tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

Transkriptio

1 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( Olkoot, B = Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä. Määrää A + A T, AC, CE, EC ja CB. 3. Olkoot a c e b d 2 3 7, B = ja C = f matriiseja, missä a, b, c, d, e ja f ovat reaalilukuja. Tarkastellaan matriisituloja (AB) T ja B T A T C ja C T AB. Määrää kunkin matriisitulon tulos, jos kyseinen matriisitulo on määritelty. Jos jokin matriisituloista ei ole määritelty, niin perustele miksi ei. 4. Keksi nollamatriisista poikkeavat 3 3-matriisit a) A ja B, joille AB = 3 3 (=nollamatriisi). b) A, B ja C, joille AC = BC, mutta A B. 5. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: tyyppi metalli puu lasi työ I II III Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 5 kpl tyyppiä I, 7 kpl tyypiä II ja 9 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 6. Tiedetään, että putkijärjestelmä P toimii lineaarisesti, mikä merkitsee sitä, että herätettä (input) x ja vastetta (output) y sitoo toisiinsa yhtälö Ax = y. Olkoon kuvion putkisysteemi P allakuvatun mukainen. Määrää (siirto)matriisi A, kun tiedetään mittausten perusteella seuraavaa: kun heräte on x 1 = 1 yksikkö ja x 2 = yksikköä, niin vaste on y 1 = 1/7, y 2 = 3/7 ja y 3 = 3/7 (yksikköä) sekä kun heräte on x 1 = yksikköä ja x 2 = 1 yksikkö, niin vaste on y 1 = 2/5, y 2 = 1/5 ja y 3 = 2/5 (yksikköä). Mikä on herätettä x 1 = 2, x 2 = 1 vastaava vaste?

2 7. a) Onko kaava (A B)(A + B) = A 2 B 2 aina voimassa, kun A ja B ovat samaa lajia olevia neliömatriiseja? Perustelu! b) Poista sulut lausekkeesta (A + B) Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a)jos siellä on 15 päätä ja 4 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 4, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät? 9. Ratkaise seuraavat yhtälöparit a) { x + 7y = 4 2x 9y = 23 b) { x 3y = 4 3x + 9y = 8 c) { 2x + 4y = 8 x 2y = 4 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraavat yhtälöryhmät: a) 3x 1 + x 2 x 3 = 4 6x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2, x 1 x 2 + 2x 3 = 7 b) 2x 1 x 3 = x 2 2x x 2 x 3 + 2x 4 = 2x 1 x 3 + 2x 2 + x 1 + x 4 5 = = x 1 + 3x 2 x c) x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 = x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 1, 2x 1 + 8x 2 + 8x x 4 = 1 d) 3x 1 + 6x 2 + x 3 = 5 x 1 + 3x 2 x 3 = 3. x 1 + 2x 2 + 2x 3 = Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä { x + 3y + 2w = 1 z 6y + 2x + 4z = 3 8w. 2z + 4w 1 = 12. Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin 1 jokainen kala tarvitsee viikossa 1 yksikön ruokaa A, 1 yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2,1 ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan 25 yksikköä ruokaa A, 2 yksikköä ruokaa B ja 55 yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 13. Totea, että yhtälöryhmän 2 3 x x x 3 3 = x x x 3 = x x 3 = 3 kerroinmatriisi on ortogonaalinen ja käytä tätä tietoa hyväksi yhtälöryhmän ratkaisemisessa..

3 14. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun a) b) c) 15. Olkoon D diagonaalimatriisi, D = diag(x 1, 2x 1, 3x 1, 4x 1,..., 14x 1). Määrää D:n käänteismatriisi, kun x =. Millä x:n arvoilla D:lla ei ole käänteismatriisia? 16. Määrää matriisin LU-hajotelma. 17. Olkoon a) Määrää matriisin A LU-hajotelma. b) Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x x x 3 = 3x x 2 + 3x 3 = 6 kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla. c) Ratkaise A:n LU hajotelman avulla yhtälöryhmä Ax = b, kun 18. Olkoot b = ja b = Muodosta matriisin A QR-hajoitelma ja laske x = (A T A) 1 A T b sekä x = R 1 Q T b. 19. Matriisit B ja C ovat sarakeortogonaalisia. Laske A T A, kun BC. 2. Mitkä seuraavista joukoista ovat vektoriavaruuden R 3 aliavaruuksia: a) {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 2} b) {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 =, x 3 = 2x 2 } 21. Selvitä onko vektorijoukko {(1, 1, 2, 2), (3, 2, 4, 5), (, 2, 3, 2), (1, 1,, 3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko

