1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin x sinh y (c) z z 2 z 2 Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: (a) Merkitään Cauchy-Riemannin yhtälöt: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2 2 = 2xy xy = 1 0 = y 2 y = 0 f ei siis ole derivoituva eikä analyyttinen. 0 = 1. (b) Merkitään f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = cos x cosh y i sin x sinh y. Cauchy-Riemannin yhtälöt: sin x cosh y = sin x cosh y cos x sinh y = cos x sinh y, eli yhtälöt pätevät kaikilla (x, y) R 2. Koska lisäksi u x, u y, v x ja v y ovat selvästi kaikkialla jatkuvia, on f analyyttinen koko C:ssä. Ratkaistaan vielä f:n derivaatan lauseke. Tässä hyödynnämme mahdollisuutta esittää trigonometriset funktiot muodossa cos t = 1 2 (eit + e it ) sin t = 1 2i (eit e it ) cosh t = 1 2 (et + e t ) sinh t = 1 2 (et e t ) 1
Nyt siis f(z) = 1 2 (eix + e ix ) 1 2 (ey + e y ) i 1 2i (eix e ix ) 1 2 (ey e y ) = 1 ( e ix+y + e ix y + e ix+y + e ix y e ix+y + e ix y + e ix+y e ix y) 4 = 1 ( e i(x+iy) + e i(x+iy)) 2 = cos z, joten f (z) = sin z. (c) Merkitään f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = (x + iy) 2 (x iy) 2 = 4ixy. Cauchy-Riemannin yhtälöt: 0 = 4x 0 = 4y x = 0 y = 0. Siis Cauchy-Riemannin yhtälöt pätevät vain origossa, joten f ei ole analyyttinen. Origossa f:n derivaatta on f (0) = u x (0, 0) + iv x (0, 0) = 0. 2. Olkoot z f(z) ja z f(z) analyyttisiä funktioita tason alueessa Ω. Osoita, että f on vakiofunktio. f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) f(x, y) = u(x, y) iv(x, y) = u + i( v(x, y)) Tiedetään, että f ja f ovat analyyttisiä, joten Cauchy-Riemannin yhtälöt pätevät niille molemmille. Siis ja u x = ( v) y u y = ( v) x = v x 2
Yhdistämällä nämä tulokset saadaan seuraava yhtälöryhmä: = u x = u y v x = v y = u x = v y. Ainoa reaaliluku, jolle pätee a = a on nolla. Nyt siis tiedetään, että eli f on vakio. f (z) = v y (z) + iv x (z) = 0, 3. Mitkä seuraavista funktioista ovat harmonisia jossain kompleksitason alueessa? Myönteisessä tapauksessa määrää harmoninen konjugaattifunktio ja vastaava analyyttinen funktio. (a) (x, y) (b) (x, y) x x 2 +y 2 x2 x 2 +y 2 (a) Funktio u on harmoninen, jos Merkitään u(x, y) = x x 2 +y 2 u = u xx + u yy = 0. ja tutkitaan, onko u harmoninen. u x = (x2 + y 2 ) 2x 2 = y2 x 2 u xx = 2x(x2 + y 2 ) 2 (y 2 x 2 )4(x 2 + y 2 )x = 2x( 3y2 + x 2 ) u y = 2yx u yy = 2x(x2 + y 2 ) 2 ( 2yx)2(x 2 + y 2 )2y = 2x( 3y2 + x 2 ) 3
Siis u yy = u xx, eli u = 0, kun x 2 + y 2 0, eli (x, y) (0, 0). u on siis harmoninen koko määrittelyjoukossaan. u:n harmonisella konjugaatilla tarkoitetaan sellaista funktiota v, että funktio f = u + iv on harmoninen. Koska u:n osittaisderivaatat ovat jatkuvia u:n määrittelyalueessa, riittää löytää v jolla f toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt. vx = u y = 2xy (x 2 +y 2 ) 2 v y = u x = y2 +x 2 (x 2 +y 2 ) 2 Integroidaan ylempi yhtälö puolittain x:n suhteen: v = 2xy(x 2 + y 2 ) 2 dx = y(x 2 + y 2 ) 1 C 1 (y) Nyt täytyy saada vielä selville C 1 (y). Tämä onnistuu derivoimalla y:n suhteen ja vaatimalla, että saatu lauseke on yhtäpitävä aiemmin lasketun v y :n kanssa. siis C 1 (y) on vakio C ja y ( y(x2 + y 2 ) 1 + C 1 (y)) = y2 x 2 C 1(y) (x2 + y 2 ) 2y 2 = y2 x 2 C 1(y) = 0 v = y x 2 + y 2 + C. Myäs v:n osittaisderivaatat ovat jatkuvia, joten f = u + iv on analyyttinen. Siis f = u + iv = (x iy)(x 2 + y 2 ) 1 + ic = 1 z + ic (b) Valitaan nyt u = x2 x 2 + y 2 4
ja tutkitaan taas harmonisuutta: u x = 2x(x2 + y 2 ) 2x 3 = 2xy2 u xx = 2y2 2(x 2 + y 2 )2x2xy 2 u y = = 2y2 x 2 + 2y 4 8x 2 y 2 = 2y2 (y 2 3x 2 ) 2yx2 u yy = 2x2 + 2(x 2 + y 2 )2y2yx 2 = 2x4 2x 2 y 2 + 8x 2 y 2 = 2x2 (3y 2 x 2 ). u on harmoninen niissä alueessa, joissa u xx + u yy pisteet: = 0. Ratkaistaan nämä u xx + u yy = 0 2y2 (y 2 3x 2 ) + 2x 2 (3y 2 x 2 ) = 0 2(y4 x 4 ) = 0 y 4 = x 4 y = ±x. Kyseessä on siis kaksi suoraa eikä alue, joten u ei ole harmoninen missään alueessa. 4. Tarkastellaan polynomia missä a, b ja c ovat reaalisia vakioita. u : (x, y) ax 2 + bxy + cy 2, 5
(a) Milloin u on harmoninen koko tasossa? (b) Määrää vastava analyyttinen funktio f : C C, f = u + iv muuttujan z avulla lausuttuna. (a) Funktio u on harmoninen koko tasossa, kun kaikissa pisteissä pätee Ratkaistaan milloin tämä toteutuu: u xx + u yy = 0. u x = 2ax + by u xx = 2a u y = bx + 2cy u yy = 2c. Siis u on harmoninen koko tasossa, kun c = a. (b) Etsitään sopiva v samoin kuin tehtävässä 3. Cauchy-Riemannin yhtälöistä saadaan v x = u y = bx + 2ay v y = u x = 2ax + by Integroidaan taas ylempi yhtälö x:n suhteen v = bx + 2aydx = b 2 x2 + 2ayx + C 1 (y) derivoidaan seuraavaksi saatu lauseke y:n suhteen ja verrataan sitä aiemmin laskettuun v y :n lausekkeeseen: ( b ) y 2 x2 + 2ayx + C 1 (y) = 2ax + by C 1(y) = by C 1 (y) = b 2 y2 + C. Siis v y = b 2 x2 + 2ayx + b 2 y2 + C 6
ja f = u + iv = ax 2 + bxy + cy 2 + i( b 2 x2 + 2ayx + b 2 y2 + C) = a(x 2 + 2ixy y 2 ) b 2 i(x2 + 2ixy y 2 ) + ic = (a b 2 i)(x + iy)2 + ic = (a b 2 i)z2 + ic 7