LUKU 6. Klassiset lauseet

LUKU 6 Klassiset lauseet Tässä luvussa näytetään, miten klassiset Stokesin lauseelle lähisukuiset tulokset, Greenin ja Gaussin lauseet, saadaan erikoistapauksena yleisestä Stokesin lauseesta. Ensin tarkastellaan kuitenkin pinta-alamuotoa, joka tarvitaan kaksiulotteisten pintaintegraalien vektorianalyyttisen ja differentiaalimuotoihin perustuvan esityksen vertaamisessa. 6.1. Pinta-alamuoto 6.1.1. Olkoot R 3 suunnistettu kaksiulotteinen monisto ja n = n(p) T p () reunan yksikköulkonomaali pisteessä p. ääritellään monistolle 2-muoto ω asettamalla (6.1) (ω(p))(v, w) := det(n(p), v, w), kun v, w T p (). ω(p)(v, w) = 1, kun v, w T p () muodostavat ortonormaalin kannan siten, että [v, w] on tangenttitason T p () suunnistus. Ristitulon määritelmän nojalla saadaan ω(p)(v, w) = (n(p) v w). Tätä 2-muotoa ω merkitään yleensä da ja kutsutaan moniston pinta-alamuodoksi. erkinnästä huolimatta on hyvä pitää mielessä, että da ei yleensä ole eksakti. Lause 6.1. Olkoot R 3 suunnistettu kaksiulotteinen reunallinen monisto ja n = n(p) T p () reunan yksikköulkonomaali pisteessä p. (6.2) da = n 1 dy dz + n 2 dz dx + n 3 dx dy. Lisäksi (6.3) n 1 da = dy dz, n 2 da = dz dx ja n 3 da = dx dy. Todistus. Ensimmäinen kaava (6.2) saadaan kehittämällä determinantti da(v, w) = det(n(p), v, w) ensimmäisen sarakkeen mukaan. Jälkimmäisiä yhtälöitä varten olkoot v, w T p () ja u R 3 p. on olemassa r R siten, että v w = r n(p). Siis (u n(p)) (n(p) v w) = r (u n(p)) = (u r n(p)) = (u v w). Kun valitaan u = e 1, saadaan ensimmäinen kaavan (6.3) yhtälöistä. Kaksi muuta saadaan valitsemalla u = e 2 ja u = e 3. 1 Viimeksi muutettu 30.11.2008. 36

6.1. PINTA-ALAUOTO 37 Huomautus 6.2. Yhtälöiden (6.3) oikeilla puolilla olevat 2-muodot on määritelty koko R 3 :ssa, vasemman puoleiset muodot vain reunapisteiden tangenttivektoreille. Pinta-alamuodon määrittelevä determinantti voidaan laajentaa kaikille pareille v, w R 3 p, mutta yhtälöt (6.3) ovat voimassa vain tangenttivektoreille v, w T p (). 6.1.2. Olkoot R n suunnistettu yksiulotteinen monisto ja t = t(p) T p () suunnistuksen määräävä yksikkötangenttivektori pisteessä p. oniston kaarenpituusmuoto on 1-muoto ds, jolle ds(v) := (v t), kun v T p (). Jos γ : [a, b] on C 1 -polku, jolle γ (τ) T γ(τ) () on suunnistuksen määräävä nollasta eroava vektori, on t = γ (τ)/ γ (τ), joten ds(γ (τ)) = γ (τ). 6.1.3. Olkoot R k+1 suunnistettu k-ulotteinen monisto (hyperpinta) ja n = n(p) R k+1 p tangenttiavaruutta T p () vastaava kohtisuora yksikkövektori pisteessä p. Tällainen normaalivektori löytyy helpposti: oniston 4.1 määritelmän nojalla hyperpinta voidaan esittää lokaalisti funktion h k+1 : U R tasa-arvojoukkona U = h 1 k+1 (0). h k+1 on moniston normaalivektorikenttä. Yksikkönormaali n(p) määräytyy nyt yksikäsitteisesti ehdoista n(p) = 1 ja det(n(p), v 1,..., v k ) > 0, kun (v 1,..., v k ) on reunan suunnistuksen määräävä kanta. Reunamoniston tilavuusmuoto on k-muoto dv, jolle dv (v 1,..., v k ) := det(n(p), v 1,..., v k ), kun v 1,..., v k T p (). Huomaa, että jos (v 1,..., v k ) on tangenttiavaruuden T p () positiivisesti suunnistettu ortonormeerattu kanta, niin dv (v 1,..., v k ) = 1. Lause 6.3. Olkoot R k+1 suunnistettu k-ulotteinen reunallinen monisto ja n = n(p) T p () reunan yksikköulkonomaali pisteessä p. k+1 (6.4) dv = ( 1) j 1 n j dx 1 dx j dx k+1. Lisäksi j=1 (6.5) n j dv = ( 1) j 1 dx 1 dx j dx k+1, 1 j k + 1. Todistus. Kehitetään tilavuusmuodon määrittelevä determinantti ensimmäisen sarakkeen suhteen. saadaan k+1 det(n(p), v 1,..., v k ) = ( 1) j 1 n j det A j, missä A j on se matriisi, joka saadaan jättämällä matriisista (n(p), v 1,..., v k ) pois ensimmäinen sarake ja j. rivi. utta, jos ω j := dx 1 dx j dx k+1, on ω j (v 1,..., v k ) = det ( (dx is (v t )) s,t=1) k, missä is := s, kun 1 s < j, ja i s := s + 1, kun j s k (vertaa aiempaan harjoitustehtävään). Siis ω j (v 1,..., v k ) = det A j, joten ensimmäinen väite (6.4) seuraa. j=1