4 22. Tutki, muodostavatko vektorit (, 1,, 1), (,, 2, ), (1,, 1, ) ja (, 1,, 2) R 4 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (1, 2, 5, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. 23. Määrää reaalisten 2 2 matriisien muodostaman vektoriavaruuden jokin kanta ja määrää matriisin koordinaatit tämän kannan suhteen. 24. Vektorijoukot S 1 = {(, 1, ), (1, 1, ), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, ), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. a) Vektorin u koordinaatit kannassa S 2 ovat 4, 3 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S 1. b) Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 2-kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos edellisten muunnosten kuva vielä peilataan xz-tason (=ik-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2π verran j-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna j- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? 26. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 27. Määrää lineaarikuvauksen F : R 2 R 4, F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 2x 2, x 2, x 1 x 2, 2x 1 + 3x 2 ) matriisi a) luonnollisten kantojen suhteen b) kantojen S 1 = {(1, 2), (1, )} ja S 2 = {(1, 1, 1, ), (1,, 1, 1), ( 1, 1, 1, ), (,, 1, )} suhteen. 28. Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2 3x 3, x 1 2x 2 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1,, 1), (, 1, ), (, 1, 1)} ja S 2 = {(, 1), ( 1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 3j k, missä i = (1,, ), j = (, 1, ) ja k = (,, 1). 29. a) Määritä lineaarikuvauksen F : P 3 (R) P 4 (R), F (p(t)) = tp(t 2) matriisi kantojen {1, t, t 2, t 3 } ja {1, t, t 2, t 3, t 4 } suhteen. b) Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten 2 2 matriisien joukossa, että 1 2 F (B) = B. 3 4 Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan 1 {,, 1 2 suhteen. 1, 1 1 } 2

5 3. Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) , 1 1 b) , c) 31. Määrää matriisien ja B = aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 32. a) Tutki onko allaolevilla yhtälöryhmillä ratkaisuja. x 1 + x 2 x 3 = 7 4x 1 x 2 + 5x 3 = 4 6x 1 + x 2 + 3x 3 = 2 x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 3x 1 + 2x 3 2x 4 = 8 4x 2 x 3 x 4 = 1 5x 1 + 3x 3 x 4 = 3 b) Olkoon A 5 7 matriisi, jonka aste on 5. Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu jokaisella 5 1 sarakevektorilla b. 33. Jokaiselle matriisille B vektoriavaruus row(b) on matriisin B rivien (eli rivivektoreiden) virittämä vektoriavaruus ja R(B) on B:n kuva-avaruus. Olkoon A säännöllinen n n matriisi ja olkoon a) Selvitä onko row((a ) 1 ) = R(A). b) Määrää matriisin A nulliteetti. 34. Määrää seuraavien matriisien determinantit: a) b) A = (A 1 ) T , B = ,

6 c) C = 1 1 j 1 j j 1 j 35. Tarkastellaan edellisen tehtävän matriiseja. a) Mitkä matriiseista A, B, C ovat säännöllisiä? b) Mitä voit sanoa matriisin B asteesta? Mikä on matriisin C ydin? c) Sisältääkö matriisin A ydin nollasta eroavan vektorin? 36. Määrää determinantin avulla a) pisteiden (2,3,1), (2, 1, 1) ja (1,2,1) kautta kulkevan tason yhtälö, b) pisteiden (2,6), (2,) ja (5,3) kautta kulkevan ympyrän yhtälö. 37. Sievennä pisteiden (,, 1), (1,, 1), (1, 1, 1) ja (2, 2, 2) kautta kulkevan pallopinnan yhtälö x 2 + y 2 + z 2 x y z = muotoon c 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) + c 2 x + c 3 y + c 4 z + c 5 = laskemalla yhtälön vasemmalla puolella olevan determinantin arvo. 38. Etsi seuraavien matriisien ominaisarvot ja -vektorit a) b) c) d) Laske matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A tehtävän 38b matriisi. Määrää matriisien A 2, A 1 ja A + 6I ominaisarvot ja ominaisvektorit. 41. Olkoon a) b) Onko matriisi A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D = T 1 AT ja siihen liittyvä matriisi T..

