Solmuteoriaa kombinatorisesti Solmut ja punokset Kalevala Koruissa

Solmuteoriaa kombinatorisesti Solmut ja punokset Kalevala Koruissa Pro gradu -tutkielma Sini Eronen 246553 Itä-Suomen yliopisto Toukokuu 2017

Tiivistelmä Tutkielmassa määritellään aluksi muutamia topologian peruskäsitteitä, kuten topologinen avaruus ja homeomorsmi. Tämän jälkeen solmut ja punokset määritellään avaruuden R 3 osajoukkona. Solmu K R 3 on homeomornen yksikköympyrän kanssa. Punos muodostuu vähintään kahdesta solmusta. Yksinkertaisin solmu on nimeltään triviaalisolmu ja yksinkertaisin punos on hopn renkaat. Tutkielmassa solmuja ja punoksia on tarkasteltu kombinatorisin keinoin, jolloin tarkastelu tapahtuu pääasiassa solmukaavioiden eli diagrammien avulla, jolloin solmut ja punokset on projisoitu kaksiulotteiseen tasoon. Täsmällisessä projektiossa on näkyvissä kaikki solmun tai punoksen risteyskohtien ylityskohdat. Kombinatorisiin keinoihin kuuluu Reidemeisterin siirrot, joiden avulla solmuja ja punoksia voidaan muokata. Työssä on lisäksi esitelty muutamia invariansseja, joiden avulla solmuja ja punoksia voidaan luokitella. Yksinkertaisimpia invariansseja ovat ristiinmenoluku, kietoutumisluku ja väritysinvarianssi. Solmuteorian päätavoitteisiin kuuluu erilaisten asioiden luokittelu. Tässä tutkielmassa luokiteltiin ja tutustuttiin tällä hetkellä voimassa olevaan Kalevala Koru mallistoon sekä muutamiin poistuneisiin malleihin matemaattisen solmuteorian näkökulmasta. Koruista löytyi paljon triviaaleja solmuja eli renkaita sekä suoraan että Reidemeisterin siirtojen jälkeen. Työssä on tarkasteltu tarkemmin muutamia koruja, joista muodostettiin projektiokuva tulkinta. Näin tarkasteltaessa koruista löydettiin muutama tunnettu solmu ja punos. Tässä tarkastelussa tulee esille myös solmuteorian keskeisin asia, eli samalla solmulla tai punoksella voi olla erilaiset projektiot.

Abstract In this thesis, I will review some basic concepts of topology like topological space and homeomorphism. Knots and links are dened as a subsets of points in space R 3. A knot K R 3 is homeomorphic to a unit circle. A link is a made up of at least two knots. The simplest knot is a trivial knot and the simplest link are hopf links. In this thesis, knots and links have been studied by combinatorial methods, especially by using knotdiagrams when knots and links are projected into two dimensional plane. Combinatorial methods include Reidemeister moves which can help to remodel knots and links. Further, I present some invariants like crossing number, linking number and colorable knots and links. Invariants can be used to classify knots and links. Primary aim of knot theory is to classify objects. In this thesis, I have classied Kalevala Jewelrys. The classication have been made to the existing collection and a few outdated models. As a result, I have found lots of trivial knots, or rings from jewelry. A few jewelry have also been studied with help of projections. In this way, I have found some famous knots and links. This review also shows one of the fundamental results in knot theory; the same knot may have dierent projections.

Sisältö Johdanto 1 1 Topologian perusteita 3 2 Solmuteorian perusteita 5 2.1 Solmut............................... 5 2.2 Punokset.............................. 8 3 Solmuteoria kombinatorisesti 10 3.1 Reidermeisterin siirrot...................... 10 3.2 Invarianssit............................ 12 3.2.1 Ristiinmenoluku ja kietoutumisluku........... 12 3.2.2 Solmujen ja punosten symmetria............ 15 3.2.3 Väritysinvarianssi..................... 16 4 Historiaa 18 5 Solmut ja punokset Kalevala Koruissa 20 5.1 Luokittelu............................. 20 5.2 Nykyiset mallit.......................... 21 5.3 Poistuneet mallit......................... 24 6 Yhteenveto 29 6.1 Tulosten pohdintaa........................ 29 6.2 Jatkotutkimusaiheita....................... 31 Viitteet 32

Johdanto Solmuteoria on monipuolinen, suhteellisen uusi matematiikan alue, joka tutkii solmuja ja niiden ominaisuuksia. Solmuteoria on mielenkiintoinen matematiikan alue, koska solmut ovat kaikille tuttuja arkipäiväisistä asioista. Toisaalta matemaattisesti solmuja tutkimalla päästään käyttämään ja soveltamaan haasteellisia matematiikan keinoja. Perinteisiä solmuteoriaan liittyviä ongelmia ovat, että ovatko jotkin kaksi solmua samat tai onko jokin solmu avautuva. Näihin kysymyksiin voidaan vastata myös ilman syvällisiä matemattisen solmuteorian keinoja, esimerkiksi muodostamalla solmut köydestä ja tutkimalla kokeellisesti niitä. Tällainen solmujen tutkiminen soveltuu hyvin myös lapsille, esimerkiksi koulussa. Matemaattisesti solmut määritellään topologisessa avaruudessa ja tutkiminen tapahtuu topologian keinoilla. Toinen mahdollisuus tutkia solmuja ja punoksia on kombinatoriset keinot, joita tässä tutkielmassa on käytetty. Solmuteorian tarkasteleminen kombinatorisin keinoin tapahtuu diagrammien eli projektioiden avulla, jolloin solmut on projisoitu kolmiulotteisesta avaruudesta kaksiulotteiseen tasoon. Kombinatorisia keinoja käyttämällä vältetään syvällisten matematiikan tulosten käyttäminen. Kombinatoriset keinot perustuvat diagrammien tulkintaan erilaisia havaintoja ja yksinkertaisia laskutoimituksia hyödyntäen. Tälläisia keinoja voidaan helposti käyttää myös koulumaailmassa solmujen tutkimiseen. Matemaattisen solmuteorian ajatellaan alkaneen 1800-luvun alkupuolella, jolloin Gauss tutki elektrodynamiikkaa ja myös määritteli kietoutumisluvun vuonna 1833. 50 vuotta myöhemmin joukko matemaatikkoja tutki solmujen ominaisuuksia enemmän, erityisesti solmujen risteyslukuja. Tällöin solmuja tutkitiin pääasiassa kombinatorisin keinoin ja diagrammien avulla. Tarkemmin solmuteorian historia on esitetty teoksissa [9] ja [5] sekä tämän tutkielman luvussa 4. Luvussa 4 on käsitelty erityisesti tässä tutkielmassa esiintyvien solmujen historiaa ja taustaa. Luvussa 1 on määritelty topologian peruskäsitteitä, joita tarvitaan myöhemmin. Luvussa 2 on määritelty solmu ja punos topologisesti. Solmuja ja punoksia tarkastellaan yleensä diagrammien avulla. Luvussa 2 on lisäksi määritelty täsmälliset projektiot, joiden avulla solmuja ja punoksia voidaan tarkemmin tutkia. Tutkielmassa esitellään muutamia yksinkertaisimpia ja tunnetumpia solmuja ja punoksia. Tässä tutkielmassa solmuteorian käsittely on rajattu solmuihin ja punoksiin. 1

