Aritmeettiste fuktioide keskiarvot Averages of Arithmetical Fuctios Marko Hiltue Pro gradu -tutkielma Helmikuu 207 MATEMAATTISTEN TIETEIDEN TUTKINTO-OHJELMA OULUN YLIOPISTO
Sisältö Johdato 2 2 Peruskäsitteitä 3 3 Aritmeettisia fuktioita 4 4 Multiplikatiivisuus ja yleistetyt kovoluutiot 8 4. Multiplikatiiviset fuktiot.................... 9 4.2 Yleistetyt kovoluutiot...................... 0 5 Euleri summakaava 6 Asymptoottikaavoja 3 7 Aritmeettiste fuktioide keskiarvoja 6 7. Fuktio d( keskiarvo..................... 7 7.2 Fuktio σ α ( keskiarvo..................... 20 7.3 Fuktio ϕ( keskiarvo..................... 24 8 Origosta äkyvät hilapisteet 26 9 Fuktiot µ( ja Λ( 29 9. Fuktioide µ( ja Λ( keskiarvot............... 29 9.2 Dirichleti tulo osittaissummat................. 30 9.3 Sovelluksia fuktiolle µ( ja Λ(................ 3 9.4 Toie tulos Dirichleti tulo osittaissummille......... 36
Johdato Tutkielmassa perehdytää erilaiste aritmeettiste fuktioide omiaisuuksii, ku muuttuja arvo o suuri. Suurilla muuttujie arvoilla fuktioide arvot voivat vaihdella suurestiki, kute esimerkiksi tekijäfuktiolla d(, joka arvot vaihtelevat luvu kaksi ja mielivaltaise suurte lukuje välillä. Vaihtelu määrä kasvaa merkittävästi, mitä suuremmaksi muuttuja arvo kasvaa. Vaihtelu takia aritmeettiste fuktioide käyttäytymistä o tämä takia hakala käsitellä suurilla muuttuja arvoilla. Joskus tutkimista auttaa aritmeettie keskiarvo f( = f(k. Keskiarvot tasoittavat vaihtelua, jote o järkevää olettaa keskiarvo käyttäytyvä sääöllisemmi suurillaki muuttuja arvoilla. Tämä pätee varsiki aikaisemmi esitetylle tekijäfuktiolle d(. Työssä osoitetaa, että tekijäfuktio keskiarvo d( o luokkaa log x suurilla arvoilla. Tarkemmi ilmaistua lim k= d( log =. Tällöi fuktio d( keskiarvo o log. Dirichleti johtama tulos tekijäfuktio osittaissummille vuodelta 849 o merkittävä, sillä se o tarkempi tulos kui yllä oleva raja-arvo. Keskiarvoje tutkimisee tarvitaa mielivaltaise fuktio osasummia k= f(k. Usei summaukse yläraja korvataa reaaliluvulla x, jolloi summa kirjoitetaa muodossa f(k, k x missä k käy läpi kokoaisluvut ykkösestä lukuu x asti. Työssä perehdytää Euleri ϕ-fuktio, Möbius fuktio sekä Magoldt' fuktio keskiarvoihi. Työssä johdetaa myös Euleri summakaava, joka o hyödyllie keskiarvoja johdettaessa. Tutkielma tärkeipää lähteeä o käytetty Tom M. Apostoli kirjaa Itroductio to Aalytic Number Theory []. 2
2 Peruskäsitteitä Lause 2.. Kokoaisluku voidaa esittää alkulukuje tuloa. Tällöi a = p a p a 2 2 p a ja b = p b p b 2 2 p b ja äide lukuje suuri yhteie tekijä eli syt(a, b saadaa seuraavalla tavalla syt(a, b = p mi(a,b p mi(a 2,b 2 2 p mi(a,b. Todistus. Katso [2]. Merkitää tästä eteepäi syt(a, b = (a, b. Määritelmä 2.2. Luvut x ja y ovat suhteellisia alkulukuja, jos (x, y =. Määritelmä 2.3. Lattiafuktio (eli porrasfuktio saadaa asettamalla aia, ku x R. Merkitää vielä [ ] : R Z [x] = max{ Z x} {x} = x [x], missä {x} tarkoittaa luvu desimaaliosaa. (Vertaa [3]. Määritelmä 2.4. Euleri vakio C määritellää yhtälöllä C = lim Määritelmä 2.5. Jos g(x > 0 kaikille x a, ii ( + 2 + 3 +... + log(. ( f(x = O(g(x (2 tarkoittaa sitä, että osamäärä f(x/g(x o rajoitettu, ku x a. Täte o olemassa sellaie vakio M > 0, että f(x Mg(x kaikille x a. Tällöi saotaa, että fuktio f(x o iso O fuktiosta g(x. 3
Määritelmä 2.6. Jos f(x lim x g(x =, ii fuktio f(x o asymptoottie fuktio g(x kassa, ku x lähestyy ääretotä. Käytetää asymptoottisuudelle merkitää f(x g(x, ku x. Määritelmä 2.7. Määritellää Riemai ζ-fuktio ζ(s = =, ku s >, s ja ( ζ(s = lim x x s, ku 0 < s <. s s 3 Aritmeettisia fuktioita Määritelmä 3.. Möbius-fuktio µ( määritellää seuraavalla tavalla: µ( =. Jos >, N, ii = p a p a k k. Tällöi µ( = ( k, jos a = a 2 =... = a k =, µ( = 0 muulloi. (3 Huomaa, että µ( = 0 jos ja vai jos luvulla o joki eliötekijä. Esimerkki 3.2. Lasketaa µ(9688. Jaetaa esi luku alkulukutekijöihi. Saadaa 9688 = 2 4844 = 2 2 2422. Luvu alkulukutekijöissä o aiaki yksi korkeampi potessi tekijöillä kui, jolloi määritelmä mukaa µ(9688 = 0. Lause 3.3. Summa µ(d = d [ ] {, ku =, = 0, ku >. 4
