asteluku on suurempi. Esimerkki tällaisesta funktiosta on (x 4)(x 2), jonka nimittäjän asteluku on kaksi, minkä voi nähä laskemalla nimittäjän lausekkeen auki. Tätä funktiota on kuitenkin mahotonta integroia suoraan. Oleellista tällaisessa tapauksessa on tutkia nimittäjän nollakohtia. Yllä olevalla funktiolla on kaksi erillistä nollakohtaa: x = 4 ja x 2 = 2. 0

11 Tällaisessa tapauksessa tuolle funktiolle voi tehä seuraavanlaisen osamurtohajotelman: (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2. Tässä A ja A 2 ovat vakioita, jotka pitää ratkaista. Käytännössä nämä ratkaistaan valitsemalla ne siten, että yllä olevan yhtälön vasen ja oikea puoli ovat samoja: (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2 = (x 2)A (x 2)(x 4) + (x 4)A 2 (x 4)(x 2) = (x 2)A + (x 4)A 2 (x 4)(x 2) = A x 2A + A 2 x 4A 2. (x 4)(x 2) Tästä voiaan nyt ratkaista A ja A 2 : täytyy päteä, että (x 4)(x 2) = A x 2A + A 2 x 4A 2 (x 4)(x 2) eli että = A x 2A + A 2 x 4A 2. Koska tällä vasemmalla puolella on pelkkä luku, eikä yhtään x:ää sisältävää termiä, niin on oltava että A x + A 2 x = 0 eli A + A 2 = 0. Toinen ehto, joka saaaan on 2A 4A 2 =. Kun nämä kaksi ehtoa yhistetään, saaaan ensimmäisestä ehosta, että A = A 2, jonka voi sijoittaa toiseen ehtoon ja ratkaista 2A 2 4A 2 = eli A 2 = /2, jolloin A = /2. Täten tuo tehtävän rationaalifunktio voiaan esittää muoossa (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2 = /2 x 4 /2 x 2. Nyt tämä oikea puoli on integroitavissa: /2 x 4 /2 x 2 x = /2 x 4 x /2 x 2 x = /2 ln x 4 /2 ln x 2 + C.

12 Täten tehtävän ratkaisu on x = /2 ln x 4 /2 ln x 2 + C. (x 4)(x 2) Yleisesti ottaen kun integroitavana on rationaalifunktio f (x) = P(x)/Q(x), jonka nimittäjän Q aste on suurempi kuin sen osoittajan P aste ja jonka nimittäjällä on erilliset nollakohat (Q(x) = a(x x )(x x 2 ) (x x n )) niin integraali saaaan ratkaistua jakamalla tehtävän funktio ensin osamurtoihin: P(x) Q(x) = A + A A n x x x x 2 x x n ja ratkaisemalla tästä vakiot A,..., A n. Tästä saaaan lopulta integroimalla ratkaisuksi P(x) Q(x) x = A ln x x + A 2 ln x x A n ln x x n + C Esimerkki. Halutaan laskea integraali x 2 x x. Nyt pitää aloittaa jakamalla nimittäjä tekijöihin, jolloin näemme sen nollakohat: x 2 x = x(x ). Eli nimittäjän nollakohat ovat selvästi 0 ja. Täten osamurtohajotelma on muotoa x(x ) = A x + A 2 x. Tästä voiaan ratkaista kertoimet A ja A 2 vanhaan malliin: x(x ) = A x + A 2 x = A (x ) x(x ) + A 2x x(x ) = A x A + A 2 x. x(x ) Jälleen ratkaistaan termit A ja A 2 asettamalla = A x A + A 2 x. Tästä seuraa heti, että A =. Tästä taas seuraa, että A 2 =. Täten x(x ) x = x x + x x = ln x x + ln x + C. 2