Luvussa 3 tarkastellaan solmuteoriaa kombinatorisesti ja määritellään invariantteja, joiden avulla solmuja ja punoksia voidaan tarkastella ja luokitella. Tässä tutkielmassa on esitelty yksinkertaisimpia invariantteja, joiden avulla voidaan tutkia solmuja ja punoksia myös koulumaailmassa. Luvussa määritellään aluksi Reidemeisterin siirrot, jotka kuuluvat olennaisesti kombinatorisiin keinoihin. Invarianteista työssä on esitelty solmuille ristiinmenoluku ja punoksille kietoutumisluku. Lisäksi määritellään väritysinvariantti ja tutustutaan hieman solmujen ja punosten symmetriaan. Luvussa 5 on ensin esitelty miten luokittelu liittyy solmuteoriaan. Tässä työssä tutkimuksen kohteeksi on valittu Kalevala Korut, joihin on aluksi tehty yleiskatsaus solmuteorian näkökulmasta. Työssä on käsitelty tällä hetkellä mallistossa olevia koruja ja muutamia mallistosta poistuneita mielenkiintoisia Kalevala Koruja. Koruja on tarkasteltu eri invarienttien, kuten väritysinvariantin ja kietoutumisluvun avulla. Lisäksi muutamista koruista on tehty projektiotulkinta, jonka perusteella kyseisiä koruja on tarkemmin tarkasteltu. Luvussa 6 on tarkasteltu luvussa 5 esille nousseita tuloksia aiemmin tutkielmassa esitetyn teorian näkökulmasta sekä Kalevala Korujen muotokieltä. Lisäksi on hieman tarkasteltu didaktista matematiikkaa ja pohdittu soveltuisiko solmuteoria yliopistossa didaktisen matematiikan alle. Lopuksi on pohdittu mahdollisia jatkotutkimusaiheita. 2

1 Topologian perusteita Tässä kappaleessa määritellään topologian peruskäsitteitä. Lähteinä on käytetty teoksia [13] ja [14]. Määritelmä 1.1. Olkoot X joukko ja T kokoelma X:n osajoukkoja. Tällöin T on X:n topologia, mikäli seuraavat ehdot ovat voimassa: (T1) T sisältää jäsentensä mielivaltaiset yhdisteet. (T2) T sisältää jäsentensä äärelliset leikkaukset. (T3) T ja X T. Pari (X, T ) on topologinen avaruus, jatkossa topologisesta avaruudesta käytetään merkintänä pelkkää X:ää. Topologian T jäseniä kutsutaan avoimiksi joukoiksi, jolloin ehdot (T1)-(T3) voidaan kirjoittaa seuraavasti: (T1) Avointen joukkojen mielivaltainen yhdiste on avoin. (T2) Avointen joukkojen äärellinen leikkaus on avoin. (T3) ja X ovat avoimia. Topologinen avaruus (X, T ) on Hausdorn avaruus, jos sen kaikilla eri pisteillä on erilliset ympäristöt. Toisin sanoen, jos x ja y X ja x y, niin on olemassa avoimet joukot U ja V X siten, että x U, y V ja U V =. Määritelmä 1.2. Oletetaan, että X ja Y ovat topologisia avaruuksia. Kuvaus f : X Y on homeomorsmi, jos (i) f on bijektio. (ii) f on jatkuva. (iii) f 1 : Y X on jatkuva. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f : X Y on homeomorsmi. Jatkossa merkitään X Y, jos avaruudet X ja Y ovat homeomorset. Jatkossa käytetään merkintää I = [0, 1]. Määritelmä 1.3. Olkoot f, g : X Y jatkuvia kuvauksia. Tällöin f on homotooppinen g:n kanssa, jos on olemassa jatkuva kuvaus h : X I Y siten, että h(x, 0) = f(x) ja h(x, 1) = g(x) kaikilla x X. Kuvausta h kutsutaan homotopiaksi ja merkitään f g tai h : f g. 3

Määritelmä 1.4. Olkoot X ja Y Hausdorn avaruuksia. Kuvaus f : X Y on upotus, jos f : X f(x) on homeomorsmi. Määritelmä 1.5. Kaksi upotusta, f, f 1 : X Y ovat isotooppiset, jos on olemassa upotus F : X I Y I siten, että F (x, t) = (f(x, t), t), x X ja t I. Jolloin f(x, 0) = f(x) ja f(x, 1) = f 1 (x). Määritelmä 1.6. Relaatio R X X on ekvivalenssirelaatio joukossa X, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikilla x, y ja z X (E1) (reeksiivisyys) xrx (E2) (symmetrisyys) xry yrx (E3) (transitiivisuus) xryrz xrz. 4

2 Solmuteorian perusteita Tässä kappaleessa määritellään solmut ja punokset sekä muutamia niiden ominaisuuksia. Määrittely tehdään topologisesti, vaikka jatkossa solmuja ja punoksia tarkastellaan pääasiassa kombinatorisesti. 2.1 Solmut Määritellään solmu avaruuden R 3 osajoukkona. Määritelmä 2.1. Olkoon S 1 yksikköympyrä. Tällöin K R 3 on solmu, jos on olemassa homeomorsmi K S 1. [3] Esimerkki 2.2. Yksinkertaisin solmu on nimeltään triviaalisolmu (trivial knot/unknot). Triviaalisolmu on yksikköympyrä eli se on siis homeomornen ympyrän kanssa. Kuva 1: Triviaalisolmu Huomautus 2.3. Kaikki solmut ovat isotooppisia triviaalisolmun kanssa. Solmussa olevat solmut voidaan kiristää tiukalle, jolloin renkaassa olevan solmun voidaan ajatella häviävän, tällöin muodostuu triviaalisolmu. Lisäksi kaikki solmut voidaan muodostaa triviaalisolmusta katkomalla ja uudelleen yhdistämällä, jolloin ne ovat myös isotooppisia triviaalisolmun kanssa. [3] Seuraavaksi tarkastellaan topologisesta näkökulmasta ovatko kaksi solmua K 1 ja K 2 samat. Määritelmä 2.4. Kaksi solmua K 1 ja K 2 ovat ekvivalentit, jos on olemassa homeomorsmi R 3 R 3 siten, että fk 1 = K 2. [4] Kaksi solmua ovat ekvivalentit, jos ne voidaan muuttaa toisikseen. 5