Todistus. Jaetaa tarkastelu kahtee osaa. Olkoo esi =, jolloi saadaa d µ(d = [/] =. Olkoo sitte >. Tällöi luku voidaa esittää alkulukutekijöidesä tuloa = p a p k k, missä k o kokoaisluku. Nollasta eroavat termit saadaa, ku d = ja sellaisista luvu tekijöistä, jotka ovat erilliste alkulukuje tuloja. Täte µ( =µ(p + µ(p 2 + + µ(p k + µ(p p 2 + + µ(p k p k d + µ(p p 2 p 3 + + µ(p p 2 p k ( ( ( k k k = + ( + ( 2 + + ( k. 2 k Biomilausee avulla lauseke saadaa muotoo ( k, mikä o olla. Määritelmä 3.4. Euleri fuktio ϕ( arvo o iide lukuje k summa, jotka ovat luvu kassa suhteellisia alkulukuja. Täte ϕ( =. (4 missä merkitsee, että summa käy läpi kaikki e luvut k, jotka ovat luvu kassa suhteellisia alkulukuja. k= Lemma 3.5. Fuktio ϕ arvot voidaa laskea kaavasta ( ϕ(p k = p k p k = p k, p ku p o alkuluku ja k kokoaisluku. Todistus. Koska p o alkuluku, ii luvut m, joille pätee (p k, m, ovat alkuluvu p moikertoja. Nämä luvut ovat p, 2p, 3p,..., p k p = p k. Näitä o yhteesä p k kappaletta. Luvu p k kassa suhteellisia alkulukuja o tällöi p k p k kappaletta, mikä todistaa väittee. Lemma 3.6. Fuktiolle ϕ pätee ϕ(m = ϕ(mϕ(, jos (m, =. Todistus. Katso [2]. Esimerkki 3.7. Lasketaa ϕ(36. Aritmetiika peruslausee ojalla 36 = 2 2 3 2, jolloi saadaa ϕ(36 = ϕ(2 2 ϕ(3 2 = 4( /2 9( /3 = 36 /2 /3 = 2. Listaamalla luvut ovat, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 25, 29, 3 ja 35. 5
Lause 3.8 (Fuktioide µ ja ϕ välie yhteys. Jos, ii ϕ( = d µ(d d. Todistus. Summa (4 voi kirjoittaa myös muodossa ϕ( = k= [ ], (, k missä luku k käy läpi luvut, 2,..., ja summaa yhtee vai e luvut, jotka ovat luvu kassa suhteellisia alkulukuja. Lausee 3.3 ojalla summa saadaa muotoo ϕ( = k= d (,k µ(d = µ(d. Koska d k, ii k = qd, missä q /d, sillä luku d jakaa myös luvu. Koska k = qd, ii tällöi k jos ja vai jos q /d. Täte viimeie summa voidaa kirjoittaa muotoo k= d d k ϕ( = d /d q= µ(d = d Tämä todistaa väittee oikeaksi. /d µ(d = q= d µ(d d. Määritelmä 3.9. Määritellää aritmeettie fuktio I seuraavalla tavalla: [ ] {, jos =, I( = = 0, jos >. Tätä kutsutaa idetiteettifuktioksi. Määritelmä 3.0. Olkoo α reaaliluku tai kompleksiluku ja olkoo kokoaisluku >. Tällöi tekijäfuktio σ α ( määritellää σ α ( = d d α. (5 Summassa luvu tekijät korotetaa potessii α. 6
Ku α = 0, ii σ 0 ( o luvu tekijöide määrä. Tälle käytetää myös merkitää d(. Ku α =, ii σ ( o luvu tekijöide summa. Tälle käytetää myös merkitää σ(. Olkoo p alkuluku ja a. Tällöi lausekkee σ α (p a tekijät ovat, p, p 2,..., p a, jote p α(a+ σ α (p a = α + p α + p 2α +... + p aα, jos α 0, = p α a +, jos α = 0. Määritelmä 3.. Määritellää Magoldt' fuktio Λ( seuraavasti: Jokaiselle kokoaisluvulle { log p, jos = p m jolleki alkuluvulle p ja luvulle m, Λ( = (6 0, muulloi. Esimerkki 3.2. Tarkastellaa lukuja 3, 32 ja 33. Näistä luku 3 o alkuluku. Tällöi Λ(3 = log 3. Luku 32 = 2 5, jolloi määritelmä mukaa Λ(32 = log 2. Viimeiseä luku 33 = 3. Kahde alkuluvu tulo ataa määritelmä mukaa tulokse olla, jote Λ(33 = 0. Lause 3.3. Jos, ii tällöi log = d Λ(d. (7 Todistus. Lause o tosi, jos =, sillä molemmat puolet saavat arvo 0. Tarkastellaa tilaetta, jossa > : = r k= Ottamalla logaritmi puolittai saadaa p a k k = pa p a 2 2 p ar r. log = a log p + a 2 log p 2 +... + a r log p r = r a k log p k. Tarkastellaa seuraavaksi yhtälö (7 oikeaa puolta. Nollasta eriävät termit tulevat jakajalta d, joka o muotoa p m k luvu m arvoilla, 2,..., a k ja k =, 2,... r. Täte r a k Λ(d = Λ(p m k. d k= m= 7 k=
Määritelmä 3. perusteella saadaa Λ(d = d r a k k= m= Λ(p m k = r a k k= m= log p k = r a k log p k = log, k= mikä todistaa yhtälö (7. 4 Multiplikatiivisuus ja yleistetyt kovoluutiot Määritelmä 4.. Jos f ja g ovat aritmeettisia fuktioita, ii äide fuktioide Dirichleti tulo o aritmeettie fuktio h, joka määrittää tulo h( = d f(dg (. (8 d Merkitää f g = h ja (f g( = h(. Aritmeettiste fuktioide joukko varustettua Dirichleti tulolla muodostaa Abeli ryhmä. Lause 4.2. Olkoo f, g ja k aritmeettisia fuktioita. Tällöi iille o voimassa f g = g f (kommutatiivisuus, (f g k = f (g k (assosiatiivisuus. sekä (f I( = (I f( = f(. Todistus. Huomataa, että f g voidaa kirjoittaa muodossa (f g( = f(ag(b = g(bf(a = (g f(, a b= a b= mistä seuraa kommutatiivisuus. Assossiatiivisuude toteamiseksi merkitää g k = A, jolloi saadaa f (g k = f A. Tällöi (f A( = f(aa(d = g(bk(c a d= = a b c= f(ag(bk(c. a d= f(a b c=d Toisaalta, jos B = f g, ii tällöi saadaa B k, joka voidaa kirjoittaa yllä olevaa summalausekemuotoo. Täte f A = B k ovat yhtä pitäviä. 8
4. Multiplikatiiviset fuktiot Dirichleti multiplikaatio muodosti Abeli ryhmä, kute aikaisemmi totesimme. Tälle ryhmälle o olemassa tärkeä aliryhmä multiplikatiiviset fuktiot. Määritelmä 4.3. Aritmeettista fuktiota f kutsutaa multiplikatiiviseksi, jos f ei ole idettisesti olla ja jos f(m = f(mf( aia, ku (m, =. Multiplikatiivie fuktio o täysi multiplikatiivie, jos f(m = f(mf( millä tahasa muuttujie m ja arvoilla. Lause 4.4. Jos f o multiplikatiivie, ii tällöi f( =. Todistus. Määritelmä mukaa f( = f(f(, sillä (, = kaikilla muuttuja arvoilla. Määritelmä mukaa myös f ei ole idettisesti olla, jote tästä seuraa f( 0 millää muuttuja arvolla. Näi f( =. Lause 4.5. Fuktio f o multiplikatiivie jos ja vai jos f(p a p ar r = f(p a f(p ar r kaikilla alkuluvuilla p ja kaikilla kokoaisluvuilla a i. Todistus. " "Olkoo f multiplikatiivie. Tällöi sille pätee f(m = f(mf( aia ku (m, =. Nyt f koostuu erillisistä alkulukuje potesseista. Tällöi (p a i =. Tästä saadaa määritelmä ojalla i, pa j j f(p a p ar r = f(p a p a r r f(p ar r =... = f(p a f(p ar r. " "Olkoo f(p a p ar r = f(p a f(p ar r. Jos ja 2 ovat positiivisia kokoaislukuja ja (, 2 =, ii äide lukuje alkulukuhajotelmat muodostuvat erillisistä alkulukuje joukoista. Tällöi oletukse mukaie esitys o yhtä määritelmä kassa, mikä todistaa lausee. Aikaisemmi esitelty tekijäfuktio o multiplikatiivie. 9
