Luku 0 Matemaattisia tökaluja Tähän lukuun on koottu säkömagneettisessa kenttäteoriassa esiin tulevia matemaattisia tökaluja. Oletetaan, että nämä ovat ainakin suurelta osin jo tuttuja matematiikan kursseilta. Tässä htedessä tarkoitus on palauttaa asiat mieleen ja antaa kuva siitä, millaista matematiikkaa kenttäteoriassa tarvitaan. Tarkoituksena on mös havainnollistaa näitä tökaluja mahdollisesti eri tavalla kuin matematiikan kursseissa on teht. 0.1 Vektorialgebraa Vektori on olio, jolla on suuruus (pituus, itseisarvo) ja suunta. Fsiikassa vektoria merkitään painetussa tekstissä useimmiten lihavoidulla kirjasimella ja käsin kirjoitetussa tekstissä kirjaimella, jonka läpuolelle on vedett viiva ( vektorimerkki ). Vektorin A pituus merkitään joko A tai A. Vektorin A vastavektori A, on vektori, jonka pituus on A, mutta suunta A:n suunnalle vastakkainen. Nollavektori on vektori, jonka pituus on 0. Nollavektorin suuntaa ei ole määritelt. Vektori voidaan kertoa skalaarilla. Merkinnällä B = aa (1) mmärretään vektoria, jonka itseisarvo on a A ja suunta sama kuin A:n suunta, mikäli a > 0, ja A:n suunnalle vastakkainen, mikäli a < 0. Kätännöllinen apuneuvo vektorien esittämiseen on koordinaatisto. Tavallisin kätössä oleva koordinaatisto on karteesinen, joka koostuu origon kautta kulkevista toisiaan vastaan kohtisuorista akseleista. Kolmiulotteisessa avaruudessa näiden akselien avulla määritellistä paikkakoordinaateista kätetään tavallisesti merkintöjä x, ja z. Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on 1 (paljas luku, siis ksikötön). Kätetään ksikkövektorista merkintää u (lhenne u on otettu sanasta unit ). Karteesisen koordinaatiston akselien suuntaisista ksikkövektoreista kätetään merkintöjä u x, u ja u z. c Tuomo Ngrén, 2010 1
2 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA Vektori A voidaan esittää karteesisessa koordinaatistossa muodossa A = A x u x + A u + A z u z, (2) missä A x, A x ja A z ovat A-vektorin x-, - ja z-akselien suuntaiset komponentit. Kahden vektorin pistetulo määritellän kaavalla Helposti nähdään, että on mös voimassa A B = A x B x + A B + A z B z. (3) A B = A B cos ϕ, (4) missä ϕ on vektorien A ja A välinen kulma. Ilmeisesti vektorien pistetulo tuottaa skalaarin. iksi pistetulosta kätetään mös nimitstä skalaaritulo. Heti nähdään, että pistetulo on kommutatiivinen eli Vektorin pistetulo itsensä kanssa on A B = B A. (5) A A = A 2 x + A 2 + A 2 z. (6) Ilmeisesti tämä on sama kuin vektorin pituuden neliö. Vektorin itseisarvolla eli normilla tarkoitetaan vektorin pituutta, eli A = A A = A 2 x + A 2 + A 2 z. (7) Kahden vektorin ristitulo määritellään kolmirivisenä determinanttina u x u u z A A B = A x A A z = u A z x B x B B z B B z u A x A z B x B z + u A x A z B x B = (A B z A z B )u x (A x B z A z B x )u + (A x B A B x )u z. (8) Kahden vektorin ristitulo on siis vektori, minkä vuoksi sitä nimitetään mös vektorituloksi. Ristitulolle on voimassa A B = B A. (9) Näinollen ristitulo ei ole kommutatiivinen, vaan ristitulossa tekijöiden järjests on oleellinen seikka. Nähdään mös, että A A = 0. (10) Kolmen vektorin skalaarikolmitulo on A x A A z A (B ) = (B ) A = B x B B z x z = (B z B z )A x (B x z B z x )A + (B x B x )A z. (11)
0.2. KOORDINAATITOITA 3 a) AxB b) A! B A B Kuva 1: a) Ristitulo. b) kalaarikolmitulo. Tämän avulla nähdään helposti, että A (A B) = B (A B) = 0, (12) joten ristitulovektori on kohtisuorassa tulon tekijöiden virittämää tasoa vastaan. Vektorit A, B ja A B muodostavat oikeakätisen järjestelmän (kuva 1 a). Lisäksi A B = A B sin ϕ, (13) missä ϕ on vektoreiden A ja B välinen kulma. Voidaan osoitaa että skalaarikolmitulo A (B ) on vektorien A, B ja virittämän suuntaissärmiön tilavuus (kuva 1 b). Kolmen vektorin vektorikolmitulolle on voimassa kaava A (B ) = B(A ) (A B). (14) Tämän kaavan muistaminen on tärkeätä ja sen voi oppia muistisäännön back cab avulla (takana oleva taksi!). On stä huomata, että sulkumerkkien paikka vektorikolmitulossa on oleellinen seikka, sillä A (B ) (A B). 0.2 Koordinaatistoista Tavallisen karteesisen koordinaatiston sijasta on usein kätännöllistä esittää asiat jossakin muussa koordinaatistossa. Tavallisimmin tulevat ksmkseen pallokoordinaatisto ja slinterikoordinaatisto (muitakin koordinaatistoja saatetaan kättää). Erilaisten koordinaatistojen kätöllä saavutettu etu paljastuu selvimmin silloin, kun tutkittavassa ongelmassa on jokin smmetria. Pallosmmetrisessä tilanteessa kannattaa kättää pallokoordinaatistoa ja slinterismmetrisessä tilanteessa slinterikoordinaatistoa. Pallokoordinaatistossa pisteen paikka ilmaistaan origosta mitatun etäisden r ja kahden kulman, napakulman θ sekä atsimuuttikulman ϕ avulla (kuva 2). Atsimuuttikulma vastaa maantieteellisessä koordinaatistossa pituusastetta. Maantieteessä kätetään napakulman sijasta levesastetta. Ilmeisesti ϕ voi saada arvot välillä (0, 2π) ja θ välillä (0, π).
