Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi Yhteenveto Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Duaalisimple: Motivointi (/) Standardimuotoinen tehtävä ja sen duaali: minc' b ma p' b p' c' Primaalin optimaalisuusehdot duaalin käypyysehdot c' c' c ' c' p' ' Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Duaalisimple: Motivointi (/) Primaalisimple: lähdetään primaalikäyvästä ratkaisusta ja edetään kohti duaalikäypyyttä Duaalisimple: lähdetään duaalikäyvästä ratkaisusta ja edetään kohti primaalikäypyyttä Ratkaisu primaali- ja duaalikäypä > optimi! Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 4
Duaalisimple: Menetelmä (/7) loitetaan primaalisimplein tapaan taulukolla - c ' - b - b c' c Lähtöratkaisun tulee olla duaalikäypä, eli red. - kustannukset c' c' c' Primaalikäypyyttä ei vaadita kantamuuttujavektorin - b alkiot voivat olla negatiivisia - Jos kuitenkin b, ollaan optimissa ' - - Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 5
Duaalisimple: Menetelmä (/7) Jokin kantamuuttuja negatiivinen? Haetaan duaalitehtävälle uusi ratkaisu, joka ) on duaalikäypä (l) ) kasvattaa duaalin kohdefunktion arvoa Olkoon tämä uusi ratkaisu ~ p ' p' ϕ b l ' b l ' missä on : n l. rivi. Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 6
Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 7 Duaalisimple: Duaalisimple: Menetelmä (/7) Menetelmä (/7) Tällöin kantamuuttujille: Ja ei-kantamuuttujille:, missä on Simple-taulukon (l,j):s alkio Kohdefunktiolle: muuten, kun, ' ' ~ ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i l i l i i c l i c b p p ϕ ϕ lj j l j j j l j j v p p b p p ϕ ϕ ϕ ' ) ( ' ' ' ' ~ ) ( ' ' ' ~ ' l l b p b b b p b p ϕ ϕ v lj
Duaalisimple: Menetelmä (4/7) Edellisistä:. Koska ( ) <, kohdefunktio kasvaa ϕ : n l kasvaessa ϕ >. Tällöin (l). duaalirajoitus löystyy (rajoitus tulee eiaktiiviseksi). Lisäksi j. duaalirajoitus tiukkenee, mikäli < Siis kasvatetaan ϕ : tä kunnes jokin duaalirajoitus j muuttuu aktiiviseksi Jos v lj j, voidaan ϕ : tä kasvattaa äärettömästi > duaalitehtävä rajoittamaton v lj Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 8
Rajalla: Duaalisimple: Menetelmä (5/7) ~ p ' p' ϕv j j lj c j ja koska p' c ' ja c c c ' j j j, seuraa tästä: Ensimmäinen vastaantulija: ϕ c v c j ϕ* min { } j v < lj vlj j lj Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 9
Duaalisimple: Mentelmä (6/7) Edellisen minimoivaa indeksiä j* vastaava duaalirajoite aktiiviseksi ~ c j* p ' j* p' j* ϕvlj* p' j* + vlj* c j* v Täydentyvyysehdoista: vastaava muuttuja kantaan Kannan muutos kuten tavallisessa full Simpleissä lj* j* eli tableau- Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Duaalisimple: Menetelmä (7/7). Lähtötilanne: kantamatriisi, kaikki red. kustannukset ei-negatiivisia. Jos kantamuuttujat b ei-negatiivisia > optimi. Muuten: valitse jokin ( l) < poistumaan kannasta. Jos taulukon l. rivin alkiot v lj kaikki ei-negatiivisia, optimaalinen duaalikustannus terminoi 4. Laske j* arg min{ c j / vlj }, vlj <. Muuttuja j* kantaan 5. Muokkaa taulukon j*. sarake yksikkövektoriksi e l ; palaa askeleeseen. Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Esimerkki: Duaalisimple: Esimerkki (/4) P: min + D: s.e + 4,,,4 ma s.e p + p p + p p p, Primaali voidaan esittää kahdessa dimensiossa, kun ja kohdellaan surplus-muuttujina 4 Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Duaalisimple: Esimerkki (/4) loitetaan duaalikäyvästä ratkaisusta (,,-,-), jolla c' (,,,) Tällöin p' c ' (,) c 4 -* - 4 - - - / /(-) p / b p Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Duaalisimple: Esimerkki (/4) (,,,-), p (/,) c 4 4 - -* / / - / -/ * *(-) p b / p Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 4
(,/,,), p(/,/) Duaalisimple: Esimerkki (4/4) optimi! c -/ / 4 / -/ / / - p b / p Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 5