6.1. PINTA-ALAUOTO 38 Jälkimmäistä väitettä varten tarkastellaan determinanttia kuvauksena ν det(ν, v 1,..., v k ), R k+1 p R. Tämä kuvaus voidaan esittää muodossa det(ν, v 1,..., v k ) = (ν w), missä w R k+1 p. Kun valitaan ν = v j, 1 j k, on (v j w) = det(v j, v 1,..., v k ) = 0, joten w v 1,..., v k = T p (). Siis on olemassa α R siten, että w = α n(p). Nyt kaikille u R k+1 p on (u n(p)) (n(p) w) = α (u n(p)) = (u w). Valitaan erityisesti u = e j. saadaan n j (p) (n(p) w) = w j. Alkuosan nojalla vektorin w komponentit ovat ( 1) j 1 det A j, joten k+1 n j (p) dv (v 1,..., v k ) = n j (p) (n(p) w) = w j = ( 1) j 1 n j ω j (v 1,..., v k ), j=1 mistä jälkimmäinen väite seuraa. Olkoon f : W moniston suunnistuksen säilyttävä lokaali parametriesitys. Asetetaan E j := f (e j ), 1 j k, ja g i,j := (E i E j ), 1 i, j k. moniston tangenttivektoreiden v = f u = k j=1 u j f e j = k j=1 u j E j ja ṽ = f ũ = k j=1 ũj E j sisätulo on (v ṽ) = k u i ũ j (E i E j ) = i,j=1 k g i,j u i ũ j = i,j=1 k g i,j (dx i dx j )(u, ũ), missä x j, 1 j k, ovat koordinaattikuvaukset alueessa W R k. Tässä esiintyvää, moniston tangenttivektoreille märiteltyä symmetristä 2-tensoria kutsutaan yleensä moniston metriseksi perustensoriksi. Tätä tensoria saatetaan myös merkitä ds 2, näin varsinkin vanhemmassa kirjallisuudessa, koska ds 2 (u, u) = f u 2. Siis ds 2 = i,j=1 k g i,j dx i dx j. i,j=1 etrisen perustensorin avulla on voimassa dv (E 1,..., E k ) = det ( (g i,j ) i,j=1) k dx 1 dx k. Vrt. [21, luku 17. Thm. 1]. oniston osajoukon f(w ) tilavuudelle saadaan nyt dv = f dv = det ( (g i,j ) i,j=1) k dx 1 dx k. f(w ) W W