4 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA z P u r u! z x u z! " r rsin" u x u rsin" sin! rcos" u " uz rsin" cos! x u z r u x u pallokoordinaatisto slinterikoordinaatisto! z rsin! P u! u r rcos! Kuva 2: Pallo- ja slinterikoordinatisto. linterikoordinaatistossa pisteen paikka ilmaistaan z-akselista mitatun etäisden r, atsimuttikulman ϕ sekä z-koordinaatin avulla. amoin kuin pallokoordinaatistossa, ϕ voi saada arvot välillä (0, 2π). On tärkeätä huomata, että pallo- ja slinterikoordinaatistojen muuttujat r tarkoittavat eri asiaa, vaikka tässä merkinnät ovatkin samat. Tällainen merkintöjen valinta toimii hvin niin kauan kuin ei kätetä samanaikaisesti kahden eri koordinaatiston muuttujia (merkintä aiheuttaisi sekaannusta, jos tutkittaisiin pallo- ja slinterikooridinaatistojen välisiä muunnoskaavoja). Kussakin koordinaatistossa määritellään toisiaan vastaan kohtisuorat ksikkövektorit. Karteesisessa koordinaatistossa ne ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja niistä kätetään merkintöjä u x, u ja u z. Näiden ksikkövektorien suunta ei muutu siirrttäessä avaruudessa paikasta toiseen. Pallokoordinaatiston ksikkövektorit ovat u r, u θ ja u ϕ. Näistä u r osoittaa poispäin origosta, u θ suuntaan, mihin θ kasvaa (siis pitkin meridiaania poispäin pohjoisnavasta) ja u ϕ suuntaan, mihin ϕ kasvaa (siis itään päin). linterikoordnaatiston ksikkövektrit ovat u r, u ϕ ja u z. Tässä tapauksessa u r osoittaa pois päin z-akselista, u ϕ suuntaan, mihin ϕ kasvaa ja u z z-akselin suuntaan. Toisin kuin karteesisessa koordinaatistossa, pallo- ja slinterikoordinaatistojen ksikkövektoreiden suunnat (vektorin u z suuntaa lukuunottamatta) vaihtelevat siirrttäessä paikasta toiseen. ama vektori A voidaan esittää komponenttien avulla eri koordinaatistoissa. iis A = A x u x + A u + A z u z (karteesinen koordinaatisto) (15) A = A r u r + A θ u θ + A ϕ u ϕ (pallokoordinaatisto) (16) A = A r u r + A ϕ u ϕ + A z u z (slinterikoordinaatisto). (17) Kuvan 2 perusteella voidaan suoraan kirjoittaa paikkavektorin koordinaattimuunnokset pallokoordinaatiostosta ja slinterikoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon. Pallokoordinaatiston tapauksessa ne ovat x = r sin θ cos ϕ (18)
0.3. DERIVOINNITA 5 ja slinterikoordinaatiston tapauksessa = r sin θ sin ϕ (19) z = r cos θ (20) x = r cos ϕ (21) = r sin ϕ (22) z = z. (23) Voidaan mös johtaa mielivaltaisen vektorin komponenttien muunnokset koordinaatistosta toiseen. Tämä on monimutkaisempaa, sillä esimerkiksi paikkavektorilla r on pallokoordinaatistossa vain radiaalikomponentti r r = r kun taas vektorilla A voi olla kaikki kolme komponenttia A r, A θ ja A ϕ. 0.3 Derivoinnista Kenttäteoriassa joudutaan käsittelemään kolmiulotteisessa avaruudessa määriteltjä funktioita. Näitä sanotaan kentiksi. Jos funktio liittää jokaiseen avaruuden pisteeseen skalaarin, kseessä on skalaarikenttä, jos taas vektorin, kseessä on vektorikenttä. 0.3.1 Nabla, gradientti, divergenssi ja roottori Yhden muuttujan funktion tapauksessa funktion derivaatta kertoo, kuinka funktio muuttuu jonkin pisteen lähimpäristössä. Mös useamman muttujan funktion tapauksessa tarvitaan jokin tökalu, jonka avulla funktion muutoksia voidaan tutkia. Tämä tökalu on nimeltään nabla, ja karteesisessa koordinaatistossa sen määritelmä on = u x x + u + u z z. (24) Tässä esiintvissä osittaisderivaatoissa on thjä paikka (ei siis ole kerrottu mitä derivoidaan). Kun nablaa kätetään, näihin thjiin paikkoihin sijoitetaan jotakin. anomme, että nabla on operaattori. Operaattorilla ei vielä sellaisenaan ole matemaattista sisältöä. Vasta, kun se operoi johonkin funktioon, saadaan jotakin matemaattisesti mielekästä. Kun nabla operoi skalaarikenttään, tuloksena on gradientti. Jos siis skalaarikenttä on φ = φ(x,, z), on sen gradientti φ φ = u x x + u φ + u φ z z. (25) Nabla voi operoida vektorikenttään kahdella tavalla; joko pistetulon tai ristitulon välitksellä. Jos vektorikenttä on F = F(x,, z), on kentän divergenssi F = F x x + F + F z z. (26)