4.2 Yleistetyt kovoluutiot Olkoo F reaali- tai kompleksiarvoie fuktio, joka o määritelty positiivisella x-akselilla site, että F (x = 0 kaikilla arvoilla 0 < x <. Olkoo α mielivaltaie aritmeettie fuktio. Seuraava tyyppiset summat ( x α(f ovat yleisiä lukuteoriassa. Summa määrittelee uude fuktio G, joka määrittelyjoukko o myös positiivie x-akseli. G(x = 0, ku 0 < x <. Merkitää G = α F, jolloi saadaa (α F (x = ( x α(f. Jos F (x = 0 aia, ku x ei ole kokoaisluku, saadaa fuktiosta F aritmeettie fuktio ja huomataa, että (α F (x = (α F (x kaikille kokoaisluvuille m. Tällöi merkitää " " voidaa pitää yleistykseä Dirichleti kovoluutio merkiälle " ". Operaatio ei kuitekaa aia ole kommutatiivie tai assosiatiivie. Kuiteki seuraava lause tarjoaa vaihtoehdo assosiatiivisuudelle. Lause 4.6. Olkoo α ja β aritmeettisia fuktioita. Tällöi Todistus. Kaikille x > 0 pätee ( α (β F (x = α( α (β F = (α β F. (9 m x/ ( x β(mf = ( x α(β(mf. m m m Merkitää yt k = m. Tällöi summa käy läpi luvut kaikki luvut k, jotka ovat pieempia kui x. Fuktio β muuttujaksi tulee (k/ ja tuloo saadaa toie summa, missä luku jakaa luvu k, sillä edellisessä vaiheessa luvut m ja käyvät läpi kaikki tulot, jotka olivat pieempiä kui x. Tällöi saadaa m α(β(mf ( x m = ( ( k α(β F k x k ( x k. Käytetää Määritelmää 4., jolloi sisempi summa voidaa korvata fuktioide α ja β Dirichleti tulolla. Tällöi saadaa ( x (α β(kf = ( (α β F (x. k k x 0
Idetiteettikuvaus I( = [/] o vasemmapuoleie idetiteetti operaatiolle " ", sillä (I F (x = [ ] ( x F = F (x. 5 Euleri summakaava Joskus o mahdollista saada osittaissumma asymptoottie arvo vertaamalla sitä itegraalii. Euleri summakaavalla saadaa selville tarkka virhe tähä approksimoitii. Lause 5.. Jos fuktiolla f o jatkuva derivaatta f välillä [y, x], missä 0 < y < x, ii tällöi f( = f(tdt + (t [t]f (tdt y y (0 y< + f(x([x] x f(y([y] y. Todistus. Olkoo m = [y] ja k = [x]. Kokoaisluvuille ja välillä [y, x] saadaa [t]f (tdt = ( f (tdt = ( (f( f( = (f( ( f( f(. Koko aluee yli voidaa muodostaa itegraalie summa m+2 m+ [t]f (tdt + m+3 m+2 [t]f (tdt +... + k k [t]f (tdt. Itegraaleista muodostuu teleskooppisumma. Täte voidaa muodostaa yksi itegraali, missä alarajaksi tulee m + ja ylärajaksi k: k m+ [t]f (tdt = kf(k (m + f(m + = kf(k mf(m + y< k =m+2 f(. f( Koska luvut x ja y kuuluvat reaalilukuihi ja [x] = k sekä [y] = m, ii itegraalista puuttuvat vielä välit [y, m + ] sekä [k, x]. Itegroitaessa esimmäie väli saadaa m+ y [t]f (tdt = m+ y mf (tdt = m(f(m+ f(y = mf(m+ mf(y.
Itegroitaessa viimeie väli [t]f (tdt = k k kf (tdt = k(f(x f(k = kf(x kf(k. Summaamalla itegraalit koko väli [y, x] yli saadaa Tästä saadaa y [t]f (tdt =mf(m + mf(y + kf(k mf(m + f( + kf(x kf(k y< =kf(x mf(y f( = y< y y< f(. [t]f (tdt + kf(x mf(y. ( Merkitää yt k = x {x} ja m = y {y}, jolloi saadaa f( = [t]f (tdt + xf(x yf(y {x}f(x + {y}f(y. (2 y< y Osittaisitegroimalla saadaa f(tdt = xf(x yf(y y y eli xf(x yf(y = f(tdt + y y Sijoittamalla tämä yhtälöö (2 saadaa f( = [t]f (tdt + f(tdt + y< y y y tf (tdt tf (tdt. tf (tdt {x}f(x + {y}f(y Esimmäie ja kolmas itegraali voidaa yhdistää, jolloi saadaa f( = f(t + (t [t]f (tdt {x}f(x + {y}f(y. y< y y Sijoitetaa yt {x} = x [x] ja {y} = y [y], jolloi saadaa f( = f(t + (t [t]f (tdt + ([x] xf(x ([y] yf(y. y< y y 2
6 Asymptoottikaavoja Seuraavassa lauseessa esitellää erilaisia asymptoottikaavoja, jotka ovat seurausta Euleri summakaavasta. Kaavoissa C o Euleri vakio, ζ Riemai zeta-fuktio ja Z +. Lause 6.. Olkoo x, ii tällöi (a ( = log x + C + O. x (b (c >x (d s = x s s + ζ(s + O(x s, ku s > 0 ja s. s = O(x s, ku s >. α = xα+ α + + O(xα, ku α 0. Todistus. Kohtaa (a valitaa fuktioksi f(t = /t ja sijoitetaa tämä Euleri summakaavaa, jolloi saadaa = + < = dt t t [t] t 2 dt + x [x]. (3 x Arvioidaa termiä (x [x]/x. Koska osoittajaa jää jäljelle luvu x desimaaliosa, joka o pieempi kui yksi, ii tällöi Täte f(x = x [x] x f(x g(x < x = g(x. = x [x] < = M. Tästä seuraa, että f(x < Mg(x, jolloi saadaa f(x = x [x] x ( = O(g(x = O. x Sijoitetaa tämä yhtälöö (3, jolloi saadaa = log x t [t] dt + + O(. t 2 x 3