Tässä työssä solmut esitetään solmukaavioiden eli diagrammien avulla, jolloin solmut on projisoitu kaksiuloitteiseen tasoon ja niitä on yleensä helpompi tarkastella. Seuraavien määritelmien avulla solmuille saadaan täsmälliset projektiot. Määritelmä 2.5. Olkoon K R 3 solmu ja p : R 3 R 2 projektiokuvaus. Piste x p(k) on tasainen, jos p 1 (x) on yksi piste. Toisin sanoen piste on myös singulaarinen, jolloin kyseisen solmun sanotaan olevan singulaarinen solmu. Jos p 1 (x) = 2 niin kutsutaan, että x on kaksoispiste, mikä tarkoittaa, että pisteessä on näkyvissä ylistyskohta. [3] Kuva 2: Vasemmalla ensimmäisenä on esitetty kolmiuloitteinen solmu ja keskellä siitä muodostettu projektio. Oikealla on singulaarinen solmu, jossa risteyskohtien ylityskohdat eivät ole näkyvissä. [3] Seuraavassa määritelmässä solmun ajatellaan muodostuvan murtoviivoista. [10] Määritelmä 2.6. Solmun projektiota kutsutaan tarkaksi projektioksi, jos (1) murtoviivan kaksi kärkeä eivät koskaan projisoidu samaksi pisteeksi (2) mikään kärki ei satu minkään särmän projektiolle (3) kolme (tai useampi) pistettä ei koskaan projisoidu samaksi pisteeksi. [10] 6

Kuva 3: Vasemmalla on esitetty tarkka, tasainen projektio ja oikella olevan solmuprojektio ei ole tarkka. [10] Esimerkki 2.7. Toiseksi yksinkertaisin solmu on apilasolmu (trefoil), jossa on kolme risteyskohtaa. Apilasolmu voi olla vasenkätinen tai oikeakätinen, tällöin solmut ovat toistensa peilikuvia. Kuva 4: Vasenkätinen apilasolmu ja oikeakätinen apilasolmu. [16] Apilasolmu on niin kutsuttu umpisolmu, jota käytetään useissa eri käyttötarkoituksissa. Lisäksi liittämällä kaksi apilasolmua voidaan muodostaa muita yleisiä solmuja, kuten isoäidin solmu (granny knot) tai neliösolmu (square knot). Isoäidin solmu on muodostunut kahdesta vasenkätisestä apilasolmusta ja neliösolmu on muodostunut vasenkätisestä ja oikeakätisestä apilasolmusta. [3] Kuva 5: Isoäidin solmu ja neliösolmu. [3] Solmut voivat olla suunnistettuja, jolloin solmuilla on tietty kiertosuunta mihin suuntaan niitä kierretään. Tällöin kiertosuunta on merkitty solmuun 7

nuolilla. Tässä tutkielmassa solmujen kätisyydellä tai suuntaamattomuudella ei ole merkitystä. Tässä työssä tarkasteltavat solmut ovat paloittain lineaarisia. Tämä tarkoittaa sitä, että solmu on suljettu ja jatkuva käyrä, joka koostuu ääreellisestä määrästä janoja. Solmu on kesy, jos se on ekvivalentti paloittain lineaarisen solmun kanssa, muuten solmu on villi. Lähes kaikki solmuteorian tuloksista pätevät vain kesyille solmuille. [4] Kuva 6: Esimerkkejä villeistä solmuista. [10] 2.2 Punokset Tässä työssä tarkastellaan myös sellaisia kuvioita, joissa on useampi kuin yksi solmu. Seuraavaksi määritellään punos, joka koostuu vähintään kahdesta solmusta. Määritelmä 2.8. Punos (Link) L on solmujen unioni: L = K 1 K n, missä K i, i = 1, 2,..., n on punoksen komponentti. Esimerkki 2.9. Yksinkertaisin punos on hopn renkaat (hopf link). Hopn renkaat koostuu kahdesta renkaasta, jotka ovat toisissaan kiinni mahdollisimman yksinkertaisella tavalla eli vain yhdestä kohtaa. Kuva 7: Hopn renkaat 8

Esimerkki 2.10. Eräs tunnetuin punos on borromean renkaat (borromean rings). Se muodostuu kolmesta renkaasta, jotka ovat liittyneet toisiinsa siten, että jos yhden renkaan poistaa, niin punos hajoaa. Tällaista punosta kutsutaan Brunnianin punokseksi. [1] Kuva 8: Borromean renkaat Topologisesti tarkasteltaessa punoksille pätee sama ekvivalentin määritelmä kuin solmuille Määritelmä 2.4. Määritelmä 2.11. Kaksi punosta L 1 ja L 2 ovat ekvivalentit, jos on olemassa homeomorsmi R 3 R 3 siten, että fl 1 = L 2. 9

3 Solmuteoria kombinatorisesti Tässä kappaleessa tarkatellaan solmuteoriaa kombinatorisesti. Kombinatorinen tarkastelu tapahtuu yleensä solmuprojektioiden eli diagrammien avulla. Kombinatorinen tarkastelu vaatii usein abstraktia ajattelukykyä ja vaihtoehtoisten näkökulmien tarkastelua, mutta tarjoaa myös oivalluksia. [7] 3.1 Reidermeisterin siirrot Solmudiagrammeja voidaan muokata taivuttamalla ja venyttämällä, kuitenkin niin, että ylimenokohtien lukumäärää ja keskinäistä asemaa ei muuteta. Seuraavaksi määritellään siirrot, joiden avulla solmuja voidaan muokata siten, että solmujen isotopia ei muutu. Määritelmä 3.1. (Reidemeister moves) Kaksi solmudiagrammia ovat ekvivalentit, jos ne ovat yhtenevät äärellisellä määrällä Reidemeisterin siirtoja Ω i, i = 1, 2, 3. Kuvassa 9 on esitetty siirrot. Kuva 9: Reidemeisterin siirrot [10] Sanallisesti Reidemeisterin siirrot voidaan kuvata seuraavasti: (Ω 1 ) Pienen silmukan luominen tai hävittäminen (Ω 2 ) Parittaisten ylimenokohtien luominen tai hävittäminen (Ω 3 ) Kolmannen langan kuljettaminen kahden langan muodostaman ylimenokohdan yli. [2] Kahden solmun tai punoksen voidaan todeta olevan ekvivalentit myös kombinatorisesti ilman topologian keinoja. 10