6 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA Tällainen tulos nimittäin saadaan, jos kerrotaan muodollisesti nabla ja F keskenään ikäänkuin nabla olisi vektori. iis ( F = x u x + u + ) z u z (F x u x + F u + F z u z ) = F x x (u x u x ) + F (u u ) + F z z (u z u z ) = F x x + F + F z z, (27) missä on huomioitu, että u x u x = u u = u z u z = 1 ja u x u = u u z = u z u x = 0. Vektorikentän F = F(x,, z) roottori on F = ( Fz F ) ( Fz u x z x F ) ( x F u + z x F ) x u z. (28) Tällainen tulos nimittäin saadan, kun lasketaan determinantti u x u u z F = / x / / z F x F F z (29) siten, että jokainen kertolasku korvataan asettamalla kseinen vektorikomponentti derivaattaoperaattorin thjään paikkaan. On täkeätä huomata, että että gradientti on operaatio, joka kohdistuu skalaarikenttään ja tuottaa vektorikentän. Divergenssi ja roottori taas ovat operaatioita, joka kohdistuvat vektorikenttään. Edellinen näistä tuottaa skalaarikentän ja jälkimmäinen vektorikentän. (Todellisuudessa on mahdollista laskea mös vektorikentän gradientti. Tuloksena saadaan matemaattinen olio, jota sanotaan toisen kertaluvun tensoriksi. Tensoreita ei kuitenkaan tässä kurssissa tarvita.) 0.3.2 Derivaattaoperaattorit pallo- ja slinterikoordinaatistoissa Edellä gradientti, divergenssi ja roottori määriteltiin karteesisessa koordinaatistossa. Ne voidaan tietenkin laskea missä koordinaatistossa tahansa. Operaattorien johtaminen eri koordinaatistoissa on sangen töläs tehtävä. Tämän kurssin kannalta riittää, että tuloksia osataan kättää eri tilanteissa. Pallokoordinaatistossa funktion φ = φ(r, θ, ϕ) gradientti on Funktion F = F(r, θ, ϕ) divergenssi on φ φ = u r r + u 1 φ θ r θ + u 1 φ ϕ r sin θ ϕ. (30) F = 1 r 2 (r 2 F r ) r + 1 (F θ sin θ) + 1 F ϕ r sin θ θ r sin θ ϕ (31)
0.3. DERIVOINNITA 7 ja roottori F = 1 r 2 sin θ u r ru θ r sin θu ϕ / r / θ / ϕ F r rf θ r sin θf ϕ. (32) linterikoordinaatistossa gradientti, divergenssi ja roottori saadaan kaavoista sekä φ φ = u r r + u 1 φ ϕ r ϕ + u φ z z, (33) F = 1 r F = 1 r 0.3.3 Laplacen operaattori (rf r ) r + 1 r F φ ϕ + F z z u r ru ϕ u z / r / ϕ / z F r rf ϕ F z (34). (35) Laplacen operaattori snt, kun otetaan divergenssi vektorista, joka on jonkin kentän gradientti. iis ( ) ( ) ( φ) = u x x + u + u φ z u x z x + u φ + u φ z = 2 φ. (36) z Kun tämä lasketaan, saadaan Laplacen operaattoriksi karteesisessa koordinaatistossa lauseke 2 = 2 x + 2 2 + 2 2 z. (37) 2 Laplacen operaattorin esits pallokoordinaatistossa on 2 = 1 ( r 2 ) + 1 ( sin θ ) r 2 r r r 2 sin θ θ θ sekä slinterikoordinaatistossa 2 = 1 r + 1 2 r 2 sin 2 (38) θ ϕ 2 ( r ) + 1 2 r r r 2 ϕ + 2 2 z. (39) 2 Laplacen operaattorin kohdistamisella vektorikenttään tarkoitetaan sitä, että operoidaan erikseen kuhunkin vektorin komponenttin ja rakennetaan tuloksista vektori 2 F = 2 F x u x + 2 F u + 2 F z u z. (40) Usein kätett tulos on ( F) = ( F) 2 F. (41) Tämän avulla voidaan avata kaksinkertainen roottori.
8 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA 0.4 Integroinnista Kenttäteoriassa esiintvät määrätt integraalit ovat kolmea tppiä: viivaintegraaleja, pintaintegraaleja ja tilavuusintegraaleja. Nämä määritellään samalla periaatteella kuin hden muuttujan määrätt integraaali. Tämä periaatehan on seuraava: jaetaan integrointiväli x-akselilla δx:n mittaisiin osiin lasketaan integroitavan funktion f(x) arvo kunkin osan keskipisteessä kerrotaan kukin funktion arvo δx:llä ja lasketaan näin saatujen tulojen summa tihennetään jakoväliä niin, että δx lähenee nollaa; integraalin arvo on summan raja-arvo. 0.4.1 Viivaintegraalit kalaarikentän viivaintegraali pitkin avaruuskärää on hden muuttujan funktion määrätn integraalin suoraviivainen leists. Koska skalaarikenttä φ(x,, z) saa jonkin arvon avaruuden jokaisessa pisteessä, se saa mös tiett arvot avaruuskärän kaikissa pisteissä. Kun lasketaan φ(x,, z):n viivaintegraali pitkin kärää pisteestä A pisteeseen B, jaetaan kärä tällä välillä pieniin δs:n pituisiin osiin. Näitä on n kappaletta. Lasketaan φ(x,, z):n arvo jokaisen osan keskipisteessä; i:nnen osan keskipisteessä sen arvo on φ i. Viivaintegraali A:sta B:hen on raja-arvo B n φ ds = lim φ i δs. (42) n A i=1 Huomataan heti, että tavallinen hden muttujan integraali on viivaintegraalin erikoistapaus. iinä tapauksessa kärä on x-akseli ja pisteet A ja B ovat integroinnin ala- ja läraja. Viivaintegraalin arvon laskeminen edellttää tietenkin kärän htälön tuntemista ja saattaa olla hankalaakin, mutta viivaintegraalin perusidea ei ole juurikaan hden muuttujan funktion määrätn integraalin ideaa monimutkaisempi.!(s)! i =!(x i, i,z i )! i A s 0 s i B (x i, i,z i ) A s i "s B s Kuva 3: kalaarikentän viivaintegraali.