6.3. GREENIN LAUSE 39 6.2. Analyysin peruslause Isaac Barrow (1630 1677), 2 Sir Isaac Newton (1643 1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 1716) 3 Lause 6.4. Olkoot A R n avoin, γ : [a, b] A C 1 -polku ja g : A R jatkuvasti differentioituva funktio. dg = g = g(γ(b)) g(γ(a)). γ γ Tässä nollaulotteinen integraali g on järkevää tulkita päätearvosijoitukseksi g(γ(b)) g(γ(a)), koska reaaliakselin R 1 luonnollisen suunnistuksen mukaan välin γ [a, b] oikean päätepisteen b ulkonormaali n(b) = 1 ja vasemman päätepisteen a ulkonormaali n(a) = 1. George Green (1793 1841) 4 6.3. Greenin lause Lause 6.5. Olkoot R 2 kaksiulotteinen kompakti reunallinen monisto ja P, Q: R jatkuvasti differentioituvia funktioita. ( Q x P ) d(x, y) = P dx + Q dy. y ( Q Todistus. Asetetaan ω = P dx + Q dy. dω = x P ) dx dy. y Huomaa, että reunakäyrän suunta valitaan niin, että pisteessä p tangenttivektorille t T p () ja ulkonormaalille n R 2 p on [n, t] = [e 1, e 2 ] = tason standardisuunnistus. Tämä tarkoittaa, että tangenttivektori t saadaan ulkonormaalista n 90 kierrolla vastapäivään. Greenin An Essay on the Application of athematical Analysis to the Theories of Electricity and agnetism vuodelta 1828 oli ensimmäisiä matemaattisia julkaisuja, joissa yritettiin selittää sähkön ja magnetismin ominaisuuksia (sähköstatiikkaa) matemaattisesti. Työstä ovat peräisin mm. käsitteet vektorikentän potentiaali ja potentiaaliteoriasta tuttu Greenin funktio. Greenin työssään käyttämä Greenin lause on lähinnä sama kuin nykyinen divergenssilause. Tämän seurauksena hän johti kaavat, jotka nykyisin tunnetaan nimillä Greenin I kaava ja Greenin II kaava. Olisi mielenkiintoista verrata Greenin artikkelia sata vuotta myöhemmin julkaistuun klassisen potentiaaliteorian klassikkoon, O. D. Kelloggin Foundations of potential theory, Springer-Verlag, 1929. 2 Barrow n versio peruslauseesta löytyy mm. Dirk Struikin toimittamasta kirjasta A Source Book in athematics, 1200 1800, Princeton University Press, 1969. yös Leibnizin versio peruslauseesta löytyy tästä mainiosta teoksesta. 3 Latinankieliset julkaisunsa Leibniz signeerasi yleensä G. G. L., Gothofredo Gulielmo Leibnitio. 4 Osittaisderivaatalle tavanomainen symboli,, on peräisin Carl Gustav Jacob Jacobilta (1804 1851) vuodelta 1827. Wir Deutsche gebrauchen statt dessen nach Jacobi s Vorgange für partielle Ableitungen das runde. Karl Weierstrass (1815 1897) vuoden 1874 kompleksianalyysin luennoissaan.

6.4. GAUSSIN LAUSE 40 6.4. Gaussin lause 6.4.1. Joseph-Louis Lagrange 1762 (1736 1813), Johann Carl Friedrich Gauss 1813 (1777 1855), George Green 1825(?) (1793 1841), ikhail Vasilevich Ostrogradski 1831 (1801 1862) Lause 6.6. Olkoot R 3 kolmiulotteinen kompakti reunallinen monisto, n = n(p) reunan yksikköulkonomaali pisteessä p ja F jatkuvasti differentioituva vektorikenttä monistolla. div F d(x, y, z) = (F n) da eli ( F 1 x + F 2 y + F 3 ) dv = z (F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3 ) da. Todistus. Asetetaan ω = F 1 dy dz + F 2 dz dx + F 3 dx dy. dω = div F dx dy dz. Lisäksi lauseen 6.1 nojalla n 1 da = dy dz, n 2 da = dz dx ja n 3 da = dx dy. Reunalla on siis (F n) da = F 1 n 1 da + F 2 n 2 da + F 3 n 3 da Stokesin lauseen 5.6 nojalla div F dv = = F 1 dy dz + F 2 dz dx + F 3 dx dy = ω. dω = ω = (F n) da. 6.4.2. Olkoot R n suunnistettu reunallinen n-ulotteinen monisto ja n = n(p) R n p reunan yksikköulkonormaali pisteessä p. Olkoot dv n = dx 1 dx n moniston tilavuusmuoto ja dv n 1 reunan tilavuusmuoto kuten kohdassa 6.1.3. Lause 6.7 (Divergenssilause). Olkoot, n, dv n ja dv n 1 kuten edellä, sekä F jatkuvasti differentioituva vektorikenttä monistolla. div F dv n = (F n) dv n 1 Todistusidea. Olkoot vektorikentän F komponenttifunktiot F j, 1 j n. Sovelletaan Stokesin lausetta (n 1)-muotoon n ω := ( 1) j 1 F j dx 1 dx j dx n. j=1 Tälle muodolle on dω = div F dv n. Lauseen 6.3 nojalla tilavuusmuodolle dv n 1 on n dv n 1 = ( 1) j 1 n j dx 1 dx j dx n j=1