Duaalisimple: Leksikograafinen sääntö (/) Duaaliratkaisu on degeneroitunut jos c j jollekin ei-kantamuuttujalle algoritmi voi jäädä pyörimään Estetään valitsemalla kantaan astuva muuttuja leksikograafisen säännön mukaan v Jaa sarake j vastaavalla pivot-alkiokandidaatilla jl Valitse kantaan astuvaksi leksikograafisesti pienintä jaettua saraketta vastaava muuttuja Jos sarakkeet ovat samat, valitse indeksiltään pienempi Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 6
Duaalisimple: Leksikograafinen sääntö (/) Esimerkki Valitaan lähtemään kannasta Jaetuista sarakkeista muuttujaa vastaava leksikograafisesti pienempi (,, ) < (,, ) L > kantaan 4 -* - 4 - - - - / - / - Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 7
Milloin käytetään? Duaalisimple Olk. tehtävä, jolle on löydetty optimiratkaisu * ~ Muutos vektorissa b b ~ Vaikuttaa kantaratkaisuun b b, primaalikäypyys saatetaan menettää! c' c' c ' Ei vaikuta red. kustannuksiin, duaalikäypä ratkaisu valmiina! Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 8
Herkkyysanalyysia Varmuus datasta (,b,c) usein kyseenalaista Kausaliteetti kiinnostaa alussa saatetaan jättää mallista pois joitakin muuttujia ja/tai rajoitteita Herkkyysanalyysi: Millä väleillä :n, b:n ja c:n elementit voivat vaihdella, jotta ratkaisu pysyy optimaalisena? Miten uuden muuttujan/rajoitteen lisäys vaikuttaa ratkaisuun? Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 9
min c', + n+ b min c' + c n+ n+ n+ n+ b Herkkyysanalyysia: Uusi muuttuja lkuperäisen tehtävän optimi * kannalla Käypä ratkaisu uudelle tehtävälle (*,) samalla kannalla Jos red. kustannukset ei-neg., (*,) on optimaalinen c n+ cn+ c ' n+ Muuten uusi sarake Simpletaulukkoon, lähtöratkaisu (*,) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Herkkyysanalyysia: Uusi epäyhtälörajoite (/6) Lisätään tehtävään ey-rajoite Jos alkup. tehtävän optimi * toteuttaa uuden rajoitteen, on se edelleen optimi Jos ei, rajoite standardimuotoon a b Uusi tehtävä: a ' m + b m + ' m+ n+ m+ min s.e c' a' m + n, + n+ b bm + Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Herkkyysanalyysia: Uusi epäyhtälörajoite (/6) Olk. alkup. tehtävän optimikanta Tällöin uuden tehtävän kantamuuttujia (, n+ ) vastaava kanta a' missä a a' : m+ n alkup. kantamuuttujia vastaavat alkiot Vastaava kantaratkaisu *, a' m * b käypä, sillä * ei toteuta uutta rajoitetta ( + m + ) ei ole Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
[ c' Herkkyysanalyysia: Uusi epäyhtälörajoite (/6) Uutta kantaa vastaavat redusoidut kustannukset: ] [ c ' ] a' a' m [ c' c Kanta on siis duaalikäypä > sovelletaan duaalisimpleiä! + ' ], sillä optimaalinen alkup. tehtävälle Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Esimerkki: Herkkyysanalyysia: Uusi epäyhtälörajoite (4/6) min s.e -5 5 + + +,,,4 Optimaalinen Simple-taulukko: + + 4 6-5 4 7 - Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 4
Herkkyysanalyysia: Uusi epäyhtälörajoite (5/6) Lisätään tehtävään ey-rajoite + 5, jota optimiratkaisu *(,,,) ei toteuta Uusi tehtävä standardimuodossa: min s.e -5 5 + + +,,,4 6 5 loituskanta uudelle tehtävälle + + + 4 5 a' m+ (,,,) a' (,) * (, 5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 5
Herkkyysanalyysia: Uusi epäyhtälörajoite (6/6) Uusi Simple-taulukko: Vanha Simpletaulukko a' a' a' m+ a m + ' 5 -* 4-5 7 - - 5 (,,,-) Duaalisimpleillä kohti primaalikäypyyttä! Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 6
Lisätään rajoite Herkkyysanalyysia: Uusi yhtälörajoite (/) ' m + b m + Ol. * ei toteuta uutta rajoitetta, vaan esim. Muodostetaan aputehtävä: a a ' m + * > b m + min s.e c' + M a' m+ n+, missä M jokin suuri positiivinen luku (Iso-M menetelmä!) n+ n+ b b m+ Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 7
Herkkyysanalyysia: Uusi yhtälörajoite (/) * Valitaan kantamuuttujiksi (, ) n+, missä alkup. tehtävän optimaaliset kantamuuttujat Vastaava kantamatriisi sama kuin edellisessä * Nyt [ b b m + ]' eli primaalikäypä > primaalisimple! Kyseessä Iso-M menetelmä: a' n+ putehtävän uusi muuttuja optimissa nollaan Saatu ratkaisu toteuttaa lisätyn rajoitteen ja minimoi c :n Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 8
