Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim V, ja A: V V lineaarikuvaus. Olkoon {e 1,..., e n } V :n kanta. Lineaarikuvauksen A matriisi kannan {e 1,..., e n } suhteen määrätään kantavektoreiden kuvavektoreiden avulla seuraavasti: Kun A = (a k,j ) n k, on k.o. matriisi, on (1.1) Ae j = a k,j e k. Olkoot x V ja y = Ax sekä luvut x 1,..., x n vektorin x ja vastaavasti y 1,..., y n vektorin y koordinaatit kannan {e 1,..., e n } suhteen. Siis x = x j e j ja y = y j e j. Lineaarikuvauksen A ja sen matriisin A välille on voimassa y = Ax = x j Ae j = a k,j e k = a k,j x j e k = x j y k e k. Siis, jos asetetaan X = [x 1,..., x n ] t (eli X on vektorin x koordinaattien muodostama sarakevektori), ja vastaavasti Y = [y 1,..., y n ] t, niin Y = AX. Huomaa, että jos kanta ja matriisi A on annettu voidaan edellisiä kaavoja käyttäen määritellä lineaarikuvaus, jonka matriisi annetun kannan suhteen on A. Samoin lineaarikuvaus voidaan määritellä antamalla kanta ja kantavektoreiden kuvavektorit. 2. Harjoitustehtäviä. 2.1. Olkoot A, C : V V lineaarikuvauksia ja {e 1,..., e n } V :n kanta. Osoita, että jos Ae j = Ce j kaikille j = 1,..., n, niin A = C. 2.2. (Jatkoa.) Olkoon ( ) sisätulo V :ssä. Osoita, että jos niin A = C. (Ae j e k ) = (Ce j e k ) kaikille j, k = 1,..., n, 3. Kannanvaihto. Selvitetään, miten lineaarikuvauksen matriisi muuttuu, kun matriisin määräämiseen käytettyä kantaa vaihdetaan. Olkoon myös {e 1,..., e n} V :n kanta. Olkoot A = (a k,j ) n k, A:n matriisi kannan {e 1,..., e n } suhteen ja A = (a k,j )n k, A:n matriisi kannan {e 1,..., e n} suhteen. Tällöin siis Ae j = a k,j e k ja Ae j = a k,je k, j = 1,..., n. 1 Viimeksi muutettu 20.2.2007.
LINEAARIKUVAUKSEN DETERMINANTTI JA JÄLKI 2 Olkoon E = (ε k,j ) n k, kannanvaihtomatriisi, t.s. e j = ε k,j e k, j = 1,..., n. Huomaa, että kannanvaihtomatriisi on sen lineaarikuvauksen E matriisi vanhan kannan {e 1,..., e n } suhteen, joka kuvaa vanhat kantavektorit uusiksi kantavektoreiksi, e j = Ee j, j = 1,...,n. Nyt Ae j = ε k,j Ae k = a l,k e l = a l,k ε k,j e l. Toisaalta, Siis Ae j = a i,je i = a l,k ε k,j = ε k,j a i,j ε l,i e l = ε l,i a i,j, ε l,i a i,je l. kun l, j = 1,...,n. Tässä vasemman puolen lauseke on matriisin AE alkio paikassa (l, j). Vastaavasti, oikean puolen lauseke on matriisin EA alkio paikassa (l, j). Siis AE = EA. Koska kannanvaihtomatriisi on kääntyvä (onhan kannanvaihtokuvaus E injektio), saadaan A = E 1 AE. Katsotaan seuraavaksi, miten vektorin koordinaatit muuttuvat kannanvaihdossa. Olkoon x V. Olkoot x 1,..., x n vektorin x koordinaatit kannan {e 1,..., e n } suhteen ja x 1,..., x n x:n koordinaatit kannan {e 1,..., e n } suhteen. Siis x = x j e j = x je j Kun kantavektorit e j esitetään vektoreiden e k avulla, saadaan x = ε k,j e k. Siis x k = ε k,j x j, x j kun k = 1,...,n. Olkoot X = [x 1,..., x n ] t ja X = [x 1,..., x n] t. Tällöin X = EX. Olkoot y = Ax sekä Y ja Y vektorin y koordinaateista muodostetut sarakevektorit kantojen {e 1,..., e n } ja {e 1,..., e n } suhteen. Tällöin on Y = AX ja Y = A X.
