Muodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa

Tampere University of Technology Muodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa Citation Hartikainen, J., Kouhia, R., Mikkola, M., & Mäkinen, J. (016). Muodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa. Rakenteiden mekaniikka, 49(), 86-99. Year 016 Version Publisher's PDF (version of record) Link to publication TUTCRIS Portal (http://www.tut.fi/tutcris) Published in Rakenteiden mekaniikka Copyright This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 license. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ Take down policy If you believe that this document breaches copyright, please contact tutcris@tut.fi, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date:18.07.017

Rakenteiden Mekaniikka (Journal of Structural Mechanics) Vol. 49, Nro, 016, s. 86 99 rmseura.tkk.fi/rmlehti/ c Kirjoittajat 016. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Muodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa Juha Hartikainen, Reijo Kouhia 1, Martti Mikkola, Jari Mäkinen Tiivistelmä. Yksi kontinuumimekaniikan peruskysymyksistä liittyy suhteellisen muodonmuutoksen mittaukseen, joka geometrisena konstruktiona on määriteltävissä usealla eri tavalla. Artikkelin tarkoituksena on selventää erilaisten muodonmuutosmittojen käsitteitä. Avainsanat: suhteellinen muodonmuutos, geometrinen epälineaarisuus, kontinuumimekaniikka Vastaanotettu 5.10.016. Hyväksytty 8.1.016. Julkaistu verkossa 9.1.016. Professori Juhani Kosken muistolle Johdanto Karkeasti jaotellen kontinuumimekaniikka koostuu (i) liikkeen ja muodonmuutoksen kuvauksesta (kinematiikka), (ii) jännityksen käsitteestä, (iii) kontinuumia koskevien fysiikan taselakien matemaattisesta formuloinnista sekä (iv) aineen käyttäytymistä kuvaavien konstitutiivisten yhtälöiden muotoilusta. Tässä artikkelissa keskitytään liikkeen ja erityisesti muodonmuutoksen kuvauksen käsittelyyn klassista tensorianalyysiä käyttäen. Siten esityksen seuraaminen ei vaadi modernin differentiaaligeometrian tuntemusta. Suhteellinen muodonmuutos on geometrisena konstruktiona määriteltävissä mielivaltaisen monella tavalla. Valittua venymämittaa vastaa kuitenkin tietty jännityksen määrittely, sillä ainealkioon kohdistuvan jännityksen tehon tulee olla sama riippumatta käytetystä venymä-jännitys -määrittelystä. Kirjallisuudesta Clifford Truesdell on yksi epälineaarisen kontinuumimekaniikan uranuurtajista. Hänen yhdessä Walter Nollin kanssa kirjoittama ensyklopedia-artikkeli vuodelta 1965, jonka päivitetty versio on julkaistu omana kirjanaan [4]. Kontinuumimekaniikan klassikko on Malvernin kirja vuodelta 1969 [16], jonka aikalaisia ovat Eringenin [6], Fungin [8], Jaunzemiksen [13] ja Leighin [15] teokset. Uudemmista esityksistä mainittakoon Ogdenin [19] ja Holzapfelin [1] erinomaiset kirjat, jotka keskittyvät pelkästään elastisiin ja viskoelastisiin materiaaleihin. Yleisempää lähestymistapaa edustavat Hauptin [10] ja Tadmorin, 1 Vastuullinen kirjoittaja. reijo.kouhia@tut.fi Encyclopedia of Physics, Volume III/3, toimittanut S. Flügge. 86