Teoreema 3.2. Kaksi solmua (tai punosta) ovat ekvivalentit jos ja vain jos niiden projektiot saadaan toisistaan Reidemeisterin siirroilla. Todistus. Tarkastellaan teoreemaa Määritelmän 2.5 ja tasaisen solmun määritelmän 2.6 avulla. Teoreeman täsmällinen todistus on matemaattisesti haasteellinen, joten alla on esitetty luonnos todistuksesta. Oletetaan, että solmut K ja J ovat ekvivalentit solmut, ja niillä on tarkat projektiot. Solmujen projektioita voidaan kiertää hieman, jolloin varmistetaan, että Määritelmän 2.6 (1)-kohta on voimassa. Tämän jälkeen tarkastelun kohteen ovat Määritelmän 2.6 kohdat (2)-(3), jotka ovat Reidemeisterin siirtojen kanssa vastaavia. Projektioita tutkitaan risteyskohta kerrallaan ja sovelletaan siihen Reidemeisterin siirtoja, jos solmujen projektiot ovat siirtojen jälkeen ekvivalentit niin solmut ovat ekvivalentit. Jos projektiot eivät ole ekvivalentit, sovelletaan toista Reidemeisterin siirtoa tai siirrytään seuraavaan risteyskohtaan. Näin toimimalla ei välttämättä kuitenkaan löydetä ekvivalentteja projektioita, joten tarkastellaan tarkemmin Reidemeisterin siirtojen ominaisuuksia. Kun tutkitaan solmujen yhtenevyyttä on pyrkimyksenä muokata projektiot mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Reidemeisterin siirrot Ω 1 ja Ω 2 tilanteesta riippuen vähentää tai muodostaa uusia risteyskohtia, joten siirtoja tulee käyttää risteyskohtien vähentämiseen. Reidemeisterin siirtoa Ω 3 voidaan käyttää vapaammin, kuitenkin niin, että ei loputtomasti toisteta samaa siirtoa. Näiden siirtojen avulla solmujen projektiot tulisi saada samanlaisiksi, kuitenkin välillä solmujen risteyskohtia saatetaan joutua lisäämään, ennenkuin solmu aukeaa. Tuloksena on joko triviaalisolmu tai solmu, johon ei voi enää soveltaa Reidemeisterin siirtoja. Näin ollen monimutkaisempien solmujen ekvivalenttius on vaikeasti todistettavissa Reidemeisterin siirtojen avulla. [10] 11

Esimerkki 3.3. Alla olevassa kuvassa on esimerkki siitä, miten solmua voidaan Reidemeisterin siirtojen avulla muokata triviaalisolmuksi. Ensin Ω 2 siirrolla on hävitetty parittainen ylimenokohta, jonka jälkeen Ω 3 siirron nojalla kolmas lanka on kuljetettu kahden langan muodostaman ylimenokohdan yli. Tämän jälkeen on uudelleen käytetty Ω 2 siirtoa ylimenokohtien hävittämiseen. Lopuksi pieni silmukka on hävitetty Ω 1 siirrolla ja lopulta siirrolla Ω 2 solmu on saatu triviaalisolmuksi. Kuva 10: Solmun muokkaaminen Reidemeisterin siirtojen avulla. [10] 3.2 Invarianssit Invariattien avulla voidaan luokitella ja tutkia solmuja ja punoksia. Seuraavaksi on tarkasteltu muutamia invariantteja, joiden avulla voidaan luokitella tarkasteltavia solmuja ja punoksia. 3.2.1 Ristiinmenoluku ja kietoutumisluku Yksinkertaisimpia tapoja luokitella solmuja ja punoksia on tutkimalla risteyskohdissa olevien ylityskohtien lukumääriä. Määritelmä 3.4. Olkoon D solmun K diagrammi. Ristiinmenoluku (crossing number) c(k) on pienin luku, mitä solmussa K esiintyy risteyksiä: c(k) = min{c(d)}. 12

Yleensä ristiinmenoluvun määrittäminen on haasteellista, koska solmu täytyy ensin muokata reidemeisterin siirtojen avulla mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Monimutkaisemmissa solmuissa yksinkertaisimman muodon määritteminen on vaikeaa, mutta yksinkertaisimpien solmujen luokitteluun ristiinmenolukua voidaan käyttää. [1] Esimerkki 3.5. Alla olevassa taulukossa on esitetty kaikki solmut, joiden ristiinmenoluku on enintään seitsemän. Kuva 11: Solmut, joiden ristiinmenoluku on enintään seitsemän. [16] Esimerkiksi, jos solmun ristiinmenoluku on 6, niin on olemassa kolme erilaista solmua, joilla on sama ristiinmenoluku. Kuvan 11 taulukossa solmut on merkitty siten, että kantaluku kertoo solmun ristiinmenoluvun ja alaindeksi, sen kuinka monta erilaista solmua samalla ristiinmenoluvulla on olemassa. Seuraavaksi määritellään punoksille vastaavanlainen luokittelukeino. Tämä luokittelu vaatii suunnistetun punoksen, jota varten määritellään ensin seuraavat risteyksen merkit. 13

Määritelmä 3.6. Olkoon D punoksen L diagrammi, jolloin risteyksen c merkki määritellään seuraavasti, { +1 jos c on positiivinen risteys, ε(c) = 1 jos c on negatiivinen risteys. Kuva 12: Risteysmerkit, vasemmalla positiivinen risteys ja oikealla negatiivinen risteys. Määritelmä 3.7. Olkoon D suunnattu diagrammi kahden solmun punokselle, K 1 K 2. Ja määritellään, että D 1 ja D 2 ovat vastaavien solmujen diagrammit. Nyt tarkastellaan leikkausta D 1 D 2, jolloin kietoutumisluku (linking number) on lk(d 1, D 2 ) = 1 ε(c). 2 c D 1 D 2 Kietoutumisluvussa siis tarkastellaan kahden solmun välisiä risteyksiä, eikä yhden solmun itsensä kanssa muodostamia risteyksiä. [3] Esimerkki 3.8. Määritetään kahden solmun muodostaman punoksen, whiteheadin punoksen kietoutumisluku. Määritelmän 3.6 mukaan alla olevaan kuvaan on merkitty risteysmerkit. Määritelmän 3.7 mukaan kietoutumisluvuksi saadaan, lk = 1 ( 1 1 + 1 + 1) = 0. 2 Kuva 13: Whiteheadin punos 14

3.2.2 Solmujen ja punosten symmetria Solmujen ja punosten diagrammeja voidaan tutkia symmetrian avulla. Diagrammit voivat näyttää symmetrisiltä ja ne diagrammit, jotka eivät näytä symmetrisille liitty usein diagrammin asentoon eikä itse solmuun tai punokseen. Symmetrian löytäminen voi olla haasteellista, on kuitenkin olemassa keinoja, joiden avulla solmujen ja punosten symmetrioita voidaan tutkia. Symmetrioiden löytämiseen voidaan käyttää seuraavaa aputulosta, joka on saatu Määritelmää 2.4 soveltaen. Lemma 3.9. Olkoot K solmu ja K 1 sen peilikuva. Solmu K on akiraalinen jos ja vain jos on olemassa suunnan säilyttävä homeomorsmi R 3 R 3 siten, että fk = K 1. Muuten solmu K on kiraalinen. [4] Akiraalisuus tarkoittaa sitä, että solmun erikätiset muodot ovat peilikuvia. Jos solmun erikätisiä muotoja ei voida muuttaa toisikseen niin solmu on kiraalinen. Solmujen akiraalisuutta voidaan tarkastella helposti diagrammien avulla kokeellisesti, kuten seuraavassa esimerkissä. Syvällisempi tarkastelu vaatisi enemmän solmuteorian tekniikoita, kuin tässä tutkielmassa on esitetty. Solmujen akiraalisuudesta päästään edelleen siihen, että onko solmu symmetrinen. Tarkemmin asiaa on tarkasteltu esimerkiksi teoksessa [4]. Esimerkki 3.10. Kokeellisesti tarkasteltaessa voidaan esimerkiksi köydestä tehdä vastaava solmu ja kokeilla saadaanko sitä muokkaamalla solmun peilikuva. Alla olevassa kuvassa on näytetty, että kasisolmu on akiraalinen. Kuva 14: Kasisolmun kääntyminen [4] Tässä tutkielmassa solmuista ja punoksista löytyviä symmetrioita tarkastellaan vain visuaalisesti. 15