0.4. INTEGROINNITA 9 F B s F A B s A Kuva 4: Vektorikentän viivaintegraali. Kuva 3 selventää viivaintegraalin käsitettä. Etäisttä s pitkin kärää voidaan mitata mielivaltaiseen pisteeseen asetetusta origosta 0 lähtien; toiseen suuntaan mitattu matka on positiivinen, toiseen suuntaan negatiivinen. Kukin valituista kärän pisteistä s i sijaitsee jossakin avaruuden paikassa, joten sillä on paikkakoordinaatit (x i, i, z i ). Funktiolla φ on tässä kärän pisteessä se arvo, joka saadaan, kun nämä koordinaatit sijoitetaan funktioon φ(x,, z), siis φ i = φ(x i, i, z i ). Arvoparit (s i, φ i ) voidaan siirtää karteesiseen (s, φ)-koordinaatistoon. Näin saadaan funktio, joka voidaan integroida pistettä A vastaavasta s:n arvosta pistettä B vastaavaan s:n arvoon. Tulos on φ:n viivaintegraali pitkin kärää pisteestä A pisteeseen B. Vektorikentän viivaintegraali pitkin kärää poikkeaa skalaarikentän integraalista siinä suhteessa, että jokainen integrointitien jako-osa määritellään vektorina, joka osoittaa integroimissuuntaan; siis pisteen s i kohdalla oleva i:s jako-osa on δs i. Ilmeisesti δs i on kärän tangentin suuntainen. Integroitava funktio F(x,, z) saa kärän pisteessä s i arvon F i = F(x i, i, z i ). Kentän F viivaintegraali pisteestä A pisteeseen B on B n F ds = lim F i δs i. (43) A n i=1 Mekaniikasta tuttu tön laskeminen on tämän kaavan suora sovellus. Tämä on esitett kuvassa 4. Jos kappaletta vedetään vaakasuoralla tasolla voimalla F, joka ei ole tason suuntainen, voima tekee jokaisella matkalla δs tön F δs, ja kokonaistö matkalla A B on näiden töiden summa. Tö lasketaan aivan samalla tavalla mös silloin, kun kappaletta vedetään lös pitkin mäkeä. Erona on van se, että kappaleen kulkurata ei ole suora, ja silloin viivaelementin δs suunta riippuu siitä, missä kohdassa mäkeä kappale on. Tietenkin mös vetävän voiman suunta voi vaihdella, mutta aina jokaisella matkalla δs teht tö on F δs ja kokonaistö on tällaisten töiden summa. 0.4.2 Pintaintegraalit Tarkastellaan skalaarikenttää φ ja pintaa. Kenttä saa tietn arvon avaruudessa olevan pinnan jokaisessa pisteessä. Jaetaan pinta pieniin pinta-alkioihin siten, että i:nnen alkion pinta-ala on δ i. Ilmeisesti i:nnen alkion keskipisteellä on jotkin paikkakoordinaatit (x i, i, z i ), ja skalaarikenttä φ saa tässä pisteessä tietn arvon
10 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA a) b) (x i, i,z i ) F i! i " i! i Kuva 5: a) kalaarikentän pintaintegraali. b) Vektorikentän pintaintegraali. φ i = φ(x i, i, z i ). Kentän φ integraali pinnan li saadaan, kun kukin pintaelementti kerrotaan kentän arvolla elementin keskipisteessä ja otetaan näin saatujen tulojen summa sekä tihennetään jakoa niin, että pintaelementtien koko lähenee nollaa. iis n φ d = lim φ i δ i. (44) n i=1 Tämä periaate on esitett kuvassa 5 a. Vektorikentän pintaintegraali poikkeaa skalaarikentän integraalista siinä suhteessa, että pintaelementti δ i määritellään vektorina, jonka pituus on pinnan δ i suuruinen ja joka on kohtisuorassa pintaa vastaan. Kun vektorikentän F arvo elementin δ i keskipisteessä (x i, i, z i ) on F i = F(x i, i, z i ), on vektorikentän integraali pinnan li n F d = lim F i δ i. (45) n i=1 Tämä periaate on esitett kuvassa 5 b. Pintaintegraalista kätetään mös nimitstä F:n vuo pinnan lävitse. Pinta-alavektorilla on ilmeisesti kaksi mahdollista suuntaa, joten suunnan valinta on sopimusksms. Mikäli on suljettu pinta, on tapana valita pintavektorin suunta siten, että se osoittaa pinnan sisäänsä sulkemasta tilavuudesta ulospäin. Möhemmin tokesin lauseen htedessä nähdään, että tietnlainen pintaintegraali voidaan muuttaa viivaintegraaliksi pinnan reunakärän mpäri. Tässä tapauksessa pinnan suunta valitaan siten, että siihen suuntaan katsottaessa viivaintegraalin kiertosuunta on oikeakätinen. Pintaintegraalin suhde tavalliseen hden muuttujan funktion integraaliin ei ole niin suoraviivainen kuin viivaintegraalin tapauksessa. Kutenkin mös pintaintegraali noudattaa samaa perusideaa: integointialue jaetaan pieniin osin, funktion arvo lasketaan kunkin osan kohdalla, funktion arvo ja osan koko kerrotaan keskenään ja
0.4. INTEGROINNITA 11 lopuksi otetaan raja-arvo näin saatujen tulojen summasta, kun jakoa tihennetään niin, että kunkin osan koko lähenee nollaa. Pintaintegraalin laskeminen edellttää, että pinnan htälö tunnetaan. Koska pinta on kaksiulotteinen, se voidaan esittää kahden muuttujan avulla. Yleisessä tapauksessa pintaintegraalin laskeminen voi olla sangen monimutkaista. Periaatteen mmärtämistä auttaa, jos tarkastellaan tilanteita, missä pinta on ksinkertainen, esimerkiksi alue (x, )-tasossa. Valitaan skalaarikenttä φ(x,, z) = (46) ja lasketaan sen integraali kuvassa 6 esitettjen x-tasossa olevien pintojen li. Kuvan 6 a tapauksessa pinta on suorakaide ja integraaliksi saadaan φ d = a a a 0 d dx = a a a 2 2 dx = a3. (47) Tässä on siis valittu differentiaaliseksi pintaelementiksi d = ddx. Jotta integrointi ulottuisi koko pinnan li, on ensin integroitu -suunnassa (harmaa kaistale) ja sen jälkeen x-suunnassa. Integrointirajat ovat tässä tapauksessa vakioita. Kuvan 6 b tapauksessa integrointialue on a-säteinen puolimprä. Koska puolimprän kehällä = (a 2 x 2 ) 1/2, on :n suhteen lasketun integraalin läraja tässä tapauksessa x:n funktio. iis φ d = a a a 2 x 2 0 d dx = 1 2 a a (a 2 x 2 ) dx = 2 3 a3. (48) Ilmeisesti tämän pintaintegroinnin tulos on tilavuus (x,, φ)-avaruudessa. Tämä vastaa sitä, että hden muuttujan funktion määrätt integraali on pinta-ala. Edellisistä esimerkeistä nähdään, että pinnan li integroitaessa joudutaan integoimaan kahdessa suunnassa ja siis kaksi kertaa. Tämä pitää paikkansa kaikille pinnoille ja tämän vuoksi pintaintegraalissa kätetään kahta integraalimerkkiä. Jos on muuten ilmeistä, että kseessä on pintaintegraali, saatetaan mös kättää htä integraalimerkkiä. Integraalin numeerista arvoa laskettaessa joudutaan kuitenkin integroimaan kahteen kertaan. a) b) a a -a!x a x -a!x a x Kuva 6: Pintaintegointia x-tasossa.