ξ 3 x 3 X 3 X g 3 dx C t G G 3 P 0 dx P t g g 1 x C 0 G 1 x 1 e 3 O e 1 e X 1 ξ ξ 1 Kuva 1. Koordinaatisto ja kappaleen deformaatio. Millerin ja Elliotin [3] teokset. Lyhyitä ja kompakteja kontinuumimekaniikan esityksiä ovat Chadwickin [4] ja Spencerin [] kirjat. Merkinnät Tässä esityksessä vektoreille käytetään lihavoituja kursiivikirjaimia ja toisen kertaluvun tensoreille lihavoituja pystysymboleita. Esimerkiksi metrisiä tensoreita merkitään symboleilla G ja g kun taas niihin liittyviin kantavektoreihin käytetään symboleita G ja g. Dyaditulolle käytetään merkintää u v. Yleisen käyräviivaisen ei-suorakulmaisen koordinaatiston kovariantteja kantavektoreita merkitään symboleilla G I ja g i. Karteesisen suorakulmaisen koordinaatiston kantavektoreita merkitään symboleilla e i, katso kuvaa 1. Koordinaatistoinvariantissa tensorinotaatiossa kantavektorit eivät ole näkyvissä. Tällöin saattaa olla havainnollista indikoida kovariantti tai kontravariantti tensori. Kovarianttia tensoria merkitään yleisesti yläindeksillä ja kontravarianttia tensoria vastaavasti yläindeksillä, ([1], s. 83), [17, luku 1.4], [19, luku 1.4.3]. Kontinuumin liike ja deformaatiogradientti Tarkastellaan kontinuumikappaletta B, joka sijaitsee kolmiulotteisessa Euklidisessa avaruudessa. Tarkastellaan ajanhetkellä t = t 0 pisteessä X sijaitsevan materiaalipisteen P liikettä. Tarkasteluajanhetkellä t se on siirtynyt paikkaan x. Oletetaan, että materiaalipisteen liikkeen kuvaus voidaan ilmaista vektoriarvoisella jatkuvalla funktiolla χ, joka on materiaalipisteen alkutilan koordinaattien X ja ajan t funktio, ja että kuvaus on kääntyvä, 1 eli x = χ(x, t) ja X = χ 1 (x, t). (1) 87

Deformaatio- eli muodonmuutosgradientti määritellään kuvauksena joka muuntaa alkuhetkellä pisteeseen X liitetyn differentiaalisen vektorin dx lopputilan pisteeseen x liitetyksi differentiaaliseksi vektoriksi dx = FdX, () jossa deformaatiogradientti F on kuvauksen χ tangentti F = χ X. (3) Huomaa, että deformaatiogradientin määritelmässä on vain tavallinen osittaisderivaatta eikä kovariantti derivaattaa, sillä kuvaus χ ei ole vektori vaan pistekuvaus, katso [17, sivut 47-48]. Tämä voidaan todeta helpoimmin kirjoittamalla deformoituneen tilan vektori (1) muodossa x = χ i (X, t)g i. (4) Mikäli materiaalikoordinaatiston vektori ilmaistaan kannan G I ja deformoituneen tilan vektori vastaavasti kannan g i avulla, määritelmä () saa muodon dx i g i = F i Jg i G J dx K G K = F i J dx J g i, (5) jossa on käytetty kontravarianttien kantavektoreiden G I määritelmää G I G J = δi J. Deformaatiogradientin dyadiesitys on siten F = χi X J g i G J = F i Jg i G J. (6) Deformaatiogradientin polaarihajotelma voidaan kirjoittaa muodoissa F(X, t) = R(X, t)u(x, t) = V(X, t)r(x, t), (7) jossa R on rotaatiotensori, U ja V ovat vastaavasti oikean- ja vasemmanpuoleinen venytystensori (engl. right- and left stretch tensor). Usein käytetään Euleriaanista vasemmanpuoleista venytystensoria, joka voidaan määritellä yhdistetyn kuvauksen avulla seuraavasti v(x, t) = V(X, t) χ 1 (x, t) = V(χ 1 (x, t), t). (8) Dyadimuodossa polaarihajotelma voidaan kirjoittaa seuraavasti F = F Jg i i G J = (R i Kg i G K )(U JG L L G J ) = R i KU J K g i G J (9) = (V kg i i g k )(R l Jg l G J ) = V kr i i G J. (10) Materiaalisia muodonmuutoksen mittoja Ehkä tunnetuin Lagrangen esitystavan muodonmuutosmitta on Greenin-Lagrangen 3 venymätensori E(X, t), joka määritellään viiva-alkioiden pituuksien neliöiden erotuksen avulla seuraavasti dx dx dx dx = dx EdX, (11) jossa viiva alkioiden pituksien neliöt ovat dx dx = (dx i g i ) (dx j g j ) = dx i dx j g i g j = dx i dx i, (1) dx dx = (d X I G I ) (d X J G J ) = d X I d X J G I G J = d X I d X I. (13) 3 Kutsutaan myös Greenin-St. Venantin venymätensoriksi [4]. 88