7 42. Olkoon Tutki, onko A diagonalisoituva. Perustelu! Matriisin A ominaisarvot ovat 1, 1 ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit ( 1, 1, 1), ( 1, 4, 1) ja (1,2,1). Määrää A. 44. Määrää kaksi 2 2 matriisia A ja B, joilla on samat ominaisarvot ja joiden jokaista ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit ovat myös samat. 45. Ratkaise matriisiyhtälö AX + I = A 11, missä Ratkaise dierentiaaliyhtälöryhmä { x 1 (t) + 2x 1 (t) 6x 2 (t) = x 2(t) + 3x 1 (t) 7x 2 (t) = alkuehdoilla x 1 () = 5 ja x 2 () = 3 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 47. Ratkaise dierentiaaliyhtälöryhmä x 2(t) = x 1 (t) + 2x 2 (t) + x 3 (t) x 1(t) = x 1 (t) + x 2 (t) 2x 3 (t) x 3(t) = x 2 (t) x 3 (t) alkuehdolla x 1 () = 3, x 2 () = 2, x 3 () = 1 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 48. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat dierentiaaliyhtälöryhmän { x 1 (t) = 3x 1 (t) x 2 (t) x 2(t) = 2x 1 (t) + 2x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) (käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia), kun alkuhetkellä t = ensimmäisen populaation koko on 15 ja toisen 6. Millä ajan t hetkellä populaatio S 2 häviää? 49. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin j j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 5. Laske matriisin itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 51. Laske 1-, - ja Frobenius normi matriisille

8 52. Laske e A, kun a) , b) Kahden symbioosissa elävän populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) toteuttavat dierentiaaliyhtälöryhmän { x 1 (t) = 1 2 x 1(t) x 2(t) x 2(t) = x 1 (t) 1 2 x 2(t). Laske populaatioiden koot hetkellä t, kun x 1 () = 1 ja x 2 () = 4. Käytä ratkaisukaavaa missä siirtomatriisi e At lasketaan kaavalla x(t) = e At x(), e At = T e Dt T 1, e Dt = diag (e λ 1t, e λ 2t ). 54. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 2y =, y() = 1, y () = palauttamalla se 1. kertaluvun dierentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 55. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 5x 2 + x 3 = 16 8x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 4x 3 = 7 a) Jacobin menetelmällä b) Gauÿ - Seidelin menetelmällä (3 iteraatiokierrosta). Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja tutki, onko sen jokin normi < 1. Opastus: Vaihda ensin yhtälöryhmän yhtälöiden järjestystä, jotta saat lävistäjävaltaisen kerroinmatriisin. 56. Yhtälöryhmän { 2x + y + z = 4 x + 2y + z = 4 x + y + 2z = 4. kerroinmatriisi ei ole lävistäjävaltainen. Sovella yhtälöryhmään Jacobin menetelmää laskemalla iteraatio x (3) lähtien vektorista x () =. Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G sekä tutki matriisin G avulla iteraatioiden suppenemista/hajaantumista. 57. Ratkaise yhtälöryhmä { 3x1 + x 3 = 4 x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x () = ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k 1) < Ratkaise yhtälöryhmä x 1 3x x 3 = 31 4x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 + 7x 2 + x 3 = 19 järkevästi Jacobin menetelmällä lähtien vektorista x () =. Laske kolmas iteraatio x (3). Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G ja laske G Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 x 3 = 5 x 1 3x 3 = 7 x 2 + x 3 = 2 x 2 + x 3 = 1 pienimmän neliösumman ratkaisu.

9 6. Määrää ylideterminoidun systeemin x 6y + 1 = x 2y 2 = x + y 1 = x + 7y 6 = pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin (=residuaalivektorin) r normi r Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 5, kun Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A Laske e A Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella, kun Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla cos (πa), kun Olkoon A 3 3 matriisi, jonka karakteristinen polynomi p(λ) = (λ 1)(λ 2 3λ+2). Lausu matriisi sin ( π 2 A) matriisien I, A ja A2 avulla. 66. Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla sin( π 2 A) matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A 1 ).