Nyt t [t] c dt = lim t 2 c t [t] c t [t] dt + lim dt, (4 t 2 c x t 2 sillä vasemmalla puolella o väli luvusta lukuu x ja oikealla puolella o epäoleellie itegraali luvusta äärettömää, joho lisätää epäoleellie itegraali luvusta x äärettömää. Tällöi itegroitiväli pysyy samaa. Jälkimmäie epäoleellie itegraali o olemassa, sillä se suppeee, ku muuttuja lähestyy ääretötä. Tällöi itegraalia voidaa arvioida ylöspäi c 0 lim c x t [t] c dt lim t 2 c x t 2 dt = x. Täte edellä arvioitu itegraali sisältyy fuktioo O(/x ja yhtälö sieveee muotoo = log x + t [t] dt + O(. (5 t 2 x Yhtälö (a pitää paikkaasa, jos C = t [t] dt. t 2 Ku muuttuja x lähestyy ääretötä, siirtämällä yhtälö (5 termejä sopivasti saadaa ( t [t] dt = lim t 2 x log x. Tämä o Määritelmä 2.4 ojalla Euleri vakio C, mikä todistaa kohda (a. Kohtaa (b valitaa fuktioksi f(x = x s, missä s > 0 ja s ja sijoitetaa se Euleri summafuktioo, jolloi saadaa = + s <x x = dt t s s t [t] t s+ x [x] dt +. (6 x s Itegroitaessa esimmäie termi saadaa itegraalifuktioksi (t s /( s, joho sijoittamalla yläraja ja alaraja saadaa (x s /( s (/( s. Edellise yhtälö viimeistä termiä voidaa arvioida samalla tavalla kui tehtii yhtälössä (3, jolloi saadaa x [x] x s < x s. 4
Täte voidaa merkitä x [x] x s = O( x s = O(x s. Tarkastellaa seuraavaksi toista itegraalia. Muokkaamalla itegroitivälejä, kute yhtälössä (4 saadaa t [t] t s+ dt = lim c c t [t] t s+ c + lim c x t [t] t dt. s+ Arvioidaa itegraalia välillä [x, c] ylöspäi ja itegroidaa se jälkee, jolloi saadaa c t [t] c lim < lim c x t s+ c x t = s+ x = s x s. Saatu x s saadaa sisällytettyä virhetermii O(x s. Sijoittamalla ämä yhtälöö (6 saadaa = x s s s s + s t [t] t dt + s+ O(x s. Merkitää seuraavaksi C(s = s s t [t] t dt s+ ja sijoitetaa tämä ylempää yhtälöö, jolloi saadaa s = x s s + C(s + O(x s. (7 Jos s > ja muuttuja x lähestyy ääretötä, ii yhtälö (7 vase puoli lähestyy fuktiota ζ(s ja termit x s sekä x s lähestyvät ollaa. Täte ζ(s = C(s. Jos 0 < s < ja luku x lähestyy ääretötä, ii termi x s lähestyy ollaa, jolloi yhtälö (7 saadaa muotoo lim x ( x s s s = C(s. Nyt C(s = ζ(s aia ku 0 < s <, mikä todistaa kohda (b oikeaksi. 5
Kohda (c todistamisee käytetää kohtaa (b, ku s >, jolloi saadaa = ζ(s s = x s s s + O(x s = O(x s. >x Tuloksee päädytää approksimoimalla x s x s. Tämä pätee, sillä s >. Kohda (d todistamisessa, sijoitetaa Euleri summakaavaa f(t = t α. Tällöi saadaa α = + α = t α dt+α t α (t [t]dt+ (x [x]x α. (8 < Arvioidaa esi t [t] < ja itegroidaa jälkimmäie itegraali, jolloi saadaa ( x α t α (t [t]dt < α t α α dt = α α x0 = x α. α Samoi x [x] <, jolloi saadaa (x [x]x α < x α. Sijoittamalla ämä tulokset yhtälöö (8 ja merkitsemällä ylöspäi arvioituja termejä iso O fuktioilla saadaa α = t α dt + O(x α + + O(x α = t α dt + O(x α. Itegroitaessa väli [, x] saadaa α = xα+ α + α + + O(xα. Koska termi ( /(α + o vakio, ii se voidaa sisällyttää virhetermii, jolloi saadaa haluttu muoto mikä todistaa kohda (d. α = xα+ α + + O(xα, 7 Aritmeettiste fuktioide keskiarvoja Tässä kappaleessa perehdytää fuktioide σ α ( ja ϕ( keskiarvoihi. Samalla todistetaa myös Dirichleti asymptoottikaava tekijäfuktiolle d(. Myöhemmi tarkastellaa vielä aritmeettiste fuktioide µ( ja Λ( keskiarvoja sekä muita omiaisuuksia. 6
7. Fuktio d( keskiarvo Lause 7.. Kaikille luvuille x o voimassa d( = x log x + (2C x + O( x, (9 missä C o Euleri vakio. Todistus. Koska tekijäfuktio d( = d, ii. d( = Sijoittamalla = qd, missä q o kokoaisluku, saadaa kaksoissumma muotoo =. (20 d q,d qd x Pisteparit qd, jotka toteuttavat ehdo qd x, voidaa sijoittaa (q, d- koordiaatistoo. Ehdo qd = täyttävät pisteparit asettuvat hilapisteiksi qd-tasolle ja e sijaitsevat fuktio f(x = /x käyrällä, kute Kuvasta ähdää. Yhtälö (20 laskee hilapisteet luvu arvoille, 2, 3,..., [x]. Jokaiselle kiiitetylle luvulle d x voidaa laskea hilapisteide määrä vaakarivillä, joka toteuttaa ehdo q x/d, ja tämä jälkee voidaa laskea summa jouko d x yli. Tällöi yhtälö (20 saadaa muotoo d = q,d qd x d = d x q x/d. (2 Seuraavaksi käytetää kohtaa (d Lauseesta 6. ja ku α = 0, jolloi = x d + O(. q x/d Lausee 6. kohda (a avulla saadaa d( = ( x d + O( = x d + O(x d x d x ( ( =x log x + C + O + O(x = x log x + O(x. x Näi saatu tulos tekijöide summalle o kokoluokkaa x log x, ku luku x lähestyy ääretötä. Tulos o heikompi versio yhtälöstä (9 ja se ataa fuktio d( keskiarvoksi log. 7
Kuva : Koordiaatistoo o piirretty hyperbelit /x, 4/x ja 9/x sekä äide kuvaajie hilapisteet. Palataa yhtälöö (20 varsiaise Dirichleti asymptoottikaava todistamisessa. Hyödyetää todistuksessa hyperboli symmetrisyyttä. Symmetria-akselia o suora q = d. Hilapisteide kokoaislukumäärä saadaa laskemalla symmetria-akseli alapuolella olevie pisteide määrä kaksikertaisea ja tähä lisätää pisteet, jotka sijaitsevat suoralla q = d. Kuvasta 2 ähdää, että d( = 2 ([ ] x d + [ x]. d d x Käytetää tähä yhtälöä [y] = y + O(. Tällöi saadaa d( = 2 ( x d d + O( + O( x 2x d x d x d 2 d x 8 d + O( x.