LINEAARIKUVAUKSEN DETERMINANTTI JA JÄLKI 3 4. Harjoitustehtäviä. 4.1. Olkoot V, n, A, {e 1,..., e n } ja A kuten edellä. Olkoot C : V V lineaarikuvaus ja C = (c k,j ) n k, C:n matriisi kannan {e 1,..., e n } suhteen. Määrää yhdistetyn kuvauksen A C : V V matriisi kannan {e 1,..., e n } suhteen. 4.2. Olkoot V, n, A, {e 1,..., e n } ja A kuten edellä. Totea, että jos A on injektio (ja siis dimensiolauseen nojalla myös bijektio), niin A:n matriisi on yksikkömatriisi, jos lähtäavaruudessa käytetään kantaa {e 1,..., e n }, mutta maaliavaruuden kannaksi valitaan {Ae 1,..., Ae n }. 4.3. Hieman mutkikkaampi kannanvaihto-ongelma: Olkoot V sekä V :n kannat {e 1,..., e n } ja {e 1,..., e n} kuten edellä. Olkoot W vektoriavaruus, m = dim W, ja B : V W lineaarikuvaus. Olkoot {f 1,..., f m } ja {f 1,..., f m} W :n kantoja. Olkoon B = (b j,k ),...,n B:n matriisi kantojen {e 1,..., e n } ja {f 1,..., f m } suhteen,,...,m m Be k = b j,k f j, k = 1,..., n. Vastaavasti, olkoon B = (b j,k ),...,n B:n matriisi kantojen {e 1,..., e n} ja {f 1,..., f m},...,m suhteen. Olkoot E = (ε k,j ) n k, V :n kannanvaihtomatriisi, e j = ε k,j e k, j = 1,..., n, ja F = (ϕ k,j ) m k, W :n kannanvaihtomatriisi, m f j = ϕ k,j f k, j = 1,..., m. Mikä yhteys on matriisien B, B, E ja F välillä? Miten vektorin x V kuvavektorin z = Bx W koordinaatit saadaan lausutuksi x:n koordinaattien ja B:n matriisin avulla? Miten kannanvaihto vaikuttaa vektoreiden x ja z koordinaatteihin? 5. Determinantti ja jälki. Olkoot V, n, A, {e 1,..., e n }, {e 1,..., e n}, A, A ja E kuten edellä. Lineaarialgebrasta muistettakoon, että kun C on n n-matriisi, niin det(ac) = det A det C. Erityisesti, kääntyvälle matriisille E on det(e 1 ) = (det E) 1. Koska A = E 1 AE, on det A = det(e 1 AE) = det(e 1 ) det A det E = (det E) 1 det A det E = det A. Tämä tulos sanoo siis, että lineaarikuvauksen matriisin determinantti ei riipu valitusta kannasta. Tätä determinanttia voidaan siis kutsua lineaarikuvauksen determinantiksi. Merkitään det A := det A, kun A on A:n matriisi minkä tahansa kannan {e 1,..., e n } V suhteen. Neliömatriisin C = (c j,k ) n j, jälki (engl. trace) on tr C := c j,j.
Tulomatriisin AC jälki on LINEAARIKUVAUKSEN DETERMINANTTI JA JÄLKI 4 tr(ac) = (AC) j,j = a j,k c k,j. Tämä lauseke on A:n ja C:n suhteen symmetrinen, joten Tästä seuraa erityisesti, että tr(ac) = tr(ca). tr A = tr(e 1 (AE)) = tr((ae)e 1 ) = tr(a(ee 1 )) = tr A. Siis, lineaarikuvauksen matriisin jälki ei riipu valitusta kannasta. Tätä jälkeä voidaan siis kutsua lineaarikuvauksen jäljeksi. Merkitään tr A := tr A, kun A on A:n matriisi minkä tahansa kannan {e 1,..., e n } V suhteen. Huomaa tulomatriisin jäljen lausekkeesta, että jos matriisit A ja C tulkitaan sisätuloavaruuden R n2 vektoreiksi ja C t on C:n transpoosi, niin jälki tr(ac t ) = a j,k c j,k on vektoreiden A ja C tavallinen Euklidinen sisätulo. Lineaarikuvausten ominaisarvoteoriassa päädytään ominaisarvoja määrättäessä yhtälöön (I on yksikkömatriisi) det(a λi) = 0. Yksinkertaisella laskulla nähdään, että (kun A on n n-matriisi; merkinvaihto mukavuussyistä) det(λi A) = λ n (tr A) λ n 1 + + ( 1) n det A. Ominaisarvoteoriasta muistettakoon, että matriisi A on diagonalisoituva, jos on olemassa kääntyvä matriisi E siten, että λ 1 0... 0 0 λ E 1 AE = Λ = 2... 0...... 0 0... λ n Edellä olleen mukaan tämä tarkoittaa samaa kuin, että matriisin A ja kannan {e 1,..., e n } avulla määritellyn lineaarikuvauksen A matriisi on kannanvaihtomatriisin E avulla saadun uuden kannan {e 1,..., e n} suhteen diagonaalimatriisi. Huomaa, että diagonalisoituvalle matriisille A on det A = det Λ = λ 1 λ 2 λ n ja tr A = tr Λ = λ 1 + λ 2 + + λ n.