3.2.3 Väritysinvarianssi Yksinkertainen tapa tarkastella solmuja ja punoksia on väritysinvariantti, joka perustuu siihen, että diagrammin kaaria väritetään eri väreillä. Määritelmä 3.11. Diagrammia kutsutaan värittyväksi, jos jokainen kaari voidaan värittää siten, että (1) käytetään vähintään kahta väriä, (2) risteykset, joissa on kolme eri kaarta, ovat kaikki samanvärisiä tai kaikki erivärisiä. [7] Esimerkki 3.12. Tutkitaan onko whiteheadin punos värittyvä. Väritetään punoksen kaaria kolmella värillä esimerkiksi sininen, punainen ja vihreä. Punoksen kaaria ei voida värittää niin, että kaikissa risteyksissä olisi kolmea eri väriä. Siis Whiteheadin punos ei ole värittyvä. Kuva 15: Whiteheadin punos Huomautus 3.13. Triviaalisolmu ei ole värittyvä, koska sen diagrammia ei voida värittää, kuin yhdellä värillä. Teoreema 3.14. Jos solmun tai punoksen diagrammi on värittyvä, niin jokainen kyseisen solmun/punoksen diagrammi on värittyvä. [7] Todistus. Riittää näyttää, että jos värittyvä diagrammi on myös Reidemeisterin siirtojen jälkeen värittyvä, niin silloin jokainen diagrammi on värittyvä. Reidemeisterin siirtoja on yhteensä kuusi, kun otetaan huomioon kaikki variaatiot. Tässä todistuksessa on esitetty yhden Reidemeisterin siirron todistus, koska kaikki muut kohdat voidaan todistaa helposti vastaavalla tavalla. 16

Todistetaan Reidemeisterin siirto Ω 2 :n, parittaisen ylimenokohdan hävittäminen. Todistuksessa siirron ajatellaan olevan osa jotakin solmua. Väritetään ensin solmu, jossa on parittainen ylimenokohta kahdella värillä. Tarvitaan myös kolmas väri, jolloin saadaan, että solmu on värittyvä. Siis solmu täyttää värittyvän solmun Määritelmän 3.11 ehdot (1) ja (2). Seuraavaksi suoritetaan Reidemeisterin siirto, jolloin parittainen ylimenokohta häviää. Väritetään uusi solmu, ensin kahdella värillä, jolloin kaikki kaaret on väritetty ja solmu on värittyvä. Kolmatta väriä ei tarvita, koska solmussa ei ole risteyksiä. Kuva 16: Parittaisen ylimenokohdan hävittäminen Edellä esitetyssä väritysinvariantissa on käytetty kolmea väriä, jolloin voidaan myös sanoa, että kyseinen solmu on kolmivärittyvä. Väritysinvarianssi voidaan yleistää modulon eli jakojäännöksen avulla. Tällöin voidaan valita mielivaltainen määrä värejä ja määrittää onko solmu värittyvä niiden värien suhteen. Esimerkiksi teoksessa [7] on esitetty teoriaa tarkemmin. 17

4 Historiaa Tässä kappaleessa tutustutaan solmuteorian historiaan, erityisesti tässä tutkielmassa esiintyviin käsitteisiin ja ilmiöihin. Lähteinä on käytetty teoksia [5] ja [10]. Ranskalainen Alexander-Théophile Vandermonde oli ensimmäinen matemaatikko, joka kiinnostui solmuista niiden topologisten ominaisuuksien takia. Vuonna 1771 Vandermonde tarkasteli käsityöläisten tekemiä verkkoja, lettejä ja solmuja. Hän korosti, että on tärkeää tarkastella missä asennossa solmut ovat ja kuinka langat ovat kietoutuneet toisiinsa. 1800-luvun alkupuolella saksalainen Carl Friedrich Gauss oli ensimmäinen, joka tutki solmuja matemaattisina olioina. Gauss määritteli integraalin avulla kietoutumisluvun (linking number) vuonna 1833. Johann Benedict Listing oli Gaussin oppilas ja jatkoi Gaussin aloittamaa tutkimusta solmuista. Listing oli ensimmäinen joka käytti sanaa "topologia" teoksissaan ja hän esitti solmuja tasossa niiden projektioiden eli diagrammien avulla. Listing yritti saada selville ja luokitella kaikkien sellaisten solmujen projektiot, joissa oli enintään seitsemän risteyskohtaa. Listing määritteli solmuille ristiinmenoluvun ja hänen mukaansa on nimetty kasisolmu (gure-eight knot), Listingin solmu (Listing knot). Listing osoitti, että kasisolmu on samanlainen sen peilikuvan kanssa. Listing huomasi myös, että oikeakätinen apilasolmu on erilainen vasenkätisen apilasolmun kanssa. Kuva 17: Kasisolmu [3] 1860-luvulla englantilainen William Thomson (Lordi Kelvin) kiinnostui solmujen luokittelusta kemian näkökulmasta. Thomson oli fyysikko, jonka mukaan atomit olivat pieniä solmuja ja julkaisi oman atomimallinsa, nimeltään 18

"vortex teoria"(vortex theory). Thomson uskoi, että molekyylit muodostuivat toisiinsa liittyneistä solmuista eli muodostivat punoksia. Tähän teoriaan uskottiin niin kauan kunnes jaksollinen järjestelmä keksittiin. Thomsonin vortex teorian innoittamana matemaatikko Peter Guthrie Tait kiinnostui solmuteoriasta. Tait luokitteli yhdessä englantilaisen Thomas Penyngton Kirkmannin kanssa kaikki alternoivat solmut, joiden risteysluku on 10. He luokittelivat solmut "Taitin konjektuurien"avulla, jotka on vasta myöhemmin todistettu. Vuonna 1899 amerikkalainen Charles N. Little luokitteli myös ei-alternoivat solmut, joiden risteysluku on enintään 10. Seuraavia merkittäviä kehityksiä solmujen luokittelussa tapahtui vasta 1982, jolloin luokiteltiin solmut risteyslukuun 11 asti. Tämän jälkeen tietokoneet yleistyivät, joten solmujen tutkiminen helpottui huomattavasti. Vuoteen 1998 mennessä oli löydetty kaikki risteyslukua 16 olevat solmut, joita on yli 1,7 miljoonaa solmua. Kaikkien tästä suurempien risteyslukujen omaavien solmujen löytäminen on haasteellista, jopa tietokone avusteisesti. 19