Kuva 2: Hilapisteide laskemie aettuu muuttuja x arvoo asti. Sovelletaa esimmäisee summaa Lausee 6. kohtaa (a ja jälkimmäisee summaa kohtaa (d luvu α arvolla, jolloi saadaa ( d( = 2x log ( ( x x + C + O x 2 2 + O( x + O( x = x log x + (2C x + O( x. Huomautus 7.2. Asymptoottikaava virhetermiä O( x voidaa tarketaa. Vuoa 903 Vorooï osoitti, että virhe o korkeitaa O(x /3 log x. Vuoa 922 va der Corput osoitti virhee oleva korkeitaa O(x 33/00. Tarkimma tulokse tähä meessä o osoittaut Huxley vuoa 2003. Hä osoitti, että virhe o korkeitaa O(x 3/46 0, 3490 [6]. Vuoa 95 Hardy ja Ladau kuiteki osoittivat, että virhetermi o vähitää O(x /4. Tarkkaa virhetermiä ei tueta ja ogelma tuetaa imellä Dirichleti tekijä-ogelmaa (Dirichlet's divisor problem. 9
7.2 Fuktio σ α ( keskiarvo Tapaus α = 0 käsiteltii Lauseessa 7.. Oletetaa seuraavaksi, että α > 0 ja käsitellää vielä tilae α = eriksee. Lause 7.3. Olkoo x ja olkoo α =. Tällöi σ ( = 2 ζ(2x2 + O(x log x. (22 Todistus. Käytetää samalaista meetelmää kui Lausee 7. heikomma versio todistamisessa. Tällöi σ ( = q = q = q. q q,d d x q x/d qd x Sovelletaa tähä Lausee 6. kohtaa (d luvu α arvolla ja merkitää q = x/d, jolloi saadaa σ ( = ( x 2 ( x + O 2( d = x2 ( d 2 d + O x. 2 d d x d x d x Korvataa summat Lausee 6. kohdilla (a ja (b. Kohda (a avulla saadaa d = log x + C + O( x. d x Virhetermiä olevaa summaa kuuluvat vakio C ja termi O(/x. Nämä sisältyvät termii O(log x. Täte ( O x = O(x log x. d d x Lausee 6. kohda (b avulla saadaa d x d 2 = x 2 2 + ζ(2 + O(x 2 = x + ζ(2 + O ( x 2. Yhdistämällä ämä saadaa ( σ ( = x2 x ( x 2 + ζ(2 + O + O(x log x 2 = 2 ζ(2x2 + O(x log x. 20
Lause 7.4. Fuktio ζ(s arvo muuttuja arvolla 2 o 6/π 2. [4] Todistus. Käytetää esiksi Taylori sarjakehitelmää fuktiolle si x, jolloi saadaa si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... ja jaetaa yhtälö puolittai muuttujalla x ja x 0. Tällöi saadaa si x x = x2 3! + x4 5! x6 7! +... Murtofuktio arvo o olla, aia ku osoittaja saa arvo olla. Täte fuktiolla (si x/x o ollakohta aia kohdassa kπ, missä k o kokoaisluku, mutta ei olla. Käyttämällä Weierstrassi tekijöihijakolausetta saadaa toie esitys fuktiolle (si x/x kirjoittamalla fuktio ollakohtiesa tuloa. Nollakohdat voidaa kirjoittaa muodossa x = kπ eli 0 = x kπ. Tällöi saadaa si x ( x = x ( + x ( x ( + x ( x ( + x... π π 2π 2π 3π 3π Kertomalla termit pareittai auki saadaa yhtälö si x x = ( x2 π 2 ( x2 4π 2 ( x2 9π 2... Seuraavaksi tuloa lähdetää purkamaa site, että muodostuu summa, jossa muutuja x aste o kaksi. Muista termeistä ei olla tässä kiiostueita. Purkamalla auki sopivasti saadaa ( x2 π x2 2 4π x2 2 9π... = 2 x2 π + 2 4π + 2 9π +.... 2 Palataa takaisi Taylori kehitelmää ja huomataa, että termi x 2 kerroi o /3! = /6. Koska molemmat muodot ovat yhtäpitäviä, ii tällöi o oltava ( 6 = π + 2 4π + 2 9π +..., 2 mistä kertomalla yhtälö puolittai luvulla π 2 saadaa + 4 + 9 +... = = 2 = π2 6. 2
Huomautus 7.5. Nyt ζ(2 = π 2 /6. Tämä sijoitettua yhtälöö (22 ataa yhtälö σ ( keskiarvoksi (π 2 /2. Lause 7.6. Olkoo x ja α > 0, α. Tällöi missä β = max{, α}. Todistus. Nyt σ α ( = ζ(α + α + xα+ + O(x β, σ α ( = q α. Merkitää yt = qd, sillä q. Koska x, ii sijoitetaa luvu paikalle tulo qd, jolloi saadaa qd x eli q x/d. Tällöi voidaa summata kaikkie kokoaislukuje q yli, jotka toteuttavat ehdo q x/d ja se jälkee käydää läpi kaikki luvut d, jotka toteuttavat ehdo d x. Näi Lausee 6. kohda (d ja luvu α arvolla saadaa d x σ α ( = q α = d x q x/d d x Tästä saadaa laskemalla ( ( α+ x x α + O( α + d d α q ( α + ( x d = xα+ α + d x α+ + O( x α d α. ( d + O x α α+ d x d α Hyödytämällä Lausee 6. kohtaa (b molempii summii saadaa x α+ ( α + d + O x ( 2 = xα+ x α α+ d α α + α + ζ(α + + O(x α d x d x ( x + O (x α α α + ζ(α + O(x α. Avaamalla esimmäiset sulut saadaa ζ(α + α + xα+ + O(x + O( ja avaamalla jälkimmäiset sulut saadaa ( x O α + ζ(αxα + O( = O(x + O(x α + O(. 22
Täte σ α ( = ζ(α + α + xα+ + O(x + O( + O(x α. Ku α <, ii tällöi termi O(x o hallitseva virhetermi. Vastaavasti, ku α >, ii termi O(x α o hallitseva. Täte missä β = max(, α. σ α ( = ζ(α + α + xα+ + O(x β, Fuktio σ α ( keskiarvo egatiiviselle luvulle α saadaa sijoittamalla α = β, β > 0. Lause 7.7. Olkoo β > 0 ja olkoo δ = max(0, β. Jos x >, ii tällöi { ζ(β + x + O(x δ, ku β, σ β ( = ζ(2x + O(log x, ku β =. Todistus. Merkitää σ β ( = d β = d β Käytetää samalaista päättelyä kui Lauseessa 7.6, jolloi saadaa d = β d =. β d β d x d x d d q x/d d q x/d Nyt jälkimmäie summa o x/d + O(, jote saadaa d x d β q x/d = d x d x ( x d β d + O( = x d + O β+ d x ( Jos β =, ii tällöi virhetermiksi muodostuu ( ( ( O = O log x + C + O = O(log x. d x d x. d β Hallitseva log x, jolloi virhe o O(log x. Jos β, ii Lausee 6. kohda (b ojalla virhetermi o ( ( x β O = O d β β + ζ(β + O(x β = O(x β + O(. d x 23