Herkkyysanalyysia: Muutokset b:ssä (/) Muutos b b+ δe i Red. kustannukset (optimaalisuus) eivät riipu b:stä riittää tarkastella käypyyttä Siis: millä δ : n arvoilla pätee yhä ( b+ δe i )? Olk. g ( β, β,..., β ) : n i.s sarake, eli ehto: i i mi ( j) +δβ ji, j,..., m Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 9
Ts. δ Herkkyysanalyysia: Muutokset b:ssä (/) { } { } ( j) ( j) ma δ min j β > j ji< ji β β ji β ji Jos on tällä välillä, kanta pysyy optimaalisena ja kustannukseksi tulee c ' ( b+ δ e ) p' b+ δp Jos δ välin ulkopuolella, ratkotaan duaalisimpleillä lähtien alkup. optimikannasta Red. kustannukset ei-negatiivisia kanta duaalikäypä i i Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Herkkyysanalyysia: c j c Muutokset c:ssä j +δ Muutos Käypyysehdot eivät riipu c:stä riittää tarkastella optimaalisuusehtoa c ' c' Jos j ei-kantamuuttujan indeksi: c ' j c j + δ δ c j Jos j (l) eli kantamuuttujan indeksi, c c+ δel Tällöin muutos vaikuttaa kaikkiin red. kustannuksiin: ( c + δe )' l i c i δv li c i i v li missä Simple-taulukon (l,i):s alkio Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Herkkyysanalyysia: Muutokset :ssa Muutos ei-kantamuuttujaa vastaavan sarakkeen alkiossa a ij a +δ ij Kanta ei muutu > käypyysehdot ennallaan Optimaalisuus? Muutos vain j. redusoidussa kustannuksessa: c j p' ( j + δe i ) c j δp i j Jos ehto ei toteudu, lasketaan j taulukkoon uusiksi ja tuodaan kantaan normaalin Simplein merkeissä Muutos kantasarakkessa: kotitehtävä j Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Herkkyysanalyysia Uusi muuttuja Uusi rajoite δ -muutos b:ssä tai c:ssä δ -muutos :ssa c n+ Lasketaan - jos ei-neg., alkup. optimi edelleen optimi. Muuten uusi sarake Simpletaulukkoon Jos alkup. optimi toteuttaa rajoitteen, edelleen optimi. Jos ei, ratkaise muunnettu tehtävä Käypyys-/optimaalisuusehdoista sallittu vaihteluväli δ :lle. Jos ei välillä: duaali- /primaalisimpleillä uusi kanta Ei-kantasarake: vaihteluväli :lle vastaavan muuttujan optimaalisuusehdosta. Ei välillä: primaalisimple δ Kantasarake: monimutkaisempaa Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 /
Parametrinen ohjelmointi (/5) Olkoon tehtävänä min s.e ( c+ θd)' b θ Niille, joilla optimikustannus g(θ ) äärellinen:,..., g ( θ ) min ( c+θd)' N i,..., N missä käyvän alueen ekstreemipisteet i Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 4
Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 5 Parametrinen Parametrinen ohjelmointi (/5) ohjelmointi (/5) Esimerkki: 7 4 5 s.e ) ( ) (- min,, + + + + + θ θ 4 7 5 5 4 5 4 + θ θ Ratkaisu (,,,5,7) on optimaalinen, jos Tällöin / + θ θ θ ) ( θ g
Parametrinen ohjelmointi (/5) 5 7.5 +.5 θ 4.5 +.5 θ.5.5 4.5.5 5.5.5 θ.5 +.5 θ.5.5.5.5 4 5 θ Jos kasvatetaan hieman yli kolmen, c < kantaan! Ratkaisu (,.5,,,4.5) on optimaalinen, jos: θ / g( θ ) 7.5.5θ Jos θ > / c < kantaan! Vastaavassa sarakkeessa ei kuitenkaan positiivisia alkioita > optimikustannus g(θ ) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 6
Parametrinen ohjelmointi (4/5) 4.5 7θ.5.5 4.5 θ.5.5 5+ 4θ 4 5.5θ.5.5 Jos alkuperäisestä taulukosta lähtien θ pienennetään alle.5:n, c < kantaan! Ratkaisu (.5,,,.5,) on optimaalinen, jos: 5 / 4 θ / g( θ ).5+ 7θ Jos θ < 5 / 4 c < kantaan! Vastaavassa sarakkeessa ei kuitenkaan pos. alkioita > g(θ ) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 7
g(θ ) Parametrinen ohjelmointi (5/5) 5/4 / / c (-,,), d (,-,) θ ( c+ θd)'( ) (.5,,,.5,) ( c+ θd)'( ).5+ 7θ ( c+ θd)'( ) ( c+ θd)'( ) (,,,5,7) ( c+ θd)'( ) Vastaavasti b:n parametrisille muutoksille käypyyden kärsiessä sovelletaan duaalisimpleiä (,.5,,,4.5) ( c+ θd)'( ) 7.5. 5θ Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 8
Yhteenveto Duaalisimple: liikutaan duaalikäypyydestä (primaalin optimaalisuudesta) kohti primaalikäypyyttä Hyöty: ratkaistun tehtävän parametri b muuttuu > duaalikäypyys säilyy > duaalisimple Datan muutosten seurauksia voidaan tutkia herkkyysanalyysilla Mitä suuremmalla datan vaihtelulla kanta pysyy optimaalisena, sitä robustimpi tehtävä Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / 9