Deformaatiogradientin määritelmän () ja (5) mukaan dx = d x i g i = (F Kg i i G K ) d X I G I = F K i d X I (G K G I )g i = F K i d X K g i, (14) dx = d x i g i = (F i K g i G K ) d X I G I = F i K d X I (G K G I )g i = F i K d X K g i. (15) Täten Greenin-Lagrangen venymätensorin lausekkeeksi saadaan E = E L K G K G L = 1 (F i KF L i δ L K )G K G L. (16) Käyttämällä alku- ja lopputilan kovariantteja metrisiä tensoreita saadaan venymätensorin kovariantiksi muodoksi G = G IJ G I G J, g = g ij g i g j (17) E = E KL G K G L = 1 (F i KF i L G LM G KM )G K G M = 1 (F i Kg ij F j L G KL)G K G L. (18) Koordinaatistoriippumattomin merkinnöin kovariantti Greenin-Lagrangen venymätensori (18) voidaan kirjoittaa muodossa E = 1 (FT F G ). (19) Mikäli deformoituneen tilan kantana käytetään konvektiivista kantaa g K, saa deformaatiogradientti yksinkertaisen muodon F = δ K L g K G L, jolloin Greenin-Lagrangen venymätensori yksinkertaistuu muotoon Termiä E = 1 (g KL G KL )G K G L. (0) C = F T F (1) kutsutaan oikeanpuoleiseksi Cauchyn-Greenin muodonmuutostensoriksi ja sen käyttö suurten muodonmuutosten konstitutiivisissa malleissa on yleisempää kuin Greenin-Lagrangen venymätensorin 4. Avaruudellisia muodonmuutosmittoja Deformaatiota voidaan tarkastella myös deformoituneesta tilasta käsin yhtälön () osoittamalla tavalla. Yhtälöstä () seuraa jossa F 1 on deformaatiogradientin käänteistensori Viiva-alkion dx () neliö saa nyt muodon dx = F 1 dx, () F 1 = XK x i G K g i. (3) dx dx = dx F T F 1 dx = dx b 1 dx. (4) 4 Tässä esityksessä käytetään englanninkielisile termeille strain, deformation, stretch suomenkielisiä vastineita venymä, muodonmuutos ja venytys. 89

Tensoria b = FF T nimitetetään Cauchyn-Greenin vasemmanpuoleiseksi muodonmuutostensoriksi. Viiva-alkioiden pituuksien neliöiden erotus (11) saa nyt muodon d x d x d X d X = d x e d x (5) jossa tensori e on Almansin venymätensori, (myös Almansin-Eulerin tai Almansin-Hamelin venymätensori) e = 1 (g b 1 ) = 1 [g ij (F 1 ) Ḳ i G KL (F 1 ) Ḷ j]g i g j. (6) Konvektoituneita materiaalikoordinaatteja käytettäessä Almansin tensori on e = 1 (g KL G KL )g K g L. (7) Cauchyn-Greenin muodonmuutostensorit voidaan kirjoittaa muotoihin C = F T F ja b = FF T. (8) Tällöin voidaan todeta Greenin-Lagrangen ja Almansin venymätensoreiden väliset yhteydet F T EF 1 = e, F T ef = E. (9) Polaarihajoitelman perusteella nähdään, että C = U = R T v R (30) ja että 5 b = RU R T = v. (31) Yhtälöistä (30) ja (31) nähdään, että venytystensorit U ja v ovat lineaarisia venymän mittoja ja siten ns. insinöörivenymän (l l 0 )/l 0 kaltaisia. Yleistettyjä muodonmuutoksen mittoja Muodonmuutostensorit C, U, b ja v ovat positiivisesti definiittejä symmetrisiä tensoreita, joten niiden ominaisarvot ( päävenymät ) ovat positiivisia. Merkitään C:n päävenymiä λ K :lla ja niitä vastaavia ortonormeerattuja ominaisvektoreita (pääsuuntia) ˆN K :lla. Yhtälöiden (30) ja (31) perusteella voidaan päätellä, että U:n ja v:n ominaisarvot ovat λ K. Lisäksi nähdään, että U:lla on samat ominaisvektorit kuin C:llä ja että v:n ominaisvektorit ovat ˆn k = R ˆN K. Yleinen venymämitan muoto esitetään seuraavasti: E = f(u) = 3 f(λ K ) ˆN K ˆN K, (3) K=1 e = f(v) = 3 f(λ k ) ˆn k ˆn k. (33) k=1 5 Vasemmanpuoleinen venytystensori b on kontravariantti tensori. 90