Tarkastellaa termiä x d x (/dβ. Sovelletaa Lausee 6. kohtaa (b, jolloi x d x d = x x β + ζ(β + x + xo(x β β β = x β β + ζ(β + x + O(x β = ζ(β + x + O(x β. Summa virhetermi määräytyy ekspoetista β. Jos β =, ii ja = ζ(2 + O(log x dβ d d ku β, missä δ = max(0, β. d = ζ(β + x + β O(xδ, 7.3 Fuktio ϕ( keskiarvo Euleri ϕ-fuktio keskiarvo laskemisee tarvitaa sarja = µ( 2 summaa. Se suppeee absoluuttisesti, sillä se majoratti o = 2. Lause 7.8. Olkoo fuktiot F (2 = = sekä f( = ja g( = µ(. Tällöi = Todistus. Katso [] sivu 228. f( 2 ja G(2 = = g( 2 µ( 2 = ζ(2 = 6 π 2. (23 Merkitää yt µ( 2 = = µ( 2 >x µ( 2 24
ja hyödytämällä Lausee 6. kohtaa (c saadaa jälkimmäie summa muotoo µ( µ( = 6 ( 2 2 π + O = 6 ( 2 2 π + O. 2 x >x >x = Käytetää tätä lähtökohtaa fuktio ϕ( keskiarvo johtamisee. Lause 7.9. Olkoo x >. Tällöi ϕ( = 3 π 2 x2 + O(x log x. (24 Todistus. Aloitetaa todistus Lausee 3.8 yhtälöstä ϕ( = d µ(d d, jolloi saadaa ϕ( = d µ(d d = q,d qd x µ(dq = d x Lausee 6. kohda (d ja luvu α arvolla saadaa ϕ( = ( µ(d 2 d x ( 2 x + O d ( x d µ(d. q x/d Avamaalla sulut ja uudellee järjestelemällä yhtälö saadaa muotoo ϕ( = ( µ(d 2 x2 + O x. d 2 d d x d x Hyödytämällä Lausetta 7.8 esimmäisee summaa ja Lausee 6. kohtaa (a toisee summaa saadaa q. = 2 x2 ( 6 π 2 + O ( x + O(x log x = 3 π 2 x2 + O(x log x. 25
8 Origosta äkyvät hilapisteet Fuktio ϕ( osittaissummie asymptoottikaavaa voidaa soveltaa teoriaa, joka koskee hilapisteide, jotka voidaa ähdä origosta, jakautumisee tasolla. Määritelmä 8.. Hilapisteet P ja Q ovat kahdekeskeisesti äkyviä, jos pisteide välisellä jaalla ei ole muita hilapisteitä kui päätepisteet P ja Q. Lause 8.2. Kaksi hilapistettä (a, b ja (m, ovat kahdekeskeisesti äkyviä jos ja vai jos luvut a m ja b ovat suhteellisia alkulukuja. Todistus. Tarkastellaa esi tapausta, jossa hilapiste (m, = 0. Oletetaa esi, että hilapiste (a, b o äkyvä origosta ja olkoo d = (a, b. Jos d >, ii tällöi a = dp ja b = dq. Tällöi hilapiste (p, q o origo ja hilapistee (a, b välissä, koska k = b a = dq dp = q p. Tässä k tarkoittaa suora kulmakerroita. Tämä aiheuttaa ristiriida, sillä hilapiste (a, b oli äkyvä origosta. Ristiriita aiheutui siitä, että hilapistee (a, b ja origo välii olisi tullut hilapiste (p, q, jos lukuje a ja b suuri yhteie tekijä olisi muu kui. Täte d =. Oletetaa yt, että (a, b =. Jos pistee (a, b ja origo välillä o hilapiste (p, q, ii saadaa p = at ja q = bt. Tämä siksi, että hilapistee ja origo kautta kulkevalla suoralla olevat pisteet voidaa esittää äkyvä hilapistee moikertoia, sillä e sijaitsevat samalla suoralla, jolla origo ja kyseessä oleva äkyvä hilapiste o. Koska (a, b =, ii tästä seuraa 0 < t <. Tällöi luku t o ratioaalie, jolloi o olemassa sellaiset positiiviset kokoaisluvut s ja r, joille pätee (s, r =. Kirjoitetaa täte sp = ar ja sq = br, jolloi s ar ja s br, mistä seuraa s a ja s b, sillä (s, r =. Koska luku s jakaa molemmat luvuista a ja b sekä (a, b =, ii s =. Tämä aiheuttaa ristiriida, sillä 0 < t <. Tällöi hilapiste (a, b o äkyvä origosta. Olkoo hilapiste (m, muu kui origo. Tällöi hilapisteet (a, b ja (m, ovat kahdekeskeisesti äkyviä, mikäli hilapiste (a m, b o äkyvä origosta. Tässä jaa pisteide (a, b ja (m, välillä voidaa ajatella vektoria 26
A = (a mi + (b j, mikä vastaa paikkavektoria origosta pisteesee (a m, b. Lausee väite seuraa suoraa, ku pisteesee (a m, b sovelletaa aikaisempaa päättelyä. Hilapisteitä o tasossa ääretö määrä. Täte o luotevaa pohtia, mite hilapisteet ovat jakautueet tasoo. Ajatellaa suuri eliö muotoie alue xy-tasoo, joka määritellää epäyhtälöillä x r ja y r. Merkitää eliössä olevie hilapisteide lukumäärää merkiällä N(r ja origosta äkyvie hilapisteide lukumäärää N (r. Tällöi äide osamäärä avulla voimme päätellä äkyvie hilapisteide suhteessa kaikkii hilapisteisii, ku ylärajaa r kasvatetaa. Ku raja r aetaa kasvaa rajatta, ii seuraavassa lauseessa huomataa, että osamäärällä o olemassa raja-arvo. Tätä arvoa kutsutaa origosta äkyvie hilapisteide tiheydeksi. Lause 8.3. Origosta äkyvie hilapisteide tiheys o 6/π 2. Todistus. Pyritää osoittamaa, että N (r lim r N(r = 6 π. 2 Kahdeksa origoa lähiä olevaa hilapistettä ovat kaikki äkyviä. Symmetria perusteella ähdää, että äkyvie hilapisteide määrä o kahdeksa (origoa lähiä olevat sekä kahdeksa kertaa alueessa {(x, y : 2 x r, y x} olevat äkyvät pisteet. (Tummeettu alue Kuvassa 3. Tällöi voidaa muodostaa yhtälö N (r =8 + 8 ( = 8 + 2 r m< (m,= ( =8 + 2 r ϕ( = 8 r 2 r m< (m,= ϕ(. Lausee 7.9 ojalla N (r = 24 π 2 r2 + O(r log r. Määritellyssä alueessa o kokoaisuudessaa hilapisteitä N(r = (2[r] + 2 = (2r + O( 2 = 4r 2 + O(r, 27
