76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti c 4190 J/kg K), höyrystymislämpö l h 56 kj/kg ja normaali kiehumislämpötila T 100 373,15 K. Veden lämpötilan laskiessa siitä vapautuva lämpömäärä on Q mc T mct 1 T ) 0,00 kg 4190 J kg 1 K 1 383,15 373,15 K) 8380 J. Tämä lämpömäärä kuluu veden höyrystymiseen, Q m h l h. Muodostuneen höyryn massa on m h Q l h 8380 J 56000 J kg 1 0,003714539 kg 3,71 g. Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,003714539 kg 0,00 kg 0,01857695 1,86 %. Lasketaan vielä muodostuneen höyryn tilavuus ideaalikaasun tilanyhtälön avulla V nrt P m hrt M m P 0,003714539 kg 8,31447 J mol 1 K 1 373,15 K 18,0 10 3 kg mol 1 10135 Pa 6,311776971 10 6 m 3 6,31 l.. Veden höyrynpaine lämpötiloissa 16, 0 ja 30 on P 16 1,81 kpa, P 0,34 kpa ja P 30 4,5 kpa. Veden moolimassa M m 18,0 g/mol ja lämpötiloissa 100, 37 ja 5 höyrystymislämpö l 100 56 kj/kg numeroarvo kappaleen 8 taulukosta 1), l 37 405 kj/kg numeroarvo harjoituksen 1 tehtävästä 6) ja l 5 440 kj/kg numeroarvo laskettu harjoituksen 8 tehtävästä 6). Clausius-Clapeyronin yhtälöstä saadaan höyrystymiskäyrän 1
approksimatiivinen yhtälö 8.7), josta P T ) Ae lm RT Ae lmm RT ln P T ) ln Ae lmm RT ) A ln e lmm RT ln A lm m R Saatu yhtälö esittää suoraa ln P T ) b + kt 1, missä vakiotermi b ln A ja kulmakerroin k lm m /R on suoraan verrannollinen höyrystymislämpöön l. Kulmakerroin saadaan selville sovittamalla suora pistejoukkoon T 1, ln P T )). Lämpötilan käänteisluvut ja paineen luonnolliset logaritmit, joita sovituksessa tarvitaan, on esitetty seuraavassa taulukossa. ) 1 T. T ) T K) T 1 K 1 ) P Pa) ln P 16 89,15 0,003458 1810 7,50108 0 93,15 0,003411 340 7,757906 30 303,15 0,00399 450 8,354674 8,5 ln P 8,0 7,5 3,30 3,35 3,40 3,45 1/T 1/K) 10 3 Kuva 1: Pistejoukkoon sovitetun suoran 5,96 5336,98/T kuvaaja. Suoran sovitus kuva 1) voidaan tehdä esimerkiksi pienimmän neliösumman menetelmällä likiarvojen käyttö vaikuttaa lopputulokseen hieman, esimerkiksi edellä esitetyn taulukon arvoja käytettäessä noin 10 kj/kg). Kulmakertoimeksi saadaan k 5336,98 K ± 31,64 K ±0,59 %), jonka avulla edelleen höyrystymislämmöksi k lm m R l kr M m 5336,98 K 8,31447 J mol 1 K 1 18,0 10 3 kg mol 1 46495,603 J kg 1 46 kj kg 1. Havaitaan, että tulos on sopusoinnussa vertailuarvojen l 100, l 37 ja l 5 kanssa.
3. Tarkasteltava ideaalikaasu koostuu kahdesta identtisestä molekyylistä, joista kumpikin voi olla tilassa r 1,, 3 tai 4. a) Identtisiä hiukkasia ei voida erottaa toisistaan, joten tilat r, s) toinen molekyyli tilassa r ja toinen tilassa s) ja s, r) ovat sama asia. Tiloja, joilla r s, on neljä kappaletta. Jos k molekyyliä voi esiintyä n 4 eri tilassa ja s r, on kyseisten tilojen lukumäärä ) n n! k k!n k)! 4!!4 )! 4 3!!! 6. Kaasulla on siis yhteensä 4 + 6 10 mahdollista tilaa. b) Kaasun mahdolliset tilat on lueteltu alla muodossa r, s). 