LINEAARIKUVAUKSEN DETERMINANTTI JA JÄLKI 5 6. Harjoitustehtäviä. 6.1. Olkoon ( ) sisätulo V :ssä. Lineaarikuvausta A: V V kutsutaan symmetriseksi, jos (Ax y) = (x Ay) kaikille x, y V. Osoita, että jos A on symmetrinen ja kanta {e 1,..., e n } on ortonormeerattu, niin A:n matriisi A kannan {e 1,..., e n } on symmetrinen, eli A t = A. Osoita kääntäen, että jos matriisi A on symmetrinen ja kanta {e 1,..., e n } on ortonormeerattu, niin kuvaus A on symmetrinen. 6.2. Olkoot ( ) (reaalinen) sisätulo V :ssä, kanta {e 1,..., e n } ortonormeerattu, C : V V lineaarikuvaus ja C C:n matriisi kannan {e 1,..., e n } suhteen. Osoita, että ehto (Dx y) = (x Cy) kaikille x, y V määritelee lineaarikuvauksen D : V V (t.s. (i) jokaiselle x V on olemassa yksikäsitteisesti määrätty vektori Dx, joka toteuttaa ehdon; (ii) Dx on x:n lineaarinen funktio). Osoita, että D:n matriisi D kannan {e 1,..., e n } suhteen on C:n transpoosi C t. Lineaarikuvausta D kutsutaan C:n adjungaatiksi, ja merkitään C t. 6.3. Osoita seuraava väite todeksi, kun V = R n : Olkoot ( ) sisätulo V :ssä ja A: V V symmetrinen lineaarikuvaus. Asetetaan f : V R, f(x) = 1 (Ax x) sekä 2 λ = inf{f(x) x = 1} ja µ = sup{f(x) x = 1}. Tällöin λ ja µ ovat A:n ominaisarvoja, λ pienin ja µ suurin. [Vihje: Maksimoivan ja minimoivan pisteen olemassaolo seuraa kompaktiudesta; se, että kyseiset pisteet ovat A:n ominaisvektoreita, seuraa Lagrangen kertoimien lauseesta; se, että λ ja µ ovat A:n ominaisarvoja, seuraa helpolla laskulla; se, että λ on pienin ja µ suurin ominaisarvo, seuraa esimerkiksi siten, että sovelletaan A:n ominaisvektoreista muodostettua kantaa f(x):n arvojen laskemiseen.] 7. Symmetrinen lineaarikuvaus. Olkoon ( ) sisätulo V :ssä. Lineaarikuvaus A: V V on symmetrinen, jos (Ax y) = (x Ay) kaikille x, y V. Lineaarialgebran kurssilla (Lin. alg. & geom. 2) osoitetaan, että symmetrinen lineaarikuvaus voidaan diagonalisoida ortogonaalisesti, t.s. on olemassa ortonormaali joukko {ẽ 1,..., ẽ n } ja luvut λ 1,..., λ n R siten, että Aẽ j = λ j ẽ j, kaikille j = 1,..., n. Lineaarikuvauksen A matriisi Λ kannan {ẽ 1,..., ẽ n } suhteen on siis diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkioina ovat ominaisarvot λ j. Kun {e 1,..., e n } on V :n ortonormeerattu kanta ja E = (ε k,j ) n k, kannanvaihtomatriisi ẽ j = ε k,j e k, j = 1,..., n, niin matriisi E on ortogonaalinen, t.s. E t E = I = yksikkömatriisi. Kun A on A:n matriisi kannan {e 1,..., e n } suhteen, on E t AE = E 1 AE = Λ.
LINEAARIKUVAUKSEN DETERMINANTTI JA JÄLKI 6 8. Harjoitustehtäviä. 8.1. Olkoot ( ) sisätulo V :ssä ja A: V V symmetrinen lineaarikuvaus. Osoita, että a) A:n kahta eri ominaisarvoa λ ja µ vastaavat ominaisvektorit e ja f ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan; b) kun µ on A:n ominaisarvo ja V µ = {x V Ax = µx} ominaisarvoa µ vastaavien ominaisvektoreiden joukko, niin A(V µ ) V µ ja A(Vµ ) Vµ, missä Vµ on joukon V µ ortogonaalikomplementti, Vµ = {y V (y x) = 0 kaikille x V µ } (muista, että kaikille aliavaruuksille W V on V = W W, ortogonaalinen suora summa); c) A:lla on ainakin yksi reaalinen ominaisarvo (vihje: käytä apuna kohtaa 6.3); d) A:lla on ominaisarvot µ 1 > µ 2 > > µ k siten, että V = V µ1 V µ2 V µk. (Vihje: käytä kahta edellistä kohtaa apuna.)