Kuva 3: Harmaalla alueella o yhteesä ϕ( origosta äkyviä hilapisteitä. 2 r jolloi saadaa N (r N(r = Ottamalla 4r 2 yhteiseksi tekijäksi saadaa N (r N(r = 4r2 4r 2 24 + O(r log r π 2r2. 4r 2 + O(r 6 π + ( log r 2 4 O r + 4 O ( r. Ku säde r lähestyy ääretötä, ii osamäärät (log r/r ja /r lähestyvät ollaa. Täte raja-arvoksi osamäärälle N (r/n(r tulee 6/π 2. Huomautus 8.4. Lausee 8.3 tulosta saotaa joskus todeäköisyydeksi, jolla satuaisesti valittu hilapiste o origosta äkyvä. Jos valitaa satu- 28
aisesti luvut a ja b, ii e ovat todeäköisyydellä 6/π 2 suhteellisia alkulukuja. 9 Fuktiot µ( ja Λ( 9. Fuktioide µ( ja Λ( keskiarvot Lause 9.. Olkoo x >. Tällöi Todistus. Sivuutetaa. lim x x Lause 9.2. Olkoo x >. Tällöi Todistus. Sivuutetaa. lim x x µ( = 0. Λ( =. Edelliste lauseide todistukset eivät kuulu tämä tutkielma aihepiirii. Tulokset ovat ekvivaletteja alkulukulausee π(x log x lim x x kassa, missä fuktio π(x kuvaa iide alkulukuje määrää, jotka ovat pieempiä kui x. Ituitiivie tulkita Möbius-fuktio keskiarvolle voidaa ajatella koliko heitosta. Ajatellaa, että Möbius-fuktio arvot olisivat täysi satuaisia luvu eri arvoilla. Jos heitetää kolikkoa kertaa ja lyödää vetoa aia kruua puolesta. Kruualla summaa lisätää yksi piste ja klaavalla poistetaa yksi piste. Ku o riittävä iso, ii laskettu summa o todeäköisesti paljo lähempää ollaa kui arvoa, jolloi osamäärä lähestyy ollaa. [5] Tässä kappaleessa johdetaa muutamia perustuloksia edellä maiituille fuktioille ja pohjustetaa iide merkitystä alkulukuje jakautumisessa. Tuloste johtamisee käytetää mielivaltaisia aritmeettisia fuktioita f ja g sekä iide Dirichleti tuloa f g. = 29
9.2 Dirichleti tulo osittaissummat Lause 9.3. Olkoo h = f g ja olkoo H(x = h(, F (x = f( ja G(x = g(, ii tällöi H(x = ( x f(g = ( x g(f. (25 Todistus. Käytetää todistuksessa Lausee 4.6 tulosta, joka yhdistää operaatiot ja. Jotta Dirichleti tuloa voidaa käyttää, ii tarvitaa fuktio { 0, ku 0 < x <, U(x =, ku x. Fuktio toimii aritmeettisea fuktioa, joka kuvaa luvut ykkösestä äärettömää ykköseksi. Tällöi F = f U ja G = g U. Käyttämällä tätä saadaa f G =f (g U = (f g U = h U = H g F =g (f U = (g f U = (f g U = H, mikä todistaa lausee oikeaksi. Mikäli fuktio g( = kaikilla muuttuja arvoilla, ii tällöi G(x = g( = = [x]. Tästä saadaa seuraus Lauseelle 9.3. Lause 9.4. Jos F (x = f(, ii f(d = f( = ( x F. (26 d Todistus. Yhtälö (26 vase puoli voidaa avata, jolloi saadaa f(d = f(d + f(d +... + f(d. d d 2 d d [x] f(d + d [x] Tällöi esimmäisee summaa tulee mukaa luvu moikerrat aia muuttuja arvo x kokoaisosaa asti. Tästä seuraa, että termejä tulee yhteesä 30
[x/ ] kappaletta. Sama toistuu muillaki arvoilla i, aia ku i. Tällöi fuktio arvoa pisteessä i tulee yhteesä [x/ i ] kappaletta, jolloi summa saadaa muotoo f(d = f(. Koska G(x = [x], ii yhtälöstä (25 saadaa f( = ( x f(g = g(f d ( x = F ( x. 9.3 Sovelluksia fuktiolle µ( ja Λ( Sijoitetaa fuktiot µ( ja Λ( eriksee Lauseesee 9.4, jolloi saadaa johdettua seuraavat idetiteetit, jotka ovat tarpeellisia alkulukuje jakautumise tutkimisee. Lause 9.5. Olkoo x. Tällöi sekä µ( = (27 että ovat voimassa. Λ( = log[x]! (28 Todistus. Yhtälöstä (26 saadaa µ( = µ(d. Käyttämällä Lausetta 3.3 saadaa µ(d = d d [ ] =. Sovelletaa Lausetta 3.3 yhtälö (28 todistamisee, jolloi tulos tulee samalla tavalla kui ylempiki, eli Λ( = Λ(d = log = log[x]!. d 3
Huomautus 9.6. Lausee 9.5 tuloksia voidaa pitää paiotettuia keskiarvoia fuktioille µ( ja Λ(. Alkulukulausee johtamisessa osoitetaa, että sarja = µ( suppeee ja summaksi tulee olla. Yhtälö (27 avulla voidaa osoittaa, että edellä maiitu sarja osittaissummat ovat rajoitetut ylhäältä. Lause 9.7. Olkoo x, jolloi µ( Yhtäsuuruus o voimassa aioastaa, ku x < 2.. (29 Todistus. Olkoo esi x < 2. Tällöi summattavia o [x] = kappaletta, jolloi saadaa µ( = µ( =. Olkoo x 2. Käytetää merkitää {y} = y [y], jolloi = µ( = ( { } x x µ( =x µ( { } x µ(. Muokkaamalla edellistä yhtälöä saadaa x µ( = + { } x µ(. Koska µ(, ii + { } x µ( + { } x = + {x} + 2 { } x. Summaa voidaa arvioida ylöspäi, sillä 0 {x} <. Tällöi saadaa + {x} + { } x < + {x} + [x] = x. 2 32