1, 1) 1, ) 1, 3) 1, 4), ), 3), 4) 3, 3, 4) 4, 4) c) Kohdassa b) mainitut tilat voidaan esittää myös miehityslukujen n r avulla muodossa n 1, n, n 3, n 4 ) missä kukin miehitysluku on 1, tai 0 riippuen siitä, onko kyseisen tilan r miehittänyt molekyyleistä toinen, molemmat, vai ei kumpikaan. Tällä tavalla esitetyt tilat on lueteltu alla., 0, 0, 0) 1, 1, 0, 0) 1, 0, 1, 0) 1, 0, 0, 1) 0,, 0, 0) 0, 1, 1, 0) 0, 1, 0, 1) 0, 0,, 0) 0, 0, 1, 1) 0, 0, 0, ) d) Kaasun tilan R energia on ɛ R ɛ r + ɛ s. Kohdassa b) lueteltujen tilojen avulla kaasun partitiofunktio on Z R e βɛ R e βɛ 1+ɛ 1 ) + e βɛ 1+ɛ ) + e βɛ 1+ɛ 3 ) + e βɛ 1+ɛ 4 ) + e βɛ +ɛ ) + e βɛ +ɛ 3 ) + e βɛ +ɛ 4 ) + e βɛ 3+ɛ 3 ) + e βɛ 3+ɛ 4 ) + e βɛ 4+ɛ 4 ). 3
e) Partitiofunktio voidaan esittää myös rajoitettuna kaksinkertaisena summauksena yli kaikkien mahdollisten yksihiukkastilojen, ZT, V, ) r1 s1 }{{} s r s1 +... e βɛr+ɛs) e βɛ 1+ɛ s) + s e βɛ 3+ɛ s) + s3 e βɛ +ɛ s) s4 e βɛ 4+ɛ s) mikä nähdään joko kirjoittamalla kaikki termit auki tai yksinkertaisesti vertaamalla suoraan kohdan d) tulokseen, jossa selvästi jälkimmäinen summaus muuttujan s yli juoksee ensimmäisen summan muuttujan arvosta r arvoon neljä. f) Partitiofunktio voidaan esittää myös rajoitettuna nelinkertaisena summauksena yli miehityslukujen n r kaikkien mahdollisten arvojen, ZT, V, ) n 1 0 n 0 n 3 0 n 4 0 } {{ } n 1 +n +n 3 +n 4 n 0 n 3 0 n 4 0 + +... n 0 n 3 0 n 4 0 e βn 1ɛ 1 +n ɛ +n 3 ɛ 3 +n 4 ɛ 4 ) e βn ɛ +n 3 ɛ 3 +n 4 ɛ 4 ) n 0 n 3 0 n 4 0 e βɛ 1+n ɛ +n 3 ɛ 3 +n 4 ɛ 4 ) e βɛ 1+n ɛ +n 3 ɛ 3 +n 4 ɛ 4 ) Miehityslukusummauksen nähdään olevan yhtäpitävä aiempien esitysten kanssa kirjoittamalla kaikki summaukset auki, rajoitus huomioiden. Esimerkiksi yllä viimeisessä kolminkertaisessa summassa jää tällöin jäljelle vain yksi termi, e βɛ 1, sillä kun n 1, muiden miehityslukujen on rajoituksen perusteella oltava nollia. Toinen tapa on verrata nelinkertaisen summauksen lauseketta kohdan c) ja d) tuloksiin kirjoittamalla kohdan d) tulos muotoon Z r e βɛr e βɛ 1+0ɛ +0ɛ 3 +0ɛ 4 ) + e β1ɛ 1+1ɛ +0ɛ 3 +0ɛ 4 ) + e β1ɛ 1+0ɛ +1ɛ 3 +0ɛ 4 ) + e β1ɛ 1+0ɛ +0ɛ 3 +1ɛ 4 ) + e β0ɛ 4+ɛ +0ɛ 3 +0ɛ 4 ) + e β0ɛ 1+1ɛ +1ɛ 3 +0ɛ 4 ) + e β0ɛ 1+1ɛ +0ɛ 3 +1ɛ 4 ) + e β0ɛ 1+0ɛ +ɛ 3 +0ɛ 4 ) + e β0ɛ 1+0ɛ +1ɛ 3 +1ɛ 4 ) + e β0ɛ 1+0ɛ +0ɛ 3 +ɛ 4 ). 4
4. Lämpötilassa T 0 93,15 K ja paineessa P 1 atm 10135 Pa olevan hapen moolimassa M m 31,99 g/mol ja perustilan s 0 translaatioenergia ɛ tr s ɛ tr 0 0. Olettamalla happi ideaalikaasuksi saadaan tilanyhtälöstä Yhden happimolekyylin massa on N V P kt. m O M m N A 31,99 10 3 kg mol 1 6,01415 10 3 mol 1 5,3106383 10 6 kg. Alimman translaatiotilan miehitysluvun keskiarvoksi saadaan luentojen yhtälön 9.7) avulla n 0 N V h πmkt / e ɛtr 0 kt P ) h 3/ e 0 kt kt πm O kt 10135 Pa 1,3806505 10 3 J K 1 93,15 K [ ] 6,660693 10 34 J s) 3/ π 5,3106383 10 6 1,3806505 10 3 J K 1 1 93,15 K 1,466849888 10 7 1,47 10 7. Koska n 0 1, happi käyttäytyy näissä olosuhteissa klassisen ideaalikaasun tavoin. 5. Normaaliolosuhteissa lämpötila T 0 0 73,15 K ja paine P 0 1 atm 10135 Pa. Tehtävässä tulee tarkastella, missä lämpötilassa luentojen klassisuusehto 9.8) ei enää toteudu, kun aluksi normaaliolosuhteissa olevaa vetyä jäähdytetään. Vedyn H moolimassa M m,016 g/mol lukuarvo luentojen kappaleen 9 esimerkistä). Asetetaan yhtälössä 9.8) N V h πmkt / 1. 1) Vetymolekyylin massa on m H M m N A,016 10 3 kg mol 1 6,01415 10 3 mol 1 3,347646348 10 7 kg. a) Jäähdytys tapahtuu vakiotilavuudessa, jolloin P V NkT N V P kt vakio. 5