13 Toinen osamurtotapaus, jota käsittelemme, on tapaus jossa osoittajan asteluku on suurempi kuin nimittäjän asteluku. Tällainen funktio on esimerkiksi x 4 x 2 3x + 2. Tällainen polynomi pitää aluksi muokata eri muotoon esimerkiksi jakokulmassa. Alla tämä muokkaus kuitenkin suoritetaan hieman eri tavalla. Ieana on esittää osoittaja x 4 muoossa nimittäjä kertaa jokin luku plus jokin luku. Eli yleisesti ottaen haluamme esittää rationaalifunktion P(x)/Q(x) muoossa a(x)q(x) + b(x) Q(x) = a(x) + b(x) Q(x), jossa a(x) ja b(x) ovat polynomeja ja P(x) = a(x)q(x) + b(x). Ieana on, että osamäärä b(x) olisi muoossa, jossa nimittäjän asteluku olisi suurempi kuin osoittajan Q(x) asteluku. Funktion x 4 x 2 3x + 2 tapauksessa haluamme siis lisätä osoittajaan nimittäjän x 2 3x + 2 kerrottuna jollakin polynomilla. Koska osoittajassa on termi x 4, niin kerrotaan tämä nimittäjä termillä x 2, jolloin näien tulossa esiintyy termi x 4 : x 4 x 2 3x + 2 = x2 (x 2 3x + 2) + (3x 3 2x 2 ) x 2 3x + 2 = x 2 + 3x3 2x 2 x 2 3x + 2. Tuossa jälkimmäinen termi 3x 3 2x 2 valittiin siten, että pätee yhtäsuuruus x 4 = x 2 (x 2 3x + 2) + (3x 3 2x 2 ). Tämän jälkeen osoittajan tekijät jaettiin erikseen nimittäjällä. Saaussa funktiossa on kuitenkin eelleen tekijä (3x 3 2x 2 )/(x 2 3x + 2), jossa osoittajan aste ylittää nimittäjän asteen. Sovelletaan tähänkin samaa tekniikkaa: esitetään sen osoittaja nimittäjän kertoimen ja jäännöstermin avulla: 3x 3 2x 2 x 2 3x + 2 = 3x(x2 3x + 2) + (9x 2 6x) x 2 3x + 2 = 3x + 9x2 6x x 2 3x

14 Tässä valittiin jälleen nimittäjään kerroin 3x siten että osoittajan suurin termi 3x 3 saataisiin nimittäjän ja termin 3x kertoimena. Termi (9x 2 6x) valittiin siten, että pätisi 3x 3 2x 2 = 3x(x 2 3x + 2) + (9x 2 6x). Nyt olemme saaneet alkuperäisen funktion muotoon x 4 x 2 3x + 2 = x2 + 3x + 9x2 6x x 2 3x + 2. Muokataan vielä tämä viimeinen termi samalla taktiikalla kuntoon. Esitetään se muoossa 9x 2 6x x 2 3x + 2 = 9(x2 3x + 2) + (2x 8) x 2 3x + 2 2x 8 = 9 + x 2 3x + 2 Täten olemme saaneet muokattua alkuperäisen funktion muotoon x 4 x 2 3x + 2 = x2 + 3x x 8 x 2 3x + 2. Tämän viimeinen termi ei ole vieläkään integroitavissa, mutta ainakin se on tuttua tyyppiä, jossa nimittäjän asteluku ylittää osoittajan asteluvun. Lisäksi sen nimittäjä voiaan esittää tulomuoossa: x 2 3x + 2 = (x )(x 2), joten lauseke voiaan esittää osamurtoina: 2x 8 x 2 3x + 2 = A x + A 2 x 2. Tästä voiaan ratkaista vanhaan tapaan A = 3 ja A 2 = 24. Täten alkuperäinen funktio saaaan integroitua seuraavasti: x 4 x 2 3x + 2 x = x 2 + 3x x + 24 x 2 x = 3 x x2 + 9x 3 ln x + 24 ln x 2 + C. 4