Näi saatii x µ( < x. Ku tämä yhtälö jaetaa puolittai luvulla x, ii saadaa yhtälö (29 aidolla epäyhtälöllä. Palataa yhtälöö Λ( = log[x]! ja johdetaa tätä apua käyttäe seuraava lause, joka tuetaa myös imellä Legedre idetiteetti. Lause 9.8. Jokaiselle x pätee [x]! = p x p α(p, missä tulo muodostuu kaikista alkuluvuista p, joille pätee p x, ja α(p =. (30 p m m= Todistus. Koska Λ( = 0 aia, ku ei ole joku alkuluvu p potessi. Magoldt' fuktio määritelmästä saadaa Λ( = Λ(p m = log p ja sijoitetaa = p m, jolloi saadaa log[x]! = Λ( = p x m= log p = p m p x log p m=. p m Luvut i voidaa kirjoittaa alkuluvu p potesseia, jolloi iide sijasta voidaa käydä läpi kaikki tekijät p m. Ekspoeti ylärajaksi voidaa merkitä ääretö, sillä ku p m > x, ii kokoaisosa o olla ja termit tämä jälkee ovat ollia. Sijoitetaa yhtälö (30 ja käytetää logaritmi laskusäätöjä, jolloi saadaa log[x]! = p x α(p log p = p x log p α(p. Logaritmie laskusäätöje ojalla saadaa [x]! = p x p α(p, mikä todistaa lausee. 33
Huomautus 9.9. Ylläoleva summa o rajoitettu, sillä [x/p m ] = 0, ku p > x. Määritetää Euleri summakaava avulla asymptoottikaava lausekkeelle log[x]!. Lause 9.0. Olkoo x 2. Tällöi log[x]! = x log x x + O(log x ja täte Λ( = x log x x + O(log x. (3 Todistus. Olkoo yt f(t = log t ja sijoitetaa se Euleri summakaavaa, jolloi saadaa log[x]! = log = log t dt + + t [t] dt (x [x] log x. t Itegroimalla fuktio log t luvusta lukuu x saadaa itegraalifuktioksi x(log(x. Approksimoimalla viimeise logaritmi kerroita x [x] < saadaa (x [x] log x < log x, joka voidaa merkitä virheeksi. Tällöi log = x log x x + + t [t] dt + O(log x. t Approksimoidaa itegraali osoittajaa t [t] <, jolloi itegroitaessa saadaa log x. Tämä voidaa ottaa aikaisempaa virhetermii mukaa, jolloi saadaa log = x log x x + O(log x. Yhtälö (3 tulos seuraa yhtälöstä (28. Lause 9.. Kaikille x 2 pätee log p = x log x + O(x, p p x missä summa käy läpi kaikki alkuluvut p, joille pätee p x. 34
Todistus. Koska Λ( = 0 aia, ku ei ole alkuluvu potessi, ii p x m= Λ( = p m= p m x Λ(p m. p m Jos p m x, ii p x. Jos p > x, ii [x/p m ] = 0. Viimeie summa saadaa muotoo log p = log p + log p. p m p p m p x p x m=2 Osoitetaa seuraavaksi, että viimeie summa voidaa korvata halutulla iso O -merkiällä. log p x log p p m p = x ( m log p. (32 m p p x m=2 p x m=2 p x m=2 Geometrie sarja suppeee, ku suhdeluku q <. Tämä pätee, sillä p o alkuluku. Täte jälkimmäisestä summasta saadaa ( m ( m ( m = = p p p (/p p m=2 m=0 m=0 = p2 (p 2 p (p p(p Sijoitetaa tämä tulos yhtälöö (32, jolloi saadaa Arvioimalla p x log p p(p =2 log p p x m=2 log ( < x p m p x =2 = p(p. log p p(p ( = =2 3 < =2 2 3 huomataa, että summa suppeee. Tällöi sillä o olemassa joku arvo a, jota summa lähestyy. Koska a o joki äärellie luku, ii virheeksi voidaa merkitä x log p = ax = O(x, p(p p x 35
mistä seuraa Yhtälö (3 ojalla saadaa Λ( = p x x log x x + O(log x = p x log p + O(x. p log p + O(x. p Siirtelemällä termejä ja yhdistämällä termit x ja O(log x virhetermii O(x. Yhdistämie voidaa tehdä, sillä O(x o suurempi kui O(log x. Tällöi saadaa = x log x + O(x, p mikä todistaa väittee. p x 9.4 Toie tulos Dirichleti tulo osittaissummille Tämä tulos o yleisempi tulos, kui Lauseessa 9.3 johdettu tulos. Sitä voidaa hyödytää eritote tiettyje Dirichleti tuloje osittaissummie tutkimisee. Lauseessa 9.3 todettii, että F (x = f( ja G(x = g( ja H(x = (f g(. Tästä seuraa, että H(x = ( f(dg d d = q,d qd x f(dg(q. Lause 9.2. Olkoo a ja b positiivisia reaalilukuja, joille pätee ab = x. Tällöi H(x = ( f(dg = f(dg(q d d q,d qd x = ( x f(g + ( (33 x g(f F (ag(b. a b 36
Kuva 4: Koordiaatistossa o kuvattua tulo ab = x ja kuvio rajaamat alueet A, B ja C. Todistus. Summaa H(x kuuluvat hilapisteet, jotka kuuluvat Kuvassa 4 rajoitettuu alueesee. Jaetaa samaa kuvaa rajattu alue osii A, B ja C ja lasketaa hilapisteet esi alueessa A B, joka jälkee lasketaa hilapisteet alueessa B C. Huomataa, että alue B tulee laskettua kahtee kertaa, jolloi tämä aluee hilapistede määrä pitää vähetää kertaallee. Täte saadaa H(x = f(dg(q + f(dg(q f(dg(q (34 d a q x/d q b d x/q d a q b d a Tarkastelemalla yhtälö (34 summia huomataa, että q x/d f(dg(q = d a f(d q x/d g(q = d a 37 ( x f(dg = d f(g a ( x.
Samalaisella päättelyllä saadaa q b d x/q f(dg(q = b g(f ( x. Viimeie osa yhtälöstä (34 saadaa f(dg(q = f(d g(q = F (ag(b. d a q b d a q b Nämä sijoittamalla yhtälöö (34 saadaa yhtälö (33, mikä todistaa väittee. 38
Viitteet [] Apostol T. M., Itroductio to Aalytic Number Theory, Spriger, Pasadea, Califoria, 995. [2] Myllylä K., Lukuteoria ja ryhmät, Oulu yliopisto, 202. [3] Matala-aho T., Lukuteoria perusteet, Oulu yliopisto, 202. [4] Sulliva B. W., The Basel Problem, Caregie Mello Uiversity, 203. [5] Clark P. L., Itroductio to Number Theory, Uiversity of Georgia, 2007. [6] Huxley M. N., Itroductio to Number TheoryExpoetial Sums ad Lattice poits III, Proc, Lodo Math. Soc., 2003. 39