5 Solmut ja punokset Kalevala Koruissa Tässä luvussa tutustutaan ja luokitellaan Kalevala Koruja solmuteorian näkökulmasta. Lisäksi koruja on tutkittu siten, että jos niihin tehdään pieniä muutoksia niin millaisia solmuja tai punoksia saadaan aikaan. 5.1 Luokittelu Matemaattisen solmuteorian päätavoitteisiin kuuluu erilaisten tarkastelun kohteena olevien asioiden luokittelu. Luokittelu on asioiden listaamista tiettyjen ominaisuuksien mukaan. Luokittelua varten muodostetaan yleensä algoritmi, jonka avulla kaikki mahdolliset variaatiot saadaan luokiteltua. Haasteena on, että luokittelussa voi tulla päällekkäisyyksiä, jolloin ekvivalenttien solmujen ja punosten havaitseminen on vaikeaa. Solmujen ja punosten luokittelua helpottaa, jos käytetään kyllä-ei-kysymyksiä. Esimerkiksi onko jokin solmu triviaalisolmu tai ovatko kaksi solmua ekvivalentit keskenään? Luokittelua helpottaa, jos solmu on esitetty diagrammina ja sitä voidaan käännellä. [3] Kalevala Koruja tutkittaessa koruissa esiintyvistä solmuista ja punoksista ei ole olemassa diagrammeja. Joistakin koruista on olemassa 3D-mallinus, jossa korua voi pyöritellä ja siten saa paremman käsityksen korusta. Tässä tutkielmassa luokitteluun on käytetty tällä hetkellä voimassa olevaa Kalevala Koru mallistoa. Lisäksi on nostettu esiin solmuteorian näkökulmasta muutamia mielenkiintoisia poistuneita malleja. [15] Kalevala Korun mallistossa on tällä hetkellä reilut 80 erilaista korumallia. Yhdestä korumallista voi olla olemassa esimerkiksi kaulakoru, rannekoru ja korvakorut. Tässä tutkielmassa nämä ajatellaan yhdeksi korumalliksi, koska eri korutyypeissä on samoja piirteitä solmuteorian näkökulmasta. Korumalleihin ei ole otettu mukaan sormuksia, muutamia poikkeuksia lukuunottamatta, jotka on erikseen esitelty. 20

5.2 Nykyiset mallit Useissa Kalevala Korun nykyisissä malleissa ei ole matemaattisen solmuteorian näkökulmasta mielenkiintoisia piirteitä. Tällaisia korumalleja on noin 40-50. Näissä koruissa teemana on erityisesti luonto. Kuvassa 18 on esitetty muutamia tällaisia malleja. Kuva 18: Ylhäällä vasemmalla Siivet, ylhäällä oikella Kielo, alhaalla vasemmalla Plise ja alhaalla oikealla Opus. [15] Solmuteorian näkökulmasta nykyisissä Kalevala Koruissa noin 20 esiintyy solmujen tai punosten piirteitä. Monissa koruissa esiintyy renkaita eli triviaaleja solmuja. Triviaaleja solmuja esiintyy suoraan ilman, että solmuja tarvitsee muokata Reidemeisterin siirroilla. Kuva 19: Ylhäällä vasemmalla Valoisa, ylhäällä oikella Kosmos ja alhaalla Korona. [15] 21

Kuvasta 19 huomataan, että osassa koruista, joiden ajatellaan olevan triviaaleja solmuja, esiintyy korussa erilaisia pintastruktuureja. Matemaattisesti tarkasteltaessa sillä ei ole merkitystä tässä tutkielmassa. Lisäksi on olemassa koruja, joista selvästi syntyy triviaalisolmu Reidemeisterin siirtoja soveltamalla. Esimerkiksi Hannunvaakuna-korun solmusta saadaan triviaalisolmu Reidemeisterin siirtoa Ω 1 käyttämällä. Kosketus-korussa on havaittavissa solmulle ominaisia piirteitä, on kuitenkin haasteellista osoittaa, että kysessä olisi triviaalisolmu tai jokin muu tunnettu solmu ilman solmudiagrammia. Kuva 20: Vasemmalla Hannunvaakuna ja oikealla Kosketus. [15] Kaikkien perinteisten sormusten voidaan ajatella triviaaleja solmuja. Kalevala Koruissa esiintyy kaksi erikoisempaa sormusta, jotka on esitetty alla olevassa kuvassa. Vanamo-sormus on kiertynyt yhdestä suljetusta jatkuvasta käyrästä. 3D-mallinusta pyörittelemällä voidaan havaita, että sormus aukeaa triviaaliksi solmuksi. Käärmesormus on selkeästi muodostunut ei-jatkuvasta käyrästä, joka on kiertynyt spiraaliksi. Se ei siis täytä solmun määritelmää. Kuva 21: Vasemmalla Vanamo ja oikealla Käärmesormus. [15] Kalevala Koruissa esiintyy myös punoksia. Yksinkertaisimpia ovat sellaiset 22

koruja, joissa triviaalisolmut ovat liittyneet toisiinsa mahdollisimman yksinkertaisella tavalla. Esimerkiksi Astro-korussa on liittynyt kolme rengasta punokseksi. Sooda-korussa näyttäisi myös olevan punos, mutta siinä renkaat ovat liittyneet reunoistaan yhteen, joten solmuteorian näkökulmasta siinä on triviaalisolmuja vierekkäin. Kuva 22: Vasemmalla Astro ja oikealla Sooda. [15] Useissa koruissa on havaittavissa singulaarisen solmun piirteitä, eli solmun risteyksien ylityskohdat eivät ole näkyvissä. Osa tällaisista koruista on kuitenkin vaikea luokitella solmuiksi, esimerkiski Mimosan hetki-koru. Kalevala Koruissa singulaarisia solmuja esiintyy noin 10 eri korumallissa. Kuva 23: Vasemmalla Sydänystävä ja oikealla Mimosan hetki. [15] Kalevala Korun nykymallistossa on muutamia pitkään mallistossa olleita koruja, joissa on solmuteorian kannalta mielenkiintoisia piirteitä. [6] Iku-Tursorannekoru on symmetrinen ja siinä nähdään selkeästi risteyksien ylityskoh- 23

dat. Korun solmu ei ole suljettu ja jatkuva käyrä, joten se ei toteuta solmun määritelmää. Viikinkiaikaisessa soljessa on myös selkeästi nähtävissä risteyksien ylityskohdat. Helposti on kuitenkin nähtävissä, että koru muodostuu useista ei-jatkuvista käyristä, joten se ei ole solmu tai punos. Kuva 24: Vasemmalla Iku-Turso-rannekoru ja oikealla Viikinkiaikainen solki. [15] 5.3 Poistuneet mallit Solmuteorian näkökulmasta Kalevala Korun poistuneissa malleissa on useita mielenkiintoisia koruja. Poistuneissa malleissa on esimerkkejä jopa 1940- luvulta, erityisesti soljissa on käytetty erilaisia solmuja. Tarkoituksena on löytää korut, jotka ovat värittyviä Määritelmän 3.11 mukaan. Helposti nähdään, että Solki11 on kahdesta solmusta muodostuva punos ja se on värittyvä. Muita suoraan värittyviä koruja ei ole, koska triviaalisolmut eivät ole värittyviä Huomautuksen 3.13 mukaan. Myöskään singulaarisia solmuja, Määritelmän 2.5 mukaan ei voida värittää kuin yhdellä värillä, joten ne eivät ole värittyviä. Kuva 25: Solki11. [15] 24