12 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA (x i, i,z i ) V # i!" i 0.4.3 Tilavuusintegraalit Kuva 7: Tilavuusintegraali. Tilavuusintegraalit määritellään samalla periaatteella kuin pintaintegraalit. Kentän φ integraalin laskemiseksi tilavuuden V li jaetaan V pieniin tilavuusalkioihin siten, että i:nnen alkion tilavuus on δτ i. Tämän alkion keskipisteellä on jotkin paikkakoordinaatit (x i, i, z i ), ja skalaarikenttä φ saa tässä pisteessä tietn arvon φ i = φ(x i, i, z i ). Kentän φ integraali tilavuuden V li saadaan, kun kukin tilavuuselementti kerrotaan kentän arvolla elementin keskipisteessä ja otetaan näin saatujen tulojen summa sekä tihennetään jakoa niin, että tilavuuselementtien koko lähenee nollaa. iis n φ dτ = lim φ i δτ i. (49) V n i=1 Tilavuusintegroinnissa joudutaan kätännössä integroimaan kolmessa suunnassa ja tämän vuoksi kirjoitetaan kolme integraalimerkkiä. Jos on muuten ilmeistä, että kseessä on tilavuusintegraali, saatetaan kättää vain htä integraalimerkkiä. Integrointi on kätännössä hvin samanlaista kuin pintaintegraalin tapauksessa. Jos integrointialue on ksinkertainen, integrointirajat on ehkä helppo määrittää, mutta monimutkaisemmassa tapauksessa integrointirajat voivat hdessä suunnassa riippua muista muuttujista, ja silloin lasku voi suuresti vaikeutua. 0.5 tokesin lause Tarkastellaan kuvan 8 a mukaista paikassa r sijaitsevaa pientä pintaa δ, jonka virittävät vektorit δs 1 ja δs 2. Pinnan reuna on murtoviiva. Lasketaan avaruudessa vaikuttavan vektorikentän F = F(r) viivaintegraali :n mpäri ja valitaan integrointisuunta siten, että se on oikeakätinen δ:n suuntaan katsottaessa. Kun δs 1 ja δs 2 ovat pieniä, on integraalille voimassa approksimaatio F ds = F(r) δs 1 + F(r + δs 1 ) δs 2 F(r + δs 2 ) δs 1 F(r) δs 2 = [F(r + δs 1 ) F(r)] δs 2 [F(r + δs 2 ) F(r)] δs 1. (50)
0.5. TOKEIN LAUE 13 a) b) ( xf) i δ 0 r δs 1 δs 2 δ i Kuva 8: tokesin lause. Jos δs 1 = δxu x ja δs 2 = δu, saadaan htälö (50) muotoon F ds = [F (r + δxu x ) F (r)]δ [F x (r + δu ) F x (r)]δx, (51) josta edelleen 1 δxδ F ds = F (r + δxu x ) F (r) δx F x(r + δu ) F x (r) δ ja 1 lim F ds = F δx,δ 0 δxδ x F x = ( F) z. (53) Koska δ = δxδu z, on siis voimassa. lim δx,δ 0 (52) F ds = lim δ 0 ( F) δ. (54) Koska karteesisen koordinaatiston akselien suunnat voidaan valita vapaasti, on tulos voimassa kaikille δ:n suunnille. Tulos osoittaa, että roottorin komponentti mielivaltaiseen suuntaan saadaan laskemalla vektorikentän viivaintegraali tätä suuntaa vastaan kohtisuoran infinitesimaalisen pinnan reunakärän mpäri. Nimits roottori selitt nimenomaan tämän ominaisuuden pohjalta. Integraalimerkkiin liitett mprä tarkoittaa tässä tapauksessa sitä, että viivaintegraali on laskettu pitkin suljettua tietä. Pinta voidaan aina jakaa pieniin pintaelementteihin kuvan 8 b mukaisesti. Tällöin htälö (54) on voimassa erikseen jokaiselle pinta-alkiolle. Kun lasketaan kaikki nämä htälöt puolittain hteen, saadaan htälöiden oikeiden puolien summaksi lim ( F) i δ i = ( F) d, (55) δ i i 0
14 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA mikä on F:n vuo :n lävitse. Yhtälöiden vasempien puolien summan laskemiseksi huomataan kuvan 8 b perusteella, että vierekkäisten pinta-alkioiden integraaleihin sisält aina integrointi pitkin alkioiden välistä rajaa. Nämä integroinnit tapahtuvat vastakkaisin suuntiin, joten ne tuottavat vastaluvut ja siksi kumoavat toisensa hteenlaskussa. Jäljelle jäävät siis ainoastaan integraalit niistä pinta-alkioiden rajoista, joiden toisella puolella ei ole pintaelementtiä. Nämä rajat hdessä muodostavat :n reunan. Näinollen htälöiden vasempien puolien summa on F:n integraali :n reunakärän mpäri. Tuloksena on tokesin lause F ds = ( F) d. (56) Tässä pintavektorin suunta on määritelt sellaiseksi, että sen suuntaan katsottaessa viivaintegraalin integroimissuunta on oikeakätinen. On huomattava, että on äärettömän paljon pintoja, jolla on sama reunakärä ja tokesin lause on voimassa jokaiselle näistä pinnoista. 0.6 Gaussin lause Tarkastellaan kuvan 9 a mukaista paikassa r sijaitsevaa pientä suorakulmaista särmiötä, jonka tilavuus on δτ ja jonka sivutahkot ovat koordinaattitasojen suuntaiset. Lasketaan vektorikentän F vuo tämän särmiön pinnan lävitse. Määritellään pintavektorien suunnat osoittamaan pinnan sisään jäävästä tilavuudesta ulospäin. Vuo pinnan δ 1 lävitse on F(r + δxu x ) δ 1 = F(r + δxu x ) δ 1 u x = F x (r + δxu x )δδz. (57) Vastaavasti vuo pinnan δ 2 lävitse on F(r) δ 2 = F(r) ( δ 2 )u x = F x (r)δδz. (58) a) b)! 2!z!"!! 1 0 r!x F V Kuva 9: Gaussin lause.