Venytystensorit U ja v ovat Lagrangen ja Eulerin esitystapojen mukaiset venymät. Funktiota f nimitetään skaalausfunktioksi, joka on monotonisesti kasvava ja toteuttaa ehdot f(1) = 0, f (1) = 1. Seth [1] ja Hill [11] ovat esittäneet skaalausfunktioksi f(λ) = 1 m (λm 1), m 0 ja f(λ) = ln λ, m = 0. (34) Tätä skaalausfunktiota käyttäen kaavat (3) ja (33) johtavat muotoihin E (m) = 1 m (Um I), (35) e (m) = 1 m (vm i). (36) Tämän mukaan Lagrangen esitystavan mukaiset venymämitat ovat Lagrangen venymä: E = E () = 1 (U I), (37) Almansin venymä: e = RE ( ) R T, E ( ) = 1 (I U ), (38) Biot n venymä: U B = U I = E (1), (39) Henckyn venymä: 3 E (0) = ln U = (ln λ K ) ˆN K ˆN K. (40) Uusi venymämitta, Henckyn venymä E (0), on siis logaritminen vastaten yksidimensioista muotoa e log = ln(l/l 0 ). Eulerin esitystavassa edellä esitetyt venymät ovat Lagrangen venymä: E = R T e () R, e () = 1 (v i), (41) Almansin venymä: e = e ( ) = 1 (i v ), (4) Biot n venymä: e (1) = v i = RU B R T, (43) 3 Henckyn venymä: e (0) = ln v = (ln λ k ) ˆn k ˆn k = RE (0) R T. (44) Logaritmista venymää kutsutaan myös luonnolliseksi tai todelliseksi venymäksi. Tämä johtunee siitä, että vetokokeessa todellisen jännityksen σ ja venymänopeuden ė log tulo σė log on jännityksen todellinen teho. Logaritminen muodonmuutostensori on käyttökelpoinen konstitutiivisten mallien yhteydessä, sillä se voidaan jakaa additiivisesti tilavuudenmuutos- ja deviatoriseen osaan. Biot n venymämitta on kiertymäneutraloitu insinöörivenymä, eli se yhtyy infinitesimaalisen venymämitan määrittelyyn, kun materiaali ei kierry, jolloin R = I 6. Biot n venymää tai sen kaltaisia venymämittoja käytetään dimensioreduktiomalleissa kuten palkkien ja kuorten suurten siirtymien formulaatioissa, joissa Greenin-Lagrangen tapaisten muodonmuutosmittojen käyttö johtaa ristiriitaan kinemaattisten otaksumien kanssa. Tällaiset mallit tunnetaan Cosseratin ja Reissnerin nimillä [1, luku VIII]. Katso myös esimerkkiä luvussa Geometrisesti tarkka tasopalkkimalli sivulla 96. k=1 K=1 6 Biot n venymätensorille on käytetty myös nimeä Cauchyn venymätensori [14, 1]. 91

X, x X kx ˆNˆNˆN 1 ˆNˆNˆN ˆnˆṋn ˆnˆṋn1 e = g g O e X 1, x 1 1 = g 1 g 1 Kuva. Yksinkertainen leikkaus (k = /3, θ = 18, 4 ). Esimerkkejä Yksinkertainen leikkaus Tarkastellaan kuvassa havainnollistettua muodonmuutosta, jota kuvaavat yhtälöt x 1 = X 1 + kx, x = X, x 3 = X 3. (45) Kysymyksessä on X 1 X -tasossa tapahtuva deformaatio, joten käsitellään sitä kaksidimensioisena. Valitaan suorakulmainen karteesinen koordinaatisto ja siihen kuuluva ortonormeerattu kanta sekä alku- että lopputilan kannaksi. Deformaatiogradientin lauseke on F = e 1 e 1 + ke 1 e + e e. (46) Konvektiivisen koordinaatiston kovariantit kantavektorit ovat g 1 = e 1, g = ke 1 + e. (47) Kontravariantit vektorit ratkaistaan helposti yhtälöstä g i g j = δ j i, josta nähdään, että ne ovat g 1 = e 1 ke, g = e. (48) Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen muodonmuutostensori on C = F T F = e 1 e 1 + ke 1 e + ke e 1 + (1 + k )e e. (49) Greenin-Lagrangen venymätensori on silloin E = 1 1 (C I) = (k/)(e 1 e + e e 1 ) + (k /)e e. (50) Cauchyn-Greenin vasemmanpuoleinen muodonmuutostensori on b = FF T = (1 + k )e 1 e 1 + ke 1 e + ke e 1 + e e. (51) 9