Poistuneissa malleissa on muutamia koruja, joista saadaan triviaaleja solmuja käyttämällä Reidemeisterin siirtoa Ω 1. Tällöin saadaan pieni silmukka hävitettyä ja nähdään, että esimerkiksi Solki224 ja Solki19 ovat triviaaleja solmuja. Kuva 26: Ylhäällä solki224, solki19 ja solki37, alhaalla Osmon solmu. [15] Kuvassa 26 on esitetty Osmon solmu, joka luokitellaan nimestään huolimatta solmuteoriassa punokseksi. Osmon solmu on punos, joka on muodostunut kahdesta solmusta. Kysessä ei kuitenkaan ole Hopn renkaat, koska renkaat eivät ole liittyneet toisiinsa mahdollisimman yksinkertaisella tavalla. Lisäksi voidaan määrittää Osmon solmun kietoutumisluku. Kuvassa 27 on korun projektio, punoksen projektioon on merkitty kiertosuunnat ja risteyksiin on merkitty risteysmerkit Määritelmän 3.6 mukaan. Nyt Määritelmän 3.7 mukaan kietoutumisluvuksi saadaan, lk = 1 (+1+1+1+1) = +2. Solmujen kiertosuunnat voidaan valita yhteensä neljällä eri tavalla, jos molempien solmu- 2 jen kiertosuunnat vaihdetaan saadaan kietoutumisluvuksi edelleen +2. Jos toisen solmun kiertosuunta vaihdetaan, niin tällöin Osmon solmun kietoutumisluvuksi saadaan -2. Tämäkin osoittaa sen, että kyseessä ei ole Hopn renkaat, koska sen kietoutumisluku on -1 tai +1. Osmon solmu on siis toisiksi yksinkertaisin punos, joka on muodostunut kahdesta solmusta. Solki37 on myös Osmon solmu kulmassa olevien pienten silmukoiden hävittämisen jälkeen. 25

Kuva 27: Osmon solmun projektio. Tarkastellaan seuraavaksi muutamia koruja, joissa ei suoraan ole nähtävissä solmuja tai punoksia, mutta joihin pienillä muutoksilla ja tulkinnoilla saadaan luotua solmu tai punos. Tehdään Kuvassa 28 esiintyvään Käärmesolkeen pieniä muutoksia. Nyt korussa reunoilla olevien kaarten voidaan ajatella liittyvän yhteen, kuten oikealla olevaan kuvaan on piirretty. Tällöin saadaan kahdesta solmusta muodostuva punos, jossa on keskellä pienet silmukat. Reidemeisterin siirron Ω 1 avulla silmukat voidaan hävittää, jolloin saadaan Hopn renkaat. Kuva 28: Käärmesolki. [15] Tutkitaan seuraavaksi kuvassa 29 esitettyä Teljän neito korua, josta on olemassa samanmallinen rannekoru ja sormus. Koru on historialtaan vanhimpia Kalevala Koruja ja se on saanut vaikutteita Antiikin Kreikasta. Siellä nyörija nauhavyöt solmittiin usein Herakleen solmulla, jossa on kaksi tyvestä solmittua silmukkaa, jolloin muodostuu aukeamaton sidos. [6] 26

Kuva 29: Teljän neito. [15] Tarkastellaan Teljän neito korua siitä piirretyn projektion avulla. Projektiossa on tulkittu, että korussa oleva solmukuvio jatkuu taakse "erillisinä kaarina", eivätkä sulaudu yhteen. Kuvassa 30 on vasemmalla ylhäällä ensin esitetty projektiokuva tulkinta korusta. Havaitaan, että koru on solmu, koska se muodustuu suljetusta, jatkuvasta käyrästä. Kuva 30: Teljän neito korun projektio tulkinta. 27

Muokataan diagrammia niin, että saataisiin muodostettua jokin tunnettu solmu. Ensin siirretään toinen korun "takana" kulkevista kaarista eteen. Tällöin saadaan symmetrinen projektio, kuvassa vasemmalla alhaalla. Tämän jälkeen projektiota käännetään 90 astetta vasemmalle, jolloin saadaan kuvassa oikealla ylhäällä oleva projektio. Seuraavaksi tarkastellaan solmun toista puolta, josta ylhäällä oleva kaari käännetään alas. Tämä siirto on esitetty kuvassa oikealla alhaalla, missä se on tehty toiselle puolelle ja toinen puoli on alkuperäisessä asennossa. Lopuksi operaatio suoritetaan toiselle puolelle, jolloin saadaan Kuvan 31 mukainen solmu. Kuva 31: Teljän neito korun projektiosta saadaan neliösolmu. Teljän neito korun projektiosta saatu solmu on neliösolmu, joka on esitetty Esimerkissä 2.7. Neliösolmu muodostuu siis oikeakätisestä ja vasenkätisestä apilasolmusta. 28

6 Yhteenveto Tässä luvussa tarkastellaan tuloksia esitetyn teorian näkökulmasta sekä Kalevala Korujen muotokieltä. Lisäksi pohditaan mahdollisia jatkotutkimusaiheita. 6.1 Tulosten pohdintaa Työn tarkoituksena oli tarkastella ja luokitella nykymallistossa olevia Kalevala Koruja ja muutamia poistuneita malleja solmuteorian näkökulmasta. Kalevala Koruista löytyi muutamia mielenkiintoisia solmuja ja punoksia. Lisäksi joitakin muutoksia ja tulkintoja tekemällä saadaan muokattua olemassa oleviin koruihin tunnettuja matemaattisia solmuja tai punoksia. Aluksi luotu yleiskatsaus osoitti, että nykyisissä Kalevala Koruissa on hyvin vähän solmuteorian kannalta mielenkiintoisia korumalleja. Koruissa oli havaittavissa paljon luontoon, ihmisiin ja ilmiöihin liittyviä aiheita, jotka ovat myös Kalevala Korun muotoilun taustalla. [15] Nykyiset mallit ovat suurelta osin muotokieleltään hyvin pelkistettyjä ja yksinkertaisia. Korujen muotokielen tarkoituksena on puhutella kantajaa ja täydentää tyyliä ja itseilmaisua [15]. Koruja voidaan siis tulkita monella eri tavalla, kuten tässä tutkielmassa on tehty matemaattisen solmuteorian näkökulmasta. Erityisesti nykyisissä Kalevala Koruissa on havaittavissa paljon renkaita ja ympyröitä eli triviaaleja solmuja. Renkaita on nähtävissä koruissa suoraan sekä tarkemman matemaattisen tarkastelun jälkeen. Koruissa esiintyy paljon erilaisia silmukoita, kuten esimerkiksi Kuvassa 20 olevassa Hannunvaakunassa. Silmukoihin on helppo soveltaa Reidemeisterin siirtoja, jotka olivat tärkein tutkielmassa käytetyistä menetelmistä. Reidemeisterin siirrot ovat myös merkittävässä roolissa kombinatorisessa solmuteoriassa. Triviaalisolmut ovat muotokieleltään ajattomia ja niihin on helppo yhdistää erilaisia pintastruktuureja, joilla saadaan luotua omanlainen koru. Kalevala koruissa oli muutamia yksinkertaisia punoksia, kuten Kuvassa 22 oleva Astro. Punokset noudattavat samaa linjaa muiden korujen kanssa eli ovat yksinkertaisia ja moderneja. Kalevala Korun poistuneista malleista löytyi solmuteorian kannalta muutamia mielenkiintoisia malleja. Erityisesti soljissa oli havaittavissa solmuja ja punoksia, toisaalta nykymallistossa solkia ei ole kuin muutamia. Poistuneissakin malleissa oli paljon triviaalisolmuja sekä suoraan että Reidemeisterin siirtojen jälkeen. Lisäksi Osmon solmuja oli useissa koruissa, joka on selkeäs- 29