0.7. KOKONAIDIFFERENTIAALI 15 Näiden summa on F(r + δxu x ) δ 1 + F(r) δ 2 = F x (r + δxu x )δδz F x (r)δδz = F x(r + δxu x ) F x (r) δxδδz, (59) δx mikä on vuo z-koordinaattitason suuntaisten pintojen lävitse. Kun annetaan särmien pituuksien lähetä nollaa, tämä lähenee lauseketta ( F x / x)δτ. ärmiön koko pinnan δ läpi kulkeva vuo saadaan laskemalla samalla tavalla vuot x- ja xzkoordinaattitasojen suuntaisten pintojen läpi ja ottamalla niiden summa. Tulos on δ F d = ( Fx x + F + F ) z δτ = Fδτ, (60) z missä δτ = δxδδz. Tämän perusteella divergenssi voidaan määritellä kaavalla 1 F = lim δτ 0 δτ δ F d. (61) Integraalimerkkin liitett mprä tarkoittaa tässä tapauksessa sitä, että integraali on laskettu suljetun pinnan li. euraavaksi tarkastellaan tilavuutta V ja integroidaan F:n divergenssi tämän tilavuuden li. Jaetaan V pieniin suorakulmaisen särmiön muotoisiin tilavuusalkioihin kuvan 9 b mukaisesti. illoin F dτ = i V lim δτ i 0 ( F) iδτ i = i lim δτ i 0 δ i F d, (62) missä ( F) i on F:n divergenssi i:nnen tilavuusalkion keskipisteessä. Kahdella vierekkäisellä tilavuuselementillä on aina hteinen pinta ja kummallakin elementillä on oma tähän pintaan liittvä pintavektori. Nämä ovat vastavektoreita, sillä pintavektori osoittaa ulospäin pinnan rajaamasta tilavuudesta. Näinollen htälössä (62) jokaiselta kahden tilavuuselementin hteiseltä rajapinnalta tulevat vuot kumoavat toisensa. Jäljelle jäävät ainoastaan ne vuot, jotka ovat peräisin sellaisilta pinnoilta, joiden takana ei ole toista tilavuuselementtiä. Nämä pinnat muodostavat hdessä tilavuuden V pinnan. Tästä seuraa, että htälö (62) voidaan kirjoittaa muotoon F dτ = F d. (63) V Tämä on Gaussin lause ja se on voimassa kaikille tilavuuksille ja niiden rajapinnoille. Toisin kuin tokesin lauseen tapauksessa, missä hteen kärään liitti äärettömän monta pintaa, tässä tapauksessa suljettu pinta määrää ksikäsitteisesti sen tilavuuden, joka pinnan sisään jää. Gaussin lauseesta kätetään usein mös nimeä divergenssilause.
16 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA 0.7 Kokonaisdifferentiaali Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota f(x, ), joka on määritelt x-tasossa. illoin jokaiseen tason pisteeseen (x, ) liitt funktion arvo z = f(x, ). Jos funktio on riittävän säännöllinen, on sen kuvaaja pinta kolmiulotteisessa xz-avaruudessa ja osittaisderivaatat f x = lim f(x + x, ) f(x, ) (64) x 0 x f = lim f(x, + ) f(x, ) (65) 0 on määritelt kaikilla x:n ja :n arvoilla. Tutkitaan, kuinka funktion arvo muuttuu, kun siirrtään pisteestä (x, ) pisteeseen (x+ x, + ). Koska alku- ja loppupisteet ovat funktiota kuvaavalla pinnalla, muutos ei riipu siitä, mitä kautta alkupisteestä siirrtään loppupisteeseen. Valitaan kulkutieksi (x, ) (x + x, ) (x + x, + ). Jos muutos x on pieni, on muutos tien ensimmäisellä osuudella ( ) f f x = f(x + x, ) f(x, ) x Vastaavasti muutos tien toisella osuudella on f = f(x + x, + ) f(x + x, ) x. (66) (x,) ( ) f, (67) (x+ x,) ja kokonaismuutos on f = f x + f. Kun x:n ja :n annetaan lähetä nollaa, loppupiste lähenee alkupistettä. Muutosten infinitesimaalisilla (s.o. hvin pienillä) arvoilla dx ja d mös funktion arvon muutos on infinitesimaalinen. Tämä muutos on kokonaisdifferentiaali df = ( ) f dx + x ( ) f d. (68) (x+ x,+ ) f(x,) f x (x,) (x+ x,) f(x+ x,) x f x x Kuva 10: Funktion muutos pisteestä (x, ) pisteeseen (x + x, + ).