Almansin venymätensori on e = 1 (i b 1 ) = (k/)(e 1 e + e e 1 ) (k /)e e. (5) Tasotapauksessa rotaatiotensori on muotoa R = cos θe 1 e 1 + sin θ( e 1 e + e e 1 ) + cos θe e, (53) jossa θ on kiertymäkulma x 3 -akselin ympäri. Tällöin venytystensori U on U = R T F = cos θe 1 e 1 + (k cos θ + sin θ)e 1 e sin θe e 1 + (cos θ k sin θ)e e. (54) Koska venytystensori U on symmetrinen, saadaan ehto k cos θ + sin θ = sin θ, josta seuraa tan θ = k/. Venytystensorin U lauseke saa silloin muodon U = cos θe 1 e 1 sin θ(e 1 e + e e 1 ) + [(1 + sin θ)/ cos θ]e e. (55) Trigonometristen suureiden paikalle voidaan sijoittaa niiden lausekkeet k:n avulla lausuttuna sin θ = (k/)/ 1 + (k/), cos θ = 1/ 1 + (k/). (56) Vastaavalla tavalla saadaan venytystensori v v = [(1 + sin θ)/ cos θ]e 1 e 1 sin θ(e 1 e + e e 1 ) + cos θe e. (57) Logaritmisen venymän määrittämiseksi on laskettava aluksi muodonmuutostensorin C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Lausekkeen (49) avulla saadaan yhtälö [ ] ( ) ( ) 1 λ k ˆN1 0 k 1 + k λ =, (58) ˆN 0 josta seuraa yhtälö ja edelleen λ 4 ( + k )λ + 1 = 0, josta saadaan λ 1, = 1 + k ± k 1 + (k/) (59) λ 1 = 1 + (k/) + k/, Ominaisvektoreiksi saadaan yhtälöstä (58) jossa lyhenteet a ja b ovat λ = 1 + (k/) k/ = λ 1 1. (60) ˆN 1 = ae 1 + be, ˆN = be 1 + ae, (61) a = 1 1 (k/)/ 1 + (k/), b = 1 1 + (k/)/ 1 + (k/). (6) Jos ominaisarvot ja ominaisvektorit lausutaan kulman θ funktioina, saadaan 1 sin θ 1 + sin θ λ 1 = 1 + sin θ, λ = 1 sin θ = λ 1 1 (63) a = 1 1 + sin θ, b = 1 1 sin θ. (64) 93