ja 6.5. STOKESIN LAUSE 41 n j dv n 1 = ( 1) j 1 dx 1 dx j dx n. Väite seuraa nyt Stokesin lauseesta 5.6 kuten Gaussin lauseen todistuksessa. Yleisemmin divergenssilause löytyy käsiteltynä mm. Leen kirjasta [8, s. 370 374]. 6.5. Stokesin lause George Gabriel Stokes, baronetti, (1819 1903), William Thomson eli Lordi Kelvin (1824 1907) Lause 6.8. Olkoot R 3 suunnistettu kaksiulotteinen kompakti reunallinen monisto, n = n(p) T p () reunan yksikköulkonomaali pisteessä p ja F jatkuvasti differentioituvia vektorikenttä jossakin moniston sisältävässä avoimessa joukossa. Olkoon t reunan yksikkötangenttivektorikenttä siten, että [n, t] on reunan reunasuunnistus. (rot F n) da = (F t) ds eli ( F (n 1 3 y F 2 ( F )+n 2 1 z z F 3 ( F )+n 3 2 x = x F 1 y )) da (F 1 t 1 + F 2 t 2 + F 3 t 3 ) ds. Tässä reaaliarvoisen funktion g : R integraali g ds = b a g(f(t)) f (t) dt, kun f : [a, b] on reunan suunnistuksen säilyttävä lokaali parametriesitys ja supp g f([a, b]). Yleisessä tapauksessa käytetään ykkösen ositusta (tai integraalin additiivisuutta integroimisjoukon suhteen). Todistus. Asetetaan ω := F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz ja G := rot F. Reunalla on siis lauseen 6.1 nojalla (rot F n) da = G 1 n 1 da + G 2 n 2 da + G 3 n 3 da Toisaalta, reunalla on myös = G 1 dy dz + G 2 dz dx + G 3 dx dy = dω. t 1 ds = dx, t 2 ds = dy, t 3 ds = dz. Nimittäin, jos v := t T p (), on dx(v) = t 1 = t 1 ds(v). Koska t on reunan tangenttiavaruuden T p () kanta, on t 1 ds = dx. uut kaavat saadaan vastaavasti. Siis Stokesin lauseen 5.6 nojalla (rot F n) da = (F t) ds = F 1 t 1 ds + F 2 t 2 ds + F 3 t 3 ds = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = ω. dω = ω = (F t) ds.

6.5. STOKESIN LAUSE 42 Pikku-Spivakista [18, esipuhe] löytyy lyhyt historia Stokesin lauseen alkuvaiheista. Ensimmäistä kertaa tulos esiintyy Lordi Kelvinin kirjeessä Stokesille heinäkuun 2. päivältä 1850 muodossa (α dx+β dy+γ dz) = ± { l ( dβ dz dγ ) ( dγ + m dy dx dα ) ( dα + n dz dy dβ )} ds. dx Tässä luvut l, m ja n ovat pinnan yksikkönormaalin suuntakosineita, ja oikean puolen derivaatat tarkoittavat osittaisderivaattoja (vrt. Greenin lauseeen yhteydessä olleeseen alahuomautukseen merkinnästä ). Kelvinin löytämä tulos oli julkisesti ensimmäistä kertaa esillä kilpailutehtävänä vuonna 1854 (Smith s Prize Examination, tehtävä 8). Tämä kilpailu oli tarkoitettu parhaille Cambridgen yliopiston matematiikan opiskelijoille, ja vuosina 1849 1882 kilpailun järjesti Stokes. Stokesin vuoden 1854 kilpailutehtäväkokoelma löytyy linkitettynä Wikipedian Stokesin lausetta käsittelevään artikkeliin. 5 Stokesin aikana tulokselle esitettiin ainakin kolme eri todistusta; yksi Kelviniltä, yksi Kelvinin ja Peter Guthrie Taitin kirjassa Treatise on Natural Philosophy (1867) and yksi axwellin kirjassa A Treatise on Electricity and agnetism (1873). Stokesin kuoleman aikaan tulos tunnettiin kuitenkin Stokesin lauseena. 5 http://en.wikipedia.org/wiki/stokes%27 theorem

6.6.1. Analyysin peruslause. 6.6. GALLERIA 43 6.6. Galleria Isaac Barrow Gottfried Wilhelm Isaac Newton 1630 1677 von Leibniz 1643 1727 1646 1716 6.6.2. Greenin lause. Greenin Esseen kansi. George Green 1793 1841 Essee on omistettu Newcastlen herttualle

6.6. GALLERIA 44 6.6.3. Gaussin lause. Joseph-Louis Lagrange Johann Carl Friedrich Gauss 1736 1813 1777 1855 Greenin Esseellä ikhail Vasilevich Ostrogradski oli 51 tilaajaa 1801 1862

6.6. GALLERIA 45 6.6.4. Stokesin lause. William Thomson 1824 1907 George Gabriel Stokes 1819 1903 Tämän gallerian henkilökuvat on lainattu Wikipediasta; Greenistä kuvaa ei ole.