0.8. MITÄ NIMET GRADIENTTI, DIVERGENI JA ROOTTORI? 17 Tässä osittaisderivaatat voidaan laskea alkupisteessä (x, ), sillä kulkutien kaikki pisteet ovat infinitesimaalisen lähellä alkupistettä. Tulos on suoraan leistettävissä useamman muuttujan funktioihin. Jos f = f(x,, z), on kokonaisdifferentiaali df = ( ) f dx + x ( ) f d + ( ) f dz. (69) z 0.8 Mistä nimet gradientti, divergenssi ja roottori? Kun gradientti, divergenssi ja roottori määritellään kuten edellä kappaleessa 0.3, näiden nimien merkits jää helposti epäselväksi. Tässä kappaleessa pritään antamaan svällisempi käsits sitä, mitä nämä operaattorit matemaattisesti ja fsikaalisesti merkitsevät. Paikkavektori karteesisessa koordinaatistossa on r = xu x + u + zu z ja sen differentiaalinen muutos on dr = dxu x + du + dzu z. Kappaleessa 0.7 johdettu kokonaisdifferentiaali voidaan esittää ksinkertaisemmin muodossa df = f dr. (70) Tämä nähdään laskemalla htälössä oleva pistetulo, jolloin tuloksena on htälö (69). Tästä esitsmuodosta nähdään mös, että df kertoo, kuinka paljon kentän f arvo muuttuu siirrttäessä paikasta r paikkaan r + dr. Jos skalaarikenttä f = f(x,, z) on riittävän säännöllinen ja K on vakio, esittää htälö f(x,, z) = K (71) avaruudessa olevaa pintaa, jolla f on vakio. Tätä nimitetään f:n vakioarvopinnaksi. e, että kseessä on pinta, voidaan mmärtää, kun ajatellaan, että tietissä avaruden alueissa htälöstä voidaan ratkaista z = z(x, ); missä tämä ei ole ksikäsitteinen, voidaan ratkaista x = x(, z) tai = (x, z). Koska esimerkiksi htälö z = z(x, ) liittää x-tason pisteeseen (x, ) tietn arvon z, näin määritellt pisteet piirtävät pinnan kolmiulotteiseen avaruuteen. Kuvassa 11 paikkavektori osoittaa pinnalla f(x,, z) = K olevaan pisteeseen r. Kun tästä siirrtään pisteeseen r + dr, on htälön (70) perusteella f:n muutos df = f dr. Mikäli r + dr on pinnalla f(x,, z) = K, on dr pisteestä r lähtevä pinnan tangentti. Lisäksi df = 0, joten f ja dr ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Näinollen f on kohtisuorassa mielivaltaista pinnan tangenttia vastaan, joten se on pinnan normaalin suuntainen. Jos taas dr ja f ovat samansuuntaisia, on df = f dr = f dr. Näinollen gradientti f osoittaa kasvavan kentän suuntaan. Hiukan tarkemman analsin avulla voidaan mös osoittaa, että kenttä kasvaa kaikkein voimakkaimmin f:n suunnassa.
18 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA f r dr 0 f(x,,z) = K Kuva 11: Gradientin suunta. Gradientin mmärtämistä auttaa, jos tarkastelee sitä kahden muttujan funktion tapauksessa (kuva 12). Kun f = f(x, ), on f = ( f/ x)u x + ( f/ )u. Esimerkki tällaisesta funktiosta on maanpinta, jonka korkeus merenpinnasta riippuu kahdesta vaakasuorasta koordinaatista x ja. Kartalla pinnanmuoto esitetään korkeuskärinä (nämä ovat siis funktion vakioarvokäriä; kolmen muutujan funktion tapauksessa näitä vastaavat vakioarvopinnat). Gradientti on kohtisuorassa korkeuskärää vastaan ja osoittaa jrkimmän lämäen suuntaan. Jos siis kuljetaan aina gradientin suunnassa, päädtään jrkintä tietä mäen huipulle. ana gradientti on suomeksi mäki. Tämä selittää, miksi vektoria f sanotaan f:n gradientiksi. Divergenssin merkitksen voi mmärtää Gaussin lauseen avulla. Kaavan (61) nojalla vektorikentän divergenssi kertoo pistettä mpäröivän pienen tilavuuden seinämien läpi kulkevan kentän vuon ja tilavuuden suhteen. Jos divergenssi on nolla, on positiivista vuota htä paljon kuin negatiivista, mikä kenttäviivojen avulla tarkasteltuna tarkoittaa sitä, että jokainen kenttäviiva, joka menee tilavuuteen sisälle, f(x,)! f! f Kuva 12: Gradientin tulkinta kahden muuttujan funktion tapauksessa. x
0.8. MITÄ NIMET GRADIENTTI, DIVERGENI JA ROOTTORI? 19 Kuva 13: Divergenssin tulkinta kahden muuttujan funktion tapauksessa. mös tulee ulos. Jos divergenssi on positiivinen, tilavuudesta tulee ulos enemmän kenttäviivoja kuin menee sisälle. illoin tilavuuden sisällä on kentän lähde. Jos taas divergenssi on negatiivinen, tilavuuteen menee sisälle enemmän kenttäviivoja kuin tulee ulos. Tällöin tilavuuden sisällä sijaitsee kentän nielu. Divergenssin ideaa kahden muuttujan funktion tapauksessa selventää kuva 13. e esittää nopeuskentän kenttäviivojen avulla nesteen virtausta vasemmalta oikealle pitkin vaakasuoraa pintaa. Pinnassa on kaksi aukkoa; vasemmanpuoleisesta aukosta virtaa pinnalle nestettä ja oikeanpuoleinen aukko imee nestettä sisäänsä. Vasemmanpuoleinen aukko on siis lähde ja oikeanpuoleinen aukko on nielu. Ilman lähdettä ja nielua virtausviivat olisivat tasavälisiä suoria, mutta lähde ja nielu muokkaavat virtauksen kuvan mukaiseksi. Ilmeisesti nopeuskentän vuo suljetun kärän (pinnan) lävitse on nolla paitsi sellaisissa tapauksissa, joissa lähde tai nielu jää integrointitien sisälle. Näinollen nopeuskentän divergenssi on nolla muualla paitsi lähteen ja nielun kohdalla. Kenttäviivat divergoivat lähteestä ja konvergoivat kohti nielua. Edellisessä tapauksessa divergenssi (ja vuo) on positiivinen, jälkimmäisessä tapauksessa negatiivinen. Nimits divergenssi on siis peräisin kenttäviivojen kättätmisestä vektorikentän lähteen mpäristössä. Roottorin idean voi mmärtää määritelmän (54) avulla. Vektorikentän roottorin tiett komponentti liitt tätä komponettia vastaan kohtisuorassa tasossa laskettuun viivaintegraaliin pitkin suljettua tietä. Tätä voidaan selventää kahden muuttujan vektorikentän avulla. Kuva 14 esittää nesteen virtausviivoja kaksiulotteisella pinnalla. Kuvassa 14 a virtausviivat ovat suoria, mutta virtaus on voimakkaampaa kuvan a) b) Kuva 14: Roottorin tulkinta kahden muuttujan funktion tapauksessa.