Ratkaistaan lämpötila yhtälöstä 1), ) /3 ) N h T V πm H k ) /3 ) P0 h kt 0 πm H k ) /3 10135 Pa 1,3806505 10 3 J K 1 73,15 K 6,660693 10 34 J s) π 3,347646348 10 7 kg 1,3806505 10 3 J K 1 0,13561909 K 0,136 K. b) Jäähdytys tapahtuu vakiopaineessa, jolloin N/V P/kT ) ei ole vakio. Yhtälö 1) saadaan tällöin muotoon ) ) P0 h 3/ 1, kt πmkt mistä ratkaistaan lämpötila ) /5 ) P0 h 3/5 T k πm H k ) /5 10135 Pa 1,3806505 10 3 J K 1 6,660693 10 34 J s) π 3,347646348 10 7 kg 1,3806505 10 3 J K 1,8441886 K,84 K. 6. Alumiinin tiheys ρ a 700 kg/m 3 ja moolimassa M m,a 7,0 g/mol. Lämpötilassa T a 300 K alumiinin elektroneja, joiden massa on m e 9,11 10 31 kg, käsitellään elektronikaasuna. Kiehumispisteessä 4, K nestemäisen heliumin tiheys on ρ h 1 kg/m 3 ja moolimassa M m,h 4,00 g/mol. Klassisuusehto voidaan lausua vaatimalla, että perustilan keskimääräinen miehitysluku on hyvin pieni eli yhtälön 9.8) mukaan muodossa /5 n 0 N V h πmkt 1. Vaihtoehtoisesti voidaan vaatia, että molekyylien de Broglie- eli materia-aallonpituus 9.30) on pieni niiden välimatkoihin verrattuna, λ 3 l 3, missä aallonpituus ja molekyylien välisen keskimääräisen etäisyyden kuutio ovat λ l 3 V N. h 3mkT 6
a) Lämpötilassa T a 300 K alumiini esiintyy kiinteänä metallina, jonka valenssielektroneja voidaan käsitellä vapaaelektronimallin avulla eli olettamalla kiderakenteen koostuvan positiivisesti varautuneista atomisydämistä ja lähes vapaasti liikkuvasta elektronikaasusta. Jokainen alumiiniatomi luovuttaa elektronikaasuun kolme johde-elektronia, jolloin elektronitiheydeksi saadaan N V Nρ a m a 3ρ an A M m,a, missä N A 6,01415 10 3 1/mol on Avogadron luku. Perustilan keskimääräiseksi miehitysluvuksi saadaan siten n 0 3ρ an A M m,a h πm e kt a 3 700 kg m 3 6,01415 10 3 mol 1 0,07 kg mol 1 6,660693 10 34 J s) π 9,11 10 31 kg 1,3806505 10 3 J K 1 300 K 14397,43909 1, joten klassisuusehto ei toteudu. Toisaalta voidaan myös laskea de Broglie-aallonpituus λ 3 h 3me kt 6,660693 10 34 J s 3 9,11 10 31 kg 1,3806505 10 3 J K 1 300 K,415466173 10 5 m 3 ja verrata sitä keskimääräiseen molekyylien väliseen etäisyyteen l 3 V N M m,a 3ρ a N A 0,07 kg mol 1 3 700 kg m 3 6,01415 10 3 mol 1 5,53519544 10 30 m 3. Nähdään, että λ 3 > l 3 eli klassisuusehto ei toteudu. b) Nestemäisen heliumin tapauksessa m M m,h /N A ja lämpötilassa T h 4 K perustilan 7
keskimääräiseksi miehitysluvuksi saadaan n 0 ρ hn A h N A M m,h πm m,h kt h ρ h NA M m,h ) 5 h πkt h 6,01415 10 1 kg m 3 3 mol 1 0,004 kg mol 1 6,660693 10 34 J s) π 1,3806505 10 3 J K 1 4 K 1,5710796 > 1, joten klassisuusehto ei toteudu. Myös vertaamalla de Broglie-aallonpituutta λ 3 h 3mkT h N A 3Mm,h kt h ) 5 6,660693 10 34 J s 6,01415 10 3 mol 1 3 0,004 kg mol 1 1,3806505 10 3 J K 1 4 K,50036708 10 8 m 3 keskimääräiseen molekyylien väliseen etäisyyteen l 3 V N M m,h ρ h N A 0,004kg mol 1 1 kg mol 1 6,01415 10 3 mol 1 5,4444 10 9 m 3 nähdään, että λ 3 > l 3 eli klassisuusehto ei toteudu. 8