Silloin logaritminen venymä saa muodon ln U = (ln λ 1 )( ˆN 1 ˆN 1 ˆN ˆN ) = (ln λ 1 ) [sin θ(e 1 e 1 e e ) + cos θ(e 1 e + e e 1 )]. (65) Ominaisvektorit antavat päävenymien suunnat. Lagrangen mukaiset suunnat X 1 -akselin suhteen ovat cos ψ L 1 = ˆN 1 e 1 = 1 1 + sin θ, cos ψ L = ˆN e 1 = 1 1 sin θ. (66) Vastaavasti Eulerin mukaiset päävenymäsuunnat ovat cos ψ E 1 = ˆn 1 e 1 = 1 1 sin θ, cos ψ E = ˆn e 1 = 1 1 + sin θ. (67) Suoran palkin taivutus tasossa Puhtaassa taivutuksessa alkutilassa suora sauva deformoituu ympyränkaaren muotoiseksi. Palkin akselin venymättömyyden takia keskuskulma on θ = X 1 /R, jossa R on akselin kaarevuussäde. Tarkasteltavan ainepisteen paikkavektorit alku ja lopputilassa ovat, katso kuvaa 3 X = X K e K = X 1 e 1 + X e, (68) x = R sin(x 1 /R)e 1 + R(1 cos(x 1 /R))e X sin(x 1 /R)e 1 + X cos(x 1 /R)e = (R X ) sin(x 1 /R)e 1 + [ R + (X R) cos(x 1 /R) ] e. (69) Alkutilan kantavektorit deformoituvat konvektiivisen koordinaatiston kantavektoreiksi g K, jotka voidaan lausua myös karteesisisen alkutilan kannan e K avulla seuraavasti: g 1 = x X = (1 1 X /R) cos(x 1 /R)e 1 + (1 X /R) sin(x 1 /R)e, (70) g = x X = sin(x1 /R)e 1 + cos(x 1 /R)e. (71) Kontravariantit kantavektorit g K voidaan määrittää ehdosta g K g L = δ L K. Deformaatiogradientin lauseke on F = δ K Lg K e L = g 1 e 1 + g e = [ (1 X /R) cos(x 1 /R)e 1 + (1 X /R) sin(x 1 /R)e ] e 1 + + [ sin(x 1 /R)e 1 + cos(x 1 /R)e ] e = (1 X /R) cos(x 1 /R)e 1 e 1 sin(x 1 /R)e 1 e + + (1 X /R) sin(x 1 /R)e e 1 + cos(x 1 /R)e e. (7) Deformaatiogradientin F matriisi on siten [ (1 X F = /R) cos(x 1 /R) sin(x 1 /R) (1 X /R) sin(x 1 /R) cos(x 1 /R) ]. (73) Oikeanpuoleinen Cauchyn-Greenin muodonmuutostensorin C = F T F matriisi on [ ] (1 X C = /R) 0, (74) 0 1 94

X θ = X 1 /R R X M (R X ) sin θ X X X 1 Kuva 3. Palkin puhdas taivutus tasossa. josta seuraa Greenin-Lagrangen muodonmuutostensoriksi jossa E = 1 (C I) = E 11e 1 e 1, (75) E 11 = X /R + 1 (X /R). (76) Mikäli deformaatiogradientille käytetään konvektiivista esitysmuotoa F = δ K L g K e L, Greenin-Lagrangen muodonmuutostensori saa muodon E = 1(g KL δ KL )e K e L, jossa metrinen tensori on g = g KL g K g L, ja jonka matriisi on sama kuin C:n matriisi (74) [ ] [ ] g g = 1 g 1 g 1 g (1 X = /R) 0 = C. (77) g g 1 g g 0 1 Huomaa, että tulos on sopusoinnussa napakoordinaatiston (r, θ) metrisen tensorin kanssa, jonka nollasta eroavat alkiot ovat g rr = 1, g θθ = r. (78) Biot n ja logaritmisen muodonmuutostensorin ainoaksi nollasta eroavaksi termiksi saadaan E (1) 11 = X /R, E (0) 11 = ln(1 X /R). (79) Huomaa, että Biot n venymä on lineaarinen koordinaatin X -suhteen, joten sen jakauma palkin korkeuden suhteen on sopusoinnussa palkkimallien yleisesti käytetyn siirtymäotaksuman kanssa. Deformaatiogradientin käänteistensori on 1 F 1 = (1 X /R) 1 (cos θe 1 e 1 + sin θe e 1 ) sin θe 1 e + cos θe e. (80) 95