ti solmuteorian näkökulmasta punos. Kalevala Korujen taustalla on, että idea voi tulla mistä tahansa ja koru voi merkitä erilaisia asioita eri ihmisille. Tällöin jätetään tilaa mielikuvitukselle ja koruista voidaan löytää kätkettyä symboliikkaa. [15] Useissa koruissa, sekä nykyisissä että poistuneissa malleissa oli havaittavissa solmujen ja punosten piirteitä, mutta ne eivät kuitenkaan täyttäneet matemaattisen solmuteorian määritelmiä. Päädyttiin siis tarkemmin tutkimaan muutamia malleja siten, että millaisilla muutoksilla niistä saataisiin solmuja ja punoksia aikaan. Koruja tarkasteltiin siten, että niistä muodostettiin projektio, jossa käytettiin hieman omaa tulkintaa, että saatiin solmuteorian kannalta mielekäs projektiokuva. Käärmesoljesta saatiin hyvin pienellä muutoksella aikaan Hopn renkaat, joka voisi mielestäni hyvin toimia myös nykyisessä Kalevala Koru mallistossa. Tutkielmassa tarkasteltiin tarkemmin myös mallistosta poistunutta Teljän neito korua. Tässä korussa projektiokuva tehtiin omaa tulkintaa käyttäen siten, että saatiin kuvattua solmuteorian kannalta mielekäs solmu. Korun tulkinta on mielestäni onnistunut, koska pienellä mielikuvituksen käytöllä saatiin korusta tunnettu solmu aikaiseksi. Tässä tarkastelussa tulee esille myös solmuteorian keskeisin asia, eli samalla solmulla voi olla erilaiset projektiot. Lopuksi pohditaan hieman sopisiko solmuteorian opiskelu osaksi didaktista matematiikkaa. Ajatellaan, että yliopistomatematiikan ja koulumatematiikan välillä on suuri välimatka, koska yliopistomatematiikka on keskittynyt teorioihin ja monimutkaiseen matemaattiseen ajatteluun. Koulumatematiikassakin on mekaanista laskutaitoa, mutta myös arkipäivän matematiikkaa ja matemaattisen ajattelun soveltamista. Didaktinen matematiikka on kehittynyt näiden välille matematiikan opettajankoulutukseen. [12] ja [11]. Didaktinen matematiikka yhdistää matematiikan ja kasvatustieteen. Siinä matematiikkaa ajatellaan enemmän taitona tehdä kuin tietona jostakin ja matematiikkaa ei ole sidottu aikaan tai paikkaan. Didaktisessa matematiikassa korostetaan symbolien, käsitteiden ja määritelmien täsmällisyyttä. Lisäksi matematiikan ajatellaan olevan luovaa toimintaa, mitä voidaan oppia ja opettaa piirtämällä, soittamalla tai muuten havainnollistamalla. [12] ja [11]. Didaktista matematiikkaa kohtaan on esitetty myös kritisointia esimerkiksi artikkelissa [8]. Mielestäni erityisesi kombinatorinen solmuteoria sopisi hyvin didaktiseen matematiikkaan, koska siinä on suhteellisen vähän käsitteitä ja määritelmiä, jol- 30

loin voidaan kiinnittää huomiota siihen miten asiat täsmällisesti ilmaistaan. Solmujen ja punosten tarkastelu projektioiden avulla vaatii hyvää hahmotuskykyä eikä välttämättä varsinaisia laskutoimituksia. Tämä tulee tutkielmassa esille erityisesti Teljän neito korun tarkastelussa sivuilla 27-28. Tällöin solmujen todetaan visuaalisen tarkastelun jälkeen olevan ekvivalentit ilman topologista tarkastelua. Näin tarkasteltuna useimmat varmasti ymmärtäisivät asian paremmin. 6.2 Jatkotutkimusaiheita Solmuteoriaa voidaan tarkastella hyvin monella eri tasolla. Solmujen ja punosten tarkasteleminen koulussa olisi mielestäni hyvin mielenkiintoista, koska kuten tutkielmassa tulee esille solmuja löytyy kaikkialta ennakkoluulottomasti tarkasteltuna. Koulussa solmujen tutkimuksiin pystyttäisiin integroimaan monia oppiaineita, kuten matemaattisia aineita, käsitöitä ja kuvataidetta. Tutkielmassa Kalevala Korujen tutkimus rajattiin solmuihin ja punoksiin, koruista olisi mahdollista tutkia erilaisia palmikoita, jotka myös kuuluvat solmuteoriaan. 31

Viitteet [1] Adams, C.C. The knot book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. Freeman and Company. 1994. [2] Burde, G. & Zieschang, H. Knots. Walter de Gruyter. 1985. [3] Cromwell, P. Knots and links. Cambridge University Press. 2004. [4] Crowell, R.H. & Fox, R.H. Introduction to Knot Theory. Springer-Verlag. 1963. [5] Jablan, S. LinKnot. World Scientic Publishing Company. 2007. [6] Lindström, S & Salo, U. Kuutar ja Ikiturso - Rakastetuimpien Kalevalakorujen jäljillä. Otavan Kirjapaino Oy. 2010. [7] Livingston, C. Knot theory. The Mathematical Association of America. 1993. [8] Martio, O. Didaktinen matematiikka? Tieteessä tapahtuu. 22(2), 42-45. 2004. [9] Rolfsen, D. Knots and Links. Publish or Perish. Berkley. 1976 [10] Sossinsky, A. suom. Pekonen, O. Solmut - Erään matematiikan teorian synty. Art House. Jyväskylä. 2002. [11] Tossavainen, T. & Pehkonen, E. Three kinds of mathematics: scientic mathematics, school mathematics and didactical mathematics. Far East Journal of Mathematical Education. 11(1), 27-42. 2013. [12] Tossavainen, T. & Sorvali, T. Matematiikka, koulumatematiikka ja didaktinen matematiikka. Tieteessä tapahtuu. 21(8), 30-34. 2003. [13] Väisälä, J. Topologia I. 2.painos, Limes ry. 2002. [14] Väisälä, J. Topologia II. 1.painos, Limes ry. 1999. [15] www.kalevalakoru.. Viitattu 1.4.2017. [16] www.wikipedia.org/wiki/knottheory/. Viitattu 1.4.2017. 32