20 LUKU 0. MATEMAATTIIA TYÖKALUJA läosassa. Jos lasketaan nopeuskentän viivaintegraali pitkin tietä, saadaan suorakaiteen läsivulta ja alasivulta erimerkkiset kontribuutiot, mutta ne eivät kumoa toisiaan, sillä läsivulla nopeuskenttä on voimakkaampi kuin alasivulla. Muilta sivuilta tuleva kontribuutio on nolla, sillä nopeus on kohtisuorassa integrointitietä vastaan. Näinollen nopeuden integraali :n mpäri ei ole nolla, joten möskään nopeuden roottori ei ole nolla. Kuvan 14 b tapauksessa nopeuskentässä on pörre, jolloin vielä ilmeisemmin nopeuden integraali :n mpäri ei ole nolla. Roottori onkin vektorikentän pörteisden mitta. Kuvan 14 a tapauksessa tämä tulkinta voi herättää ihmetstä, sillä silmin nähtävää pörrettä ei tässä kuvassa ilmene. Tällaisessa vektorikentässä on kuitenkin piilevää pörteisttä, jolla mmärretään kkä snnttää näkviä pörteitä. Kuvan 14 b mukaisia pörteitä voi nimittäin sntä viskositeetin ja nestevirtauksen hteisvaikutuksesta, jos vierekkäisten nestekerrosten nopeuserot kuvan 14 a tapaisessa virtauksessa ovat riittävän suuria. 0.9 Poissonin ja Laplacen htälöt Tärkeä rooli sähkömagneettisessa kenttäteoriassa on Poissonin ja Laplacen htälöillä. Poissonin htälö skalaarikentälle f(r) on 2 f(r) = g(r), (72) missä g(r) on tunnettu skalaarikenttä. Vastaavasti vektorikentälle F(r) kirjoitettu Poissonin htälö on 2 F(r) = G(r), (73) missä G(r) on tunnettu vektorikenttä. Koska vektorikentän jokainen komponentti on skalaarikenttä, htälö (73) esittää kolmen muotoa (72) olevan htälön htälörhmää. Laplacen htälö on Poissonin htälön erikoistapaus, jossa g(r) = 0 tai G(r) = 0. iis Laplacen htälö on muotoa tai 2 f(r) = 0 (74) 2 F(r) = 0. (75) Poissonin ja Laplacen htälöt ovat osittaisdifferentiaalihtälöitä. Yleisesti ottaen osittaisdifferentiaalihtälöillä voi olla hvin monenlaisia ratkaisuja. Voidaan kuitenkin osoittaa, että Poissonin ja Laplacen htälöiden ratkaisut ovat ksikäsitteisiä, mikäli reunaehdot on kiinnitett; ts. tuntemattomilla funktioilla f(r) tai F(r) on tiett arvot joillakin suljetuilla pinnoilla, joiden sisällä funktion kättätminen halutaan selvittää. Tarkastellaan aluksi Laplacen htälöä (74) ja oletetaan, että f(r) = 0 suljetulla pinnalla. Vektorikentän f f divergenssi on (f f) = f 2 f + ( f) ( f) = ( f) ( f) = f 2, (76)
0.9. POIONIN JA LAPLAEN YHTÄLÖT 21 sillä 2 f = 0, kun f on Laplacen htälön ratkaisu. Tällöin vektorikentän f f vuo pinnan li on f f d = (f f) dv = f 2 dv = 0, (77) V missä V on pinnan sisälle jäävä tilavuus. Tässä on sovellettu Gaussin lausetta ja otettu huomioon asetettu reunaehto, jonka mukaan f = 0 pinnalla. Koska leisesti f 2 0, htälöstä (77) seuraa, että f 2 = 0 kaikkialla pinnan sisällä. Tällöin mös f = 0 (78) kaikkialla pinnan sisällä. Tästä seuraa, että f on vakiofunktio, ja koska f = 0 pinnalla, tät tämän ehdon olla voimassa mös kaikkialla pinnan sisällä. euraavaksi tarkastellaan Poissonin htälöä ja oletetaan, että f(r) = K() suljetulla pinnalla, missä merkintä K() tarkoittaa, että K voi saada eri arvoja pinnan eri pisteissä. Poissonin htälön ratkaisun ksikäsitteiss tässä tapauksessa osoitetaan kättäen epäsuoraa todistusta, ts. olettamalla, että htälöllä on kaksi ratkaisua ja osoittamalla, että tämä johtaa ristiriitaan. Oletetaan siis, että on olemassa kentät f 1 (r) ja f 2 (r), jotka toteuttavat sekä Poissonin htälön (72) että asetetut reunaehdot. ijoittamalla nämä ratkaisut Poissonin htälöön ja vähentämällä htälöt puolittain saadaan 2 f 1 (r) 2 f 2 (r) = 2 [f 1 (r) f 2 (r)] = g(r) g(r) = 0. (79) Näinollen funktio f 1 (r) f 2 (r) toteuttaa Laplacen htälön. Lisäksi huomataan, että tämän funktion reunaehto on f 1 (r) f 2 (r) = K() K() = 0. Edellä johdetun Laplacen htälön ratkaisun ksikäsitteisden perusteella on siis välttämättä f 1 (r) f 2 (r) = 0 mös kaikkialla pinnan sisällä. Näinollen f 1 (r) = f 2 (r) kaikkialla pinnan sisällä, joten ratkaisu on ksikäsitteinen. Edellä Laplacen htälön ratkaisun ksikäsitteiss osoitettiin vain tapauksessa, jossa reunaehto on nolla. Koska Laplacen htälö on Poissonin htälön erikoistapaus ja Poissonin htälön ratkaisun ksikäsitteiss osoitettiin leiselle raunaehdolle, on Laplacen htälön ratkaisu ksikäsitteinen mös leisen reunaehdon tapauksessa. V