Sen avulla Almansin venymätensoriksi saadaan Yhtälöiden (70) ja (71) perusteella on helppo nähdä, että e = F T EF 1 = E 11 g 1 g 1. (81) g 1 = (1 X /R) 1 (cos θe 1 + sin θe ), g = sin θe 1 + cos θe ). (8) Almansin venymätensoriksi (81) saadaan silloin e = E 11 (1 X /R) [cos θe 1 e 1 + cos θ sin θ(e 1 e + e e 1 ) + sin θe e ]. (83) Tähän on loogista sijoittaa lopputilan koordinaatit x 1 ja x, jolloin 1 X /R = (x 1 /R) + (1 x /R), (84) cos θ = sin θ = 1 x /R (x1 /R) + (1 x /R), (85) x 1 /R (x1 /R) + (1 x /R) (86) ja E 11 on lausekkeen (76) mukainen. Venytystensorin U määrittämiseksi todetaan aluksi muodonmuutostensorin C lausekkeesta (74) sen ominaisarvot λ 1 = 1 X /R, λ = 1 ja ominaisvektorit ˆN 1 = e 1, ˆN = e. Venytystensori U on silloin Rotaatiotensori on U = (1 X /R)e 1 e 1 + e e. (87) R = cos θe 1 e 1 + sin θ( e 1 e + e e 1 ) + cos θe e. (88) Sillä kertomalla saadaan venytystensori v = RUR T = e 1 e 1 + e e (X /R)[cos θe 1 e 1 + sin θ cos θ(e 1 e + e e 1 ) + sin θe e ]. (89) Kuten Almansin venymässä tähänkin on loogista sijoittaa lopputilan koordinaatit x 1 ja x. Sama tulos saadaan sijoittamalla ominaisarvot ja ominaisvektorit kaavoihin (33) ja (4) 3 v = i + e (1) = i + λ k ˆn k ˆn k. (90) Henckyn venymät saadaan samaan tapaan sijoittamalla ominaisarvot ja ominaisvektorit kaavoihin (40) ja (44). Geometrisesti tarkka tasopalkkimalli Geometrisesti lineaarisessa tapauksessa keskimääräisen poikittaisen leikkausmuodonmuutoksen huomioonottavaa palkkimallia kutsutaan Timoshenkon palkkimalliksi, jonka geometrisesti epälineaarinen yleistys tunnetaan Reissnerin palkkimallin nimellä. Siinä paikalliset muodonmuutokset määritellään Biot n muodonmuutoksen kaltaisella venymämäärittelyllä, sillä esimerkiksi Greenin-Lagrangen muodonmuutoksen käyttö johtaa ristiriitaan palkkimallin kinemaattisten oletusten kanssa. Tunnetusti keskimääräisen poikittaisen leikkausmuodonmuutoksen huomioonottava palkkimalli perustuu seuraaviin oletuksiin: (i) palkin poikkileikkaukset säilyvät tasoina ja (ii) poikkileikkaussäikeet, jotka ovat 96 k=1

deformoitumattomassa alkutilassa kohtisuorassa palkin akselia vastaan eivät veny deformaation aikana. Nämä oletukset voidaan toteuttaa olettamalla siirtymille esitys u 1 (X 1, X ) = u 1 0(X 1 ) X sin θ(x 1 ), (91) u (X 1, X ) = u 0(X 1 ) X (1 cos θ(x 1 )), (9) jossa θ(x 1 ) on poikkileikkaustason kiertymäkulma. Deformaatiogradientin matriisi on 1 + u1 u 1 F = X 1 X 1 + du1 0 u = dx 1 X cos θ dθ dx 1 sin θ 1 + u du 0 X 1 X dx 1 X sin θ dθ. (93) dx 1 cos θ Tasotapauksessa deformaatiogradientin polaarihajotelma voidaan laskea helposti kaavoilla [1, sivu 88] U = 1 [C + J(C)I], (94) I1 (C) + J(C) R = FU 1, (95) jossa I 1 (C) ja J(C) ovat oikeanpuoleisen Cauchyn-Greenin venymätensorin invariantit I 1 (C) = C 11 + C ja J(C) = C 11 C. Palkkimallissa polaarihajotelmaa käyttökelpoisempi jako on [ ] cos θ sin θ F = QŨ, jossa Q =, (96) sin θ cos θ josta saadaan jossa on merkitty () Ũ = Q T F = [ (1 + (u 1 0 ) ) cos θ + (u 0) sin θ X θ 0 (1 + (u 1 0) ) sin θ + (u 0) cos θ 1 ], (97) = d()/dx 1. Tästä saadaan Biot n venymän (39) kaltaiselle venymämitalle Ẽ (1) lauseke [ ] Ẽ (1) (1 + (u 1 = Ũ I = 0 ) ) cos θ + (u 0) sin θ 1 X θ 0 (1 + (u 1 0) ) sin θ + (u 0) = cos θ 0 jossa [ Λ + X K 0 Γ 0 ], (98) Λ = (1 + (u 1 0) ) cos θ + (u 0) sin θ 1, (99) Γ = (1 + (u 1 0) ) sin θ + (u 0) cos θ, (100) K = θ. (101) Edellä olevissa lausekkeissa Λ on palkin keskiviivan venymä, Γ poikkileikkauksen liukuma ja suuretta K voitaneen kutsua palkin keskiviivan käyristymäksi 7 Lopuksi Epälineaarisessa kontinuumimekaniikassa muodonmuutoksen mitalle voidaan määritellä mielivaltaisen monta suuretta. Artikkelin tarkoituksena on selventää joidenkin useimmin käytettyjen muodonmuutosmittojen perusteita ja millaisissa tehtävissä niiden käyttö tuo etua muihin muodonmuutosmittoihin verrattuna. 7 Tarkkaan ottaen K on keskiviivan käyristymä vain kun Γ = 0. 97

Viitteet [1] S. Antman. Nonlinear Problems of Elasticity. Springer-Verlag, 1. painos 1995. [] R. Aris. Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Prentice Hall, 196, Dover 1989. [3] R.M. Bowen. Introduction to Continuum Mechanics for Engineers. Plenum Press, 1989. [4] P. Chadwick. Continuum Mechanics Concise Theory and Problems. George Allen & Unwin, 1967, (Dover 1999). [5] T.C. Doyle, J.L. Ericksen. Nonlinear elasticity. Advances in Applied Mechanics, 4:1956, 53 115. [6] A.C. Eringen. Nonlinear Theory of Continuous Media. McGraw-Hill, 196. [7] W. Flügge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics. Springer, 197. [8] Y.C. Fung. Foundations of Solid Mechanics. Prentice-Hall, 1. paios 1965. [9] A.E. Green, W. Zerna. Theoretical Elasticity. Oxford University Press,. painos, 1968, (Dover 199). [10] P. Haupt. Continuum Mechanics and Theory of Materials, Springer, 000. [11] R. Hill. Aspects of Invariances in Solid Mechanics. Teoksessa Advances in Applied Mechanics, ed. Chia-Shun Yih, Vol.18, s. 1-75. Academic Press, 1978. [1] G.A. Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics - A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons, 1. painos, 000. [13] W. Jaunzemis. Continuum Mechanics. Macmillan, New York, 1967. [14] Z. Karni, M. Reiner. The generalized measure of deformation. Second-Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics. M. Reiner, D. Abir (ed.), IUTAM Symposium, Haifa, Israel, 3-7.4.196, Pergamon-Press 1964. [15] D.C. Leigh. Nonlinear Continuum Mechanics. McGraw-Hill, 1968. [16] L.E. Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1969. [17] J.E. Marsden, T.J.R. Hughes. Mathematical Foundations of Elasticity, Prentice-Hall, 1983, (Dover 1994). [18] M. Mikkola. Opintojakson 7.54.190, Rakenteiden analyysin erikoiskysymyksiä luentomoniste (TKK), 198. [19] R.W. Ogden. Non-linear Elastic Deformations. Ellis Harwood Ltd., 1984, (Dover, 1997). [0] E.-M. Salonen. Mekaniikan käsitteitä ja kaavoja. TKK, Mekaniikan laboratorion opetusmoniste No 6, 1987. [1] B.R. Seth. Generalized strain measure with applications to physical problems. Second-Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics. M. Reiner, D. Abir (ed.), IUTAM Symposium, Haifa, Israel, 3-7.4.196, Pergamon-Press 1964. [] A.J.M. Spencer. Continuum Mechanics. Longman, 1980, (Dover 004). 98

[3] E.B. Tadmor, R.E. Miller, R.S. Elliot. Continuum Mechanics and Thermodynamics. Cambridge University Press, 01. [4] C. Truesdell, W. Noll. The Non-linear Field Theories of Mechanics. Springer, 3. painos, 004. Juha Hartikainen, Jari Mäkinen Rakennustekniikan laitos Tampereen teknillinen yliopisto PL 600, 33101 Tampere juha.hartikainen@tut.fi, jari.m.makinen@tut.fi Reijo Kouhia Kone- ja tuotantotekniikan laitos Tampereen teknillinen yliopisto PL 589, 33101 Tampere reijo.kouhia@tut.fi Martti Mikkola Aalto-yliopisto PL 1100, 00076 Aalto martti.mikkola@aalto.fi 99